22.3实际问题与二次函数 复习讲义2024－2025学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数复习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数与最大利润问题 （1）销售额＝售价×销售量； （2）利润＝销售额－总成本＝单件利润×销售量； （3）单件利润＝售价－进价. 建立坐标系研究与抛物线有关的实际问题 （1）建立适当平面直角坐标系解决实际问题的一般步骤： （2）恰当地建立平面直角坐标系 （3）将已知条件转化为点的坐标 （4）合理地设出所求函数解析式 （5）代入已知条件或点的坐标，求出解析式 （6）利用解析式求解问题 典例分析 1．小华以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，小华决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克，另外，每天的房租等固定成本共元． (1)小华要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ (2)若小华想获得最大利润，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？此时，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数求最值，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和函数表达式即可求解． （1）根据等量关系“每天的盈利（售价进价）销售量固定成本”列出方程求解即可； （2）根据等量关系“每天的盈利（售价进价）×销售量固定成本”列出函数表达式并求得最大值． 【详解】（1）解：设每千克小型西瓜的售价降低元， 由题意得：， ， ， ， 解得：或， 为了促销，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克； ， 所以为了促销应将每千克小型西瓜的售价降价元； （2）解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，每天的盈利为， 由题意得：， ， 当时，取得最大为元； 答：若小华想获得最大利润，应将每千克小型西瓜的售价降低元；此时，最大利润是元． 2．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米），当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度． 【答案】米 【分析】此题主要考查的是待定系数法求解析式以及二次函数的对称性，求出二次函数的解析式是解决问题的关键； 设出大孔抛物线的解析式的一般形式，代入点的坐标求得函数解析式，再由点的纵坐标代入即可解答． 【详解】解：设大孔对应的抛物线解析式为：，依题意得，， ， 解得：， 即， 当时，， 解得：， ，， 即此时大孔的水面宽度为米 3．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)能，说明见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可求得； （3）根据题意可以求得当时的y的值然后与3.4比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：根据题意，得点，，． 设抛物线的解析式为． 把点代入，得． 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：在中，令，得． 解得，． ， 在距离地面高处，隧道的宽度是． （3）解：这辆货运卡车能通过该隧道． ． 将代入，得． ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 精选好题 一、单选题 1．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 2．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 3．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 4．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为的面积为，则下列图象中能大致反映关于的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．航天飞机从某个时间t秒开始，其飞行高度为（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒． 10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 ． 11．小红把班级勤工助学挣得的班费元按一年期存入银行，已知年利率为，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为元，则与之间的函数关系式为 ． 12．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米． 13．有一长方形条幅，长为，宽为，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积与花边宽度之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ． 14．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 15．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 16．如图所示．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形的视图，，，点E到台面的距离为，点B距台面的距离为，且B，D，H三点共线．若手心距的水平距离为去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 cm． 三、解答题 17．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 18．用长为47m的木栅栏靠墙围成一个矩形养鸡场（不能超出墙的长度），墙长25m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门），求养鸡场面积的最大值． 19．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素） 20．某中学建有一处劳动实践基地，今年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． (1)设今年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，则如何分配两种蔬菜的种植面积才能使W的值最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时后年的总种植成本为28 920元？ 21．如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点． (1)直接写出点的坐标 ； (2)求抛物线的解析式，并求出点的坐标； (3)如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C B A B C 1．D 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题． 【详解】解：，且为整数， 当时，或， 当时，， 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 3．C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 5．B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查动点问题中的函数图象的判断，涉及菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、一次函数二次函数的图象，分类讨论求得函数的解析式是解答的关键．先证明，均为等边三角形，再分、、三种情况，分别画出对应图形，利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求得y与x的函数关系式，结合一次函数、二次函数的图象特征逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，均为等边三角形， ∴，， 由题意，， 当时，点P在，点Q在上，如图，过P作于E， 由题意，，， 在中，， ∴，则， ∴，故D选项不正确； 当时，点P在上，点Q在上，如图，过Q作于F， 由题意，，， 在中，， ∴，则， ∴，故B选项不正确； 当时，点P、Q均在上，如图，过A作于G， 由题意，，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴，故选项C不正确， 综上，选项A正确，符合题意， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用二次函数的性质即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， ∴ 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：C． 9．30 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，令，求出t的值，两个t值作差即可得出答案． 【详解】解：依题意，得：， 解得：，， ∴整个过程中能体会到失重感觉的时间为（秒）． 故答案为：30． 10． 【分析】本题考查二次函数的应用．商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵每件衬衫降价2元，商场平均每天可多售出4件， ∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出件， ∵原来每件的利润为40元，现在降价x元， ∴现在每件的利润为元， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键在于找到本息和的等量关系，要注意的是第二年的本金为第一年的本息和． 根据题意可得一年到期后本、利和为，两年到期后本、利和为：，即可与之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可得一年到期后本、利和为：元， ∵第二年的本金为第一年的本息和， ∴两年到期后本、利和为：元， ∵两年到期后，本、利和为元， ∴， 故答案为：． 12．8 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可． 【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得， 代入函数关系式得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 可设， 代入抛物线的解析式，得：， ∴， ∴， ∴， ∴最低水位与最高水位之间的距离为8米． 故答案为：8 13． / 【分析】主要考查了二次函数的实际运用．用含的代数式表示出剩余面积的长和宽，再根据长方形的面积公式即可得到剩余面积与花边宽度之间的函数关系式，再根据花边宽度，倍的花边宽度长方形的宽即可求得x的取值范围． 【详解】解：由题可知：剩余面积的长与宽分别为：和， 剩余面积， ，， ， 故答案为：，． 14．/8米 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 15． 9米/ 162平方米/ 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设的长为米，则的长为米，利用面积公式列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为； 故答案为：9米，162平方米． 16．11 【分析】本题考查二次函数的实际应用，勾股定理，求二次函数解析式，根据题意得出各个点的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， ， ，即为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过三点， ∴，解得， 抛物线的解析式为， 手心距的水平距离为去接洗手液， 点的横坐标为， 当时，， ， 手心距水平台面的高度为， 故答案为：11． 17．(1) (2)当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据每降价1元，每星期可多卖30件找出销量与售价之间的关系即可得； （2）设每星期的销售利润为元，根据利润（售价成本价）销量建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以与之间的函数关系式是． （2）解：设每星期的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为6750， 答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元． 18．鸡场面积的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．设矩形鸡场与墙垂直的一边长为，鸡场面积为，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为，鸡场面积为， 则与墙平行的一边长为， 由题意可得，即， 由题意得， 解得， ， 当时，y有最大值，且最大值为288， 鸡场面积的最大值为． 19．(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 球不能射进球门． 20．(1)当种植甲种蔬菜400，种植乙种蔬菜600 时W的值最小 (2)当a为20时后年的总种植成本为28 920元 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值； （1）先求出当时，与的函数关系式；分别讨论两段对应的的最小值，然后比较大小即可解答本题； （2）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，与的函数关系式为， ， 当时，取得最小值42000，此时； 当时，， 当时，取得最小值43000，此时； ， 当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小． （2）解：由（1）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元． 21．(1)(8，0) (2)， (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）作交于点D，则，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可得出点B的坐标， （2）设抛物线的解析式为，将代入抛物线得：，求出a的值，即可得出抛物线解析式，联立．即可求出点C的坐标． （3）根据题意得 ，，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）如图1，作交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵、B为二次函数与x轴的交点， ∴、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴． （2）设抛物线解析式为， 将代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． （3）∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点， ∴，， 如图2，当点D在点C左侧时， ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， 如图3，当点D在点C右侧时， 老师您好，我这边又再次看了一下题干的小问（3）条件，点D是和直线的交点，点E是和抛物线的交点，辛苦老师看下是否需要修改。（下图是按照老师要求修改后的） ， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大． 综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$