第二章 一元二次函数、方程和不等式 考试真题分类汇编-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第二章一元二次函数、方程和不等式考试真题分类汇编 题型01 不等式的性质 1．（2023-24高一上·福建泉州·期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高一下·上海杨浦·期中）设为实数，则下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023-24高一上·浙江杭州·期中）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（2023-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．（2023-24高一上·四川乐山·期中）（多选）下列不等式中，一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2023-24高一上·河南商丘·期末）（多选）已知为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型02 不等式的求解 7．（2023-24高二下·天津红桥·期末）“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023-24高二下·辽宁·期末）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2023-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期中）不等式的解集是 . 11．（2023-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 12．（2023-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 题型03 基本不等式求最值 13．（2023-24高二下·福建福州·期中）已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 15．（2023-24高三上·海南·期末）（多选）已知，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 16．（2023-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 17．（2023-24高一下·安徽阜阳·期中）已知，且，则的最小值为 . 18．（2023-24高二下·辽宁·期末）已知实数，满足，则的最小值为 ． 19．（2023-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 题型04 恒成立问题 20．（2023-24高一上·山东淄博·期中）已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 21．（2023-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2023-24高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 23．（2023-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 24．（2023-24高二下·吉林长春·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为 . 25．（2023-24高一上·河北沧州·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 26．（2023-24高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型05 不等式的实际问题 27．（2023-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 28．（2023-24高一上·江苏连云港·期中）如图，一份纸质宣传单的排版面积（矩形）为，它的左右两边留有宽为的空白，上下两边留有宽为的空白.    (1)若，，且该宣传单的面积不超过，求的取值范围； (2)若，，当边多长时，纸的用量最少？ 29．（2023高一·全国·专题练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 30．（2023-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 31．（2023-24高三上·上海·期中）为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 32．（2023-24高一上·湖北武汉·期末）某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? (2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 题型06 解含参一元二次不等式 33．（2023-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 34．（2023-24高三上·山东潍坊·期末）命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 35．（2023-24高一下·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 36．（2023-24高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，． (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，，求的最小值． 37．（2023-24高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 38．（2023-24高一下·天津·期中）解关于变量的不等式：． 题型07 不等式的综合解答题 39．（2023-24高一上·河南安阳·期中）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 40．（2023-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 41．（2023-24高一上·河南·期中）已知关于的不等式. (1)若原不等式的解集为或，求的值； (2)若，且原不等式的解集中恰有7个质数元素，求的取值范围. 42．（2023-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 43．（2023-24高一上·江西抚州·期末）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 1．（2023-24高三下·上海杨浦·期中）对于任意实数a、b，均成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则下列说法正确的有（    ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023-24高一上·辽宁·期中）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高一上·江西上饶·开学考试）（多选）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 6．（2023-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 7．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 . 8．（2023-24高一上·云南文山·期中）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 9．（2024高一上·全国·期末）已知集合，.若“命题，”是真命题，求的取值范围 10．（2023-24高一上·辽宁·期中）根据要求完成下列问题： (1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 11．（2023-24高三上·湖南常德·期中）（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第二章一元二次函数、方程和不等式考试真题分类汇编 题型01 不等式的性质 1．（2023-24高一上·福建泉州·期中）若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 2．（2023-24高一下·上海杨浦·期中）设为实数，则下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A项，显然正确； 对于B项，当时，有，故B项错误； 对于C项，当时，满足，但此时，故C项错误； 对于D项，当时，满足，但此时，故D项错误， 故选：A 3．（2023-24高一上·浙江杭州·期中）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 4．（2023-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 5．（2023-24高一上·四川乐山·期中）（多选）下列不等式中，一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，由，，知，得，故A正确； 对于B，当时，故B错误； 对于C，当时，由，得， 又，则，故有，故C正确； 对于D，当，时，，D中不等式不一定成立，故D错误． 故选：AC. 6．（2023-24高一上·河南商丘·期末）（多选）已知为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】选项A，因为，若， 当时，，不满足条件， 所以，故，即A正确； 选项B，当时，若，有， 不满足条件，故B错误； 选项C，若，则由不等式的性质有，又，则，故C正确； 选项D，当，则，， 不满足，故D错误. 故选：AC. 题型02 不等式的求解 7．（2023-24高二下·天津红桥·期末）“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得，由，解得， 而集合真包含集合， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 8．（2023-24高二下·辽宁·期末）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由，得到， 整理得到，解得或， 故选：D. 9．（2023-24高一上·安徽宣城·期末）设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 10．（2023-24高二上·陕西宝鸡·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由不等式，可得或. 不等式组，解得，即； 不等式组，解得，即. 综上可知，不等式的解集为. 故答案为：. 11．（2023-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 12．（2023-24高一上·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； （3）不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 题型03 基本不等式求最值 13．（2023-24高二下·福建福州·期中）已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 14．（2023-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 15．（2023-24高三上·海南·期末）（多选）已知，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】BD 【详解】对于A，， 因为，， 令，得，解得或，即或， 当且仅当或时，等号成立，故A错误； 对于B，，解得或， 当且仅当或时，等号成立，故B正确； 对于C，， 所以， 当且仅当或时，等号成立，故C错误； 对于D，， 由选项B知，或，所以或， 则或，故D正确. 故选：BD. 16．（2023-24高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．（2023-24高一下·安徽阜阳·期中）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 18．（2023-24高二下·辽宁·期末）已知实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由已知当时，不成立， 当时，化简可得，则， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 19．（2023-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 题型04 恒成立问题 20．（2023-24高一上·山东淄博·期中）已知对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】由题意可得对一切恒成立，所以，解得， 故选：D 21．（2023-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 22．（2023-24高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 23．（2023-24高二下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【详解】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 24．（2023-24高二下·吉林长春·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为且，则 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 25．（2023-24高一上·河北沧州·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，而，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由， 当且仅当时等号成立，故最小值为， 又恒成立，即， 所以. 26．（2023-24高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题知1和是的两根， 将代入方程解得，经检验符合题意． （2）由（1）可知不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即实数的取值范围为． 题型05 不等式的实际问题 27．（2023-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第年 (2)第年最大，为万元 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当万元时等号成立， 第7年，平均利润最大，为12万元. 28．（2023-24高一上·江苏连云港·期中）如图，一份纸质宣传单的排版面积（矩形）为，它的左右两边留有宽为的空白，上下两边留有宽为的空白.    (1)若，，且该宣传单的面积不超过，求的取值范围； (2)若，，当边多长时，纸的用量最少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由宣传单的面积不超过可得：， 化简得， 解得，又，所以. （2）解：设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，才能使纸的用量最少. 29．（2023高一·全国·专题练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)75人 (2)存在，7 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则， 解得， 又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人; （2）假设存在实数满足条件. 由技术人员年人均投入不减少得, 解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 , 两边同除以得, 整理得, 故有, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以, ，即存在这样的m满足条件，其值为7. 30．（2023-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 【答案】(1) (2)当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大 【详解】（1）由题意得，即， 化简并整理得，解得， 所以预算广告费用的范围为. （2）由题意净利润为，（单位：万元）， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大. 31．（2023-24高三上·上海·期中）为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； (2). 【详解】（1）当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. （2）当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 32．（2023-24高一上·湖北武汉·期末）某企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现将这名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元 (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人? (2)若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值. 【答案】(1)人 (2) 【详解】（1）解：依题意得，整理可得， 又因为，解得， 所以调整后的技术人员的人数最多人. （2）解：由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有： ，得， 整理得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，所以. 因此，正整数的最大值为. 题型06 解含参一元二次不等式 33．（2023-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 34．（2023-24高三上·山东潍坊·期末）命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得， 当时，由题意得，解得， 由于是的充分不必要条件，则可推出， 故得，解得， 当时，是空集，不符合要求，故排除， 当时，由题意得，解得， 此时不满足题意，故排除， 故答案为：． 35．（2023-24高一下·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 36．（2023-24高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数，． (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）不等式即为， ∴， 方程的两根分别为2和， 当时，解不等式可得， 当时，不等式无解， 当时，解不等式可得， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）方程有两个正实数根，， 即方程有两个正实数根，， 则，解得， 由韦达定理得，，， 故， 当时，，达到最小值，故的最小值为． 37．（2023-24高一上·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 38．（2023-24高一下·天津·期中）解关于变量的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】 根据题意，， 分2种情况讨论： ①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为； ②若，的两个根为3和， 当时，不等式的解集为，，； 当时， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，． 综合可得：当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为，． 题型07 不等式的综合解答题 39．（2023-24高一上·河南安阳·期中）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解，则，解得且， 所以的范围是 . （2）依题意：（否则方程没有两个实数根），且有， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． （3），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 40．（2023-24高一上·云南曲靖·期中）若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 41．（2023-24高一上·河南·期中）已知关于的不等式. (1)若原不等式的解集为或，求的值； (2)若，且原不等式的解集中恰有7个质数元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，1是关于的方程， 即0的两根， 则，且， 解得. （2）不等式可化为， 因为，所以关于的方程的两根为1，， 因为关于的不等式的解集中恰有7个质数元素， 且， 所以， 解得，即的取值范围为. 42．（2023-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 43．（2023-24高一上·江西抚州·期末）已知函数 (1)是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由； (2)若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在 (2) 【详解】（1）设在恒成立， 显然当，即时不满足在上恒成立； 当时， ， 综上，存在使得的解集为； （2）由题意可设在上恒成立， 当，即时，，满足在上恒成立； 当，即时， 在上恒成立； ，； 当，即时，可得，， 综上． 1．（2023-24高三下·上海杨浦·期中）对于任意实数a、b，均成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若； 若，， 因为，所以； 若，， 因为，所以， 所以，即. 故选：B． 2．（2023-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则下列说法正确的有（    ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，因为，所以，，， ，故，①正确； 对于②，，，故，故，②错误； 对于③，，，， 故，，③正确； 对于④，， 其中， 当且仅当时，等号成立，但，故等号不成立， 故，故，④错误. 故选：B 3．（2023-24高一上·辽宁·期中）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，由，得， 当且仅当，即时等号成立，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故选：D 4．（2023-24高一上·江西上饶·开学考试）（多选）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 整理可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：， 整理可得，即， 且，则，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 若，则， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABCD. 5．（2023-24高一上·安徽芜湖·期中）（多选）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 6．（2023-24高二下·江苏常州·期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 【答案】 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 7．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 . 【答案】 （其中，），或， / 【详解】连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减， 所以满足的关系式为（，）或，；    方案1：设游泳池的面积为， 由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以； 方案2：设游泳池的面积为，取的中点， 连接，，设，，在中，， 则，解得，当且仅当时取等号， ， 而， 所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为. 故答案为：（，），或，； 【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键. 8．（2023-24高一上·云南文山·期中）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：因为时，，可得， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时取等号，即当且仅当，时取得最小值为． （2）解：因为当时，，可得， 则， 因为，所以，则解不等式可得或， 则不等式的解集为或． 9．（2024高一上·全国·期末）已知集合，.若“命题，”是真命题，求的取值范围 【答案】 【详解】由题意可知，即， 若“命题，”是真命题，则， 所以， 故的取值范围为：. 10．（2023-24高一上·辽宁·期中）根据要求完成下列问题： (1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，、或、 (2) 【详解】（1）因为， 因为A，则或或， 若，则，的值不存在； 若，则，解得； 若，则，无解； 综上所述：； 因为，则或或或， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，则，无解； 若，则，解得； 综上所述，或； 所以存在、的值，当、或、时，满足A、. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题：不等式有解， 当时，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 11．（2023-24高三上·湖南常德·期中）（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【详解】当，不等式为恒成立，符合题意； 当时，由题意可得：，即， 解得：， 综上可知：的取值范围是 （2）由, 整理得 ， 当时，得，解集为； 当时，得，解集为； 当时，，得或，解集为； 当时，，得，解集为； 当时，，得或，解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$