第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标： 1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 2．掌握图象法解一元二次不等式． 3．会解简单的分式不等式． 4．会解不等式恒成立问题． 5．会利用一元二次不等式解决一些实际问题. 重点难点： 重点：理解三个 二次”的关系，利用函数图像求一元二次不等式的解集. 难点：探究一元二次函数根的分布情况与不等式解集的关系 一、一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 二、二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 四、特殊不等式 1．绝对值不等式 解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． ；或 2．分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 考点01解不含参数的一元二次不等式 1．“”成立的一个充分不必要条件是（  ） A．或 B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 5．求解下列不等式： (1) (2) 6．解不等式： 7．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 考点02一元二次不等式与根与系数的关系 8．已知关于的不等式的解集为，则的值 . 9．已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 10．（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 12．已知不等式的解集是，求不等式的解集． 13．已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 14．已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值． 考点03解简单的分式不等式及绝对值不等式 15．集合的子集个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．设，，则、之间的关系（    ）． A． B． C． D． 17．(多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 18．不等式组的解集为 ． 19．已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 20．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 21．解下列不等式： (1) (2) 考点04一元二次方程根的分布问题 22．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 23．对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 . 24．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根在内，另一个根在内； 25．已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 26．已知关于的方程，求： (1)方程有两个不同正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件． 27．已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 考点05二次不等式的恒成立问题 28．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 30．若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 31．若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 32．已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 33．已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 考点06解含有参数的一元二次不等式 34．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 35．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 36．解关于x的不等式. 37．解关于实数的不等式：． 38．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 39．设集合、，且，求实数k的取值范围. 考点07二次不等式的实际应用 40．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．限速40 km/h的盘山公路上两车相撞．经测量，甲车的刹车距离略大于9 m，乙车的刹车距离略小于10 m．经查询，甲、乙车的刹车距离s与行驶速度v之间分别满足和．问哪辆车应负主要责任？ 42．已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 43．某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 44．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 45．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 基础试炼 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的解集 6．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 8．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 9．若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 四、解答题 10．解不等式 (1) (2) (3) (4) 11．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 12．已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 高阶突破 1．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 3．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 5．正实数、满足：，则的取值范围为 . 6．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 7．已知集合. (1)当时，求； (2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由. 问题：是否存在正实数m，使得“”是“”的__________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 8．已知，解关于的不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标： 1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 2．掌握图象法解一元二次不等式． 3．会解简单的分式不等式． 4．会解不等式恒成立问题． 5．会利用一元二次不等式解决一些实际问题. 重点难点： 重点：理解三个 二次”的关系，利用函数图像求一元二次不等式的解集. 难点：探究一元二次函数根的分布情况与不等式解集的关系 一、一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 二、二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 四、特殊不等式 1．绝对值不等式 解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． ；或 2．分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 考点01解不含参数的一元二次不等式 1．“”成立的一个充分不必要条件是（  ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式可得，解得或， 所以不等式的解集为或， 因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集， 即是或的真子集. 故选：B 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解一元二次不等式, 得或, 所以或. 因为, 所以. 故选：A. 3．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据给出在上定义运算， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 4．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由可得，，即， 因“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集, 故有，或，解得：. 故答案为：. 5．求解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以，即， 此时有，解得． 6．解不等式： 【答案】或， 【详解】由可得或， 由可得， 故不等式组的解为或， 7．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)R 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知或，因此或， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知，因此， 所以原不等式的解集为． （3）原不等式可化为，又因为，所以上述不等式可化为． 注意到只要，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为 （4）原不等式可以化为．因为， 所以原不等式可以化为，即， 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R． 考点02一元二次不等式与根与系数的关系 8．已知关于的不等式的解集为，则的值 . 【答案】3 【详解】， 当时，原不等式等价于，故不符合题意， 当时，根据一元二次不等式解集可得，解得， 而当时，原不等式等价于或，故符合题意； 综上所述，的值为3. 故答案为：3. 9．已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 【答案】 【详解】由关于的不等式的解为， 可得对应方程的两个根为1和， 将代入方程可得，解得， 所以原不等式可化为，即，解得， 所以. 故答案为：；. 10．（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可得， ， 即， 即有，即，， 故A正确、D错误； 令，其根为，， 结合二次函数性质可得， ，即，故B正确、C错误. 故选：AB. 11．甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式中b，c的值依次为 ，解集为 ． 【答案】 【详解】依题意，根据韦达定理有，，即，， 因此不等式为：，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：，. 12．已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】或 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 13．已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由韦达定理得，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 14．已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值． 【答案】，. 【详解】原不等式转化为，显然不等式解集不是R，设其解集为， 不等式解集不是空集，设其解集为， 因不等式的解集为，则必有，，于是得，即， 因此，3，6是方程的二根，则有，解得， 2，6是方程的二根，，解得， 综上得，，经验证，当时，不等式的解集为， 所以实数a、b的值是 考点03解简单的分式不等式及绝对值不等式 15．集合的子集个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由题意得， 所以集合A的子集个数为. 故选：D 16．设，，则、之间的关系（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，集合，或， 如图数轴所示，. 故选：C. 17．(多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 18．不等式组的解集为 ． 【答案】 【详解】，等价于， 解得或， ，等价与， 解得， 因为与或同时成立， 所以，故解集为 故答案为：. 19．已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】根据题意可知，的两根分别为和， 则，， 解得，， 所以， 而可化为， 解得， 故答案为：，． 20．解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）由于，所以， 解得或，所以的解集为：或. （2）由于，所以， 解得，所以的解集为：. （3）由于，所以， 所以，解得或， 所以的解集为：或. 21．解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 整理得，即； （2）由， 整理得，即. 考点04一元二次方程根的分布问题 22．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 23．对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 又，所以， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则，解得； 若该方程有两个不等负根，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：； 24．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 25．已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 26．已知关于的方程，求： (1)方程有两个不同正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）方程有两个不同正实根， 则，解得或， 方程有两个不同正根的充要条件为； （2）由（1）易知：或方程有两个正根（或两根相等），满足题设； 当时，方程化为 有一个正根，满足题设； 若方程有正、负根各一个，则，解得； 综上：方程至少有一正根的充要条件是． 27．已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】设， 由题意知：，即， 解得． ∴实数m的取值范围为 考点05二次不等式的恒成立问题 28．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 29．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 30．若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意正实数x，y，满足等式， 化简得，即，当且仅当时等号成立. 设，则恒成立，即在时恒成立， 函数在时是递增的，故，即. 故. 故答案为：. 31．若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为函数的图象和x轴恒有公共点，所以对于方程， 恒成立， 即恒成立,由于，所以，故． 综上所述，实数a的取值范围是 32．已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 综上所述，. 33．已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【详解】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为，时解集为； （3）由题意可知对任意恒成立， 所以，解之得 考点06解含有参数的一元二次不等式 34．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 35．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 36．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】不等式化为， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 37．解关于实数的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 38．解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 39．设集合、，且，求实数k的取值范围. 【答案】或 【详解】或， 令，即，所以，， 当时，，， 由得或，解得； 当时，，， 由得或，解得； 综上，或. 考点07二次不等式的实际应用 40．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 41．限速40 km/h的盘山公路上两车相撞．经测量，甲车的刹车距离略大于9 m，乙车的刹车距离略小于10 m．经查询，甲、乙车的刹车距离s与行驶速度v之间分别满足和．问哪辆车应负主要责任？ 【答案】甲车应负主要责任． 【详解】由题意得，对于甲车： ，即，所以 对于乙车： ，即，所以， 因为限速40 km/h， 所以甲车超速了，所以甲车应负主要责任． 42．已知学校超市准备制订新一年的热饮销售计划，根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出800杯，且单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯．若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？ 【答案】答案见解析. 【详解】解：设该热饮的销售单价提高元，由题意可得， 化简得， 解得， 所以热饮的单价为，即． 故热饮的单价为 43．某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【答案】 【详解】设船的速度为，由题可知， 由题意得，，由去分母，整理得， 解得（不合题舍去）或， 所以船的速度至少要达到． 44．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某高科技企业计划加大对芯片研发的投入，据了解，该企业原研发部门有100名技术人员，年人均投入80万元．现将这100名技术人员分成两个部分：研发部人员和技术部人员，其中技术部人员x名（其中），调整后研发部人员的年人均投入增加，技术部人员的年人均投入调整为万元． (1)要使得调整后研发部人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少？ (2)若技术部人员在已知范围内调整后，必须要求研发部人员的年总投入始终不低于技术部人员的年总投入，求出正整数t的最大值． 【答案】(1)80； (2)14. 【详解】（1）依题意，，整理得：，即，而，解得， 所以调整后技术人员的人数x最多为80. （2）依题意，，整理得：， ，而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以正整数t的最大值为14. 45．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)长度为米 (2)的长的范围是（单位：米） 【详解】（1）由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. （2）设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 基础试炼 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由， 设集合，，则为的真子集. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 3．若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原不等式可化为， 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则； 当时，得，此时解集中的整数为，，，则， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 4．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式，即恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，有，解得， 综合得实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 5．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的解集 【答案】BCD 【详解】由不等式的解集为或， 得，得， 则A错误； ，B正确； ，C正确； ，即，则， 解得：，故解集为，D正确. 故选：BCD 6．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，恒成立，于是； 当时，解得， 综上，的取值范围是． 因为，，， 所以，，均为该命题为真命题的充分不必要条件. 因为，所以为必要不充分条件. 故选：ABD 三、填空题 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 【答案】1 【详解】为方程的两个实数根， ,，故 则， ，解得． 符合题意． 故答案为：1 8．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 9．若不等式和不等式的解集相同，则 ， ． 【答案】 【详解】解：不等式等价于， 解得：， 解集相同， 不等式的解集为， 由方程与不等式的关系可知：的根为：， 由韦达定理：， 解得：，， 故答案为：，． 四、解答题 10．解不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 11．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 【答案】 【详解】由题意得本年度每辆车的投入成本为； 出厂价为；年销售量为， 因此本年度的利润为 即：， 由，得, 所以，投入成本增加的比例应在内． 12．已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 高阶突破 1．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需 综上：所以或， 故选：A． 2．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 4．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【详解】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 5．正实数、满足：，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知正实数、满足：， 令，则，所以， 即，则，故， 则的取值范围为， 故答案为： 6．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】或 【详解】由是关于的方程的两个实数根， 则，， 因为，故，即， 所以， 化简得， 解得或 故答案为：或. 7．已知集合. (1)当时，求； (2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由. 问题：是否存在正实数m，使得“”是“”的__________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题， 当时，，当时，， 所以当时，， 故. （2）由（1）；当时，，当时，， 若选择①充分条件，则有，则，解得. 所以存在正实数m，使得“”是“”的充分条件，m的取值范围为. 若选择②必要条件，则有， 则或，解得， 所以不存在正实数m，使得“”是“”的必要条件. 8．已知，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】由不等式， 即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$