第15章分式 讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

第15章分式讲义-数学八年级上册人教版 知识梳理 一、知识框架 ： 二、知识梳理： 1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为： ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为： 8.整数指数幂： ⑴（是正整数） ⑵（是正整数） ⑶（是正整数） ⑷（，是正整数，） ⑸（是正整数） ⑹（，n是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 典例分析 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键． （1）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可； （2）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘得： ， 解得 检验：当时， 所以原分式方程的解为； （2）解：方程两边同乘得： ， 去括号得， 整理得 解得， 经检验，是原方程的解. 所以原分式方程的解是 2．先化简，再求值：，然后从，，，，中选择你喜欢的值带入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的运算法则，将原式化简为最简分式或整式，再代入求值． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 当时，原式． 3．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，叙州区某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．足球和篮球的单价各是多少元？ 【答案】足球60元每个，篮球90元每个 【分析】本题考查分式的实际应用，设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元 解这个方程得 经检验的是原方程的解，且符合题意． 篮球的单价是：（元） 答：足球60元每个，篮球90元每个． 精选好题 一、单选题 1．一个纳米粒子的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列各式，，，，，，，中，分式共有（      ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 3．要使分式有意义，需满足（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，运算结果错误的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某中学有名学生进行消防疏散演习，通过对比发现：经消防专家指导后，平均每分钟撤离的人数是指导前的倍，这名同学全部撤离的时间比指导前快分钟．设指导前平均每分钟撤离人，由此可列出方程（    ） A． B． C． D． 8．某商店销售一种小电器，元月的营业额为元为了扩大销量，在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元，设元月每件小电器的售价为元，则可列方程为 A． B． C． D． 二、填空题 9．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 10．计算： ． 11．如果分式有意义，那么的取值范围是 ，如果分式的值为零，那么 ，如果有意义，那么 ． 12．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 13．李明同学骑自行车上学用了分钟，放学时沿原路返回家用了b分钟，则李明同学上学与回家的速度之比是 ． 14．关于的分式方程无解，则的值为 ． 15．阅读下列解题过程： 上述解题过程中，从第 步开始出错，正确结果为 ． 16．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过，其中通过的速度是通过 速度的1.2 倍，则小明通过的速度为 ． 三、解答题 17．先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中． 18．解下列方程： (1) (2) 19．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 20．先阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程：． 解：① ② ③ ④ ⑤ 经检验，是原方程的解． 请你回答： (1)①到②的具体做法是 ______ ；②得到③的具体做法是 ______ ；得到④的理由是 ______ ． (2)上述解法对吗？若不对，请指出错误的原因，并改正． 21．某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试销时的2倍． (1)求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？ (2)求两次共购进葡萄多少千克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B D D A D 1．A 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米用科学记数法表示为：米． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，， 一共有6个分式， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：由分式的分母不能为0得：， 解得：， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了幂的运算：负整数指数幂、零次幂、同底数幂的除法、幂的乘方，掌握相关运算法则是解决本题的关键． 首先根据负整数指数幂的运算公式判断A、B选项；再根据零次幂和负整数指数幂判断C选项，最后根据同底数幂的除法法则、幂的乘方判断D选项即可． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程解为负数，确定出k的范围即可． 【详解】解：原方程 去分母得：， 整理得：， ∵有意义， ∴ ∴且， 解得且 当时，方程的解为正数； 当时，方程无解； ∴当，方程的解为负数， 解得：， 综上所述，此时k的范围为，且， 故选：D． 6．D 【分析】根据积的幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算法则解答即可． 此题主要考查了幂的乘方的运算法则，单项式乘以单项式，单项式除以单项式正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设指导前平均每分钟撤离人，由题意列出方程即可，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】解：设指导前平均每分钟撤离人， 由题意得：， 故选：． 8．D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元，再根据在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元列出方程即可． 【详解】解：设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元， 由题意得，， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 10．1 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，先整理原式得，结合平方差公式化简得，再合并同类项，即可作答． 【详解】解： 故答案为：1 11． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，零指数幂的运算法则的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据分式有意义时，分母不能为零，零的零次幂无意义即可求解． 【详解】解：由题意可得：当分式有意义时，分母不能为零， 则， 解得：； 当分式的值为零时，则分子为零，分母不为零， ∴ 解得：； 当有意义时，， 即， 故答案为：、、． 12．或 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或， 故答案为：或． 13．/ 【分析】此题主要考查了分式的除法运算，正确表示出上学、放学的速度是解题关键． 根据题意得出上学、放学的速度，即可得出答案． 【详解】解：设路程为1， 则上学速度：， 放学速度：， ∴李明同学上学与回家的速度之比是． 故答案为：． 14．或或 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 15． ② 【分析】本题考查积的乘方运算、负整数指数幂运算、同底数幂的乘法运算等知识，先由积的乘方运算求解，再由负整数指数幂运算得到系数，最后由单项式乘以单项式运算法则，借助同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案，熟练掌握积的乘方运算、负整数指数幂运算、同底数幂的乘法运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：上述解题过程，从第②步开始出错， 正确计算过程如下： ， 故答案为：②，． 16．1 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设通过的速度是，则根据题意可列分式方程，解出x即可．根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． 故通过时的速度是． 故答案为：1． 17．(1)，1 (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用多项式除以单项式，平方差公式计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 对于（1），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可； 对于（2），将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到的值，代入最简公分母检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得 解得： ， 当时，， ∴是原方程的解． 19．(1)种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元 (2)最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设种商品的单价是元，则种商品的单价是元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设购买种商品件，则购买种商品件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合实际即可获得答案． 【详解】（1）解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； （2）设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 20．(1)通分；；分式值相等的条件 (2)上述解法不对，见解析 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）①到②具体做法是通分，②得到③具体做法是两边除以，得到④的原因为分式值相等的条件； （2）上述解法错误，原因为两边除以没有考虑为0的情况，写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：①到②的具体做法是通分；②得到③的具体做法是两边除以；得到④的理由是分式值相等的条件； 故答案为：通分；；分式值相等的条件； （2）解：上述解法不对，两边除以时，没有考虑是否为0， 正确解法为， 变形得：， 当，即时，是分式方程的解； 当，即时，， 解得：， 经检验和都是分式方程的解． 21．(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克5元； (2)3000 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）设试销时该品种葡萄的进货价是每千克元，则实际进货价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设试销时该品种葡萄的进货价是每千克元，则实际进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元； （2）（千克） ∴两次共购进葡萄3000千克． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$