22.1.4待定系数法求y＝ax²+bx+c的解析式 同步练习2024－2025学年人教版数学九年级上册

22.1.4待定系数法求y＝ax2+bx+c的解析式 时间50分钟，总分100分 一．选择题（每小题4分，共24分） 1．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝4 B．b＝﹣2，c＝﹣4 C．b＝2，c＝﹣4 D．b＝﹣2，c＝4 2．二次函数的图象经过点A（0，0），B（﹣1，﹣11），C（1，9）三点，则这个二次函数的关系式是（　　） A．y＝﹣10x2+x B．y＝﹣10x2+19x C．y＝10x2+x D．y＝﹣x2+10x 3．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 4．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的图象对应的函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2+5 5．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5 6．抛物线y＝ax2+bx+c+与x轴的交点为（1，0）和（3，0），其形状与抛物线y＝﹣2x2相同，则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+8x+6 C．y＝﹣2x2+4x+6 D．y＝﹣2x2+8x﹣6 二．填空题（每小题4分，共24分） 7．若顶点为的抛物线y＝ax2+bx+c过点M（2，0），则抛物线对应的函数解析式为 　 　． 8．一抛物线的对称轴为y轴，且经过点A（2，3），B（﹣1，6），C（﹣3，m），则m＝　 　． 9．二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为（﹣1，0），与y轴交点坐标为（0，3），对称轴为直线x＝1，则其解析式为 　 　． 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴正半轴交于点A、B，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且OA＝AB＝OC＝1，则该抛物线的顶点坐标为　 　． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0）与y轴的正半轴交于点C，如果x1，x2是方程x2﹣x﹣6＝0的两个根（x1＜x2）且△ABC的面积为5，求此抛物线解析式 　 　． 12．若函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式　 　． 三．解答题（每小题13分，共52分） 13．（1）已知二次函数的图象的对称轴为直线x＝2，函数的最小值为3，且图象经过点（﹣1，5），求此二次函数的解析式． （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0．求这个二次函数的解析式． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示． （1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线y＝ax2+bx+c当x＜0时的图象； （3）利用抛物线y＝ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0． 15．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 16．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 参考答案 一．选择题（共6小题） 1．解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0， ∴该函数的图象的开口方向向下， ∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标， ∴﹣1，即b＝﹣2；① ﹣3，即b2+4c+12＝0；② 由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4； 故选：B． 2．解：由于抛物线经过原点，则可以设其函数关系式为y＝ax2+bx， 将B、C两点坐标代入，得， ， 解得：， 则函数关系式为：y＝﹣x2+10x， 故选：D． 3．解：∵喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米， ∴顶点坐标为（ ，3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x）2+3， 而抛物线还经过（0，0）， ∴0＝a（ ）2+3， ∴a＝﹣12， ∴抛物线的解析式为y＝﹣12（x）2+3． 故选：C． 4．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴二次函数y＝x2﹣2x+3的图象的顶点为（1，2）， ∴向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到的抛物线顶点是（3，5）， ∴平移后的抛物线为：y＝（x﹣3）2+5， 故选：A． 5．解：由题意可知得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上， 把三点的坐标代入函数解析式y＝ax2+bx+c中， ， 解得， 所以函数的解析式是y＝﹣3x2+1， x＝2时y＝﹣11， 故选：D． 6．解：∵其形状与抛物线y＝﹣2x2相同， ∴a＝﹣2， ∵抛物线与x轴的交点为（1，0）、（3，0）， ∴其解析式y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．若顶点为的抛物线y＝ax2+bx+c过点M（2，0），则抛物线对应的函数解析式为 　y＝x2﹣x﹣2　． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（，）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x）2， 把M（2，0）代入得： a0， 解得a＝1， ∴y＝（x）2x2﹣x﹣2； 故答案为：y＝x2﹣x﹣2． 8．一抛物线的对称轴为y轴，且经过点A（2，3），B（﹣1，6），C（﹣3，m），则m＝　﹣2　． 解：由题意，∵抛物线的对称轴是y轴， ∴可设抛物线为y＝ax2+k． 又抛物线过点A（2，3），B（﹣1，6）， ∴． ∴． ∴抛物线为y＝﹣x2+7． 又C（﹣3，m）在抛物线y＝﹣x2+7上， ∴m＝﹣（﹣3）2+7＝﹣2． 故答案为：﹣2． 9．二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为（﹣1，0），与y轴交点坐标为（0，3），对称轴为直线x＝1，则其解析式为 　y＝﹣x2+2x+3　． 解：∵二次函数的图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴与x轴另一个交点坐标为（3，0）， 设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，3）代入得，3＝﹣3a， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）， ∴其解析式为y＝﹣x2+2x+3， 故答案为：y＝﹣x2+2x+3． 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴正半轴交于点A、B，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且OA＝AB＝OC＝1，则该抛物线的顶点坐标为　（，）　． 解：如图，∵OA＝AB＝OC＝1， ∴A（1，0），B（2，0），C（0，﹣1）， ∴， 解得，， ∴该抛物线的解析式是：yx2x﹣1＝0，即y（x）x2， ∴该抛物线的顶点坐标为（，）． 故答案为：（，）． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0）与y轴的正半轴交于点C，如果x1，x2是方程x2﹣x﹣6＝0的两个根（x1＜x2）且△ABC的面积为5，求此抛物线解析式 　yx2x+3　． 解：x1，x2是方程x2﹣x﹣6＝0的两个根， 则x1＝﹣2，x2＝3， ∴点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（3，0）， 则△ABC的面积为AB×yC5×yC＝5， 解得：yC＝2， 抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6）， 故﹣6a＝2， 解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2x+2， 故答案为：yx2x+3． 12．若函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式　y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8　． 解：∵函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点， 把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0， ∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k＝8， 又∵形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同， ∴二次项系数a＝﹣2， 把a＝﹣2，k＝8代入ah2+k＝0中，得h＝±2， ∴函数解析式是：y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8， 故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8． 三．解答题（共4小题） 13．（1）已知二次函数的图象的对称轴为直线x＝2，函数的最小值为3，且图象经过点（﹣1，5），求此二次函数的解析式． （2）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0．求这个二次函数的解析式． 解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线x＝2，函数的最小值为3， ∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）， 设该函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， ∵图象经过点（﹣1，5）， ∴5＝a（﹣1﹣2）2+3， 解得a， 即该函数的解析式为y（x﹣2）2+3； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0． ∴， 解得， 即该函数的解析式为y＝2x2﹣3x+1． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示． （1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线y＝ax2+bx+c当x＜0时的图象； （3）利用抛物线y＝ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0． 解：（1）由图象，可知A（0，2），B（4，0），C（5，﹣3）， 得方程组． 解得a，b，c＝2． ∴抛物线的解析式为yx2x+2． 顶点坐标为（，）． （2）所画图如图． （3）由图象可知，当﹣1＜x＜4时，y＞0． 15．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c， 得 解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6； （2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知： 对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6． 解得m1＝﹣1，m2＝6． 因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6， 所以P点坐标为（6，6）； 因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 16．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y＝ax2+（a+1）x+b，其中a﹣b＝4． （1）若此函数图象过点（1，3），求这个二次函数的表达式． （2）若（x1，y1）（x2，y2）为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2＝2时，y1＝y2，求a的值． （3）若点（﹣1，t）在此二次函数图象上，且当x≥﹣1时y随x的增大而增大，求t的范围． 解：（1）将（1，3），a﹣b＝4代入y＝ax2+（a+1）x+b得：3＝a+a+1+a﹣4， ∴a＝2， ∴b＝a﹣4＝﹣2， ∴这个二次函数的表达式为：y＝2x2+3x﹣2， （2）∵y1＝y2， ∴这两个点关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， （3）∵点（﹣1，t）在二次函数图象上， ∴t＝a﹣a﹣1+a﹣4＝a﹣5， ∵当x≥﹣1时y随x的增大而增大， 当a＞0时，有， ∴0＜a≤1， ∴﹣5＜t≤﹣4， 当a＜0时，不符合题意舍去， ∴﹣5＜t≤﹣4． 学科网（北京）股份有限公司 $$