精品解析：2023年浙江省温州市龙湾区初中学业水平考试第二次适应性测试数学试题

2023年龙湾区初中学业水平考试第二次适应性测试试卷 数学 2023.5 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分150分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 是一款聊天机器人程序，据统计，的算法模型已经拥有万个参数．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数是奇数的概率为（ ）． A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 某篮球队名场上队员的身高（单位：）分别是：，，，，．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7. 如图，正五边形ABCDE内接于．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ） A. 106° B. 108° C. 110° D. 120° 8. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其图象如图所示．小慧想通过矫正治疗使近视眼镜的度数不超过度，则她需佩戴镜片的焦距应满足（ ） A. B. C. D. 9. 若把二次函数（）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 10. 有数学家证明了定理：任意一个三角形可以剪拼成一个矩形．小慧将一张三角形纸片（如图）分割成四块，然后拼成一张矩形纸片（无缝隙无重叠）．如图，分别取，的中点，，作于点，于点，连结，分别作于点，于点．若的面积为，，，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分、共30分） 11. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 12. 2023年全国民航“五一”国内市场平均票价测算如图所示，则这6天平均票价的最大值与最小值的差为______元． 13. 若半径为的扇形的面积为，则该扇形的圆心角为______度． 14. 计算：_________． 15. 菱形与矩形按如图所示摆放成一个轴对称图形，D是的中点，点E，F分别在上．若矩形的面积为50，，则菱形的面积是______． 16. 如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为________．若，则所在圆的半径为________． 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 18. 如图，在中，，点为的中点，D，E分别为，上的点，且． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 19. 我们把顶点都在格点上的多边形叫做格点多边形．如图，在的方格纸中，请按要求画出格点多边形． （1）在图1中画格点等腰直角． （2）在图2中画格点，使其中一个内角为． 20. 为积极响应“深化全民阅读，建设书香中国”号召，某校开展“书香伴我行”活动，为了解该校1000名中学生通过指导提升阅读质量的情况，随机抽取120名中学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下： 关于了解中学生课外阅读情况的调查问卷（部分） 1．你平均每天课外阅读的时间大约是（ ）分钟． A． B． C． D． 2．你课外阅读的主要方式是（ ）． A．写读后感 B．笔记积累 C．圈点批注 D．不做标记 （注：全部为有效问卷，且单选） 某校120名中学生指导后课外阅读方式统计表 课外阅读方式 A．写读后感 B．笔记积累 C．圈点批注 D．不做标记 人数（单位：人） 24 48 33 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）若课外阅读方式中的写读后感、笔记积累、圈点批注都视为“有效阅读”，请估计该校阅读指导后能进行“有效阅读”的人数． （2）从不同的角度分析阅读指导前后的相关数据，评价该校“书香伴我行”活动的效果． 21. 已知二次函数． （1）若图像经过点，求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当时，，求a和m的值． 22. 如图，四边形内接于，平分，边上的点满足，连接并延长交于点，连结． （1）求证：； （2）若恰好是的中点，当，时，求半径的长． 23. 根据以下素材．探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定： 1．从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． 2．寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 电子存单1 托寄物：杨梅 包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：7千克 件数：1 总费用：32元 电子存单2 托寄物：杨梅 包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：12千克 件数：1 总费用：44元 电子存单3 托寄物：杨梅 包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：15千克 件数：1 总费用：62元 问题解决 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y（元）关于杨梅重量x（千克）之间的函数关系式． 任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 24. 如图1，在边长为1的正方形中，E是上的动点，连接，点F在线段上，连接．点G是的中点，以，为邻边构造，其中，分别交于点M，N． （1）求的长． （2）当点F为的中点时，求的值． （3）如图2，已知点F满足． ①若的面积等于四边形的面积，求的值． ②当的一边所在的直线恰好经过正方形的顶点B或C时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年龙湾区初中学业水平考试第二次适应性测试试卷 数学 2023.5 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分150分．考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 是一款聊天机器人程序，据统计，的算法模型已经拥有万个参数．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 3. 由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可． 【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看时，第一层有1个小正方形在左边 第二层是三个小正方形排成一排， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 4. 把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数是奇数的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一步概率问题求解，根据题意，把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种，由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握一步概率问题的求解方法是解决问题的关键． 【详解】解：把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种， 朝上面的点数是奇数的概率为， 故选：C． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键． 6. 某篮球队名场上队员的身高（单位：）分别是：，，，，．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义计算即可得出答案． 【详解】用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变，所以他们的平均数变小，由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差、平均数的计算公式是解题的关键． 7. 如图，正五边形ABCDE内接于．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ） A. 106° B. 108° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，先根据正五边形的性质，可知 圆周长，进而求出 ，求出 ，即可得到答案． 【详解】 五边形为正五边形， 圆周长 ， ， 故答案为B 【点睛】本题以正多边形和园为载体，考察正多边形和园的性质为核心，灵活运用相关定理来分析求解即可． 8. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其图象如图所示．小慧想通过矫正治疗使近视眼镜的度数不超过度，则她需佩戴镜片的焦距应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，待定系数法求得解析式，然后令，代入反比例函数，求得的值,结合函数图象即可求解． 【详解】解：设，将代入得， ， ∴ 当时，， 根据函数图象可知，时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 9. 若把二次函数（）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】先将一般式化成顶点式，然后分别求出平移后的函数解析式为，，将代入整理得，，得，解得，进而可得对称轴． 【详解】解：， 向左平移4个单位的函数解析式为， 将代入整理得， 向右平移１个单位的函数解析式为， 将代入整理得， 得，解得， ∴， ∴二次函数图象的对称轴为直线 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的对称轴．解题的关键在于写出二次函数图象平移后的函数解析式． 10. 有数学家证明了定理：任意一个三角形可以剪拼成一个矩形．小慧将一张三角形纸片（如图）分割成四块，然后拼成一张矩形纸片（无缝隙无重叠）．如图，分别取，的中点，，作于点，于点，连结，分别作于点，于点．若的面积为，，，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，根据题意得出是的中位线，进而根据面积求得，证明，求得，在中，勾股定理求得，根据等面积法求得，根据题意得出，进而根据题意，矩形的面积等于的面积，为，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 依题意，的面积为，则矩形的面积为， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分、共30分） 11. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 12. 2023年全国民航“五一”国内市场平均票价测算如图所示，则这6天平均票价的最大值与最小值的差为______元． 【答案】 【解析】 【分析】根据折线统计图求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：这6天平均票价的最大值与最小值分别为， ∴这6天平均票价的最大值与最小值的差为元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折线统计图，从统计图获取信息是解题的关键． 13. 若半径为的扇形的面积为，则该扇形的圆心角为______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：∵半径为的扇形的面积为， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，解题关键是熟记扇形面积公式，准确代入求解． 14. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 菱形与矩形按如图所示摆放成一个轴对称图形，D是的中点，点E，F分别在上．若矩形的面积为50，，则菱形的面积是______． 【答案】90 【解析】 【分析】连接，交于点O，与交于点M，与交于点N，设，，然后根据相似三角形的性质得到，，，，然后利用矩形的面积为50求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】如图所示，连接，交于点O，与交于点M，与交于点N， ∵菱形与矩形按如图所示摆放成一个轴对称图形， ∴设，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由菱形和矩形的对称性可得，， ∴， ∴， ∵矩形的面积为50， ∴，即， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：90． 【点睛】此题考查了矩形和菱形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16. 如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为________．若，则所在圆的半径为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握仰俯角的定义，灵活运用锐角三角函数是解题关键．连接，，则四边形为矩形，则，由是等腰直角三角形，得到，再利用特殊角的三角函数值，求出，即可求出点C距离地面的高度；延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，利用特殊角的三角函数值，求出，进而求出，设劣弧所在的圆的圆心为，，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，则四边形为矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 测角仪沿着向灯杆方向水平前进达到， ， ， ， ， ， 即点C距离地面的高度为； 如图，延长交于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 设劣弧所在的圆的圆心为，，则， ， ， 解得：， ，即所在圆的半径为， 故答案为：；． 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数和一元一次不等式组的计算，熟练掌握实数和一元一次方程组的运算方法是解题的关键， （1）根据求一个数的算数平方根，零指数幂，化简绝对值，进行计算即可得到答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式. （2）解不等式①，得. 解不等式②，得. ∴原不等式组的解是. 18. 如图，在中，，点为的中点，D，E分别为，上的点，且． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）55度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）由可得，再根据“两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”即可； （2）等腰三角形中由顶角度数可得两底角度数，由（1）题结论根据全等三角形的性质可得，然后在中根据内角和可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 19. 我们把顶点都在格点上的多边形叫做格点多边形．如图，在的方格纸中，请按要求画出格点多边形． （1）在图1中画格点等腰直角． （2）在图2中画格点，使其中一个内角为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格找到点，勾股定理及逆定理验证是等腰直角三角形； （2）根据网格的特点作正方形，作对角线，得出角，进而作平行四边形即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，是等腰直角三角形； ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴即为所求作四边形． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，正方形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握勾股定理与网格问题是解题的关键． 20. 为积极响应“深化全民阅读，建设书香中国”号召，某校开展“书香伴我行”活动，为了解该校1000名中学生通过指导提升阅读质量的情况，随机抽取120名中学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下： 关于了解中学生课外阅读情况的调查问卷（部分） 1．你平均每天课外阅读的时间大约是（ ）分钟． A． B． C． D． 2．你课外阅读的主要方式是（ ）． A．写读后感 B．笔记积累 C．圈点批注 D．不做标记 （注：全部为有效问卷，且单选） 某校120名中学生指导后课外阅读方式统计表 课外阅读方式 A．写读后感 B．笔记积累 C．圈点批注 D．不做标记 人数（单位：人） 24 48 33 15 根据以上信息，解答下列问题： （1）若课外阅读方式中的写读后感、笔记积累、圈点批注都视为“有效阅读”，请估计该校阅读指导后能进行“有效阅读”的人数． （2）从不同的角度分析阅读指导前后的相关数据，评价该校“书香伴我行”活动的效果． 【答案】（1）875 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据样本估计总体的方法求解即可； （2）根据题意比较指导前后统计图中的数据求解即可． 【小问1详解】 （人）， ∴该校阅读指导后能进行“有效阅读”的人数为875人； 【小问2详解】 由120名中学生指导前后课外阅读时间统计图可得， 指导后课外阅读时间明显增加， 由120名中学生指导前后课外阅读方式统计图可得， 指导后“有效阅读”的人数明显增加， ∴该校“书香伴我行”活动的效果非常好． 【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是正确分析统计图中的数据． 21. 已知二次函数． （1）若图像经过点，求该二次函数的表达式及顶点坐标． （2）当时，，求a和m的值． 【答案】（1）二次函数表达式为：，顶点坐标为； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数性质直接将点代入求解参数即可求出表达式，再根据二次函数的顶点公式求出顶点即可； （2）根据二次函数最值只能在顶点或两侧端点分类计算，由范围找到对应关系，列式计算，最后验证即可． 【小问1详解】 将点代入二次函数中得： 二次函数表达式为：， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 二次函数最值只能出现在端点或顶点， 时，， 时，， 时，； ， ， 时，只有时，成立， 时，， 解得， 代入得： ， 解得或， ， ， 检验，对称轴为， 时，顶点处函数值最小为1，时，函数值最大为9，符合要求， 故，． 【点睛】本题主要考查不定的二次函数在不定范围下的最值问题，通常根据二次函数的最值只能出现在两侧端点或顶点，根据可能的对应关系，可以先分类讨论计算，得到确定的函数解析式，再根据实际图像计算最值情况，检测是否可取．且开口向上顶点处不作最大值，开口向下顶点处不作最小值，可用来进行一些对应关系的筛选． 22. 如图，四边形内接于，平分，边上的点满足，连接并延长交于点，连结． （1）求证：； （2）若恰好是的中点，当，时，求半径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，于是，根据，，可得，于是得解； （2）连接，交于点，连接，先证明，然后可证得，根据恰好是的中点，可得，则有，，设的半径为，在中，依据，可得，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点，连接， ，，， ， ， ， ， 恰好是的中点， ， ， ， 设的半径为， 则，， 在中，， ， 解得：， 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定（等角对等边），圆周角定理，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，圆的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 23. 根据以下素材．探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定： 1．从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． 2．寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 电子存单1 托寄物：杨梅 包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：7千克 件数：1 总费用：32元 电子存单2 托寄物：杨梅 包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：12千克 件数：1 总费用：44元 电子存单3 托寄物：杨梅 包装服务 产品类型：某快递公司 计量重量：15千克 件数：1 总费用：62元 问题解决 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y（元）关于杨梅重量x（千克）之间的函数关系式． 任务2 计算最省费用 若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【答案】（1）；（2）元；（3）小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件． 【解析】 【分析】（1）根据寄送12千克花费44元列出方程求出m的值，进而求出y关于x的函数关系式即可； （2）分若单件寄送，若分两件寄送，若分三件寄送，三种情况分别计算出寄费即可得到答案； （3）设有杨梅需要寄送，设的余数为n，推出当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱；设小聪购买的杨梅一共分y件不超过的寄送方式，则，求出最大值为9，进而推出最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送，计算出8件不超过的寄送方式的总花费为元，寄送的总花费为元，寄送的总花费为元，由于，则一件超过的寄送的杨梅数量是，即可得到小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴， ∴； （2）当元， 若单件寄送，则需寄费元， 若分两件寄送，则需寄费元， 若分三件寄送，则需寄费元， ∵， ∴寄送杨梅的最省费用为元； （3）设有杨梅需要寄送，设的余数为n， 当时，， 当时，， ∴当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱， 设小聪购买的杨梅一共分y件不超过的寄送方式， 由题意得，， 解得， 又∵时正整数， ∴最大值为9， ∴还剩下元， ∵的余数小于5， ∴最省钱的寄送方式应该是8件不超过的寄送，一件超过的寄送， ∵8件不超过的寄送的寄费为元，，，， ∴一件超过的寄送的杨梅数量是， ∴小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为8件，1件． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 24. 如图1，在边长为1的正方形中，E是上的动点，连接，点F在线段上，连接．点G是的中点，以，为邻边构造，其中，分别交于点M，N． （1）求的长． （2）当点F为的中点时，求的值． （3）如图2，已知点F满足． ①若的面积等于四边形的面积，求的值． ②当的一边所在的直线恰好经过正方形的顶点B或C时，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）①②或 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理计算即可． （2）延长交于点Q，利用平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）①设，则，，，，根据平行四边形的性质，，结合，得到，得到，结合平行四边形的性质得到，，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得到，得到，计算x即可求的值． ②分过点B和过点C两种情况，利用平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形相似知识求解即可． 【小问1详解】 如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 如图2，延长交于点Q， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①设， ∵边长为1的正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ②当经过点C时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴． 当无法经过点B． 当经过点B时， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去） 故． 当经过点C时，不存在． 当经过点B时， 设， ∵边长为1的正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去） 故． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $