22.2 二次函数与一元二次方程　同步练习　2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 时间50分钟，总分100分 一．选择题（每小题4分，共28分） 1．抛物线y＝x2﹣mx﹣2的图象与x轴的交点个数是（　　） A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．三个交点 2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解为（　　） A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝8 D．此方程无解 3．已知二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k≥﹣l且k≠0 D．k＜1且k≠0 4．抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2 5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，0.54），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 6．若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是（　　） A．m＜ab＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 二．填空题（每小题4分，共20分） 8．若抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 　 　． 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（﹣2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是直线 　 　． 10．若函数y＝kx2+4x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　 　． 11．二次函数y＝2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是　 　． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为　 　． 三．解答题（每小题13分，共52分） 13．已知函数y＝x2﹣mx+m﹣2． （1）求证：不论m取何值，此二次函数的图象与x轴都有两个公共点； （2）若m＝2，求函数图象与x轴的交点坐标． 14．已知二次函数y＝x2+x的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x＝1的根（精确到0.1）． （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数yx的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数yx的图象上，请说明理由． 15．如图，抛物线y＝ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式． （2）求直线AB对应的函数解析式． 16．已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N． （ⅰ）若﹣1≤a，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值． 参考答案 一．选择题（共7小题） 1．解：令y＝x2﹣mx﹣2＝0， 则Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣2）＝m2+8＞0， 故抛物线与x轴的交点个数为2， 故选：C． 2．解：∵ax2+bx+5＝0， ∴ax2+bx＝﹣5， 由图象可知，当x1＝x2＝3时，y＝﹣5， 故选：B． 3．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×k×（﹣1）≥0，且k≠0， ∴k≥﹣1，且k≠0． 故选：C． 4．解：∵抛物线y＝x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m＜2， 故选：A． 5．解：从函数图象看，y＝0的点在2.18和2.68之间， 故选：D． 6．解：设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b），g（x）＝f（x）﹣1， 则f（x）＝0时，则x1＝b，x2＝a， g（x）是f（x）的函数图象向下平移一个单位得到的， 则g（x）＝0时，x3＝n，x4＝m， ∵n＜m，b＜a， ∴n＜b＜a＜m， 故选：D． 7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下， ∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 8．解：∵抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点， ∴当y＝0时，0＝x2﹣3x+m， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＜0， 解得m， 故答案为：m． 9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（﹣2，0）和（4，0）， ∴这条抛物线的对称轴是直线x1， 故答案为：x＝1． 10．解：当k＝0时，函数为y＝4x﹣1，此一次函数与x轴仅有一个公共点； 当k≠0时，△＝42﹣4k•（﹣1）＝0，二次函数y＝kx2+4x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，解得k＝﹣4． 综上所述，k的值为0或﹣4． 故答案为0或﹣4． 11．解：∵二次函数图象与x轴一个交点， ∴b2﹣4ac＝m2﹣4×2×8＝0， 解得：m1＝8，m2＝﹣8， ∵二次函数图象对称轴在y轴左侧，则a，b同号， ∴m＝8． 故答案为：8． 12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为2． 故答案为：2． 三．解答题（共4小题） 13．已知函数y＝x2﹣mx+m﹣2． （1）求证：不论m取何值，此二次函数的图象与x轴都有两个公共点； （2）若m＝2，求函数图象与x轴的交点坐标． （1）证明：∵函数y＝x2﹣mx+m﹣2， ∴当y＝0时，0＝x2﹣mx+m﹣2， Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0， ∴不论m取何值，此二次函数的图象与x轴都有两个公共点； （2）解：当m＝2时，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）， ∴当y＝0时，x＝0或x＝2， 即函数图象与x轴的交点坐标（0，0）或（2，0）． 14．已知二次函数y＝x2+x的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x＝1的根（精确到0.1）． （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数yx的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数yx的图象上，请说明理由． 解：（1）∵令y＝0得：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）． 作直线y＝1，交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根． 根据图形可知方程的解为x1≈﹣1.6，x2≈0.6． （2）∵将x＝0代入yx得y，将x＝1代入得：y＝2， ∴直线yx经过点（0，），（1，2）． 直线yx的图象如图所示： 由函数图象可知：当x＜﹣1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P（﹣1，1）． 平移后的表达式为y＝（x+1）2+1，即y＝x2+2x+2． 点P在yx的函数图象上． 理由：∵把x＝﹣1代入得y＝1， ∴点P的坐标符合直线的解析式． ∴点P在直线yx的函数图象上． 15．如图，抛物线y＝ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点． （1）求这条抛物线对应的函数解析式． （2）求直线AB对应的函数解析式． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A， ∴△＝4a2﹣4a＝0，解得a1＝0（舍去），a2＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x+1； （2）∵y＝（x+1）2， ∴顶点A的坐标为（﹣1，0）， ∵点C是线段AB的中点， 即点A与点B关于C点对称， ∴B点的横坐标为1， 当x＝1时，y＝x2+2x+1＝1+2+1＝4，则B（1，4）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，0），B（1，4）代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+2． 16．已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N． （ⅰ）若﹣1≤a，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值． 解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+ax+b过点M（1，0）， ∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a， ∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x）2， ∴抛物线顶点Q的坐标为（，）； （Ⅱ）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0）， ∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2， 联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0（*）， ∴△＝（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）＝9a2﹣12a+4， 由（Ⅰ）知b＝﹣2a，且a＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴Δ＞0， ∴方程（*）有两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，即x2+（1）x﹣20， ∴（x﹣1）[x﹣（2）]＝0，解得x＝1或x2， ∴N点坐标为（2，6）； （i）由勾股定理可得MN2＝[（2）﹣1]2+（6）245＝20（）2， ∵﹣1≤a， ∴﹣21， ∴MN2随的增大而减小， ∴当2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7， 当1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5， ∴线段MN长度的取值范围为5MN≤7； （ii）如图，设抛物线对称轴交直线于点E， ∵抛物线对称轴为x，点E在直线MN：y＝2x﹣2上， ∴E（，﹣3）， ∵M（1，0），N（2，6），且a＜0，设△QMN的面积为S， ∴S＝S△QEN+S△QEM|（2）﹣1|•|（﹣3）|， ∴27a2+（8S﹣54）a+24＝0（*）， ∵关于a的方程（*）有实数根， ∴△＝（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2， ∵a＜0， ∴S， ∴8S﹣54＞0， ∴8S﹣54≥36，即S， 当S时，由方程（*）可得a满足题意， ∴当a，b时，△QMN面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$