专题07 二次根式计算专项训练（50道）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题07 二次根式计算专项训练（50道） 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、二次根式加减混合运算】 2 【考法二、二次根式加减乘除混合运算】 2 【考法三、二次根式化简求值】 5 【知识点归纳】 1.最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 2.二次根式乘除法 (1)二次根式的乘法：·=；(2)二次根式的除法： = ；(a≥0，b＞0) 3. 同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并． 4.二次根式加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 5. 二次根式分母有理化 二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 6. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： ①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的； ②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”； 【考法一、二次根式加减混合运算】 1．计算： 2．计算： (1) (2) 3．计算 (1)； (2)． 4．计算： 5．（1）计算： （2）化简： 6．（1）计算：；     （2） 7．计算： (1) (2) 8．计算：． 9．计算： (1) (2) (3) 10．计算： (1) (2) 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)． (2)． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．计算：． 15．（）计算：； （）计算：． 【考法二、二次根式加减乘除混合运算】 16．计算下列各小题 (1)； (2)． 17．计算 (1) (2) 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．计算： (1) (2). (3). 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1) (2) (3) 23．（1）； （2）． 24．计算： (1) (2)； 25．（）计算：； （）． 26．计算： (1) (2) 27．计算： (1) (2) 28．计算： (1)； (2) 29．计算：． 30．计算： (1)； (2)． 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．计算： (1)； (2)． 33．计算： (1) (2) 34．计算： (1)； (2)． 35．计算： (1)； (2)． 【考法三、二次根式化简求值】 36．先化简，再求值：，其中． 37．已知求下列各式的值： (1)和； (2) 38．若，，求： (1)； (2)求． 39．已知，，求的值． 40．计算 (1) (2)已知，，求的值 41．（1）已知：，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 42．按要求解下列问题： (1)计算：； (2)若，求代数式：的值． 43．先化简，再求值：，其中，． 44．完成下列各题 (1)已下列知，求的值； (2)已知，，求的值 45．先化简，后求值：，其中． 46．先化简，再求值：，其中，． 47．求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 48．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 49．已知，求的值． 50．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次根式计算专项训练（50道） 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、二次根式加减混合运算】 2 【考法二、二次根式加减乘除混合运算】 9 【考法三、二次根式化简求值】 22 【知识点归纳】 1.最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 2.二次根式乘除法 (1)二次根式的乘法：·=；(2)二次根式的除法： = ；(a≥0，b＞0) 3. 同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并． 4.二次根式加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 5. 二次根式分母有理化 二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 6. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： ①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的； ②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”； 【考法一、二次根式加减混合运算】 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算．先根据二次根式的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）先运用二次根式的性质化简，然后再去括号、合并同类二次根式即可； （2）先运用平方差公式和二次根式除法计算，然后再加减运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，再计算二次根式的加减即可． 【详解】解： ． 5．（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和二次根式的性质： （1）原式首先去括号，再将二次根式化简后合并即可得到结果； （2）根据条件得出，，再将原式化为，再去绝对值符号即可 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ 6．（1）计算：；     （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，包括求一个数的算术平方根，立方根，以及绝对值，同时考查了合并同类二次根式，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）化简算术平方根，立方根，去括号，然后再计算； （2）化简绝对值，立方根，然后去括号，最后进行加减运算． 【详解】解：（1） ． （2） ． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算， （1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接化简二次根式，进而合并得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 8．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 9．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出算术平方根及立方根，再计算加减，即可求解； （2）先求绝对值，再根据二次根式的混合运算法则，即可求解； （3）先求出算术平方根及立方根，再计算加减，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： . 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 10．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟记相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）先化简二次根式，计算乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，零指数幂： （1）先分母有理化，再化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解；原式 ； （2）解：原式 ． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）将二次根式化简后再合并即可得到答案； （2）原式运用平方差公式和二次根式的性质化简，再进行加减运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的加减运算，利用二次根式的性质进行化简，注意是解题的关键． （1）（3）根据二次根式的性质，先对二次根式进行化简，以及乘方运算，再进行加减运算即可． （2）先计算根号里的乘方和绝对值运算，再化简进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 对二次根式进行化简后再相加减即可． 【详解】解： ． 15．（）计算：； （）计算：． 【答案】（）；（）或． 【分析】（）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解； （）利用二次根式的性质和绝对值的性质先化简，再合同并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（）原式 ； （）原式， 当时， 原式 ， ； 当时， 原式 ． 【考法二、二次根式加减乘除混合运算】 16．计算下列各小题 (1)； (2)． 【答案】(1)4；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）理由乘法分配律将括号展开，再根据二次根式运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式运算法则以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟记并运用了平方差公式和完全平方公式． （1）先化简二次根式，再计算括号里加法，最后计算除法； （2）先运用平方差公式和完全平方公式进行计算，再相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3)14 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法； （3）根据多项式乘法和完全平方公式计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式混合运算： （1）先化简二次根式，在乘除，最后加减； （2）根据平方差公式计算即可； （3）先利用完全平方公式化简，再结合除法的运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 20．计算： (1) (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘除法则进行计算，再合并解题即可； （2）先运算开方，负整数指数运算和去绝对值，然后合并解题； （3）先利用完全平方公式计算和平方差公式计算，然后合并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，平方差公式等知识．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，平方差公式是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)0；(3) 【分析】本题考查了实数的混合运算以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、立方根、绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先运算乘法除法，再运算加减，即可作答． （3）先运算乘法，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再化简算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法，可以利用平方差公式简化运算． 【详解】（1） （2）． 24．计算： (1) (2)； 【答案】(1)44；(2)； 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）现根据乘法分配律计算，再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）先分母有理化和化简绝对值，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 25．（）计算：； （）． 【答案】（）；（）． 【分析】（）利用平方差公式、立方根的定义、负整数指数幂计算，再合并即可求解； （）利用二次根式的性质、完全平方公式、零指数幂计算，再合并即可求解； 本题考查了二次根式的运算，实数的运算法则，掌握二次根式和实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）原式 ． 26．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据二次根式加减乘除的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） 27．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： （2） 28．计算： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，化简绝对值，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键． （1）根据二次根式除法法则进行运算即可； （2）根据二次根式的混合运算和平方差公式解答本题即可． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据平方差公式和二次根式的除法计算，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】原式 ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据平方差公式结合二次根式乘法计算法则去括号，最后计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式乘法计算法则求解，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的运算，二次根式的运算，平方差及完全平方公式． （1）按照二次根式的运算法则运算即可； （2）按照二次根式的运算法则运算，先去括号，再算加减即可； （3）按照二次根式的运算法则及平方差公式，完全平方公式运算即可； （4）先算绝对值，算术平方根，立方根，零指数幂，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）利用二次根式的性质化简，然后计算除法，最后合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的性质化简，然后计算括号内，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）根据乘法分配律结合二次根式乘法计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算括号里二次根式加减法，最后计算二次根式除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【考法三、二次根式化简求值】 36．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 先根据单项式乘以多项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ； ； 原式． 37．已知求下列各式的值： (1)和； (2) 【答案】(1)6；2；(2)34 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）将、的值直接代入求值即可； （2）将、的值代入，计算即可． 【详解】（1） （2） 38．若，，求： (1)； (2)求． 【答案】(1)；(2)18 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 39．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出． ，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ． ． ． 40．计算 (1) (2)已知，，求的值 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据分母有理化、二次根式的乘法、完全平方公式进行化简，再计算加减即可； （2）先求出，，，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ，，， ． 41．（1）已知：，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2），． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）根据进行求解即可； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2） ， 当时，原式． 42．按要求解下列问题： (1)计算：； (2)若，求代数式：的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减法、完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及二次根式加减法的运算法则. （1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算求解即可. （2）用完全公式和进行化简，再进行二次根式的加减法运算求解即可. 【详解】（1）解： （2） ， 又∵， ∴原式 ． 43．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，合并化简计算后，把与代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 当，时， 原式． 44．完成下列各题 (1)已下列知，求的值； (2)已知，，求的值 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算、二次根式的性质、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先由完全平方公式计算出，再求出，即可得解； （2）由题意得出，，再利用二次根式的性质将式子变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ． 45．先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算及二次根式的求值，解决本题的关键是熟练掌握有关运算法则，先进行整式的混合运算，再求值即可． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式， 46．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值是解题的关键． 先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除、加减运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： 当，时，原式 ． 47．求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 【答案】(1)；(2)15 【分析】（1）根据分母有理化把原式化简，代入计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 本题考查的是二次根式的化简求值，分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：（1） ， 当，时，原式； （2）解：，， ，，原式． 48．（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用完全平方公式将式子变形为，代入计算即可得出答案； （2）由二次根式有意义的条件得出且，从而得出，代入得出，利用完全平方公式将式子展开，再将的值代入计算即可得出答案． 【详解】解∶（1）∵，， ∴，， ； （2）根据题意得且， ∴， ∴， ∴． 49．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，首先化简，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴∴， ∴． 50．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；；（2）7 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式． （1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案； （2）先由x与y的值计算出和的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式． （2）∵， ， ∴， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$