22.1 一元二次方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

22.1 一元二次方程 数学（华东师大版） 九年级 上册 第22章 一元二次方程 学习目标 1.了解一元二次方程的概念; 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型； 　 温故知新 一元一次方程 未知量 未知量的最高次幂 一个未知量 未知量的最高次幂是1 【提示】 判断下列式子是否是一元一次方程： × √ 　 导入新课 绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 讲授新课 知识点一 一元二次方程的概念 问题1：请通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理. （1） x2 = 64 ; （2）x（x + 10） = 1200. （1） x2 – 64 = 0 ; （2） x2 + 10x – 1200 = 0. 问题2：上述两个方程有什么共同特点？ 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 讲授新课 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. ※一元二次方程的概念 ※一元二次方程的一般形式 讲授新课 思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 讲授新课 判断下列方程是否为一元二次方程. (1) 1-x3=0 (2) 2(x2-1)=3y (3) y(y-3)=-4 (4) (x+1)(x-2)=x2 (5) 3x2= (6) ax2+bx+c=0(a、b、c为常数) 否 否 是 否 否 a ≠ 0 否 讲授新课 典例精析 【例1】下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 讲授新课 练一练 1、如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是关于x的一元二次方程，那么m 的值为( ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对 C 讲授新课 2、关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　　时,是一元二次方程． 3、关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 　 　　 时,是一元二次方程.当k 　　　时,是一元一次方程． ≠3 ≠±1 =-1 讲授新课 方 程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x(19－2x)＝24 x2＝2 x2＋(x－1 )2 ＝25 x2-2=0 试一试： 1 0 -2 2x2-19x+24=0 2 -19 24 2x2-2x-24=0 2 -2 -24 讲授新课 4、a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0， ∴当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由+1 =2，且a－1≠0得， 当a=－1时，原方程是一元二次方程. 讲授新课 【例2】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10. 讲授新课 1.若关于x的方程(m－2)x2＋mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　) A.m≠2   B.m＝2   C.m＞2   D.m≠0 A 2、如果方程(m－2)xm2－2－mx＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________. －2 讲授新课 3. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) x2-x=2； (2) 4x+1=x2； 解：(1)将方程化成一般形式，得x2－x－2=0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、-1、-2. (2)将方程转化成一般形式，得x2－4x－1=0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、-4、-1. 讲授新课 知识点二 建立一元二次方程的模型 用方程描述下列问题中的数量关系： (1)一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm，设它的宽为xcm，可得方程_______________. x(8＋x)＝240 (2)一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm 的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的 ，设圆的半径为xcm，可得方程___________. πx2＝9 讲授新课 (3)两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x，可得方程__________________________. x(x＋2)＝323或x(x-2)＝323 (4)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到16 900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程______________________. 14 400(1+x)2＝16 900 讲授新课 典例精析 【例3】观察下面等式： 102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. x2 - 8x - 20＝0（一般式）. 讲授新课 练一练 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　　　m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m , 根据题意，可得方程： 1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102. x2 + 12 x - 15 = 0(一般式). 10m 8m 1m xm 当堂检测 1. 下列哪些是一元二次方程？ (1)3x+2=5x-2 (2)x2=0 (3)(x+3)(2x-4)=x2 (4)3y2=(3y+1)(y-2) (5)x2=x3+x2-1 (6)3x2=5x-1       当堂检测 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 当堂检测 3.将一元二次方程 <m></m> 写成一般形式，下列等式正确的是 ( ) A. </m> B. </m> C. </m> D. </m> C 当堂检测 4. 一元二次方程 <m></m> 的二次项系数、一次项系数及常数项分别是( ) A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，－6 D. 5，2，－6 C 当堂检测 5.已知关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 D 当堂检测 6.如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 (墙长35m) ，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是(    ) A．x(69+1－2x)＝600 B．x(69－1－2x)＝600 C．x(69－2x)＝600 D．x(35＋1－2x)＝600 A 当堂检测 7. 已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0，回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值. 解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1. (2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解. 解：(2) 存在　有两种情况： ① 当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0， 则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1， 则方程变为－x－1＝0，解得x＝－1 课堂小结 一元二次方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以 化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式. 概念 一般式：ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为一次项系数. c 称为常数项. 建立一元二次方程模型 谢 谢~ $$