精品解析：2020年山东省枣庄市第二中学自主招生数学试题

绝密☆启用前 试卷类型：A 数 学 思 维 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；全卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目和试卷类型涂写在答题卡上，并把答题纸密封线内的项目填写清楚． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必须用黑色（或蓝色）笔填写在答题纸的指定位置，否则不计分． 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“ 2”、“ 3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ） A. △ABC的边BC上的中线所在的直线 B. ∠ACB的平分线所在的直线 C. △ABC的边AB的垂直平分线 D. △ABC的边AC上的高所在的直线 5. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则的值是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5 6. 已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 从，，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 10. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 第Ⅰ卷 （非选择题 共70分） 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分．只要求填最后结果． 11. 如图，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于F，∠AGF=130º，则∠F=______． 12. 某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉__千克． 13. 若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于_____． 14. 如图，直线y=kx和y=ax+4交于A(1，k)，则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为______． 15. 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=___． 16. 如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了__s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切． 三、解答题：（本题共5大题，满分46分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：（﹣a+1）÷+﹣a，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； （2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ （3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 19. 【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 (1)证明：AM=AD+MC； (2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 20. 如图，A，P，B，C是上的四点，，过点A作的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）试探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，求线段的长． 21. 如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积； （3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标； （4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密☆启用前 试卷类型：A 数 学 思 维 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；全卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目和试卷类型涂写在答题卡上，并把答题纸密封线内的项目填写清楚． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必须用黑色（或蓝色）笔填写在答题纸的指定位置，否则不计分． 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A．，无法计算，故此选项错误； B．=，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，正确． 故选D． 2. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数． 【详解】由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个． 故选A． 考点：由三视图判断几何体． 3. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“ 2”、“ 3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与构成等边三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有27种等可能的结果，构成等边三角形的有3种情况， ∴以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是：． 故选A． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 4. 已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ） A. △ABC的边BC上的中线所在的直线 B. ∠ACB的平分线所在的直线 C. △ABC的边AB的垂直平分线 D. △ABC的边AC上的高所在的直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可以推出AB=AC，由此判断即可； 【详解】∵， ∴， ∴AB=AC， ∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了和等腰三角形的性质和轴对称的性质，准确分析判断是解题的关键． 5. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则的值是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a、b为方程（p≠0）的两个不相等的实数根， ∴a+b=3，ab=p， ∵， ∴， ∴p=﹣3． 当p=﹣3时，△=9﹣4p=9+12=21＞0， ∴p=﹣3符合题意． ====﹣5． 故选D． 6. 已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定等，熟知相关性质是正确解决本题的关键． 以点B为圆心线段长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接、，分三种情况求解． 【详解】解：以点B为圆心线段长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接、，如图所示． 令一次函数 中，则， ∴点A的坐标为； 令一次函数中，则， 解得：， ∴点B的坐标为． ． ∵抛物线的对称轴为， ∴点C的坐标为， ， 为等边三角形． 令中，则， 解得：，或． ∴点E的坐标为，点F的坐标为． 为等腰三角形分三种情况： ①当时，以B点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点； ②当时，以A点为圆心，长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，； ③当时，作线段的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点； ∴能使为等腰三角形的点P的个数有3个． 故答案选A． 7. 从，，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出五个数中满足条件a的值，进而求出和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到，即，，，1， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为整数，且，得到，1， ∴所有满足条件的a的值之和是， 故选C． 8. 如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．证明，利用相似比可得，设E点坐标为，则F点的坐标为，由于，得到，然后根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：作轴于P，轴于C，轴于D，轴于H，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 设E点坐标为，则F点的坐标为， ∴ ∵， 而， ∴． 故选：C． 9. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 【答案】C 【解析】 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣， ∴点A4的坐标是（7，﹣），…， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）． 故选：C． 10. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 【答案】D 【解析】 【详解】①∵AB是O的直径， ∴AD⊥BD； ②∵∠AOC是O的圆心角，∠AEC是O的圆内部的角， ∴∠AOC≠∠AEC； ③ ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴CB平分∠ABD； ④∵AB是O的直径， ∵点O为圆心， ∴AF=DF； ⑤由④有，AF=DF， ∵点O为AB中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴BD=2OF； ⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等． 故选D． 第Ⅰ卷 （非选择题 共70分） 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得4分，共24分．只要求填最后结果． 11. 如图，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于F，∠AGF=130º，则∠F=______． 【答案】9.5°##9°30´ 【解析】 【详解】∵AB//CD，∠CDE=119°， ∴∠CDE=∠DEB=119°，∠AED=180°—119°=61°； ∵EF平分∠DEB ∴∠DEF=∠DEB=59.5°， ∴∠GEF=∠DEF+∠AED=59.5°+61°=120.5° ∴∠F=∠AGF-∠GEF=130°-120.5°=9.5° 故答案为9.5° 【点睛】平行线的性质；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 12. 某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉__千克． 【答案】30﹣ 【解析】 【详解】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克， 9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270， 则x==30﹣， 故答案为30﹣． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出正确的方程． 13. 若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则的值等于_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据已知条件求得m+n= ，m-n=；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m-n的形式的代数式，并将m+n=，m-n=代入求值即可． 【详解】∵m＞n＞0，m2+n2=4mn， ∴（m+n）2=6mn，（m-n）2=2mn， ∴m+n=,m-n= ∴=. 故答案是：. 【点睛】考查了完全平方公式的运用,解题关键是根据已知条件将m+n、m-n用所求代数式的分母mn表示的形式. 14. 如图，直线y=kx和y=ax+4交于A(1，k)，则不等式kx﹣6＜ax+4＜kx的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，由y=kx﹣6与y=ax+4得OB=4，OC=6， ∵直线y=kx平行于直线y=kx﹣6， ∴ 分别过A，D作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则AM∥DN∥y轴， ∴， ∵A（1，k）， ∴OM=1， ∴MN= ， ∴ON= ， ∴D点的横坐标是，， ∴当时，kx﹣6＜ax+4＜kx， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=___． 【答案】． 【解析】 【详解】解：如图，连接EF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°， ∴AM=BM=1， 在Rt△ADM中，DM==， ∵AM∥CD，∴， ∴DP=，∵PF=，∴DF=DP=PF=， ∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP， ∴△DEF∽△DPC， ∴， ∴， ∴DE=， ∴CE=CD﹣DE=2﹣． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质；正方形的性质；综合题． 16. 如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了__s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切． 【答案】． 【解析】 【详解】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时， 此时，CF=1.5， ∵AC=2t，BD=t， ∴OC=8−2t，OD=6−t， ∵点E是OC的中点， ∴CE=OC=4−t， ∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO ∴△EFC∽△DCO ∴, ∴=， 由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2， ∴(4−t)2=2+()2， 解得：t=或t=， ∵0⩽t⩽4， ∴t=. 故答案为 点睛：本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加的一定的难度，很好地考查学生综合运用知识的能力. 三、解答题：（本题共5大题，满分46分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值：（﹣a+1）÷+﹣a，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】-a-1，-1. 【解析】 【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣1，0，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解：原式== ===﹣a﹣1 ∵a=-1或a=2时，原分式无意义， ∴a=0． 当a=0时，原式=﹣0﹣1=﹣1． 18. 某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； （2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ （3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 【答案】（1）40，5，15 （2） （3）超速 【解析】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，路程速度时间的关系式的运用，在解答中求出函数关系式及两车的速度是关键，并注意运用数形结合的思想． （1）根据图象可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算的值； （2）计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后，大客车行驶的路程，从而可得结论； （3）先计算直线的解析式为：，计算小轿车驶过景点入口时的时间为66分，再计算大客车到达终点的时间：，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6千米的速度与80作比较可得结论． 【小问1详解】 解：由图象可得：学校到景点的路程为，大客车途中停留了， 小轿车的速度：， ， 故答案为：40，5，15； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 得大客车的速度：， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了：， ， 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有； 【小问3详解】 解：，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：， 小轿车司机折返时的速度：， 小轿车折返时已经超速； 19. 【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 (1)证明：AM=AD+MC； (2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 【答案】 (1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD//BC， ∴∠DAE=∠ENC， ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE， ∴∠ENC=∠MAE， ∴MA=MN， 在△ADE和△NCE中，， ∴△ADE≌△NCE(AAS)， ∴AD=NC， ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC． (2)AM=DE+BM成立． 证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB//DC， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90°， ∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE， 在△ABF和△ADE中，， ∴△ABF≌△ADE(ASA)， ∴BF=DE，∠F=∠AED， ∵AB//DC， ∴∠AED=∠BAE， ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM， ∴∠F=∠FAM， ∴AM=FM． ∴AM=FB+BM=DE+BM． (3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立． 【解析】 【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再证明AM=NM即可； (2)过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，易证△ABF≌△ADE，从而证明AM=FM，即可得证； (3)AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立． 【详解】略 (1) (2) 略 (3)同(1)可得△ADE≌△NCE(AAS)， ∴结论AM=AD+MC仍然成立． 在(2)中，∵AD≠AB， ∴△ABF与△ADE不全等， ∴无法证明AM=FM， ∴结论AM=DE+BM不成立． 【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质. 20. 如图，A，P，B，C是上的四点，，过点A作的切线交的延长线于点D． （1）求证：； （2）试探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强． （1）作的直径，连接，推出，即可证明相似三角形； （2）在线段上截取，连接，先推出是等边三角形，再证明，进而即可得到结论； （3）由可得，再证明，可得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：作的直径，连接， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ 又∵ ∴ 【小问2详解】 ， 证明：在线段上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴． 21. 如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积； （3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标； （4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积． 【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）（3，3）；3；（3）（5，﹣5）；（4）2.5或14.5或17或5 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算． 试题解析：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中， 得 解得：， ∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x； （2）点C的坐标为（3，3）， 又∵点B的坐标为（1，3）， ∴BC=2， ∴S△ABC=×2×3=3； （3）过P点作PD⊥BH交BH于点D， 设点P（m，﹣m2+4m）， 根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1， ∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD， 6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m）， ∴3m2﹣15m=0， m1=0（舍去），m2=5， ∴点P坐标为（5，﹣5）． （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°， 则△CBM≌△MHN， ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴M（1，2），N（2，0）， 由勾股定理得：MC=， ∴S△CMN=××=； ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC， 得Rt△NEM≌Rt△MDC， ∴EM=CD=5，MD=ME=2， 由勾股定理得：CM= =， ∴S△CMN=××=； ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线， 同理得：CN= =， ∴S△CMN=××=17； ④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN==， ∴S△CMN=××=5； ⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述：△CMN的面积为：或或17或5． 考点：二次函数综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $