第三章 实数-2024-2025学年七年级数学上学期《常考题型精讲•精练•精测》（2024浙教新版）

2024浙教新版《七年级数学上册精讲•讲练•精测》 2024浙教新版 七年级上册常考题型精讲•讲练•精测 第三章 实数 学习目标 1.知道平方根、算术平方根的概念，会用根号正确表示平方根、算术平方根； 2.理解平方与开平方互为逆运算，会根据平方运算求平方数的平方根； 3.知道实数、无理数的概念，会求实数的相反数和绝对值； 4.知道实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，感悟数形结合的思想方法；能用有理数估计一个无理数的大致范围； 5.知道立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，理解开立方与立方是逆运算，会根据立方运算求立方数的立方根； 6.能进行简单的实数的四则混合运算。 思维导图 知识精讲 知识点1：平方根、算术平方根 1. 平方根: 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 平方根表示方法：； 2. 算术平方根: 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 算术平方根表示方法： 名师点拨 （1）一定表示一个非负数，即≥0，≥0.（简称为“双重非负性”） （2）平方根和算术平方根的区别与联系 · 区别：一个正数的平方根都是两个，算术平方根是一个； · 算术平方根是平方根其中的一个正的（0除外）； · 0的平方根和算术平方根都是0； 3.算术平方根的性质 （1）一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）0的平方根只有0； （3）负数没有平方根。 （4） （5）（根据开平方与平方互为逆运算得） 知识点2：立方根的概念和性质 1.立方根： 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 立方根表示方法： 名师点拨 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根性质： （1）一个正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根是0； （3）一个负数的立方根是一个负数。 （4）；； 名师点拨 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个数的符号相同. 知识点3：实数、无理数的概念 1.无理数： 无限不循环小数又叫无理数. 2.无理数的常见表现形式： （1）化简后含类； （2）化简后带有根号的数，如. （3） 特殊结构的数，如：1.2121121112……. 3.实数 （1）有理数和无理数统称为实数. （2）实数的分类 · 按定义分： 实数 · 按与0的大小关系分： 实数 （3）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. （4）实数大小的比较 · 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大； · 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点4：实数的混合运算 1． 实数的相反数和绝对值：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 2． 有理数中的所有运算律同样适用于实数。 3． 实数的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同。 常考题型精讲精练 题型1 根据平方根、算术平方根的概念和性质计算 例题1．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． · 变式训练 1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．求下列各数的算术平方根： (1)0.49； (2)； (3)； (4)． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 根据立方根的概念和性质计算 例题2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． · 变式训练 1．求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 2．求下列各数的立方根． (1)； (2)； (3) 3．求下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 题型3 无理数、有理数、实数的概念和分类 例题3．把下列各数分别填在相应的括号内： 有理数：{ }； 无理数：{ }； 负实数：{ }． · 变式训练 1．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：___________________________________________． (4)负无理数集合：_______________________________________． 2．0，，，2023，，（两个1之间依次增加一个2） 正数集合：{_______________________________________    …} 负数集合：{_______________________________________    …} 有理数集合：{_______________________________________    …} 无理数集合：{_______________________________________    …} 3．把下列各数填入相应的集合内：7.5，，4，，，，0.31，，． 有理数集合{_______________________________ }； 无理数集合{_______________________________ }； 正实数集合{________________________________}； 负实数集合{________________________________} 4．把下列各数填在相应的大括号里，只需填序号： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 整数：_____________________________________；（只需填序号） 分数：_____________________________________；（只需填序号） 有理数：____________________________________；（只需填序号） 无理数：____________________________________；（只需填序号） 题型4 无理数的大小估计 例题4．估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 · 变式训练 1．估计的值（    ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 2．估计大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 3．已知，且是两个连续的整数，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．设为正整数，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型5 实数的混合运算 例题5．计算： (1)； (2)． · 变式训练 1．计算： (1)； (2)． 2．（1）计算：． （2） 3．（1）． （2）． 4．计算 (1)； (2) 题型6 实数的大小比较 例题6．比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”） (1)　　； (2) 　　． · 变式训练 1．在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“＜”连接． ，，，． 2．比较：与的大小． 3．比较大小： ________；________；________；________． 题型7 实数的实际应用 例题7．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ · 变式训练 1．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 2．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 3．我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 4．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 培优精测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 2．下列说法正确的是（    ） A．是3的一个平方根 B．的平方根是 C． D． 3．下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 5．下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C． D． 6．下列各数：，，，，，1.050050005，其中无理数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．下列关于 的叙述正确的是（     ）． A．在数轴上不存在表示的点 B． C． D．与最接近的整数是3 8．下列各数中最大的数是（   ） A． B． C． D． 9．下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．②的平方根是．③的立方根是．④是一个分数．⑤是一个无理数．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共10小题） 11．比较大小： 9．（填“”、“ ”或“” 12．的立方根是 ，的绝对值是 ． 13．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ． 14．若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 15．将边长为1的正方形拼在一起，形成如图所示的长方形，通过剪一剪、拼一拼，该长方形可以拼成一个面积相同的大正方形，则大正方形的边长等于 ． 16．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为 ． 17．如图，两块边长都为的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 第17题 第18题 18．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 19．大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ． 20．已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的实数为 ． 三、解答题（本大题共5小题） 21．计算： (1) (2)计算： 22．计算： (1)； (2)． 23．把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③，④…，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{______________________…}； 分数集合：{______________________…}； 负有理数集合：{__________________…}； 无理数集合：{____________________…}． 24．在数轴上表示下列各数，再用“”号把它们连接起来． ，，，， 25．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数为______． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024浙教新版《七年级数学上册精讲•讲练•精测》 2024浙教新版 七年级上册常考题型精讲•讲练•精测 第三章 实数 学习目标 1.知道平方根、算术平方根的概念，会用根号正确表示平方根、算术平方根； 2.理解平方与开平方互为逆运算，会根据平方运算求平方数的平方根； 3.知道实数、无理数的概念，会求实数的相反数和绝对值； 4.知道实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，感悟数形结合的思想方法；能用有理数估计一个无理数的大致范围； 5.知道立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，理解开立方与立方是逆运算，会根据立方运算求立方数的立方根； 6.能进行简单的实数的四则混合运算。 思维导图 知识精讲 知识点1：平方根、算术平方根 1. 平方根: 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 平方根表示方法：； 2. 算术平方根: 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 算术平方根表示方法： 名师点拨 （1）一定表示一个非负数，即≥0，≥0.（简称为“双重非负性”） （2）平方根和算术平方根的区别与联系 · 区别：一个正数的平方根都是两个，算术平方根是一个； · 算术平方根是平方根其中的一个正的（0除外）； · 0的平方根和算术平方根都是0； 3.算术平方根的性质 （1）一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）0的平方根只有0； （3）负数没有平方根。 （4） （5）（根据开平方与平方互为逆运算得） 知识点2：立方根的概念和性质 1.立方根： 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 立方根表示方法： 名师点拨 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根性质： （1）一个正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根是0； （3）一个负数的立方根是一个负数。 （4）；； 名师点拨 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个数的符号相同. 知识点3：实数、无理数的概念 1.无理数： 无限不循环小数又叫无理数. 2.无理数的常见表现形式： （1）化简后含类； （2）化简后带有根号的数，如. （3） 特殊结构的数，如：1.2121121112……. 3.实数 （1）有理数和无理数统称为实数. （2）实数的分类 · 按定义分： 实数 · 按与0的大小关系分： 实数 （3）实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. （4）实数大小的比较 · 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大； · 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点4：实数的混合运算 1． 实数的相反数和绝对值：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 2． 有理数中的所有运算律同样适用于实数。 3． 实数的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同。 常考题型精讲精练 题型1 根据平方根、算术平方根的概念和性质计算 例题1．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据开平方，可得答案； （2）根据开平方，可得答案； （3）根据开平方，可得答案； （4）先求出，再根据开平方，可得答案； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）∵， ∴的平方根是； · 变式训练 1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键． （1）根据算术平方根定义计算； （2）根据平方根定义计算； （3）根据算术平方根定义计算； （4）根据平方根定义计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 2．求下列各数的算术平方根： (1)0.49； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.7 (2)3 (3) (4)3 【分析】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴0.49的算术平方根是0.7； （2）解：， ∵， ∴的算术平方根是3； （3）解：， ∵， ∴的算术平方根是； （4）解：∵， ∴的算术平方根是3． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)100 (4)0.07 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 题型2 根据立方根的概念和性质计算 例题2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力． （1）根据立方根定义求出即可； （2）根据立方根定义求出即可； （3）根据立方根定义求出即可． 【详解】（1）6； （2）； （3）． · 变式训练 1．求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求立方根和算术平方根： （1）原式利用立方根定义计算即可求出值； （2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值； （4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值． 【详解】（1）解； （2）解： （3）解：； （4）解：． 2．求下列各数的立方根． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解． （1）根据立方根的定义可求解． （2）根据立方根的定义可求解． （3）根据立方根的定义可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴的立方根是． 3．求下列各式的值： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：， 故答案为：； （5）解：， 故答案为：； （6）解：， 故答案为：． 题型3 无理数、有理数、实数的概念和分类 例题3．把下列各数分别填在相应的括号内： 有理数：{ }； 无理数：{ }； 负实数：{ }． 【答案】见解析 【分析】根据有理数，无理数，负实数的意义解答即可． 本题考查了有理数，实数的分类，熟练掌握基本概念是解题的关键． 【详解】解: ， 故有理数: 无理数： ; 负实数： 故答案为：；；． · 变式训练 1．把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：___________________________________________． (4)负无理数集合：_______________________________________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 2．0，，，2023，，（两个1之间依次增加一个2） 正数集合：{_______________________________________    …} 负数集合：{_______________________________________    …} 有理数集合：{_______________________________________    …} 无理数集合：{_______________________________________    …} 【答案】，，2023；，（两个1之间依次增加一个2）；0，，2023，；，（两个1之间依次增加一个2） 【分析】此题考查了实数的分类根据实数的分类，逐一判断即可解答．实数分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】正数集合：{，，2023…}； 负数集合：{，（两个1之间依次增加一个2）…}． 有理数集合：{0，，2023，，…}； 无理数集合：{，（两个1之间依次增加一个2）…}； 3．把下列各数填入相应的集合内：7.5，，4，，，，0.31，，． 有理数集合{_______________________________ }； 无理数集合{_______________________________ }； 正实数集合{________________________________}； 负实数集合{________________________________} 【答案】 7.5，4，，，0.31， ，， 7.5，，4，，，0.31， ， 【分析】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 由于实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数；实数还可分为正实数、负实数和0，利用这些结论即可求解． 【详解】解：，， 根据概念可分类如下： 有理数集合{7.5，4，，，0.31，，…}； 无理数集合{，，，…}； 正实数集合{7.5，，4，，，0.31，…}； 负实数集合{，，…}． 故答案为：7.5，4，，，0.31，；，，；7.5，，4，，，0.31，；，． 4．把下列各数填在相应的大括号里，只需填序号： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 整数：_____________________________________；（只需填序号） 分数：_____________________________________；（只需填序号） 有理数：____________________________________；（只需填序号） 无理数：____________________________________；（只需填序号） 【答案】①，③，⑤；④，⑦；①，③，④，⑤，⑦；②，⑥ 【分析】本题主要考查实数的分类，立方根的化简，根据实数相关的概念及分类即可求解，解题的关键是掌握实数的分类方法． 【详解】解：， 在①，②，③，④，⑤，⑥，⑦中， 整数是：①，③，⑤； 分数是：④，⑦； 有理数是：①，③，④，⑤，⑦； 无理数是：②，⑥； 故答案为：①，③，⑤；④，⑦；①，③，④，⑤，⑦；②，⑥． 题型4 无理数的大小估计 例题4．估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，一个正数越大，则其算术平方根越大，据此即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即估计的值应在2到3之间， 故选：A． · 变式训练 1．估计的值（    ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先计算出原式，再根据，可得，即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选：C． 2．估计大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴大小在4与5之间． 故选：C． 3．已知，且是两个连续的整数，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的故事，先根据夹逼原则得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是两个连续的整数， ∴， ∴， 故选C． 4．设为正整数，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先确定，再利用算术平方根的性质可得到，即可求出的值．熟练掌握估算的方法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 即， 的值为6． 故选：B． 题型5 实数的混合运算 例题5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的定义，乘方运算． （1）利用算术平方根的定义，立方根的定义计算； （2）利用绝对值的定义，乘方运算计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． · 变式训练 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)6 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握有理数乘方的意义、有理数的加法法则、减法法则、立方根的定义、算术平方根的定义和绝对值是解题关键． （1）根据绝对值、算术平方根的定义和乘方运算计算即可． （2）根据立方根的定义、算术平方根的定义和乘方运算计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（1）计算：． （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的运算与二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则与步骤是解题关键． （1）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根分别计算即可． （2）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根及二次根式的加减分别计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 3．（1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）根据算术平方根，立方根计算即可求解； （2）根据乘方，算术平方根，立方根和绝对值的现在计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）． ． 4．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先开方、乘方、除法运算转化为乘法运算，再计算乘法运算和减法运算； （2）先开方、去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6 实数的大小比较 例题6．比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”） (1)　　； (2) 　　． 【答案】(1)＜ (2)＞ 【分析】本题主要考查实数的大小比较，正确掌握实数丝袜大小的方法是解题的关键． （１）首先得出，进而比较得出答案； （２）直接利用负数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：＜； （2）解：∵， ∴． 故答案为：＞． · 变式训练 1．在数轴上表示下列各数（无理数近似表示），并用“＜”连接． ，，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查实数大小比较和数轴，先在数轴上表示各点，再按从小到大的顺序进行排列即可． 【详解】解：∵，，， ∴将各数表示在数轴上为： 从小到大的顺序排列为：． 2．比较：与的大小． 【答案】 【分析】根据实数大小比较的方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴，即． 3．比较大小： ________；________；________；________． 【答案】 【分析】分别计算的值即可得出；利用作差法即可得出；判断，，即可得出；得到，即可得出． 【详解】解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴；∵，∴，∴； ∵，∴． 故答案为：． 题型7 实数的实际应用 例题7．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1)(2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． · 变式训练 1．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 2．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 3．我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则，把d与f代入公式计算求出v的值是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：（千米/小时）， ∵， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 4．某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 【答案】(1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续 (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用． 对于（1），将代入关系式，根据平方根的定义解答； 对于（2），将代入关系式，再比较结果，可得答案． 【详解】（1）当时，，根据题意，得， 答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续． （2）当时，， 即，所以． 又因为，且，所以． 答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过． 培优精测 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是，则B不符合题意； 没有平方根，则C不符合题意； 是的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．是3的一个平方根 B．的平方根是 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的求解，立方根的求解，根据平方根，立方根的定义进行求解判断即可． 【详解】解：A、3的平方根为，则是3的一个平方根，正确，符合题意； B、负数没有平方根，故本选项不正确，不符合题意； C、，故本选项不正确，不符合题意； D、，故本选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了立方根、算术平方根、平方根等知识，根据相关法则计算即可得到答案. 【详解】A. ，故选项正确，不符合题意；     B. ，故选项错误，符合题意； C. 故选项正确，不符合题意 D. 故选项正确，不符合题意 故选：B 4．下列说法错误的是（　　） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、无理数、有理数、分数，根据算术平方根、无理数、有理数、分数的定义逐项判断即可求解，掌握算术平方根、无理数、有理数、分数的定义是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，不合题意； 、是无理数，该选项说法正确，不合题意； 、，是有理数，该选项说法正确，不合题意； 、是无限不循环小数，不能转化为分数，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 5．下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：，0.1010010001…，都是无限不循环小数，它们均为无理数； 是分数，它不是无理数； 故选：B． 6．下列各数：，，，，，1.050050005，其中无理数个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：，是分数，1.050050005是有限小数，它们都不是无理数； ，，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个； 故选：B． 7．下列关于 的叙述正确的是（     ）． A．在数轴上不存在表示的点 B． C． D．与最接近的整数是3 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，二次根式的性质，根据实数与数轴可判断A，根据二次根式的性质可判断B和C，根据的取值的范围，可判断D． 【详解】解：．在数轴上存在表示的点，∵为实数，数轴上的点与实数一一对应． ∴故该选项不符合题意； ．与不是同类二次根式不能合并，且是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，算术平方根即为，故该选项不符合题意； ．∵，∴，又因为10与9相较于10与16更接近， ∴与最接近的整数是3，故该选项符合题意； 故选：D． 8．下列各数中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解，正确的估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， 最大的数为， 故选：C． 9．下列说法中，①任意一个数都有两个平方根．②的平方根是．③的立方根是．④是一个分数．⑤是一个无理数．其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了实数，利用平方根、立方根的意义，无理数的意义是解题关键．根据平方根、立方根的意义，无理数的意义，可得答案． 【详解】解：①负数没有个平方根，故①不符合题意； ②的平方根是，故②符合题意； ③的立方根是，故③不符合题意； ④是一个无理数，故④不符合题意； ⑤是一个无理数，故⑤符合题意； 故选：． 10．设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性． 由于正方形的面积为18，利用正方形的面积公式即可计算其边长； 对于①结合无理数的定义即可判断其正误； 对于②根据实数与数轴上点的关系即可判断其正误； 对于③，估算这个数的取值范围即可判断其正误； 对于④，结合算术平方根的概念进行判断，问题即可解答． 【详解】由正方形的面积公式可得：． ①，是无理数，故①正确； ②实数与数轴上的点一一对应，故可用数轴上的一个点来表示，②正确； ③，故③错误； ④是18的算术平方根，故④正确． 所有正确说法的序号是①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题） 11．比较大小： 9．（填“”、“ ”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数比大小，能够熟练的将9写成的形式是解题的关键，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 12．的立方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确把握相关性质是解题关键．直接利用实数的性质进而分析得出答案． 【详解】解：的立方根是：，的绝对值是：． 故答案为：，． 13．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ． 【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0） 【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有，； 属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）． 14．若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 先根据算术平方根的定义求出、的值，然后即可求出的值． 【详解】解：是的算术平方根， ， 又的算术平方根是， ， ， 故答案为：． 15．将边长为1的正方形拼在一起，形成如图所示的长方形，通过剪一剪、拼一拼，该长方形可以拼成一个面积相同的大正方形，则大正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方和乘法计算，算术平方根的实际应用，正确理解面积不变规律是解题的关键．由面积不变求出拼成的正方形的面积，再利用公式计算边长即可． 【详解】解：∵拼成的正方形的面积为， ∴这个正方形的边长是， 故答案为：． 16．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．直接利用海伦·秦九韶公式列式计算即可． 【详解】解：，， 则 则三角形的面积为 故答案为： 17．如图，两块边长都为的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的利用面积相等进行解题． 设大正方形边长为m，根据面积相等可得，即可求解． 【详解】解：设大正方形边长为m， 即， 解得． 故答案为：． 18．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为：． 19．大正方体的体积为，小正方体的体积为，将其叠放在一起（如图），则这个物体的最高点到地面的距离是 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了立方根，直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案，正确得出各条棱长是解题的关键． 【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为， ∴大立方体的棱长为，小立方体的棱长为， ∴这个物体的最高点到地面的距离是：， 故答案为：8． 20．已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴的特点，即在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数． 根据与原点相距个单位长度求解即可． 【详解】解：设数轴上与原点相距个单位长度的点所表示的数为， 故， 解得． ∴点表示的数是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题） 21．计算： (1) (2)计算： 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了实数的运算； （1）先求算术平方根以及立方根，再求和即可； （2）先计算算术平方根及有理数的平方后，去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5(2) 【分析】本题考查了实数的运算， （1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案； （2）利用平方和绝对值的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式， （2）原式 ． 23．把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③，④…，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{______________________…}； 分数集合：{______________________…}； 负有理数集合：{__________________…}； 无理数集合：{____________________…}． 【答案】③④⑥；①⑤⑦；①⑤⑦；④⑥ 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数等进行作答即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵，， ∴正数集合：{③④⑥…}； 分数集合：{①⑤⑦…}； 负有理数集合：{①⑤⑦…}； 无理数集合：{④⑥…}． 24．在数轴上表示下列各数，再用“”号把它们连接起来． ，，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴、实数的大小比较，先化简各数，再将各数表示在数轴上，然后根据数轴上，右边的数总大于左边的数的顺序用“”将各数连接起来即可． 【详解】解：，， 将各数表示在数轴上如图： 由图知： 25．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2(2)面积为2，边长为(3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）设这个魔方的棱长为，则， 解得：， ∴这个魔方的棱长为2． （2）∵魔方的棱长为2， ∴每个小立方体的棱长都是1， ∴每个小正方形面积为1，魔方的一面四个小正方形的面积为4， ， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为． （3）∵点与1重合，正方形的边长为，点在点右侧， ∴点表示的数为． 故答案为： 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$