第六章 一次函数课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 3　一次函数的图象 第1课时　正比例函数的图象和性质 练点1　正比例函数的图象 1. 下列图象中，表示正比例函数图象的是(　B　) A B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C D 基础题 返回 2. [母题 教材P154习题T1] 函数图象经过点(2，－3)的正比例 函数是(　C　) A. y ＝－ x B. y ＝ x C. y ＝－ x D. y ＝ x C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. 在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数 y1＝4 x ， y2＝ x ， y3＝－ x 的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 【解】列表： x 0 3 y1 0 12 y2 0 2 y3 0 －2 正比例函数 y1＝4 x ， y2＝ x ， y3＝－ x 的图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　正比例函数的性质 4. [2024·德州乐陵市期末]关于函数 y ＝2 x ，下列说法错误的 是(　D　) A. 它是正比例函数 B. 函数图象经过点(1，2) C. 函数图象经过第一、三象限 D. 当 x ＞0时， y ＜0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. P1(－2， y1)， P2(7， y2)是正比例函数 y ＝ kx ( k ＞0)图象上 的两点，则 y1， y2的大小关系是(　B　) A. y1＞ y2 B. y1＜ y2 C. y1＝ y2 D. 不能确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 6. 已知函数 y ＝ ax｜ a｜. (1)当 a 为何值时，该函数为正比例函数？ 【解】由题意，得｜ a ｜＝1且 a ≠0，所以 a ＝±1. (2)当 a 为何值时，该函数为正比例函数，且函数图象经过 第一、三象限？ 【解】由(1)知，若函数为正比例函数，则 a ＝±1. 又因为函数的图象经过第一、三象限，所以 a ＞0， 所以 a ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 (3)当 a 为何值时，该函数为正比例函数，且函数值 y 随自 变量 x 的增大而减小？ 【解】由(1)知，若函数为正比例函数，则 a ＝±1.又因 为函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，所以 a ＜0，所以 a ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 纠易错　因忽视正比例函数 y ＝ kx 中 k 的正负而出错 7. 函数 y ＝ k1 x ， y ＝ k2 x ， y ＝ k3 x 的图象如图所示，则 k1， k2， k3的大小关系为(　A　) A. k1＞ k2＞ k3 B. k1＞ k3＞ k2 C. k3＞ k2＞ k1 D. k2＞ k1＞ k3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 8. [2024·泰安东平期末]已知函数 y ＝( m ＋1) 是正比例 函数，且 y 随 x 的增大而减小，则 m 的值为(　B　) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 9. [2024·济南济阳区期末]正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点(－ 2，1)，则它一定经过点(　D　) A. (－1，2) B. (1，－2) C. (－2，－1) D. (2，－1) 【点拨】 因为正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点(－2，1)，所以1＝－ 2 k ，所以 k ＝－ ，所以 y ＝－ x .将四个选项中点的坐标 分别代入 y ＝－ x 进行判断. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [新视角 结论开放题] 已知函数 y ＝ kx 的图象经过第二、 四象限，且不经过点(－1，1)，请写出一个符合条件的函 数表达式： ⁠. 【点拨】 此题只要满足 k ＜0且 k ≠－1即可. y ＝－2 x (答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. 若正比例函数 y ＝－( m ＋2) x 的函数值 y 随 x 的增大而增 大，且函数图象上任意一点到两坐标轴的距离相等，则 m 的值为 ⁠. 【点拨】 因为函数图象上任意一点到两坐标轴的距离相等， 所以 该函数的表达式为 y ＝ x 或 y ＝－ x . 因为函数值 y 随 x 的增大而增大，所以该函数的表达式为 y ＝ x ，所以－( m ＋2)＝1，解得 m ＝－3. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. 已知正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点(3，－6). (1)求这个函数的表达式； 【解】将(3，－6)代入 y ＝ kx ，得－6＝3 k ， 解得 k ＝－2.所以这个函数的表达式为 y ＝－2 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)画出这个函数的图象； 【解】过点(0，0)，(1，－2)作直线，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (3)判断点 A (4，－2)，点 B (－1.5，3)是否在这个函数图 象上； 【解】将 x ＝4代入 y ＝－2 x ，得 y ＝－8≠－2，所以点 A 不在这个函数图象上；将 x ＝－1.5代入 y ＝－2 x ， 得 y ＝3，所以点 B 在这个函数图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (4)图象上有两点 C ( x1， y1)， D ( x2， y2)，如果 x1＞ x2， 比较 y1， y2的大小. 【解】因为 k ＝－2＜0，所以 y 的值随着 x 值的增大而 减少，所以当 x1＞ x2时， y1＜ y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. [新视角 存在性探究题] 如图，已知正比例函数 y ＝ kx 的 图象经过点 A ，点 A 在第四象限，过点 A 作 AH ⊥ x 轴， 垂足为 H ，点 A 的横坐标为3，且△ AOH 的面积为3. (1)求这个正比例函数的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【解】因为点 A 的横坐标为3， AH ⊥ x 轴， 所以 OH ＝3.又因为 S△ AOH ＝ OH · AH ＝3. 所以 AH ＝2. 又因为点 A 在第四象限，所以点 A 的纵坐标为－2.所以点 A 的坐标为(3，－2). 因为正比例函数 y ＝ kx 的图象经过点 A ， 所以3 k ＝－2，解得 k ＝－ . 所以正比例函数的表达式是 y ＝－ x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)在 x 轴上是否存在一点 P ，使△ AOP 的面积为5？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 易知 S△ AOP ＝ OP · AH ， 由(1)知 AH ＝2. 因为△ AOP 的面积为5，所以 OP ＝5. 所以点 P 的坐标为(5，0)或(－5，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. [新视角·规律探究题2024·青岛南区期末] 如图，直线 l1⊥ x 轴于点(1，0)，直线 l2⊥ x 轴于点(2，0)，直线 l3⊥ x 轴于点(3，0)，…，直线 ln ⊥ x 轴于点( n ，0)(其中 n 为正整数).函数 y ＝ x 的图象与直线 l1， l2， l3，…， ln 分别交于点 A1， A2， A3，…， An ；函数 y ＝2 x 的图象与直线 l1， l2， l3，…， ln 分别交于点 B1， B2， B3，…， Bn ，如果 △ OA1 B1的面积记作 S1，四边形 A1 A2 B2 B1的面积记作 S2，四边形 A2 A3 B3 B2的面积记作 S3，…，四边形 An－1 AnBnBn－1的面积记作 Sn ，那么 S2 024＝ ⁠. 2 023.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 【点拨】 根据题意得 AnBn ＝2 n － n ＝ n ， An－1 Bn－1＝2( n －1)－( n －1)＝ n －1. 因为直线 ln ⊥ x 轴于点( n ，0)，直线 ln－1⊥ x 轴于点 ( n －1，0)， 所以 ln ∥ ln－1，且直线 ln 与 ln－1间的距离为1， 所以四边形 An－1 AnBnBn－1是梯形， 所以 Sn ＝ ( n －1＋ n )×1＝ (2 n －1)， 当 n ＝2 024时， S2 024＝ ×(2×2 024－1)＝2 023.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 全章热门考点整合应用 名师点金 　　本章内容是中考的必考内容，主要考查一次函数的图象 与性质，求一次函数的表达式及建立一次函数模型解决利润 大小、方案选择等实际问题，题型有选择题、填空题与解答 题.本章热门考点可概括为两个概念、两个图象、一个性质、 两个关系、一种方法和三个应用. 全章热门考点整合应用 考点1　两个概念 概念1 函数 1. [2023·烟台莱阳市期末]下列图象中，表示 y 是 x 的函数的 是(　A　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 2. [2023·黄石]函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是(　C　) A. x ≥0 B. x ≠1 C. x ≥0且 x ≠1 D. x ＞1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 3. [新考法·程序计算法2023·德州陵城区月考] 根据如图所示 的程序计算，若输入 x 的值是8，则输出 y 的值是－3，若 输入 x 的值是－8，则输出 y 的值是(　C　) A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 概念2 一次函数 4. 已知函数 y ＝(5 m －3) x2－ n ＋( m ＋ n )，当 m ， n 为何值 时， y 是关于 x 的一次函数？当 m ， n 为何值时， y 是关于 x 的正比例函数？ 【解】若 y 是关于 x 的一次函数，则由题意得5 m －3≠0，2 － n ＝1，解得 m ≠ ， n ＝1. 若 y 是关于 x 的正比例函数，则由题意可得5 m －3≠0， 2－ n ＝1， m ＋ n ＝0，解得 m ＝－1， n ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 考点2　两个图象 图象1 函数的图象 5. [2023·哈尔滨]一条小船沿直线从 A 码头向 B 码头匀速前 进，到达 B 码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回 A 码头，在整个过程中，这条小船与 B 码头的距离 s (单位： m)与所用时间 t (单位：min)之间的关系如图所示，则这条 小船从 A 码头到 B 码头的速度和从 B 码头返回 A 码头的速 度分别为(　D　) D A. 15 m/min，25 m/min B. 25 m/min，15 m/min C. 25 m/min，30 m/min D. 30 m/min，25 m/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 图象2 一次函数的图象 6. 一次函数 y ＝ mx －2的图象经过第二、三、四象限，则点 M (－ m ， m )所在的象限为(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 7. [2024·济南历城区月考]已知点( m ， n )在第二象限，则函 数 y ＝ nx ＋ m 的图象大致是(　A　) A B C D A 因为点( m ， n )在第二象限，所以 m ＜0， n ＞0，所以直 线 y ＝ nx ＋ m 经过第一、三、四象限. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 考点3　一个性质——一次函数的性质 8. [新视角·结论开放题2023·济宁] 一个函数过点(1，3)，且 y 随 x 增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数表达 式： ⁠. y ＝ x ＋2(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 考点4　两个关系 关系1 一次函数与正比例函数的关系 9. 已知 y ＝( m －2) x ＋｜ m ｜－2. (1) m 满足什么条件时， y ＝( m －2) x ＋｜ m ｜－2是一次 函数？ 【解】 由题意得 m －2≠0，解得 m ≠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (2) m 满足什么条件时， y ＝( m －2) x ＋｜ m ｜－2是正比 例函数？ 【解】 由题意得｜ m ｜－2＝0，且 m －2≠0， 解得 m ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 10. [2024·济南历城区月考]如图，在平面直角坐标系中，点 B 在 y 轴上，直线 OA 与直线 AB 交于点 A (4，3)， OA ＝ OB ，求这两条直线对应的函数表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 【解】设直线 OA 对应的函数表达式是 y ＝ mx ，直线 AB 对应的函数表达式是 y ＝ kx ＋ b . 把点 A (4，3)的坐标代入 y ＝ mx ， 得4 m ＝3，解得 m ＝ . 所以直线 OA 对应的函数表达式是 y ＝ x . 由 A (4，3)，易得 OA ＝5， 所以 OB ＝ OA ＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 所以 b ＝－5. 把点(4，3)的坐标代入 y ＝ kx －5， 得4 k －5＝3，解得 k ＝2. 所以直线 AB 对应的函数表达式是 y ＝2 x －5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 关系2 一次函数与一元一次方程的关系 11. [2023·济南期中]如图，一次函数 y1＝ x ＋ b 与一次函数 y2 ＝ kx ＋4的图象交于点 P (1，3)，则关于 x 的方程 x ＋ b ＝ kx ＋4的解是 ⁠. x ＝1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 考点5　一种方法——待定系数法 12. [2023·济南期中]已知 y 与 x ＋3成正比例，且当 x ＝1时， y ＝8. (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； 【解】设 y ＝ k ( x ＋3)， 把 x ＝1， y ＝8代入，得8＝ k (1＋3)， 解得 k ＝2. 则 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝2( x ＋3)＝2 x ＋6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (2)若点 M ( m ，4)在这个函数的图象上，求 m 的值. 【解】把点 M ( m ，4)的坐标代入 y ＝2 x ＋6， 得4＝2 m ＋6，解得 m ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 考点6　三个应用 应用1 给出文字信息解决实际问题 13. [2023·湘潭]我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时 31分，神舟十六号载人飞船成功发射.某玩具店抓住商 机，先购进了1 000件相关航天模型玩具进行试销，进价 为50元/件. (1)设这种玩具的售价为 x 元/件，全部售完的利润为 y 元. 求利润 y (元)关于售价 x (元/件)的函数表达式； 【解】 y ＝1 000( x －50)＝1 000 x －50 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购 进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销 售利润的20％用于支持某航模兴趣组开展活动，在成 功销售完毕后，资助经费恰好为10 000元，请问该商 店继续购进了多少件航天模型玩具？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 【解】设该商店继续购进了 m 件航天模型玩具， 由题意得(60－50)(1 000＋ m )×20％＝10 000， 解得 m ＝4 000. 答：该商店继续购进了4 000件航天模型玩具. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 应用2 给出图象解决实际问题 14. [2023·泰安泰山区期末]小李新买了一部手机，同时想选 择一种新套餐.他得知某通信公司新开发了甲、乙两种手 机话费套餐，其每月通话费用与通话时间之间的关系如 图所示.若平时小李每月的通话时间大约为120分钟，请你 帮忙选择一下，小李选择 种套餐合适. 乙　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 【点拨】 由题图可直接得出，通话时间大约为120分钟时，乙种套 餐通话费用低于甲种套餐通话费用. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 15. [2023·鄂州]1号探测气球从海拔10 m处出发，以1 m/min 的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出 发，以 a m/min的速度竖直上升.两个气球都上升了1 h.1 号、2号气球所在位置的海拔 y1， y2(单位：m)与上升时 间 x (单位：min)的函数关系如图所示.请根据图象回答下 列问题： (1) a ＝ ， b ＝ ⁠； 0.5　 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 【点拨】 由题易得 y1＝10＋ x . 当 x ＝20时，两气球相遇， 此时 y1＝10＋ x ＝10＋20＝30， 所以 b ＝30， 设2号探测气球所在位置的海拔 y2与 x 之间的表达式为 y2＝20＋ ax ， 因为 y2＝20＋ ax 的图象过(20，30)， 所以30＝20＋20 a ，解得 a ＝0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (2)请分别写出 y1， y2与 x 的函数关系式； 【解】 y1＝10＋ x ， y2＝20＋0.5 x . (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为 5米？ 【解】分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题 意得(20＋0.5 x )－( x ＋10)＝5， 解得 x ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 ②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题 意得( x ＋10)－(0.5 x ＋20)＝5， 解得 x ＝30. 综上所述，上升10 min或30 min时这两个气球的海 拔竖直高度差为5 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 应用3 给出表格信息解决实际问题 16. [新趋势 跨学科] 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温 度.小聪想用刻度不超过100 ℃的温度计测算出这种食用 油的沸点温度.在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种 食用油均匀加热，并每隔10 s测量一次锅中的油温，得到 的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (1)小聪在平面直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经 老师说明，在这种食用油达到沸点前，锅中的油温 y (单位：℃)与加热的时间 t (单位：s)符合初中学习过的 某种函数关系，填空：可能是 函数关系(填 “正比例”或“一次”)； 一次　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (2)根据以上判断，求 y 关于 t 的函数表达式； 【解】设锅中的油温 y 与加热的时间 t 的函数关系式为 y ＝ kt ＋ b ( k ≠0)， 将点(0，10)，(10，30)的坐标代入得， 10 k ＋ b ＝30， b ＝10， 解得 k ＝2， b ＝10， 所以 y ＝2 t ＋10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 (3)当加热110 s时，油沸腾了，请推算该食用油的沸 点温度. 【解】当 t ＝110时， y ＝2×110＋10＝230， 所以经过推算，该食用油的沸点温度是230 ℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 全章热门考点整合应用 $$鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 3　一次函数的图象 第2课时　一次函数的图象与性质 练点1　一次函数的图象 1. [母题 教材P155例2] 在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ 2 x －3的图象是(　D　) A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C D 基础题 返回 2. [荣德原创题]下列各点中，在一次函数 y ＝2 x ＋1的图象上 的点是(　C　) A. (－1，－3) B. (－1，3) C. (－1，－1) D. (－1，1) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 练点2　直线 y ＝ kx ＋ b 的位置与 k ， b 的关系 3. 一次函数 y ＝ x ＋1的图象不经过(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 4. [2023·菏泽期末]一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象如图所示，则 (　B　) A. a ＞0， b ＞0 B. a ＜0， b ＞0 C. a ＞0， b ＜0 D. a ＜0， b ＜0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 练点3　一次函数的平移 5. [母题 教材P158习题T3] 在平面直角坐标系中，将直线 y ＝ 5 x 向下平移2个单位长度，所得的新直线的表达式为(　A　) A. y ＝5 x －2 B. y ＝5 x ＋2 C. y ＝5( x ＋2) D. y ＝5( x －2) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 6. 在平面直角坐标系中，将直线 y ＝2 x 向下平移3个单位长 度，则平移后的直线经过点(　C　) A. (－1，－1) B. (0，0) C. (1，－1) D. (2，3) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 练点4　一次函数的性质 7. [2023·长沙]下列一次函数中， y 随 x 的增大而减小的函数 是(　D　) A. y ＝2 x ＋1 B. y ＝ x －4 C. y ＝2 x D. y ＝－ x ＋1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 8. [2023·济宁期末]若点 A ( x1，－1)， B ( x2，－2)， C ( x3，3) 在一次函数 y ＝－2 x ＋ m ( m 是常数)的图象上，则 x1， x2， x3的大小关系是(　B　) A. x1＞ x2＞ x3 B. x2＞ x1＞ x3 C. x1＞ x3＞ x2 D. x3＞ x2＞ x1 【点拨】 在一次函数 y ＝－2 x ＋ m ( m 是常数)中， k ＝－2＜0， B 所以 y 随 x 的增大而减小， 因为点 A ( x1，－1)， B ( x2，－2)， C ( x3，3)在函数图象 上，且－2＜－1＜3，所以 x2＞ x1＞ x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 纠易错　因考虑问题不全造成错解 9. 若函数 y ＝ kx ＋ b ( k ， b 是常数)的图象不经过第二象限， 则 k ， b 应满足的条件是 ⁠. k ≥0且 b ≤0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 若 k ＜0，易知无论 b 取何值，函数的图象总会经过第二象 限，故此情况不符合题意. 综上， k ≥0且 b ≤0. 【点拨】 当 k ＝0时， y ＝ b . 因为函数的图象不经过第二象限，所以 b ≤0. 当 k ≠0时，若 k ＞0，因为函数的图象不经过第二象限， 所以 b ≤0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 10. [2023·益阳]关于一次函数 y ＝ x ＋1，下列说法正确的是 (　B　) A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与 y 轴交于点(0，1) C. 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小 D. 当 x ＞－1时， y ＜0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 因为在一次函数 y ＝ x ＋1中， k ＞0， b ＞0， 所以其图象经过第一、二、三象限，故A不正确； 当 x ＝0时， y ＝1， 所以其图象与 y 轴交于点(0，1)，故B正确； 因为在一次函数 y ＝ x ＋1中， k ＞0， 所以函数值 y 随自变量 x 的增大而增大， 故C不正确； 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 因为当 x ＝－1时， y ＝0，函数值 y 随自变量 x 的增大而 增大，所以当 x ＞－1时， y ＞0， 故D不正确. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 11. [新考法 假设分析法] 一次函数 y ＝ mx ＋ n 与 y ＝ mnx ( mn ≠0)，在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　C　) A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 (1)当 m ＞0， n ＞0时， mn ＞0， 一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经过第一、二、三象限， 正比例函数 y ＝ mnx 的图象经过第一、三象限，无符 合项； (2)当 m ＞0， n ＜0时， mn ＜0， 一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经过第一、三、四象限， 正比例函数 y ＝ mnx 的图象经过第二、四象限，C选 项符合； 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 (3)当 m ＜0， n ＜0时， mn ＞0， 一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经过第二、三、四象限， 正比例函数 y ＝ mnx 的图象经过第一、三象限，无符 合项； (4)当 m ＜0， n ＞0时， mn ＜0， 一次函数 y ＝ mx ＋ n 的图象经过第一、二、四象限，正 比例函数 y ＝ mnx 的图象经过第二、四象限，无符合项. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 12. [2024·济南市中区期末]已知 A ( x1， y1)， B ( x2， y2)是函 数 y ＝( m －1) x 图象上的两点，当 x1＜ x2时， y1＜ y2，则 m 的取值范围是(　C　) A. m ＞0 B. m ＜0 C. m ＞1 D. m ＜1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 13. [新视角 结论开放题] 某一次函数的图象经过点(0，－1)， 且不经过第一象限，请写出一个符合上述条件的函数表 达式： ⁠. 【点拨】 因为函数图象不经过第一象限，所以 k ＜0，令 k ＝－2， 设函数表达式为 y ＝－2 x ＋ b ， 将(0，－1)代入表达式得 b ＝－1， 所以函数表达式为 y ＝－2 x －1. y ＝－2 x －1(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 14. [2023·天津]若直线 y ＝ x 向上平移3个单位长度后经过点 (2， m )，则 m 的值为 ⁠. 【点拨】 将直线 y ＝ x 向上平移3个单位长度，得到直线 y ＝ x ＋ 3，把(2， m )代入，得 m ＝2＋3＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 15. 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，一次函数 y ＝ x ＋3的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点，则线段 AB 的长为 ⁠. 【点拨】 因为一次函数 y ＝ x ＋3的图象与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点， 所以 A (－4，0)， B (0，3)， 所以 AB ＝ ＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 16. 一次函数 y ＝ mx ＋｜ m －1｜的图象经过点(0，2)，且 y 随 x 的增大而增大，求 m 的值. 【解】把点(0，2)的坐标代入表达式得｜ m －1｜＝2， 解得 m ＝3或 m ＝－1. 因为 y 随 x 的增大而增大， 所以 m ＞0，所以 m ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 17. 已知一次函数 y ＝2 x ＋2的图象与 x 轴交于点 A ，与 y 轴 交于点 B . (1)求 A ， B 两点的坐标； 【解】令 y ＝0， 则0＝2 x ＋2， 解得 x ＝－1. 令 x ＝0，则 y ＝2， 所以点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 的坐标为(0，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 (2)在如图的平面直角坐标系内画出函数 y ＝2 x ＋2的 图象； 【解】画图如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 (3)点( － ，－1) 这个函数的图象上；(填“在” 或“不在”) 不在　 (4)该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 18. 已知函数 y ＝｜ x ｜－2. (1)画出该函数的图象； 列表： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 －2 －1 0 1 2 … 描点、连线得到如下函数图象： －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 2 1 0 －1 －2 －1 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 创新拓展题 返回 【解】描点、连线得到如图所示的 函数图象： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 创新拓展题 返回 (2)写出该函数的两条性质； 【解】函数 y ＝｜ x ｜－2的图象关于 y 轴对称， 函数的最小值为－2.(答案不唯一) (3)点 P ( x1， y1)， Q ( x2， y2)在该函数的图象上，若 x1＋ x2＝0，试说明： y1－ y2＝0. 【解】因为 x1＋ x2＝0，所以 x1＝－ x2， 所以 y1＝｜ x1｜－2＝｜－ x2｜－2＝｜ x2｜－2. 因为 y2＝｜ x2｜－2，所以 y1＝ y2， 所以 y1－ y2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 4　确定一次函数的表达式 练点1　确定正比例函数表达式 1. [母题·教材P159随堂练习T1 2024·济南期末] 已知正比例函 数的图象如图所示，则这个函数的表达式为(　B　) A. y ＝ x B. y ＝－ x C. y ＝－3 x D. y ＝－ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 2. 已知 y 与 x 成正比例，且当 x ＝－2时 y ＝4. (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； 【解】因为 y 与 x 成正比例，所以设 y ＝ kx ， 因为当 x ＝－2时， y ＝4， 所以4＝－2 k ，解得 k ＝－2， 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝－2 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 (2)设点( a ，－2)在这个函数的图象上，求 a 的值. 【解】因为点( a ，－2)在这个函数的图象上， 所以－2 a ＝－2，所以 a ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 练点2　确定一次函数表达式 3. [新考向 知识情境化] 小聪正在画一次函数的图象，当他列 表后，发现一次函数 y ＝◆ x ＋◆中的 k 和 b 看不清了，根 据表格可知(　B　) x 0 3 y 2 0 B A. k ＝2， b ＝3 B. k ＝－ ， b ＝2 C. k ＝3， b ＝2 D. k ＝1， b ＝－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 4. [2023·泰安东平期末]如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 过点 A (0，3)和 B (6，－3)，且与 x 轴相交于点 C . (1)直线 AB 的表达式为 ⁠； y ＝－ x ＋3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 【点拨】 设直线 AB 的表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 将点 A (0，3)， B (6，－3)的坐标分别代入， 得3＝ b ，－3＝6 k ＋ b ，解得 k ＝－1， b ＝3， 所以直线 AB 的表达式为 y ＝－ x ＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 (2)求△ OAC 的面积(用小数表示结果). 【解】对于 y ＝－ x ＋3， 令 y ＝0，则0＝－ x ＋3，解得 x ＝3， 所以点 C 的坐标为(3，0)，所以 OC ＝3. 因为点 A (0，3)，所以 OA ＝3， 所以△ OAC 的面积为 ＝ ＝4.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 练点3　根据实际问题确定一次函数表达式 5. [新趋势 学科内综合] 水池中现有水10 L，此后每小时漏水 0.05 L，水池中的水量 V (单位：L)随时间 t (单位：h)的变 化而变化，当0≤ t ≤200时， V 关于 t 的函数表达式是 (　C　) A. V ＝0.05 t B. V ＝ C. V ＝－0.05 t ＋10 D. V ＝－0.05 t2＋10 t C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 6. 科学研究发现，空气含氧量 y (克/立方米)与海拔 x (米)之间 近似地满足一次函数关系.经测量，在海拔为0米的地方， 空气含氧量约为299克/立方米；在海拔为2 000米的地方， 空气含氧量约为235克/立方米. (1)求出 y 关于 x 的函数表达式； 【解】设 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)，根据题意可得 b ＝299，2 000 k ＋ b ＝235，解得 k ＝－ ， b ＝ 299，所以 y ＝－ x ＋299. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 (2)已知某山的海拔为1 200米，请你求出该山山顶处的空 气含氧量约为多少？ 【解】当 x ＝1 200时， y ＝－ ×1 200＋299＝260.6. 答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 纠易错　因直线与 y 轴的交点位置不明确而漏解 7. [新考法 分类讨论法] 已知一次函数的图象经过点 ，且函数图象与 y 轴的交点到原点的距离为1， 求该一次函数的表达式. 【解】由题意可知，一次函数的图象经过点(－ ，－ )， 与 y 轴的交点坐标为(0，1)或(0，－1)， 设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 ①当一次函数的图象经过点 ，(0，1)时，－ k ＋ b ＝－ ， b ＝1，所以 k ＝ ， 所以一次函数的表达式为 y ＝ x ＋1. ②当一次函数的图象经过点 ，(0，－1)时，－ k ＋ b ＝－ ， b ＝－1，所以 k ＝－ ，所以一次函数的表 达式为 y ＝－ x －1.综上，该一次函数的表达式为 y ＝ x ＋1或 y ＝－ x －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 返回 8. 一次函数的图象平行于直线 y ＝3 x ＋2，且过点(1，2)，则 这个一次函数的表达式为(　B　) A. y ＝3 x ＋5 B. y ＝3 x －1 C. y ＝3 x ＋3 D. y ＝ x ＋1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 9. 如图，一次函数 y ＝ x －4的图象与 x 轴， y 轴分别交于点 A ，点 B ，过点 A 作直线 l 将△ ABO 的周长分成相等的两 部分，则直线 l 的函数表达式为 ⁠. y ＝ x －3　 (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 【点拨】 如图，设过点 A 的直线 l 与 y 轴交于点 C . 当 x ＝0时， y ＝ x －4＝－4，则 B (0，－4)， 所以 OB ＝4， 当 y ＝0时， x －4＝0， 解得 x ＝3，则 A (3，0)， 所以 OA ＝3，所以由勾股定理，得 AB ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 因为直线 l 将△ ABO 的周长分成相等的两部分， 所以 AO ＋ OC ＝ AB ＋ BC ， 所以3＋ OC ＝5＋4－ OC ，解得 OC ＝3， 所以 C (0，－3)， 设直线 AC 的表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 把 A (3，0)， C (0，－3)的坐标分别代入，得 3 k ＋ b ＝0， b ＝－3，解得 k ＝1， b ＝－3， 所以直线 l 的函数表达式为 y ＝ x －3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 10. 某工厂计划生产1 000顶帐篷，生产过程中的剩余生产任 务 y (顶)与已用生产时间 x (时)之间的关系如图所示.则变 量 y 与 x 之间的关系式是 ⁠. y ＝－20 x ＋1 000(0≤ x ≤50)　 (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 30 k ＋ b ＝400， b ＝1 000， 解得 k ＝－20， b ＝1 000， 所以 y ＝－20 x ＋1 000(0≤ x ≤50). 【点拨】 设 y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 将(30，400)，(0，1 000)分别代入，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 11. 如图，直线 y ＝ x ＋1与 x 轴交于点 A ，点 A 关于 y 轴的 对称点为A'，将经过点A'和 y 轴上的点 B (0，2)的直线对 应的函数表达式设为 y ＝ kx ＋ b . (1)求点A'的坐标； 【解】对于 y ＝ x ＋1，令 y ＝ 0，则 x ＋1＝0，解得 x ＝－2， 所以 A (－2，0).因为点 A 关于 y 轴的对称点为A'，所以A'(2，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 (2)确定直线A'B对应的函数表达式. 【解】因为直线A'B的表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 所以将点 B (0，2)，A'(2，0)的坐标分别代入， 得2＝ b ，0＝2 k ＋ b ， 解得 k ＝－1，所以直线A'B对应的函数表达式为 y ＝－ x ＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综合应用题 返回 12. [新视角 新定义题] 在平面直角坐标系中，我们把横坐标 和纵坐标相等的点称为“和谐点”.例如点(－1，－1)， (0，0)，( ， )都是“和谐点”. (1)若点 P (1， a )是正比例函数 y ＝ mx 图象上的“和谐 点”，求这个正比例函数的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 【解】由点 P (1， a )是正比例函数 y ＝ mx 图象上的 “和谐点”，得 a ＝1，即 P (1，1). 把 P (1，1)的坐标代入 y ＝ mx ，得 m ＝1， 所以正比例函数的表达式为 y ＝ x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 (2)求函数 y ＝3 x －6图象上的“和谐点”的坐标. 【解】设函数 y ＝3 x －6图象上的“和谐点”是( n ， n )，把( n ， n )代入 y ＝3 x －6，得 n ＝3 n －6，解得 n ＝3.所以函数 y ＝3 x －6图象上的“和谐点”是(3，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 【解】函数 y ＝ kx － k ＋1( k ≠1)图象上存在“和谐 点”，设“和谐点”是( b ， b )，把( b ， b )代入 y ＝ kx － k ＋1，得 b ＝ kb － k ＋1，整理，得 b (1－ k )＝1－ k ，因为 k ≠1，所以 b ＝1，所以函数 y ＝ kx － k ＋1( k ≠1)图象上的“和谐点”是(1，1). (3)函数 y ＝ kx － k ＋1( k ≠1)图象上存在“和谐点”吗？ 若存在，请求出“和谐点”的坐标；若不存在，请说 明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 5　一次函数的应用 第1课时　含一个一次函数(图象)的应用 练点1　含一个一次函数(图象)的应用 1. [新考向 知识情境化] 小杨从家骑车到龙头寺公园，小杨到 龙头寺公园的距离 y (千米)与骑车时间 x (分钟)的关系如图 所示，根据图象得到下列信息，其中错误的是(　C　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A. 小杨家距龙头寺公园15千米 B. 小杨到龙头寺公园用了30分钟 C. 小杨骑车的速度为1千米/分钟 D. 出发10分钟后，小杨离龙头寺公园还有 10千米 基础题 返回 由题图可知，小杨家距龙头寺公园15千米，故选项A不合 题意；小杨骑车的速度为(15－10)÷10＝0.5(千米/分钟)， 故选项C说法错误，故选项C符合题意；所以小杨到龙头 寺公园所用时间为15÷0.5＝30(分钟)，故选项B不合题 意；出发10分钟后，小杨离龙头寺公园还有10千米，故选 项D不合题意. 【点拨】 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 2. [母题 教材P164习题T2] 如图，一摞相同规格的碗整齐地 叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量x/个 1 2 3 4 5 … 高度y/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … 6.4 8.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 (2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度 y (cm)与碗的数量 x (个) 之间的关系式： ，当碗的数量为10个 时，碗的高度是 cm； y ＝1.2 x ＋2.8　 14.8　 (3)若这摞碗的高度为20.8 cm，求这摞碗的数量. 【解】当 y ＝20.8时， 1.2 x ＋2.8＝20.8， 解得 x ＝15， 所以这摞碗的数量为15个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 练点2　一次函数与一元一次方程的关系 3. [2024·济宁期末]关于 x 的方程 kx ＋ b ＝3的解为 x ＝7，则 直线 y ＝ kx ＋ b 一定过点(　D　) A. (3，0) B. (7，0) C. (3，7) D. (7，3) 【点拨】 因为关于 x 的方程 kx ＋ b ＝3的解为 x ＝7， 所以当 x ＝7时， y ＝ kx ＋ b ＝3， 所以直线 y ＝ kx ＋ b 一定过点(7，3). D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 4. [2023·德州武城月考]如图，一次函数 y ＝2 x 和 y ＝ ax ＋4 的图象相交于点 A ( m ，3)，则方程 ax ＋4＝0的解为 (　A　) A. x ＝6 B. x ＝3 C. x ＝－6 D. x ＝－3 (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 【点拨】 因为 A 点在直线 y ＝2 x 上， 所以3＝2 m ，解得 m ＝ ， 所以 A 点坐标为 . 因为直线 y ＝ ax ＋4经过 A 点， 所以 a ＋4＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 解得 a ＝－ ， 所以方程 ax ＋4＝0可化为－ x ＋4＝0， 解得 x ＝6. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 纠易错　对于一次函数与一元一次方程的关系理解不透导致 出错 5. 若直线 y ＝ kx ＋3( k 为常数且 k ≠0)经过点(－2，0)，则关 于 x 的方程 k ( x －5)＋3＝0的解为(　C　) A. x ＝－5 B. x ＝－3 C. x ＝3 D. x ＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 所以直线 y ＝ k ( x －5)＋3经过点(3，0). 所以关于 x 的方程 k ( x －5)＋3＝0的解为 x ＝3. 【点拨】 因为直线 y ＝ kx ＋3( k 为常数且 k ≠0)向右平移5个单位长 度得直线 y ＝ k ( x －5)＋3，且直线 y ＝ kx ＋3经过点 (－2，0)， 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基础题 返回 6. [2024·合肥期末]一条公路旁依次有 A ， B ， C 三个村庄， 甲、乙两人骑自行车分别从 A 村、 B 村同时出发前往 C 村，甲、乙两人之间的距离 s (km)与骑行时间 t (h)之间的 函数关系如图所示，下列结论错误的是(　D　) A. A ， B 两村相距10 km B. 出发1.25 h后两人相遇 C. 第一次相遇前甲每小时比乙多骑行8 km D. 第一次相遇后两人又骑行了14min，此时两人相距2 km (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 由题图可知， A ， B 两村相距10 km，故A正确，不符 合题意； 出发1.25 h后，甲、乙相距0 km，故在此时相遇，故B正 确，不符合题意； 当0≤ t ＜1.25时， 易得一次函数的表达式为 s ＝－8 t ＋10， 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 故甲的速度比乙的速度快8 km/h，故C正确，不符合 题意； 第一次相遇后，两人又骑行了14 min，则此时两人相距 8× ＝ (km)，故D错误，符合题意. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 7. [新趋势 跨学科] 如图①是我国青海湖最深处的某一截面 图，青海湖水面下任意一点 A 的压强 p (单位： cmHg)关于 其离水面的深度 h (单位：m)的函数表达式为 p ＝ kh ＋ p0，其图象如图②所示，其中 p0为青海湖水面大气压强， k 为常数且 k ≠0.根据图中信息分析(结果保留一位小数)， 下列结论正确的是(　A　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 A. 青海湖水深16.4 m处的压强为188.6 cmHg B. 青海湖水面大气压强为76.0 cmHg C. 函数表达式 p ＝ kh ＋ p0中自变量 h 的取值范围是 h ≥0 D. p 关于 h 的函数表达式为 p ＝9.8×105 h ＋76 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 【点拨】 由题图②可知直线 p ＝ kh ＋ p0过点(0，68)和(32.8，309.2)， 所以68＝ p0，309.2＝32.8 k ＋ p0， 解得 k ＝ . 所以青海湖水面大气压强为68.0 cmHg， p ＝ h ＋68.故 B，D错误； 由题图①得0≤ h ≤32.8，故C错误； 当 h ＝16.4时， p ＝ ×16.4＋68＝188.6，即青海湖水深 16.4 m处的压强为188.6 cmHg，故A正确. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 8. 根据一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象(如图)，解决下列问题. (1)求关于 x 的方程 kx ＋ b ＝0的解； 【解】由题中图象可知，当 y ＝0时， x ＝2， 所以方程 kx ＋ b ＝0的解为 x ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 (2)求代数式 k ＋ b 的值； 【解】由题中图象可知，当 x ＝1时， y ＝－1， 所以代数式 k ＋ b 的值为－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 (3)求关于 x 的方程 kx ＋ b ＝－3的解. 【解】由题中图象可知，当 y ＝－3时， x ＝－1， 所以方程 kx ＋ b ＝－3的解为 x ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 综合应用题 返回 9. [情境题 生活应用]为让更多的学生学会游泳，少年宫新建 了一个游泳池，其容积为480 m3，该游泳池有甲、乙两个 进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同 时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量 y (m3)与 注水时间 t (h)之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)根据图象求游泳池的蓄水量 y (m3) 与注水时间 t (h)之间的函数关系式， 并写出同时打开甲、乙两个进水口 的注水速度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 创新拓展题 返回 【解】设 y 与 t 之间的函数关系式为 y ＝ kt ＋ b . 由题意得 b ＝100， 2 k ＋ b ＝380，解得 k ＝140. 所以 y 与 t 之间的函数关系式是 y ＝140 t ＋100. 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度 是(380－100)÷2＝140(m3/h). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 创新拓展题 返回 (2)现将该游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注 水.已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独 打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍，则单独打开 甲进水口注满游泳池需多少小时？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 创新拓展题 返回 【解】因为单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍，所以甲进水口的注水速度是乙进水口的注水速度的 .因为同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140 m3/h， 所以甲进水口的注水速度为140÷ × ＝ 60(m3/h).480÷60＝8(h). 答：单独打开甲进水口注满游泳池需8 h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 5　一次函数的应用 第2课时　含两个一次函数(图象)的应用 练点　含两个一次函数(图象)的应用 1. [母题 教材P165例2] 如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相 同路线从甲港出发到乙港行驶路程随时间变化的图象.则下 列结论错误的是(　D　) A. 轮船的速度为20千米/时 B. 快艇的速度为40千米/时 C. 轮船比快艇先出发2小时 D. 快艇到达乙港用了6小时 D 1 2 3 4 5 6 【点拨】 观察题图，可知快艇到达乙港用了4小时，所以D选项 错误. 基础题 返回 2. 小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前 往甲地，同时出发.两人离甲地的距离 y (m)与出发时间 x (min)之间的函数关系如图所示. (1)小丽步行的速度为 m/min； 80　 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 (2)当两人相遇时，求他们到甲地的距离. 【解】由题易得，小丽离甲地的距离 y (m)与出发时 间 x (min)之间的函数关系式是 y丽＝80 x (0≤ x ≤30)，小 华离甲地的距离 y (m)与出发时间 x (min)之间的函数关 系式是 y华＝－120 x ＋2 400(0≤ x ≤20)，两人相遇，即 y丽 ＝ y华时，80 x ＝－120 x ＋2 400，解得 x ＝12，当 x ＝ 12时， y丽＝80 x ＝960. 答：两人相遇时，他们到甲地的距离是960 m. 1 2 3 4 5 6 基础题 返回 3. 某快递公司每天上午7：00－8：00为集中揽件和派件时 段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段 内甲、乙两仓库的快件数量 y (件)与时间 x (分)之间的函数 图象如图所示，则下列说法正确的个数为(　C　) ①7：15时，甲仓库内快件数量为180件； ②乙仓库每分钟派送快件的数量为4件； ③8：00时，甲仓库内快件数量为400件； ④7：20时，两仓库快件数量相同. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 【点拨】 由题意结合题图可知： 7：15时，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误； 甲仓库揽收快件的速度为(130－40)÷15＝6(件/分)， 所以8：00时，甲仓库内快件数量为40＋6×60＝400(件)， 故③说法正确； 60－15＝45(分)， 即45分钟乙仓库派送快件的数量为180件， 所以乙仓库每分钟派送快件的数量为180÷45＝4(件)，故 ②说法正确； 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 所以乙仓库快件的总数量为60×4＝240(件)， 设 x 分钟后，两仓库快件数量相同，根据题意，得 240－4 x ＝40＋6 x ，解得 x ＝20， 即7：20时，两仓库快件数量相同，故④说法正确. 所以说法正确的有②③④，共3个. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 4. [情境题·方案策略型2023·丽水] 我市“共富工坊”问海借 力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提 供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任 选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题： (1)直接写出员工生产多少 件产品时，两种方案付给 的报酬一样多； 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 【解】观察题图得， 方案一与方案二的图象相交于点(30，1 200)， 所以员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬 一样多. 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 (2)求方案二 y 关于 x 的函数表达式； 【解】设方案二 y 关于 x 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b ， 将(0，600)，(30，1 200)分别代入表达式中， 得 b ＝600，30 k ＋ b ＝1 200， 所以 k ＝20， b ＝600， 即方案二 y 关于 x 的函数表达式为 y ＝20 x ＋600. 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根 据自己的生产能力选择方案. 【解】由两方案的图象交点(30，1 200)可知： 若生产件数 x 的取值范围为0≤ x ＜30，则选择方案二， 若生产件数 x ＝30，则选择两种方案都可以， 若生产件数 x 的取值范围为 x ＞30，则选择方案一. 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 5. [2024·烟台招远市期末]哥哥小明和弟弟小亮分别从家和图 书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小明开始时跑步，中 途改为步行，到达图书馆时恰好用了45分钟.小亮骑自行车 以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程 y (米)与各自离开出发地的时间 x (分)之间的函数关系如图所 示，根据图象信息解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 (1)小明跑步的速度为 米/分，步行的速度 为 米/分； (2)图中点 D 的坐标为 ⁠； (3)求小亮离家的路程 y (米)与 x (分)之间的函数关系式； 200　 100　 　 【解】设小亮离家的路程 y (米)与 x (分)之间的函数关 系式是 y ＝ kx ＋ b ， 把点 C ，点 D 的坐标分别代入， 得6 000＝ b ，0＝20 k ＋ b ， 解得 k ＝－300. 即小亮离家的路程 y (米)与 x (分)之间的函数关系式是 y ＝－300 x ＋6 000. 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 【解】 6 000÷ ＝12(分)， 所以两人出发12分钟后相遇. (4)两人出发多长时间后相遇？ 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 解得 x ＝7， 相遇后： 3 000＋100( x －15)－(6 000－300 x )＝2 500， 解得 x ＝ ， 所以两人出发7分钟或 分钟后，相距2 500米. (5)请求出两人出发多长时间后相距2 500米. 【解】设经过 x 分钟后，两人相距2 500米， 相遇前： x ＝6 000－2 500， 1 2 3 4 5 6 综合应用题 返回 6. [情境题 方案策略型]暑期将至，某健身俱乐部面向学生推 出暑期优惠活动，活动方案如下. 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折 优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每 次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身 x 次，选择方案一所 需的费用为 y1元，且 y1＝ k1 x ＋ b ；选 择方案二所需的费用为 y2元，且 y2＝ k2 x .其函数图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 (1)求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义. 【解】由题图可得， y1＝ k1 x ＋ b 的函数图象经过(0，30)和(10，180)两点， 代入函数关系式可得 b ＝30，10 k1＋ b ＝180， 解得 k1＝15， b ＝30， k1＝15表示的是每次健身费用按六折优 惠是15元， b ＝30表示的是购买一张学 生暑期专享卡的费用是30元. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 (2)求打折前的每次健身费用和 k2的值. 【解】设打折前的每次健身费用为 a 元， 由题意得0.6 a ＝15，解得 a ＝25，即打折前的每次健身费用为25元， k2表示每次健身按八折优惠的费用，故 k2＝25×0.8＝20. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 (3)七年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择 哪种方案所需费用更少？说明理由. 【解】由(1)(2)得 y1＝15 x ＋30， y2＝20 x ， 当小华计划健身8次，即 x ＝8时， y1＝15×8＋30＝150， y2＝20×8＝160， 因为150＜160， 所以方案一所需费用更少. 答：选择方案一所需费用更少. 1 2 3 4 5 6 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第六章　一次函数 专题　一次函数中的三类易错题的警示练习 类型1　忽略一次函数定义及性质中的限制条件 1. [2024·济南历下区月考]若函数 y ＝( m －1) ＋3是一次 函数，则 m 的值为(　A　) A. －1 B. 1 C. 0 D. －1或1 【点拨】 由题意得 m2＝1，且 m －1≠0，所以 m ＝－1. A 1 2 3 4 5 6 2. 已知函数 y ＝(2 m －9) x｜ m｜－5是正比例函数，且图象经过 第二、四象限，则 m 的值为 ⁠. 【点拨】 由题意可得2 m －9＜0，｜ m ｜－5＝1，所以 m ＝－6. －6　 1 2 3 4 5 6 类型2　条件指向不明时忘记分类讨论 3. 在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝－2 x ＋8的图象 经过点 A (2， a )，且交 y 轴于点 B . (1)求点 A 的坐标； 【解】将 A (2， a )的坐标代入 y ＝－2 x ＋8， 得 a ＝－2×2＋8＝4，所以点 A 的坐标为(2，4). (2)若点 P 为此一次函数图象上一点，且△ POB 的面积为 12，求点 P 的坐标. 1 2 3 4 5 6 【解】设点 P 的坐标为( m ，－2 m ＋8).当 x ＝0时， y ＝ －2 x ＋8＝8，所以点 B (0，8)，所以 OB ＝8，所以 S△ POB ＝ OB ×｜ m ｜＝4×｜ m ｜＝12，解得 m ＝3或 m ＝－3，当 m ＝3时，－2 m ＋8＝2，当 m ＝－3时，－2 m ＋8＝14.所以点 P 的坐标为(－3，14)或 (3，2). 1 2 3 4 5 6 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1： y ＝ x ＋5与 x 轴 交于点 A ，与直线 l2： y ＝－5 x ＋5交于点 B ，直线 l2与 x 轴交于点 C . 已知 l2上的一点 M 到 l1的距离是2，求点 M 的 坐标. 1 2 3 4 5 6 【解】如图，当点 M 在直线 l1的下方时，过点 M 作 MH ⊥ AC 于点 H ， MT ⊥ AB 于点 T ，连接 AM . 因为点 M 在 l2 上，所以可设 M ( xM ，－5 xM ＋5).由题意，得 B (0，5)， A (－12，0)， C (1，0)，所以 OA ＝12， OB ＝5， AC ＝ 13，所以 AB ＝ ＝13.因为 S△ ABC ＝ S△ AMB ＋ S△ AMC ，所以 × 13×5＝ ×13× MT ＋ ×13× MH . 1 2 3 4 5 6 又因为点 M 到 l1的距离为2，即 MT ＝2，所以 MH ＝3，所以 －5 xM ＋5＝3，解得 xM ＝ ，所以 M . 当点 M 在直线 l1的上方时，同理可得 M . 综上所述，点 M 的坐标 为 或 . 1 2 3 4 5 6 类型3　忽略自变量的取值范围 5. [新考法·程序计算题2023·日照东港区二模] 如图是一个运 算程序的示意图，若输出 y 的值为2，则输入 x 的值可能为 (　C　) A. 3 B. ±1 C. 1或3 D. ±1或3 1 2 3 4 5 6 【点拨】 当 x ＋1＝2时， x ＝1，不符合 x ≤0；当 x2＋1＝2时， x ＝ ±1，此时 x ＝1符合0＜ x ＜3；当 ＝2时， x ＝3，符合 x ≥3.所以 x ＝3或 x ＝1. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 6. 某种书的售价为 a 元/本，如果一次购买10本以上，超过10 本的部分打8折.下面用列表法表示了购买该种书的数量 x (本)和付款金额 y (元)这两个变量的对应关系. 购买该种书的数量x/本 1 5 10 15 20 付款金额y/元 a 40 80 112 b (1) a ＝ ， b ＝ ⁠； 8　 144　 1 2 3 4 5 6 (2)求 y 与 x 之间的函数关系式； 【解】由(1)可知该种书的售价为8元/本，当0≤ x ≤10， 且 x 为整数时， y ＝8 x .当 x ＞10，且 x 为整数时， y ＝ 8×10＋8× ( x －10)＝6.4 x ＋16.综上所述， y 与 x 之 间的函数关系式为 y ＝ 1 2 3 4 5 6 (3)小强一次购买该种书恰好花了92.8元，求他购买了多少 本该种书. 【解】经分析知小强一次购买该种书的数量大于10本. 由(2)知，当 x ＞10时， y ＝6.4 x ＋16，将 y ＝92.8代 入，得92.8＝6.4 x ＋16，解得 x ＝12. 答：他购买了12本该种书. 1 2 3 4 5 6 $$