第二章　实数 课时同步训练课件　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第二章　实数 1　认识无理数 同步训练 北师 八年级上册 知识点1无理数的发现 1. 若 x2＝3，则 x 为(　D　) A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 以上都不是 D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　落实四基 知识点2无理数的估值 2. [教材P23做一做(1)变式]估计面积等于7的正方形的边长 a 的值(结果精确到十分位)是(　B　) A. 2.5 B. 2.6 C. 2.7 D. 2.8 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. [2024北京丰台区校级期中]将相邻边长为3和6的长方形如 图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数 (　B　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点3无理数的概念 4. 下列说法中正确的是(　D　) A. 有理数是有限小数 B. 无限小数都是无理数 C. 0既不是有理数，也不是无理数 D. 无理数是无限不循环小数 D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 下列各数中属于无理数的是(　B　) A. －2 B. C. D. 3.14 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. [教材P23例题变式]下列数 ， ，3.141 59，－9， 0.303 003 000 3…中，无理数有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 若 a ， b 是不相等的无理数，则(　D　) A. a ＋ b 一定是无理数 B. a － b 一定是无理数 C. a · b 一定是无理数 D. 不一定是无理数 D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　提升四能 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， △ ABC 的顶点均在格点上，则在△ ABC 中，边长是无 理数的边有 条. 2　 点拨：由题图可知 AB2＝12＋22＝5， BC2＝12＋32＝10， AC2＝32＋42＝25，所以 AB ， BC 的长是无理数， AC ＝5.所以边长是无理数的边有2条. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【新视角·操作实践题】如图，它是由五个边长为1的正 方形组成的图案，如果把它们剪拼成一个正方形. (1)所拼成的正方形的面积是多少？ 解：(1)所拼成的正方形的面积是5. (2)设所拼成的正方形的边长为 a ， a 应满足什么条件？ 解：(2)满足 a2＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3星题　发展素养 (3) a 是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ 解：(3) a 不是整数，不是分数，也不是有理数. 9. 【新视角·操作实践题】如图，它是由五个边长为1的正 方形组成的图案，如果把它们剪拼成一个正方形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (4)画出你所拼成的正方形. 解：(4)所拼成的正方形如图所示. 9. 【新视角·操作实践题】如图，它是由五个边长为1的正 方形组成的图案，如果把它们剪拼成一个正方形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$第二章　实数 2　平方根 第2课时　平方根 同步训练 北师 八年级上册 知识点1平方根的定义 1. 一般地，如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的 或 .这就是说，如果 x2＝ a ， 那么 x 叫做 a 的 ，可表示为 x ＝ ⁠. 正数有 个平方根，它们 ；0的平方 根是0；负数 ⁠. 平方根　 二次方根　 平方根　 ± 　 两　 互为相反数　 没有平方根　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 1星题　落实四基 2.36的平方根是±6的数学表达式是(　D　) A. ＝6 B. ± ＝6 C. ＝±6 D. ± ＝±6 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 3. 在0，32，(－5)2，－4，－｜－16｜中，有平方根的数的 个数是(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 4. 下列说法中，正确的是(　D　) A. 因为3的平方等于9，所以9的平方根为3 B. 因为－3的平方等于9，所以9的平方根为－3 C. 因为(－3)2中有－3，所以(－3)2没有平方根 D. 因为－9是负数，所以－9没有平方根 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 5. 一个数的平方根是它本身，则这个数是(　A　) A. 0 B. 0和1 C. ±1 D. ±1和0 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 6. 填表： x 0 －2 － ± ±3 ±11 x2 0 4 ​ 9 121 ± ±3 ±11 0 4 ​ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 7. 若9是 m 的一个平方根，则 m 的另一个平方根是 ⁠. －9　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 知识点2开平方 8. 求一个数 a 的 的运算叫做开平方，平方根 是 运算的结果；开平方与 ⁠互为逆 运算. 平方根　 开平方　 平方　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 9. 的平方根是(　D　) A. 9 B. ±9 C. 3 D. ±3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 10. 的平方根是 ⁠. ± 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 11. [教材P29随堂练习T1变式]求下列各数的平方根： (1)2.25；　(2) ；　(3)10－4. 解：(1)±1.5；(2)± ；(3)±10－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 知识点3( )2与 的性质 12. ( )2＝ ( a ≥0)， ＝ ( a 为任意数). a 　 ｜ a ｜　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 13. [2024北京四中月考]化简： ＝(　D　) A. ±2 B. －2 C. 4 D. 2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 14. [教材P29习题T4变式]求下列各式的值： (1) ；　(2) ；　(3)( )2. 解：(1)3；(2) ；(3)0.01. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 15. 【新考法·逆向思维法】一个自然数的一个平方根是 a ，则与它相邻的上一个自然数的平方根是(　D　) A. ± B. a －1 C. a2－1 D. ± 点拨：由题意可知该自然数为 a2，所以该自然数相邻 的上一个自然数为 a2－1. 因为 a2－1的平方根为± ，所以选D. D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 2星题　提升四能 16. 已知 x ， y 满足(3 y ＋9)2＋｜ x ＋8｜＝0，则 x －4 y 的平 方根为(　B　) A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 17. [2024遂宁模拟]有理数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图 所示，化简｜ a ＋1｜－( )2＋ ＝ ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 18. 已知2 a －1的算术平方根是2，3 a ＋ b －1的平方根是 ±3， c 是 的整数部分，则2 a ＋4 b － c2的平方根 为 ⁠. ± 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 点拨：因为2 a －1的算术平方根是2，所以2 a －1＝4，解得 a ＝ .因为3 a ＋ b －1的平方根是±3，所以3 a ＋ b －1＝9，将 a ＝ 代入得 ＋ b －1＝9，解得 b ＝ .因为 c 是 的整数部分，而3＜ ＜4，所以 c ＝3，所以2 a ＋4 b － c2＝2× ＋4× －32＝6，所以2 a ＋4 b － c2的平方根为± . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 19. [教材P29习题T3变式]求出下列各式中 x 的值： (1)( x －1)2＝25；　　(2)3( x ＋2)2－27＝0. 解：(1) x ＝6或 x ＝－4. (2) x ＝1或 x ＝－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 20. 已知一个正数 m 的两个不相等的平方根是 a ＋6与2 a －9. (1)求 a 的值； 解：(1)由题意得 a ＋6＋2 a －9＝0，解得 a ＝1. (2)求这个正数 m ； 解：(2)当 a ＝1时， a ＋6＝1＋6＝7. 所以 m ＝72＝49. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 (3)求关于 x 的方程 ax2－16＝0的解. 解：(3)当 a ＝1时，原方程为 x2－16＝0， 所以 x2＝16.所以 x ＝±4. 20. 已知一个正数 m 的两个不相等的平方根是 a ＋6与2 a －9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 21. 已知有理数 a ， b ， c 在数轴上对应的点的位置如图所 示，化简： － ＋( )2＋ . 解：由数轴可知 a ＜0， a ＋ b ＜0， b ＋ c ＜0. 所以原式＝｜ a ｜－｜ a ＋ b ｜＋( c － a )＋｜ b ＋ c ｜＝ － a －[－( a ＋ b )]＋( c － a )＋[－( b ＋ c )]＝－ a ＋ a ＋ b ＋ c － a － b － c ＝－ a . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 22. 【新趋势·过程性学习】王老师给同学们布置了这样一 道习题：一个数的算术平方根为2 m －6，它的平方根为 ±( m －2)，求这个数.小张的解法如下： 解：依题意可知2 m －6是 m －2和－( m －2)两数中 的一个. 当2 m －6＝ m －2时，解得 m ＝4. 所以这个数为2 m －6＝2×4－6＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 3星题　发展素养 当2 m －6＝－( m －2)时，解得 m ＝ . 所以这个数为2 m －6＝2× －6＝－ . 综上可得，这个数为2或－ . 王老师看后说小张的解法是错误的.你知道为什么吗？请 改正. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 解：因为小张将求出的 m 的值代入这个数的算术平方根 2 m －6中求解，求出的不是这个数. 当2 m －6＝ m －2时， m ＝4； 当2 m －6＝－( m －2)时， m ＝ . 当 m ＝4时，这个数为(2 m －6)2＝4； 当 m ＝ 时，2 m －6＝2× －6＝－ ＜0，不符合题意，舍去.所以这个数为4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 20 21 22 $$第二章　实数 2　平方根 第1课时　算术平方根 同步训练 北师 八年级上册 知识点1算术平方根的概念 1. 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么 这个正数 x 叫做 a 的 ⁠. a 的算术平方根记为 ，读作“ ”， a 叫 做 ⁠. 规定：0的算术平方根是 ⁠. 算术平方根　 　 根号 a 　 被开方数　 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　落实四基 2. [2024荣德原创]“ 的算术平方根是 ”，用式子表示为 (　C　) A. ± ＝± B. ＝± C. ＝ D. ± ＝ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3.16的算术平方根为(　B　) A. ±4 B. 4 C. －4 D. 8 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 下列说法： ①－1的算术平方根是1； ②－1的平方是±1； ③ 1的算术平方根是1； ④ 0的算术平方根是0. 其中正确的有(　B　) A. 1个 B. 2个 B C. 3个 D. 4个 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点2运用算术平方根的概念进行计算 5. 若 ＝5，则 a 的值为(　B　) A. 5 B. 25 C. ±5 D. ±25 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. 下列各式中，正确的是(　B　) A. ＝－3 B. － ＝－3 C. ＝±3 D. ＝±3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. [2024天津红桥区期中] 的算术平方根是 　 　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. [2024南充月考]若 为整数， x 为正整数，则 x 的值 是 ⁠. 4或7或8　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [教材P27习题T2变式]求下列各数的算术平方根： (1)0.64；　　　　　　　(2) ； (3)(－3)2； (4)6 . 解：(1)0.8；(2) ；(3)3；(4) . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点3算术平方根的实际应用 10. [2024北京东城区期中]列方程解应用题. 小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长、 宽之比为3∶2，纸片面积为294 cm2. (1)请你帮小明求出纸片的周长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(1)设长方形纸片的长为3 x cm，宽为2 x cm. 依题意，得3 x ·2 x ＝294，所以 x2＝49. 因为 x ＞0，所以 x ＝7，所以3 x ＝21，2 x ＝14. 所以长方形纸片的长为21 cm，宽为14 cm， 所以纸片的周长为(21＋14)×2＝70(cm). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)小明想利用这张纸片裁出一张面积为157 cm2的完整圆 形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理 由.(π取3.14) 10. [2024北京东城区期中]列方程解应用题. 小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长、 宽之比为3∶2，纸片面积为294 cm2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(2)假设能够裁出想要的圆形纸片，且圆形纸片的半径为 r cm，则π r2＝157，所以 r2＝50， 由于长方形纸片的宽为14 cm，则圆形纸片的半径最大为7 cm，因为72＝49＜50，所以不能裁出想要的圆形纸片. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 若方程( x －1)2＝5的解分别为 a ， b ，且 a ＞ b ，下列说 法正确的是(　C　) A. a 是5的算术平方根 B. b 是5的算术平方根 C. a －1是5的算术平方根 D. b －1是5的算术平方根 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　提升四能 12. 已知 a ， b 为有理数，且 ＋2 ＝ b ＋4，求 a ， b 的值. 解：由算术平方根中被开方数的非负性易得 a ＝5，所以 b ＋4＝0，故 b ＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 【新视角·结论开放题】[2024·北京海淀区期中]一个数 值转换器，如图所示： (1)当输入的 x 为16时，输出的 y 值是 ⁠； 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 【新视角·结论开放题】[2024·北京海淀区期中]一个数 值转换器，如图所示： (2)若输入有效的 x 值后，始终输不出 y 值，请写出所有 满足要求的 x 的值，并说明你的理由； 解：因为0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以当 x ＝0和1时，始终输不出 y 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)若输出的 y 是 ，请写出两个满足要求的 x 值： ⁠ ⁠. 5 和25(答案不唯一)　 13. 【新视角·结论开放题】[2024·北京海淀区期中]一个数 值转换器，如图所示： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 已知 x ， y ， z 满足 ＋｜ x － y ｜＋ z2－ z ＋ ＝ 0，求2 x － y ＋ z 的算术平方根. 解：因为 ＋｜ x － y ｜＋ z2－ z ＋ ＝0， 所以 ＋｜ x － y ｜＋ ＝0， 所以2 y ＋ z ＝0， x － y ＝0， z － ＝0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解得 x ＝－ ， y ＝－ ， z ＝ ， 则2 x － y ＋ z ＝2× － ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝ . 所以2 x － y ＋ z 的算术平方根为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [教材P29习题T6变式](1)通过计算下列各式的值探 究问题. ① ＝ ； ＝ ⁠； ＝ ； ＝ 　 　. 探究：对于任意非负有理数 a ， ＝ ⁠. 4　 16　 0　 　 a 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　发展素养 ② ＝ ； ＝ ⁠； ＝ ； ＝ ⁠. 探究：对于任意负有理数 a ， ＝ ⁠. 综上，对于任意有理数 a ， ＝ ⁠. 3　 5　 1　 2　 － a 　 ｜ a ｜　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)应用(1)所得结论解决问题：有理数 a ， b 在数轴上对 应的点的位置如图所示，化简： － － ＋｜ a ＋ b ｜. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：由数轴知 a ＜0， b ＞0， a － b ＜0， a ＋ b ＜0.　 所以｜ a ｜＝－ a ，｜ b ｜＝ b ，｜ a － b ｜＝－( a － b )， ｜ a ＋ b ｜＝－( a ＋ b ). 故原式＝｜ a ｜－｜ b ｜－｜ a － b ｜＋｜ a ＋ b ｜ ＝－ a － b ＋( a － b )－( a ＋ b )＝－ a － b ＋ a － b － a － b ＝－ a －3 b . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第二章　实数 3　立方根 同步训练 北师 八年级上册 知识点1立方根的定义 1. 一般地，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的 或 ⁠. 一个数 a 的立方根可表示为 ⁠. 任何数都有立方根，并且 个.正数的立方根 是 ，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 当被开方数是负数时，负号可以移到根号外，用式子表 示： ＝ 　－ 　( a ＞0).利用它可以把求一个负数 的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. 立方根　 三次方根　 　 只有一　 正数　 － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1星题　落实四基 2.27的立方根是(　B　) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 9 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3. 下列式子不正确的是(　D　) A. ＝ B. ＝－ C. － ＝－ D. － ＝－ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 4. 一个数的平方根和立方根相同，这个数是 ⁠. 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 知识点2求立方根(开立方) 5. 求一个数的立方根的运算，叫做 .立方根是一 个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根 的运算，即一种开方运算. 开立方　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 6. 【新考法·逐项判断法】小邱在作业本上做了4道题目： ① ＝－3； ②± ＝4； ③ ＝8； ④ ＝5. 则他做对的题目是(　A　) A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 7. 一个正数 a 的两个平方根是2 b －1和 b ＋4，则 a ＋ b 的立 方根为 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8. [教材P31例1变式]求下列各数的立方根： (1)125；　　(2) ；　　(3)－0.064. 解：(1)5；(2) ；(3)－0.4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9. [教材P31例2变式]求下列各式的值： (1)－ ＋ ； 解：(1)12； (2) － ＋ . 解：(2)10 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 知识点3 与( )3 10. [教材P31想一想变式](1)化简： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ⁠. (2)化简： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ⁠. 2　 2　 0　 ｜ a ｜　 3　 －3　 0　 a 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3)根据以上信息，观察 a ， b 在如图的数轴上对应点的 位置，试化简： ＋ － . 解：由题图可得 a ＜0＜ b ，所以 b － a ＞0. 所以 ＋ － ＝｜ b ｜＋｜ b － a ｜－( a － b )＝ b ＋ b － a －( a － b )＝ b ＋ b － a － a ＋ b ＝3 b －2 a . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 11. 如果－ a 是 b 的立方根，那么下列结论正确的是(　A　) A. a 是－ b 的立方根 B. a 是 b 的立方根 C. － a 是－ b 的立方根 D. 以上都不对 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2星题　提升四能 12. 已知 ＝ x －2，则 x 的值为(　D　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2或3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 13. 求满足下列式子的 x 的值： (1)－8( x ＋1)3＝27； 解：(1) x ＝－ ； (2)(3 x ＋2)3－1＝ . 解：(2) x ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 14. 【新考法·方程建模法】如果 为 a －3 b 的算 术平方根， 为1－ a2的立方根，求2 a －3 b 的 立方根. 解：由题意得 b ＋4＝2， a ＋2＝3，所以 b ＝－2， a ＝1.所以2 a －3 b ＝8. 所以 ＝ ＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 15. [2024孝感期末]【发现】 ① ＋ ＝2＋(－2)＝0； ② ＋ ＝1＋(－1)＝0； ③ ＋ ＝10＋(－10)＝0； ④ ＋ ＝ ＋ ＝0； …… 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个等式： ⁠ ⁠. (答 案不唯一) ＋ ＝3＋(－3)＝0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 【归纳】 等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个正确 的结论： 对于任意两个有理数 a ， b ，若 ，则 ＋ ＝0；反之也成立. a ＋ b ＝0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 【应用】 根据上述所归纳的结论，解决下列问题： 若 与 的值互为相反数，求－ 的值. 解：【应用】因为 与 的值互为相反数， 所以 ＋ ＝0，所以3－2 x ＋ x ＋5＝0， 解得 x ＝8，则－ ＝－ ＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16. [教材P32习题T3变式](1)填写下表： a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000 0.01 0.1 1 10 100 想一想上表中数 a 的小数点的移动与它的立方根 的小 数点的移动之间有何规律？这个规律用倍数关系的语言 应怎样叙述？ 0.01 0.1 1 10 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3星题　发展素养 解：(1)规律：数 a 的小数点每移动三位，它的立方根 的小数点就向相同方向移动一位. 这个规律用倍数关系的语言叙述为被开方数每扩大(或 缩小)到原来的1 000倍 ，它的立方根就扩大 (或缩小)到原来的10倍 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)根据你发现的规律填空： ①已知 ≈1.442，则 ≈ ⁠. ②已知 ≈0.076 97，则 ≈ ⁠. 0.144 2　 7.697　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3)用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为0.456 立方米，问需要多大面积的铁皮？(结果精确到0.1 平方米) 解：(3)设正方体的棱长为 a 米，则 a3＝0.456， 所以 a ≈0.769 7. 所以6 a2≈6×0.769 72≈3.6(平方米). 故大约需要3.6平方米的铁皮. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 $$第二章　实数 4　估算 同步训练 北师 八年级上册 知识点1用估算法确定无理数的大小 1. [2024台州月考] 的大小在(　B　) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 B 2 3 4 5 6 7 8 1 1星题　落实四基 2. 比 －2大的最小整数是(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 2 3 4 5 6 7 8 1 3. 在 和 之间的整数有(　B　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 2 3 4 5 6 7 8 1 知识点2用估算法比较两个数的大小 4. [2024荣德原创]比较2， ， 的大小，正确的是 (　A　) A. 2＜ ＜ B. 2＜ ＜ C. ＜2＜ D. ＜ ＜2 A 2 3 4 5 6 7 8 1 5. [教材P34随堂练习T2变式]通过估算，比较下面各组数的 大小. (1) 与2.5. (2) 与 . 解：(1)因为 ≈2.8，所以 ＞2.5. (2)因为32＝9＜11，所以 ＞3. 所以5－ ＜2.所以 ＞ . 2 3 4 5 6 7 8 1 6. 如图，一根旗杆 AC 高10 m，旗杆顶部 A 与地面一固定点 B 之间要拉一笔直的铁丝(不计损耗)，已知固定点 B 到旗 杆底部 C 的距离是7 m，一工人准备了长为12.5 m的铁 丝，则这根铁丝 .(填“够用”或“不够用”) 够用　 2 3 4 5 6 7 8 1 2星题　提升四能 7. 用下面“逐步逼近”的方法可以求出 的近似值. 因为22＜7＜32，所以2＜ ＜3. 第一步：取(2＋3)÷2＝2.5，由2.52＝6.25＜7得2.5＜ ＜3； 第二步：取(2.5＋3)÷2＝2.75，由2.752＝7.562 5＞7得 2.5＜ ＜2.75. 2 3 4 5 6 7 8 1 请你继续上面的步骤，写出第三步，并通过第三步的结论 估计 十分位上的数字. 解：第三步：取(2.5＋2.75)÷2＝2.625，由2.6252＝ 6.890 625＜7得2.625＜ ＜2.75. 所以估计 十分位上的数字可能是6或7. 2 3 4 5 6 7 8 1 8. 阅读下列信息材料： 信息1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成 2.5－2得来的； 信息2：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之 间，如2＜ ＜3，是因为 ＜ ＜ . 根据上述信息，回答下列问题： (1) 的整数部分是 ，小数部分是 　 －3　. (2)10＋ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为 a ＜10＋ ＜ b ，则 a ＋ b ＝ ⁠. 3　 －3　 23　 2 3 4 5 6 7 8 1 3星题　发展素养 $$第二章　实数 5　用计算器开方 同步训练 北师 八年级上册 知识点1用计算器进行开方运算 1. 用计算器进行开方运算时，一般情况下其按键顺序与算式 的书写顺序基本一致；当用计算器开平方时，其按键顺序 一般为 ＝ S⇔D；当用计算器开立方 时，其按键顺序一般为 ＝. 被开方数　 被开方数　 2 3 4 5 6 7 1 1星题　落实四基 2. 利用计算器依次按键： 8 ＝ S⇔D，则计算器显示的 结果与下列各数中最接近的一个是(　C　) A. 2.6 B. 2.7 C. 2.8 D. 2.9 C 2 3 4 5 6 7 1 知识点2用计算器比较大小 3. [教材P37习题T2变式]用计算器比较下列各组数的大小(填 “＞”或“＜”)： (1) ；(2) . ＞　 ＞　 2 3 4 5 6 7 1 4. 若 a ＝ ， b ＝ ， c ＝2，则 a ， b ， c 的大小关系为 (　C　) A. b ＜ c ＜ a B. b ＜ a ＜ c C. a ＜ c ＜ b D. a ＜ b ＜ c C 2 3 4 5 6 7 1 5. 下列各组数，能作为三角形三条边长的是(　D　) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， D 2 3 4 5 6 7 1 2星题　提升四能 6. (1)利用计算器求值： ≈ ， ≈ ， ≈ ， ≈ .(精确到千分位) 0.707　 2.236　 7.071　 22.361　 2 3 4 5 6 7 1 (2)由(1)的结果，我们发现所得的结果与被开方数间的规 律是 ⁠ ⁠ ⁠. (3)运用(2)中的规律，直接写出结果： ≈ ， ≈ ⁠. 一个正数的小数点向右(或向左)移动两位，则这 个正数的算术平方根的小数点向右(或向左)移动一位 0.223 6　 70.71　 2 3 4 5 6 7 1 7. 【新视角·规律探究题】(1)利用计算器，将下列各数用 “＜”排列起来： ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ， ＋ ； 解：(1)因为 ＋ ≈4.46， ＋ ≈4.73， ＋ ≈4.89， ＋ ＝5， ＋ ≈5.06， ＋ ≈5.10，所以 ＋ ＜ ＋ ＜ ＋ ＜ ＋ ＜ ＋ ＜ ＋ . 2 3 4 5 6 7 1 3星题　发展素养 (2)上面各数有什么共同的特征？由此能得出什么结论？ 解：(2)共同特征：它们都是两个数的算术平方根的和 的形式，而且两根号内数的和都是13. 结论：当根号内两数越来越接近时，和越来越大. 2 3 4 5 6 7 1 解：(3)猜想 － ＞ － . 当 a ＝3时， － ＝ － ≈0.32， － ＝ － ≈0.27，0.32＞0.27， 满足上述结论； 当 a ＝5时， － ＝ － ≈0.24， － ＝ － ≈0.21，0.24＞0.21， 满足上述结论. (3)利用(2)中结论，猜想 － 与 － 的 大小，再选择一些具体的数代入验证这个猜想. 2 3 4 5 6 7 1 $$第二章　实数 6　实数 同步训练 北师 八年级上册 知识点1实数及其分类 1. 和 统称为实数.若按定义分类，实 数包括 和 两大类；若按性质分类， 实数包括 、 和 三大类. 有理数　 无理数　 有理数　 无理数　 正实数　 0　 负实数　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 1星题　落实四基 2. [2024玉林模拟]下列各数中为无理数的是(　A　) A. B. 1.5 C. 0 D. －1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 3. [教材P40习题T1变式]把下列实数分别填入适当的集合 内：0.2，－ ，－ ，－ ，－ ，1. 0 ， ，2.55…. 有理数集 ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 无理数集合 ； 整数集合 ； 负数集合 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 知识点2实数的相反数、倒数、绝对值 4. 实数 a 的相反数是 ⁠. 一个正实数的绝对值是 ⁠； 一个负实数的绝对值是它的 ；0的绝对值 是 ⁠. － a 　 它本身　 相反数　 0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 5. 实数3的相反数是(　B　) A. 3 B. －3 C. D. － B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 6. 实数－2 024的绝对值是(　A　) A. 2 024 B. －2 024 C. D. － A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 7. 实数π的倒数是(　C　) A. π B. －π C. D. － C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 知识点3实数与数轴上的点的关系 8. 有下列结论：①数轴上的点只能表示无理数；②任何一个 无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一 对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的 是(　B　) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 9. [2024福建月考]如图，数轴上的点 P 表示下列四个无理数 中的一个，这个无理数是(　B　) A. － B. C. D. π B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 10. 如图，用两个面积为3 cm2的小正方形纸片剪拼成一个大 的正方形，则以数轴上表示1的点 A 为圆心，大正方形的 边长为半径画弧，与数轴的交点表示的数是 ⁠ ⁠. 1＋ ， 1－ 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 11. [教材P39议一议变式]在数轴上找出－ 所对应的点. 解：如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 知识点4实数的运算 12. 下列各式计算正确的是(　C　) A. ＋ ＝13 B. 22×30＋(52)－1＝ C. 2 a ＋3 a ＝5 a D. ｜3－π｜＝3－π C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 13. 计算： (1)－12＋ ＋｜ －3｜＋ ； 解：(1)0； (2) × －( )2× － . 解：(2) . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 14. 如图，点 A 在数轴上，其表示的数为2， O 为原点.过点 A 作 AB ⊥ OA ，且 AB ＝3，以点 O 为圆心， OB 为半径 作弧，与数轴正半轴交于点 P ，则点 P 表示的实数 为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 2星题　提升四能 15. 已知实数 a ， b ， c ， d ， e ， f ，且 a ， b 互为倒数， c ， d 互为相反数， e 的绝对值为 ， f 的算术平方根是 8，则 ab ＋ ＋ e2＋ 的值是 　 　. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 16. 【情境题·交通安全】某高速公路规定汽车的行驶速度 不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通 常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所 用的经验公式是 v ＝16 ，其中 v 表示车速(单位：千 米/时)， d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)， f 表 示路面的摩擦系数，在一次交通事故中，经测量 d ＝ 22.5米， f ＝2.5，请你判断一下，肇事汽车当时 ⁠ 超速.(填“已”或“未”) 已　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 17. [教材P40习题T4变式]如图，正方形网格中的每个小正方 形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点.画一个 三角形，使这个三角形的顶点都在格点上，该三角形的 面积为3，且有一边长为 . 解：答案不唯一，如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 18. 如图，已知数轴上的点 A ， B ， C 分别表示实数 a ， b ， c . (1)化简：｜ a － b ｜＋｜ c － b ｜＋｜ c － a ｜； 解：(1)由数轴知 c ＜ b ＜ a ， 所以 a － b ＞0， c － b ＜0， c － a ＜0. 所以｜ a － b ｜＋｜ c － b ｜＋｜ c － a ｜＝ a － b ＋ b － c ＋ a － c ＝2 a －2 c . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 (2)若 a ＝ ， b ＝－ z2， c ＝－4 mn ，且满足 x 与 y 互 为相反数， z 是绝对值最小的负整数， m ， n 互为倒 数，试求98 a ＋99 b ＋100 c 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 解：(2)因为 x 与 y 互为相反数， 所以 x ＋ y ＝0.所以 a ＝0. 因为 z 是绝对值最小的负整数，所以 z ＝－1. 所以 b ＝－(－1)2＝－1. 因为 m ， n 互为倒数，所以 mn ＝1. 所以 c ＝－4×1＝－4. 所以98 a ＋99 b ＋100 c ＝98×0＋99×(－1)＋ 100×(－4)＝－99－400＝－499. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 19. 先阅读，然后解答提出的问题： 设 a ， b 是有理数，且满足 a ＋ b ＝3－2 ，求 ba 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 3星题　发展素养 解：由题意得( a －3)＋ ( b ＋2)＝0. 因为 a ， b 都是有理数， 所以 a －3， b ＋2也是有理数. 因为 是无理数， 所以 b ＋2＝0， a －3＝0，即 b ＝－2， a ＝3. 所以 ba ＝(－2)3＝－8. 问题：设 x ， y 都是有理数，且满足 x2－2 y ＋ y ＝10 ＋3 ，求 x ＋ y 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 解：原式可化为( x2－2 y －10)＋ ( y －3)＝0. 因为 x ， y 都是有理数， 所以 x2－2 y －10， y －3也是有理数. 因为 是无理数，所以 y －3＝0， x2－2 y －10＝0， 解得 y ＝3， x ＝±4.故 x ＋ y ＝7或－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 $$第二章　实数 7　二次根式 第1课时　二次根式及其性质 同步训练 北师 八年级上册 知识点1二次根式的定义 1. 理解二次根式要点如下： (1)二次根式从形式上界定，必须含有 ⁠； (2)二次根式从内容上看，被平方数 a 既可以是一个数，又 可以是一个含有字母的式子，但必须满足 ⁠. a ≥0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1星题　落实四基 2. 下列式子中一定是二次根式的是(　C　) A. B. C. D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3. [2024许昌实验中学期中]要使二次根式 在实数范围 内有意义，则 x 的取值范围是(　B　) A. x ＞0 B. x ≥－3 C. x ≤－3 D. x ＞－3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 4. 若 ＋ ＋1在实数范围内有意义，则 x 满 足的条件是(　C　) A. x ≥ B. x ≤ C. x ＝ D. x ≠ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( )2的结果是 (　D　) A. 0 B. 6 C. 2 a －6 D. 6－2 a D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 知识点2二次根式的性质 6. (1) ＝ 　 · 　( a ≥0， b ≥0)； (2) ＝ 　 　( a ≥0， b ＞0). · 　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 7. 下列各式的化简正确的是(　C　) A. ＝ × ＝(－2)×(－7)＝14 B. ＝ ＝ × ＝5 C. ＝ ＝ ＝ D. ＝ ＝ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 知识点3最简二次根式 8. 最简二次根式应有如下两个特点： (1)被开方数不含 ⁠； (2)被开方数不含能 的因数或 ⁠. 分母　 开得尽方　 因式　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9. 下列各式是最简二次根式的是(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 10. [教材P42例2变式]把下列二次根式化为最简二次根式： (1) ；　　　 　　　(2) ； 解：(1) ＝ ＝ ＝ ； (2) ＝ ＝ ＝ ＝ ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：(3) ＝ ＝2 ab ； (4) ＝ ＝ ＝ . (3) ( a ≥0， b ≥0)； (4) ( x ＞0， y ≥0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 11. 下列各式中，一定是二次根式的个数为(　A　) ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ( x ＞0)；⑧ ；⑨ . A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2星题　提升四能 12. [教材P43习题T2变式]若直角三角形的两条直角边长分别 为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为 (　D　) A. 3 cm B. 3 cm C. 12 cm D. 2 cm D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 13. 【新趋势·过程性学习】阅读下面的解题过程，根据要 求回答下列问题： 化简： ( b ＜ a ＜0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：原式＝ ① ＝ ② ＝ a · ③ ＝ . ④ (1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出序 号： ⁠； ②　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)错误的原因是什么？ 解：(2)因为 b ＜ a ，所以 b － a ＜0. 所以( b － a )2的算术平方根为 a － b . (3)请你写出正确的解题过程. 解：(3)原式＝ ＝ ·( a － b )· ＝ － a · ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 14. 是否存在整数 x ，使它同时满足下列两个条件：① 与 都有意义；② 是整数？若存在， 求出 x 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在. 由题意知 x －14≥0，17－ x ≥0， 所以14≤ x ≤17. 又因为 为整数，所以 x ＝16. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 15. 【新趋势·续写解题过程】【问题情境】 若实数 x ， y 满足 y ＝ ＋ －6，求 x ＋ y 的 值.如下是小明的部分解题过程： 解：若要使式子 y ＝ ＋ －6有意义，则需 要同时满足： x －2≥0，2－ x ≥0， 则… (1)请你将上述过程补充完整； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解：补全过程为： x ≥2且 x ≤2，所以 x ＝2. 所以 y ＝ ＋ －6＝－6. 所以 x ＋ y ＝2＋(－6)＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)已知 a ， b 分别为等腰三角形的两条边长，且 a ， b 满 足 b ＝5＋ ＋ ，则该三角形的周长 为 ⁠. 11或13　 【解决问题】 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16. 【新考法·阅读类比法】【阅读材料】 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化 成另一个式子的平方，如： 5＋2 ＝(2＋3)＋2 ＝( )2＋( )2＋2× × ＝( ＋ )2； 8＋2 ＝(1＋7)＋2 ＝12＋( )2＋2×1× ＝ (1＋ )2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3星题　发展素养 【类比归纳】 (1)请你仿照嘉嘉的方法，将20＋2 化成另一个式子 的平方. 解：(1)20＋2 ＝15＋5＋2 ＝ ＋ ＋2× × ＝( ＋ )2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)请运用嘉嘉的方法化简： . 解：(2) ＝ ＝ ＝3－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3)若 a ±2 ＝( ± )2，且 a ， m ， n 均为正整 数，请求出 a 的值. 【变式探究】 解：(3)因为( ± )2＝ m ＋ n ±2 ， 所以 m ＋ n ＝ a ， mn ＝21. 因为 m ， n 均为正整数，且21＝1×21＝3×7， 所以 m ＝1， n ＝21或 m ＝21， n ＝1或 m ＝3， n ＝7 或 m ＝7， n ＝3. 所以 a ＝ m ＋ n ＝22或10. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 $$第二章　实数 7　二次根式 第2课时　二次根式的四则运算 同步训练 北师 八年级上册 知识点1二次根式的乘除法 1. 二次根式的乘法法则： · ＝ 　 　(　 ⁠ 　). 此法则也可以推广到多个二次根式相乘，即 · · ＝ ( a ≥0， b ≥0， c ≥0). 二次根式的除法法则： ＝ 　 　( ⁠). 　 a ≥0， b ≥0　 　 　 a ≥0， b ＞0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 1星题　落实四基 2. 使等式 ＝ 成立的 x 的取值范围在数轴上可表示 为(　B　) B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 3. 下列运算正确的是(　D　) A. × ＝±2 B. ( m ＋ n )2＝ m2＋ n2 C. 2 ×3 ＝6 D. × ＝ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 4. 墨迹覆盖了等式“2● ＝ ”中的运算符号，则覆盖 的是(　D　) A. ＋ B. － C. × D. ÷ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 5. [教材P44例4(1)变式](1)按照二次根式的乘法法则填空： 计算：2 ×(－ ). 解：原式＝ × × ＝ ⁠； 2　 (－1)　 －10　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 (2)计算下列各题： ①－3 ×2 ；　　②－4 ·5 . 解：①－6 ；②－20 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 6. [教材P44例3(3)变式]计算： (1) ÷ ； (2) ； 解：(1)原式＝ ＝ ＝4； (2)原式＝ ＝ ＝ ＝2 ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 解：(3)原式＝ ＝ ； (4)原式＝ × ＝ . (3) ÷ ； (4) . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 知识点2利用乘法公式进行二次根式的计算 7. 在二次根式的运算中，能用乘法公式的要尽量用乘法公 式，如： (1)( ＋ )( － )＝ 　( )2－( )2　＝ ⁠； (2)( ± )2＝ 　 a ±2 ＋ b 　. ( )2－( )2　 a － b a ±2 ＋ b 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 8. 下列计算正确的是(　D　) A. ＝2 B. 2 ×2 ＝4 C. ＝－2 D. ( ＋ )( － )＝1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 9. 若(2＋ )2＝ a ＋ b ( a ， b 为有理数)，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 6　 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 知识点3二次根式的加减法 10. 下列各式的计算中，正确的是(　D　) A. 2＋ ＝2 B. 4 －3 ＝1 C. ＝ x ＋ y D. － ＝ D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 11. [2024哈尔滨四十七中期中]计算 ＋3 的结果是 2 ⁠ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 12. 【新趋势·过程性学习】计算： ＋ ＋ . 解：原式＝3 ＋3 ＋5 ① ＝8 ＋3 ② ＝(8＋3) ③ ＝11 . ④ (1)以上解答过程中，从 开始出现错误； (2)请写出本题的正确解答过程. 解：原式＝3 ＋3 ＋5 ＝8 ＋3 . ③　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 13. [教材P46例6变式]计算： (1) ＋ － － ； 解：(1) － ； (2) ＋ ； 解：(2)12 ； (3) ＋ －( － ). 解：(3)2 ＋3 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 14. [教材P44例4(4)变式]下列各数中，与2－ 的积不．含．二 次根式的是(　A　) A. 2＋ B. 2－ C. －2 D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 2星题　提升四能 15. 【新趋势·学科内综合】一个长方形的一条边的长是 cm，另一条边的长是 cm，则长方形的周长是 (　B　) A. 5 cm B. 10 cm C. 2 cm D. 12 cm B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 16. 比较大小： (1)2 与3 ；　　　　 解：(1)方法一：2 ＝ ＝ ，3 ＝ ＝ ，因为 ＜ ，所以2 ＜3 . 方法二：因为(2 )2＝22×( )2＝20， (3 )2＝32×( )2＝27，20＜27， 所以(2 )2＜(3 )2. 又因为2 ＞0，3 ＞0，所以2 ＜3 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 解：(2)－2 ＝－ ＝－ ， －3 ＝－ ＝－ ， 因为 ＜ . 所以－ ＞－ ，即－2 ＞－3 . (2)－2 与－3 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 17. [教材P47议一议变式]先化简，再求值： ＋ x －4 y － ，其中 x ＝ ， y ＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 解：原式＝ ＋ x · －4 y · － · y · ＝ ＋ －4 － ＝ －4 . 当 x ＝ ， y ＝4时， 原式＝ －4 ＝2 － ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 18. 把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内： (1) a ； (2) ab (0＜ a ＜ b )； 解：(1)因为 ＞0，所以 a ＞0.所以 a ＝ . 所以 a ＝ · ＝ ＝ . (2)因为0＜ a ＜ b ，所以 ab ＞0.所以 ab ＝ . 所以 ab ＝ · ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 (3)－2 a ； (4) . 解：(3)因为 ＞0，所以2 a ＞0.所以2 a ＝ ， 所以－2 a ＝－ · ＝－ ＝－ . (4)因为－ a ＞0，所以 a ＜0. 所以 ＝ · ＝ ＝ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 19. 【新考向·传统文化】我国古代的《洛书》记载了世界 上最早的幻方——“ 九宫格”. 任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3 个实数相乘都得到同样的结果，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 2 　 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 3星题　发展素养 任务二：我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的 攒九图中提出“幻圆”的概念.在如图②的“幻圆”中， 若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的 四个数字之和都相等，则 a － b ＝ ⁠. －6 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 19 $$第二章　实数 7　二次根式 第3课时　二次根式的混合运算 同步训练 北师 八年级上册 知识点二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同，先 算 ，再算 ，最后算 ；有括号的 先算 ，再算 .整式的运算律及 相关运算法则在二次根式的运算中同样适用. 乘方　 乘除　 加减　 括号内的　 括号外的　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　落实四基 2. 下列计算正确的是(　C　) A. ＋ ＝ B. 4 ×3 ＝12 C. ÷ ＝3 D. 4 －3 ＝1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [2024青岛月考]计算( － )× 的结果是(　B　) A. B. 1 C. D. 3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4. 估计 ×(2 － )的值应在(　B　) A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. 【新考法·逐项判断法】在 □ 的□中添加 一个运算符号，使其结果最大，则□中应添加(　C　) A. ＋ B. － C. × D. ÷ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. 【新考法·程序计算法】按如图所示的程序计算，若开始 输入 n 的值为 ，则最后输出的结果是(　C　) A. 14 B. 16 C. 8＋5 D. 14＋ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7. 计算： (1) × － ； 解：(1)－ ； (2)｜－2 ｜－3－1－ × ＋(π－5)0. 解：(2) ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (3)｜－ ｜＋ － ； 解：(3)－ ； (4)( a ＋2 ＋ b )÷( ＋ )－( － ). 解：(4)2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. [2024山师附中期末]已知 x ＝2＋ ，则代数式 x2－4 x ＋ 3的值为(　A　) A. 2 B. 6 C. 4 D. 点拨：因为 x ＝2＋ ，所以 x －2＝ . 所以 x2－4 x ＋3＝ －1＝ －1＝3－1＝2. A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　提升四能 9. 已知 a ＝ ， b ＝2＋ ，则 a ， b 的关系是(　A　) A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 互为有理化因式 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 10. 已知 x ＋ ＝7(0＜ x ＜1)，则 － 的值为(　B　) A. － B. － C. D. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 所以 ＝5，所以 － ＝－ 或 － ＝ .因为 ＜ ，所以 － ＜0， 所以 － ＝ 不符合题意，舍去. 所以 － ＝－ . 点拨：因为0＜ x ＜1，所以0＜ x ＜ ，所以 ＜ . 因为 ＝ x －2＋ ， x ＋ ＝7， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 已知 a ＝ －1， b ＝ ＋1，则 a2＋ b2的值为 ⁠. 6　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. 若3－ 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，则代数式(2＋ a ) b 的值是 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. 【新考向·数学文化】《数书九章》中对已知三角形三 边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个 空白.与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古 代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂 减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上， 余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段 文字表述为数学语言即为： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则其面积为 S ＝ ，可利用其解决下列问题.如图，在△ ABC 中， AB ＝ ， AC ＝ ， BC ＝5，则 S△ ABC ＝ ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. (1)计算：｜1－ ｜－ × ＋ － . 解：(1)原式＝ －1－2 ＋2＋ － ＝－ ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)先化简，再求值： x ＋ y2 －( x2 －5 x )，其 中 x ＝ ， y ＝4. 解：(2)原式＝2 x ＋ － x ＋5 ＝ x ＋6 . 当 x ＝ ， y ＝4时，原式＝ ＋6 ＝ ＋6 ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. 【新视角·新定义题】我们规定，若 a ＋ b ＝2，则称 a 与 b 是关于1的平衡数. (1)若3与 x 是关于1的平衡数，5－ 与 y 是关于1的平衡 数，求 x ， y 的值； 解：(1)根据题意可知3＋ x ＝2， 解得 x ＝－1， 5－ ＋ y ＝2，解得 y ＝－3＋ ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　发展素养 (2)若( m ＋ )×(1－ )＝－5＋3 ，判断 m ＋ 与 5－ 是不是关于1的平衡数，并说明理由. 解：(2)不是.理由如下：因为( m ＋ )×(1－ )＝ m － m ＋ －3，且( m ＋ )×(1－ )＝－5＋ 3 ，所以 m － m ＋ －3＝－5＋3 ， 15. 【新视角·新定义题】我们规定，若 a ＋ b ＝2，则称 a 与 b 是关于1的平衡数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 所以 m － m ＝－2＋2 ，即 m (1－ )＝－2(1－ ). 所以 m ＝－2.所以( m ＋ )＋(5－ )＝(－2＋ ) ＋(5－ )＝3. 所以 m ＋ 与5－ 不是关于1的平衡数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$