精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题（B卷）

丰城九中新八年级数学开学考试B卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将分解因式，所得结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 4. 按如图所示的运算程序，能使输出结果为12的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝18，DE＝3，AB＝7，则AC长是（　　） A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 6. 如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连接．则下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中正确的有其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若、、是三角形的三边，化简：__________． 8. 若x+y﹣1＝0，则＝_____． 9. 点关于x轴对称的点B的坐标是，的值为___________． 10. 定义，若，则 x 的值为___． 11. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C（4，﹣4），则点B的坐标为_____． 12. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 三、解答题（共5题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 已知，化简并求值： 15. 分解因式： （1） （2） 16. 如图，点为的边上一点，，，求的度数． 17. 如图，已知，，、是上的两点，且．试证明：． 四、解答题（共3题，每小题8分，共24分） 18. 如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）； （2）． 19. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1______；图2______；（用字母表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： （1）画出三角形关于轴的对称图形（注意标出对应点字母）； （2）求三角形的面积； （3）在轴上找一点，使最小，在图中画出点，（保留作图痕迹），并写出点的坐标______． 五、解答题（共2题，每小题9分，共18分） 21. 所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种 很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2： 例1：分解因式 解：原式 例2：化简： 解：原式 阅读以上材料，请回答以下问题： （1）分解因式：______； （2）化简：； （3）利用配方法求的最小值． 22. 如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接． （1）若，求证：； （2）试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 六、解答题（共1题，共12分） 23. 如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． （1）如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中新八年级数学开学考试B卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则可判断A，根据同类项的定义可判断B，根据积的乘方与同类项定义可判断C，根据平方差公式可判断D． 【详解】解：A. ，故选项A计算不正确； B. 与不是同类项，不能合并，，故选项B计算不正确； C. 与不是同类项，不能合并， ，故选项C计算不正确； D. ，故选项D计算正确． 故选择D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同类项的识别与合并同类法则，积的乘方，平方差公式，掌握同底数幂的乘法，同类项的识别与合并同类法则，积的乘方，平方差公式是解题关键． 2. 将分解因式，所得结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 3. 等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可，分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形是解决此题的关键． 【详解】是腰长时，三角形的三边分别为、、， ∵， ∴不能组成三角形， 是腰长时，三角形的三边分别为， ∵， ∴能组成三角形， ∴周长, 综上所述，此三角形的周长是， 故选：C． 4. 按如图所示的运算程序，能使输出结果为12的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把x与y的值代入计算即可做出判断． 【详解】解：A. 时，，故此选项不符合题意； B. 时，，符合题意； C. 时，，故此选项不符合题意； D. 时，，故此选项不符合题意； 故选：B 【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝18，DE＝3，AB＝7，则AC长是（　　） A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出△ABD的面积，再得出△ADC的面积，最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，从而得解． 【详解】∵DE=3，AB=7， ∴△ABD的面积为×3×7＝， ∵S△ABC=18， ∴△ADC的面积=18-=， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴AC边上的高=DE=3， ∴AC=×2÷3=5， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连接．则下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中正确的有其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质得，，，，所以，，则利用“”可判定，所以，，则可对①②进行判定；再证明得到，则可对③进行判定；过点C作于点P，作于点Q，证明，即可判定④正确；证明，得出，根据，即可判定⑤正确． 【详解】解：∵、均是等边三角形， ∴，，，， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴，，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故③正确； 过点C作于点P，作于点Q，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有5个． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 若、、是三角形的三边，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，判断出每一个绝对值内多项式的符号，脱去绝对值，去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，去括号，合并同类项等知识，其中根据绝对值内的数的符号正确去绝对值是解决本题关键． 8. 若x+y﹣1＝0，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，然后把已知条件变形后代入进行计算即可． 【详解】解：原式= ， 把x+y-1=0变形为x+y=1代入，得 原式=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式，正确的进行代数式的变形是解题的关键． 9. 点关于x轴对称的点B的坐标是，的值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】由点关于x轴对称的点B的坐标是，可得，计算求出的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点B的坐标是， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的特征，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 10. 定义，若，则 x 的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据和，可以得到相应的方程，从而可以得到x的值． 【详解】∵，， ∴（x−1）（x−1）−（x−3）（x＋7）＝10 ∴x2−2x＋1−x2−7x＋3x＋21＝10 ∴−6x＋22＝10， 解得，x＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查整式的混合运算、新定义、解方程，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法、会解答方程． 11. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C（4，﹣4），则点B的坐标为_____． 【答案】（0，8） 【解析】 【分析】过C作CD⊥x轴于D，判定△ABO≌△CAD，即可得到AO=CD，BO=AD，再根据OD=4=CD，可得AO=4，进而得出AD=BO=8，进而得到点B的坐标． 【详解】如图，过C作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠BOA=90°，如图所示： ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABO+∠BAO=90°=∠CAD+∠BAO， ∴∠ABO=∠CAD， ∴△ABO≌△CAD， ∴AO=CD，BO=AD， ∵C（4，﹣4）， ∴OD=4=CD， ∴AO=4， ∴AD=4+4=8， ∴BO=8， ∴B（0，8）， 故答案为：（0，8）. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 三、解答题（共5题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差和完全平方公式计算即可； （2）根据实数的运算法则计算即可得出结论． 【详解】（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题考查了平方差和完全平方公式，实数的运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 14. 已知，化简并求值： 【答案】，13 【解析】 【分析】先计算乘法公式与单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据偶次方的非负性求出的值，代入计算即可得． 【详解】解： ， ， ， ，， 解得， 则原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值、偶次方的非负性，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 15. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，点为的边上一点，，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】由得出，度数，利用外角性质定理求出度数，再根据求出和，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟记定理和性质是解题的关键． 17. 如图，已知，，、是上的两点，且．试证明：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴，即， 在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据题意证明，得出，进而证明，根据全等三角形的性质得出． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 四、解答题（共3题，每小题8分，共24分） 18. 如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2） 证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1______；图2______；（用字母表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】问题呈现：； 数学思考：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图；图； 故答案为：；； 数学思考：（1），， ， 的值为； （2）设，， ， ， ， ， 的值为； 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下列问题： （1）画出三角形关于轴的对称图形（注意标出对应点字母）； （2）求三角形的面积； （3）在轴上找一点，使最小，在图中画出点，（保留作图痕迹），并写出点的坐标______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3）则点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 点P的坐标为：． 五、解答题（共2题，每小题9分，共18分） 21. 所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种 很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2： 例1：分解因式 解：原式 例2：化简： 解：原式 阅读以上材料，请回答以下问题： （1）分解因式：______； （2）化简：； （3）利用配方法求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）13 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用， （1）利用例1中给出的方法分解因式即可； （2）利用例2中给出的方法求解，进一步开方即可； （3）分组分解，利用非负数的性质求得最小值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴的最小值是13． 22. 如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接． （1）若，求证：； （2）试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ；理由如下： 是等边三角形， ， 过作，交的延长线于点，如图②： ，， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ∴， ， 在和中， ∵， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． （1）证明得到是线段的垂直平分线，推出，利用平行线的判定定理即可证明； （2）过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、解答题（共1题，共12分） 23. 如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． （1）如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】（1）①；②，； （2） 解：补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）①证明，得出，则可得出结论； ②连接，，证明，得出，，则可得出结论； （2）根据题意补全图形，证明，得出，，则可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $