精品解析：2024年广东省初中毕业生学业考试数学仿真试卷二

2024年广东省初中毕业生学业考试数学仿真试卷 （二） 全卷共6页， 满分为120分， 考试用时120分钟． 一、单项选择题 （本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 有理数大小比较历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 人们很早以前就认识到图形语言的特殊作用．蒙日的《画法几何》中使用的视图是二视图，二视图由主视图和俯视图组成，下列实物二视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023 年广东地区生产总值达到13.57万亿元、增长4.8%，是全国首个突破13万亿元的省份，总量连续35年居全国首位．数据13.57万亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 大自然是美设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（ ） A. 0.505 B. 0.618 C. 0.707 D. 0.828 7. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（　　）m． A. 2 B. 1 C. 6 D. 4 9. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ） A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸 10. 如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （本大题共5 小题，每题3分，共15分） 11. 学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是_________米． 12. 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西50°的方向上，若客轮B所处的位置与货轮O的连线OB恰好平分∠AOM，则客轮B相对货轮O的方位是_____(填方位角). 13. 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起（点A 处），摆出，． 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到等腰三角形， 此时B， C， D三点在同一条直线上，则_________． 14. 一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式____________． 15. 如图，在矩形中，，，、交于点O， 分别过点 C、 D作、 的平行线相交于点E，点P是的中点，点G是四边形边上的动点，则的最小值是____________． 三、解答题 （一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 （1）老师发现这两位同学的解答都有错误： 甲同学的解答从第______步开始出现错误；乙同学的解答从第______步开始出现错误； （2）请给出此题的正确解答过程． 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 18. 如图，是等边三角形，点分别在上，与相交于点． （1）求证：； （2）在线段的延长线上求作一点P，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 四、解答题 （二）（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 19. 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定偶数． 20. 如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成． 图①是其侧面简化示意图． 滑轨 支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上． （1）如图①，固定若 求的度数； （2）如图②， 固定， 若 时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点 B， 求滑轨 的长度． （结果精确到0.1， 参考数据：π取3.14， 21 综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动速度V/（） 10 8.5 7 5.5 4 2.5 … 运动距离y/ 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． ①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 五、解答题 （三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 【综合运用】在正方形中， E是边上一动点 （不与点 C， D 重合）． 边 关于对称线段为， 连接． （1）如图①， 若 求证： 为等边三角形； （2）如图②， 以为直径作半圆O， 当与半圆O相切时， 求 的度数；（参考数据： ） （3）如图③， 延长， 交射线于点 G， 连接， 交于点H． 若 当 为等腰三角形，求其底边长． 23. 在平面直角坐标系中，已知点， N，点N在的延长线上， ，对于点 P 给出如下定义：当（或 ，则点 P 向右或向左平移个单位长度；当或，则点 P 向上或向下平移个单位长度，得到点，称点P为点M的“平移点”； 点关于点 N的对称点为Q，称点Q 为点P的“对应点”． （1）如图①， 若点，，请在图中画出点P的“对应点”Q； （2）在图①中， 连接， 交线段于点G． 求证G是的中点； （3）如图②， 若点，且点P的“对应点”Q在y轴上，当 为直角三角形时，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省初中毕业生学业考试数学仿真试卷 （二） 全卷共6页， 满分为120分， 考试用时120分钟． 一、单项选择题 （本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】A.，原说法错误，不符合题意； B. ，，则，说法正确； C. ，则，原说法错误，不符合题意； D. ，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2. 人们很早以前就认识到图形语言的特殊作用．蒙日的《画法几何》中使用的视图是二视图，二视图由主视图和俯视图组成，下列实物二视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据二视图的定义结合三视图求解即可． 【详解】A.圆柱的主视图是长方形，俯视图是圆，则其二视图不相同，不符合题意； B.圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，则其二视图不相同，不符合题意； C. 三棱柱的主视图是长方形，俯视图是三角形，则其二视图不相同，不符合题意； D. 球体的主视图是圆，俯视图是圆，则其二视图相同，符合题意； 故选：D． 3. 2023 年广东地区生产总值达到13.57万亿元、增长4.8%，是全国首个突破13万亿元的省份，总量连续35年居全国首位．数据13.57万亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：13.57万亿． 故选：A． 4. 如图是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和众数分别是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，中位数，众数等知识，根据中位数，众数的定义即可判断． 【详解】七个整点时数据为：22，22，23，26，28，30，31． 所以中位数为26，众数为22， 故选：B． 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 6. 大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（ ） A. 0.505 B. 0.618 C. 0.707 D. 0.828 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 7. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．分别解出不等式组中每个不等式，再对比选项中数轴所表示的解的范围． 【详解】解：解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为； 在同一条数轴上表示为； 故选：C． 8. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（　　）m． A. 2 B. 1 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据杠杆的平衡条件列出方程，即可解得答案． 【详解】根据杠杆的平衡条件可得： ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握杠杆的平衡条件． 9. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ） A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径． 【详解】解：如图，连接， ， ，且寸， 寸， 设圆的半径的长为，则， ， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 寸， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键． 10. 如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是， 故选：C． 二、填空题 （本大题共5 小题，每题3分，共15分） 11. 学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是_________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，， ， ， 小红的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 12. 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西50°的方向上，若客轮B所处的位置与货轮O的连线OB恰好平分∠AOM，则客轮B相对货轮O的方位是_____(填方位角). 【答案】北偏西65° 【解析】 【分析】由∠AON＝50°知∠AOM＝130°，再由OB平分∠AOM知∠BOM＝∠AOM＝65°，继而根据方位角概念即可得出答案. 【详解】解：∵∠AON＝50°， ∴∠AOM＝180°﹣∠AON＝130°， ∵OB平分∠AOM， ∴∠BOM＝∠AOM＝65°， ∴客轮B相对货轮O的方位是北偏西65°， 故答案为：北偏西65°. 【点睛】此题主要考查方位角的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质与方位角的定义. 13. 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起（点A 处），摆出，． 固定住长木棍， 转动短木棍， 得到等腰三角形， 此时B， C， D三点在同一条直线上，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得结论．本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度与落地次数的对应函数关系． 【详解】解：根据题意得， 表示反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式：（n为正整数）； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，、交于点O， 分别过点 C、 D作、 的平行线相交于点E，点P是的中点，点G是四边形边上的动点，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，由勾股定理可求的长，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理可得出四边形是菱形，再垂线段最短，可得当时，有最小值，由锐角三角函数可求解． 【详解】四边形是矩形， ，， ， 点P是的中点， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 点P到各边的距离相等， 点G是四边形边上的动点， 当时，有最小值， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 （一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 （1）老师发现这两位同学的解答都有错误： 甲同学的解答从第______步开始出现错误；乙同学的解答从第______步开始出现错误； （2）请给出此题的正确解答过程． 【答案】（1）一；二 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算： （1）认真观察每个同学的做法，找出错误的步骤即可； （2）修改做错误的步骤，再进行解答即可． 【小问1详解】 解：经过观察，甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 故答案为：一；二； 【小问2详解】 解： 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种． 故两张卡片中不含D卡片的概率是． 18. 如图，是等边三角形，点分别在上，与相交于点． （1）求证：； （2）在线段的延长线上求作一点P，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）由（1）可推出，据此即可完成作图． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴ 又∵， ∴． ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ 作法一：如图所示，以B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点P，则点P即为所求；或者以F为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点P，则点P即为所求． 作法二：如图所示，点P即为所求． 作法三：如图所示，作线段的垂直平分线，交的延长线于点P，则点P即为所求． 四、解答题 （二）（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 19. 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定偶数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 20. 如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成． 图①是其侧面简化示意图． 滑轨 支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上． （1）如图①，固定若 求的度数； （2）如图②， 固定， 若 时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点 B， 求滑轨 的长度． （结果精确到0.1， 参考数据：π取3.14， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，根据平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，从而可得，进而可得圆弧形滑轨所在的圆的圆心为，先利用三角形的外角性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，最后根据垂直定义可得，从而可得，进而可得为等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，，从而利用弧长公式进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，弧长的计算，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 的度数约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点， 过点作，作的垂直平分线，交于点，连接， ， 圆弧形滑轨所在的圆的圆心为， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 滑轨的长度， 滑轨的长度约为． 21. 综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动速度V/（） 10 8.5 7 5.5 4 2.5 … 运动距离y/ 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． ①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 【答案】【建立模型】；；①当黑球在水平木板上滚动了64cm时，运动速度是6cm/s；②不能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式． 由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，设关于的函数解析式，代入两组数值即可求解，由表格中数据运动距离与运动时间是二次函数，设运动距离与运动时间之间的函数解析式为，，代入三组数值求解即可； ①把代入（1）中解析式求出，再求即可； ②设黑球与小车的距离为，得即可得到结论． 【详解】解：由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数， 设关于的函数解析式，把，代入解析式得： ， 解得， ∴， 由表格中数据可知运动距离与运动时间是二次函数， 设运动距离与运动时间之间的函数解析式为， 把，，代入解析式得 ， 解得， ∴， ①由题可知：当时，， 解得：，． 当时，； 当时，（舍去）； ∴当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是． ②设黑球与小车的距离为， ， ． ， 抛物线开口向上， 当时，w的最小值为6， ， 黑球不会碰到小车． 五、解答题 （三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 【综合运用】在正方形中， E是边上一动点 （不与点 C， D 重合）． 边 关于对称的线段为， 连接． （1）如图①， 若 求证： 为等边三角形； （2）如图②， 以为直径作半圆O， 当与半圆O相切时， 求 的度数；（参考数据： ） （3）如图③， 延长， 交射线于点 G， 连接， 交于点H． 若 当 为等腰三角形，求其底边长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，由三角函数求角度，切线的性质； （1）由可得，即可得到，再结合即可得到为等边三角形； （2）先说明、与半圆O相切，由切线长定理可得，设，，在中利用勾股定理求出的关系即可； （3）设，则，，，即可得到，，，再根据为等腰三角形，分类讨论求出的度数，根据度数求其底边长即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形中， ∴，， ∵边 关于对称的线段为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 解：如图，与半圆O切点为， ∵， ∴、与半圆O相切， ∵与半圆O相切， ∴，， 设，， ∴，， ∴， 在中， ∴， 整理得 ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，，即，解得，此时、、、是同一个点，不合题意； 当时，，即，解得，此时、、、是同一个点，不合题意； 当时，，即，解得， 此时， 在上取一点，使，则 ∴, ∴， 设， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 即底边长为：． 23. 在平面直角坐标系中，已知点， N，点N在的延长线上， ，对于点 P 给出如下定义：当（或 ，则点 P 向右或向左平移个单位长度；当或，则点 P 向上或向下平移个单位长度，得到点，称点P为点M的“平移点”； 点关于点 N的对称点为Q，称点Q 为点P的“对应点”． （1）如图①， 若点，，请在图中画出点P的“对应点”Q； （2）在图①中， 连接， 交线段于点G． 求证G是的中点； （3）如图②， 若点，且点P的“对应点”Q在y轴上，当 为直角三角形时，求长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由点N在的延长线上， ，点关于点 N的对称点为Q，可得为的中点，为的中点，则，，，即，然后描点即可； （2）如图①，待定系数法求直线的解析式为，同理，直线的解析式为，联立，可求，则，由，的中点坐标为，即，可知G是的中点； （3）由，，同理（1），，，，由点P的“对应点”Q在y轴上可得，可求，则，，，，，由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况，利用勾股定理求解，进而可求的长． 【小问1详解】 解：∵点N在的延长线上， ，点关于点 N的对称点为Q， ∴为的中点，为的中点， ∵，， ∴，，即， ∴，即， ∴， 如图①，“对应点”Q，即为所作； 【小问2详解】 证明：如图①， 设直线的解析式为， 将代入得，， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标为，即， ∴G是的中点； 【小问3详解】 解：，， 同理（1），，，， ∵点P的“对应点”Q在y轴上， ∴， 解得，， ∴，， ∴，，， 由题意知，当直角三角形时，分，，，三种情况求解； 当时， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴或， ∴； 当时， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴或， ∴； 当时， 由勾股定理得，，即， 方程无解； 综上所述，长为或． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，对称的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握点坐标的平移，对称的性质，勾股定理，一次函数解析式并分情况求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$