精品解析：2020年浙江省杭州市西湖区中国美术学院附属中等美术学校招生考试数学试题

2020国美附中数学卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将自己的姓名、准考证号用黑色字迹钢笔或签字笔填写在密封线内． 3．所有答案都必须做在答题卷的标定位置，否则视为无效． 4．考试结束时，请将试题卷、答题卷和草稿纸一并上交． 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可用多种不同的方法来选取正确答案．） 1. 下列图形中是轴对称形但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程组，则的值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4. 如图，，两点在数轴上表示的数分别是，，则下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角 B. 三角形中没有一个角是直角或钝角 C. 三角形中三个角全是直角或钝角 D. 三角形中有两个或三个角是直角或钝角 6. 如图，在中，为上一点，且，过点作于，连结，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 8. 如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 9. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E，连接、，若，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 11. 分解因式：=_________________________． 12. 37000用科学记数法表示为___________ 13. 若若将、、的三角函数值填入表中，则从表中任意取一个值，是的概率为___________ 14. 一个样本，3，5，7的平均数是，且、是方程的两根，则这个样本的方差是___________ 15. 如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为___________． 16. 如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处，且．联结和，那么的面积等于______． 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以 17. （1）计算：． （2）解不等式组． 18. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC． （1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积． 19. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且点在第二象限，点的横坐标为，过作垂直轴，垂足为，的面积为2． （1）求这两个函数的表达式； （2）若点是这个反比例函数图象上的点，且的面积为4，求点坐标． 20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 21. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 22. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． （1）求a，k的值； （2）已知直线过点且平行于直线，点，是直线上一动点，过点分别作轴、轴的平行线，交双曲线于点、，双曲线在点、之间的部分与线段、所围成的区域（不含边界）记为．横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当时，直接写出区域内的整点个数； ②若区域内的整点个数不超过8个，结合图象，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020国美附中数学卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将自己的姓名、准考证号用黑色字迹钢笔或签字笔填写在密封线内． 3．所有答案都必须做在答题卷的标定位置，否则视为无效． 4．考试结束时，请将试题卷、答题卷和草稿纸一并上交． 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）（下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可用多种不同的方法来选取正确答案．） 1. 下列图形中是轴对称形但不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形既不是轴对称形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是轴对称形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形既是轴对称形也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用积的乘方运算法则，幂的乘方的运算法则和合并同类项分别化简得出答案． 【详解】解：A、（a3）4＝a12，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，不是同类项无法合并，故此选项错误； D、，不是同类项无法合并，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 已知方程组，则的值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组．直接利用两方程相减得出的值． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 4. 如图，，两点在数轴上表示的数分别是，，则下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，不等式的性质，准确识图，判断出、的取值范围是解题的关键．根据数轴确定出、的取值范围，再根据不等式的性质对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：由图可知，，， 所以，， A．成立，故本选项正确； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项错误． 故选：A． 5. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角 B. 三角形中没有一个角是直角或钝角 C. 三角形中三个角全是直角或钝角 D. 三角形中有两个或三个角是直角或钝角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，先假设三角形中有两个或三个角是直角或钝角， 故选：D． 6. 如图，在中，为上一点，且，过点作于，连结，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，设，，则，再利用平行线分线段成比例定理求出BC和AC，再利用线段的和差求出CE即可解答 【详解】解：在中， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D. 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会利用参数解决问题． 7. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm， 由勾股定理得：斜边AB=5cm， 以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则圆过AB的中点，BC>r， 所以⊙C 与直线AB 的位置关系是相交. 故选：A．　 8. 如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积． 【详解】如图， 根据题意得， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴， ∴四边形DBCE的面积． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质． 9. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法．由矩形的性质得，则，所以，则，再证明，得，则，所以，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意，舍去）， ， 故选：A． 10. 如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，且满足，连接并延长交于点E，连接、，若，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由垂径定理证得；②由垂径定理证得；③，在中，求；④先求出，由，求得． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∴． ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∴在中，， ∵， ∴，故③错误； 在中，，，由勾股定理得， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴，故④正确． 综上可知正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 11. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 12. 37000用科学记数法表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：37000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 若若将、、的三角函数值填入表中，则从表中任意取一个值，是的概率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点是特殊角的三角函数值和概率所求情况数与总情况数之比；先根据特殊角的三角函数值填表，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：填表如下： 1 表中共有9个数，有两个是， 从表中任意取一个值，是的概率为； 故答案为：． 14. 一个样本，3，5，7的平均数是，且、是方程的两根，则这个样本的方差是___________ 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查方差问题，解一元二次方程．先解方程求出、的值，然后根据方差的计算公式去求方差． 【详解】解：已知方程，解方程得，； 、是方程的两个根， 又样本中其他数据都大于1， ，． 则． 故答案为：5． 15. 如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理的综合运用．连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形，， 为等边三角形，，， 为的中点， 为的平分线，即， ， 由折叠的性质得到， 在中，． 故答案为：． 16. 如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处，且．联结和，那么的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，然后根据等腰三角形三线合一得出绕点顺时针旋转的角度，然后证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得出和，再根据锐角三角函数求出的长度，最后利用求面积即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴绕点顺时针旋转60°得到 ， ∴． ， 是等边三角形， ，． ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，能够画出图形并求出旋转角是解题的关键． 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以 17. （1）计算：． （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算、二次根式、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 18. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC＜BC． （1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝10，OD＝，求△ABC的面积． 【答案】（1）如图所示，直线OD即为所求；见解析；（2）△ABC的面积为10． 【解析】 【分析】（1）延长BC，在BC延长线上截取CE=CA，作BE的中垂线，垂足为D，作直线OD即可得； （2）由作图知OD是△ABE中位线，据此知AE=2OD=4，继而由△ACE为等腰直角三角形得出AC=2，利用勾股定理求出BC的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）如图所示，直线OD即为所求； （2）如图， ∵OD为△ABE的中位线， ∴AE＝2OD＝4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE＝CA， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC＝AE＝2， 由勾股定理可得BC＝2， 则△ABC的面积为AC•BC＝×2×2＝10． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、线段中垂线的尺规作图、中位线定理等知识点． 19. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且点在第二象限，点的横坐标为，过作垂直轴，垂足为，的面积为2． （1）求这两个函数的表达式； （2）若点是这个反比例函数图象上的点，且的面积为4，求点坐标． 【答案】（1）正比例函数解析式为；反比例函数解析式为 （2）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式． （1）根据反比例函数和正比例函数的性质得点与点关于原点对称，则，所以，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，则反比例函数解析式为；然后利用反比例函数解析式确定点坐标为，再利用待定系数法确定正比例函数解析式； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，解得或，然后利用反比例函数解析式计算出自变量为3和的函数值，从而得到点坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点， 点与点关于原点对称， ， ， ， 而， ， 反比例函数解析式为； 把代入得， 点坐标为， 设正比例函数解析式为， 把代入得， 正比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设点坐标为， 点坐标为， ， 的面积为4， ，解得或， 当时，，此时点坐标为； 当时，，此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200、81°； （2）补全图形如下： 微信 （3） 【解析】 【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°， 故答案为200、81°； （2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人， 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为微信； （3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C， 画树状图如下： 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：；（2）若，求MN的长． 【答案】 （1）证明：∵DB平分， ，且， ， ， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长． 【详解】证明：（1）略 （2）， ， ，且， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， 且， ． 【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键． 22. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）元 （3）每件玩具的售价定为元或元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用； （1）根据利润数量每件的利润，求出关系式即可； （2）当时代入（1）的解析式可以求出结论； （3）根据（1）中解析式，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：依题意得：， 每件首饰售价不能高于40元，即， ． 答：与的函数关系式为：，的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ，， ， ， 当时，； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ，． 当时，最大，根据题意，取正整数， ∴当时，（元）； 当时，（元）； ∴当或时，有最大值，最大值为，此时或， 答：每件玩具的售价定为元或元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． （1）求a，k的值； （2）已知直线过点且平行于直线，点，是直线上一动点，过点分别作轴、轴的平行线，交双曲线于点、，双曲线在点、之间的部分与线段、所围成的区域（不含边界）记为．横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当时，直接写出区域内的整点个数； ②若区域内的整点个数不超过8个，结合图象，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）①区域内的整点个数是3；②的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质以及数形结合，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出值；（2）①②依照题意画出图形，利用数形结合找出结论． （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标，根据点的坐标，利用待定系数法可求出值； （2）①由直线过点且平行于直线可得出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征找出当时点的坐标，画出图形，观察后即可得出结论； ②当时，线段和上有5个整点；当时，线段上有整点．结合函数图象，即可求出当区域内的整点个数不超过8个时的取值范围． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 点的坐标为， 将代入，得：， ； 【小问2详解】 解：①直线过点且平行于直线， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为． 依照题意画出图象，如图1所示． 观察图形，可知：区域内的整点个数是3； ②如图2所示：当时，即，此时线段和上有5个整点； 当时，即，此时线段上有整点． 观察图形，可知：若区域内的整点个数不超过8个，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $