上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题

复附2024学年第一学期高三年级数学拓展考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角是___________． 2. 已知复数满足（是虚数单位），则___________. 3. 已知随机变量的方差，则随机变量的方差______ 4. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________． 5. 在中，若，，，则的面积是________． 6. 已知向量、满足，且在上的数量投影为，则__________ 7. 设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 8. 设是定义在上的函数，且满足.若是奇函数，是偶函数，则的值为___________. 9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________. 10. 已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________. 11. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 12. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 15. 如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（ ）． A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线相交，直线平面 C. 直线与直线平行，直线平面 D. 直线与直线异面，直线平面 16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. （1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； （2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 18. 已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成角的大小等于． （1）当时，求异面直线与所成的角； （2）当三棱锥的体积最大时，求的值． 19. 为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 （1）根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； （2）在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 21. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 复附2024学年第一学期高三年级数学拓展考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】5 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】－ 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】（1）（4） 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2）这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大 【18题答案】 【答案】（1）或 （2） 【19题答案】 【答案】（1）能 （2） 0 1 2 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【21题答案】 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由如下： 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2） （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $