第二章 一元二次方程 同步训练课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第1课时　认识一元二次方程 同步训练 九年级上册 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是(　C　) A. x2＋3 x ＋ y ＝0 B. x2－ ＝1 C. x2＋ x －1＝0 D. ax2＋ bx ＋ c ＝0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1星题　夯实基础 2. [2024汉中月考]关于 x 的方程 kx2－ x ＋1＝0是一元二次方 程，则 k 的取值范围是 ⁠. k ≠0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3. [2024咸阳月考]若关于 x 的方程 xm－2＋2 x －5＝0是一元二 次方程，则 m ＝ ⁠. 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 知识点2 一元二次方程的一般形式 4. [2024西安模拟 教材P32随堂练习T2变式]把一元二次方程 x(x－3)＝4化成ax2＋bx＋c＝0的一般形式，其中a＝1，常 数项c＝ ⁠. －4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. [2023渭南月考]把下列方程化为一元二次方程的一般形 式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)81＝4 x2；　　　　(2)3 x ( x ＋6)＝2. 解：(1)化为一般形式为4 x2－81＝0，它的二次项系数 为4，一次项系数为0，常数项为－81. (2)化为一般形式为3 x2＋18 x －2＝0，它的二次项系数 为3，一次项系数为18，常数项为－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 知识点3 建立一元二次方程模型 6. 【情境题】在一幅长8 dm ，宽6 dm 的矩形风景画的四周 外围镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整 个挂图的面积是80 dm2，设金色纸边的宽度为x dm ，则可 列方程为 ⁠. (8＋2 x )(6＋2 x )＝80　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. [教材P32习题T1(2)变式]两个相邻奇数的积是195，求这 两个奇数，设较小的奇数为 x ，则可列方程为 ⁠ ⁠. x ( x ＋2) ＝195　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. 【新考向·数学文化】我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株 椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现 请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文，如果每株椽 的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好 等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批 椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是(　A　) A A. 3( x －1) x ＝6 210 B. ( x －1) x ＝6 210 C. (3 x －1) x ＝6 210 D. 3( x －1)＝6 210 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2星题　提升能力 9. 【易错题·23汉中月考】若关于 x 的一元二次方程3 ax2＋ a2 x ＋ a ＋9＝6 x2＋4 x 没有一次项，则 a ＝ ⁠. 【点易错】解本题时易因忽视一元二次方程中二次项系数 不为0而致错. －2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 【2024中山期中 新视角·存在性探究题】某中学数学兴趣 小组对关于 x 的方程( m ＋1) x｜ m｜＋1＋( m －2) x －1＝0 提出了下列问题： (1)是否存在 m 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出 m 的值，并解此方程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解：(1)存在.∵｜ m ｜＋1≥1，∴当｜ m ｜＋1＝1且 m ＋1＋ m －2≠0或 m ＋1＝0且 m －2≠0时方程为一元一次方程.当｜ m ｜＋1＝1且 m ＋1＋ m －2≠0时，解得 m ＝0，此时方程为 x －2 x －1＝0，解得 x ＝－1； 当 m ＋1＝0且 m －2≠0时，解得 m ＝－1，此时方程为－3 x －1＝0，解得 x ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. 【2024中山期中 新视角·存在性探究题】某中学数学兴趣小组对关于 x 的方程( m ＋1) x｜ m｜＋1＋( m －2) x －1＝0 提出了下列问题： (2)是否存在 m 的值，使方程为一元二次方程？若存在， 求出 m 的值. 解：(2)存在.由题意可得解得 m ＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $$第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第2课时　一元二次方程的解及其估算 同步训练 九年级上册 知识点1 一元二次方程的解 1. 下列以－3为一根的一元二次方程是(　C　) A. x2＋2 x ＝0 B. x2＝ x C. x2＋ x ＝6 D. x2＋3 x －2＝0 C 2 3 4 5 6 7 8 1 1星题　夯实基础 2. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋ bx －2＝0的一个根为 x ＝ －1，则 b 的值为(　A　) A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 A 2 3 4 5 6 7 8 1 知识点2 估算一元二次方程的近似解 3. 【新考法·过程探究法】如图，将一张长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剩余部分(阴影部分)可制成一个底面积是12 cm2的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长.小华在做这道题时，设剪去的正方形的边长为x cm ，列出关于x的方程为(8－2x)(6－2x)＝12，整理得x2－7x＋9＝0. 2 3 4 5 6 7 8 1 他想知道剪去的正方形的边长到底是多少，下面是他的探索 过程. 第一步： x －1 0 1 2 x2－7x＋9 17 9 3 －1 因此 ＜ x ＜ ⁠. 3 －1 1　 2　 2 3 4 5 6 7 8 1 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 x2－7 x ＋9 0.75 0.36 －0.01 －0.36 因此 ＜ x ＜ ⁠. (1)请你帮助小华补全探索过程； (2)通过以上探索，估计剪去的正方形的边长的整数部分 是 ，十分位是 ⁠. －0.01 －0.36 1.6　 1.7　 1　 6　 2 3 4 5 6 7 8 1 4. [2023东营改编 教材P33做一做变式]根据下列表格的对应 值，判断方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0.05( a ≠0， a ， b ， c 为常 数)一个解的范围是(　C　) x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋ bx ＋ c －0.06 －0.02 0.03 0.09 C A. 3.23＜ x ＜3.24 B. 3.24＜ x ＜3.25 C. 3.25＜ x ＜3.26 D. 3.26＜ x ＜4 2 3 4 5 6 7 8 1 2星题　提升能力 5. [2024安康期末]关于 x 的一元二次方程( m －2) x2＋ x ＋ m2 －4＝0有一根为0，则 m ＝ ⁠. －2　 2 3 4 5 6 7 8 1 6. 【新考法·整体代入法】若 x ＝2是关于 x 的方程 mx2－ nx ＝9的解，则2 024－8 m ＋4 n 的值为 ⁠. 2 006　 2 3 4 5 6 7 8 1 7. 已知一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0，若方程有一个根为 －2，则4 a －2 b ＋ c ＝ ；若4 a ＋2 b ＋ c ＝0，则方程 有一个根为 ⁠. 0　 2　 2 3 4 5 6 7 8 1 8. 【新考向·数学文化】阿拉伯数学家塔比·伊本·库拉 (Thabit ibn Qurra)在其著作《以几何方法证明代数问 题》中讨论了二次方程的几何解法.例如，可以用如图来 解关于 x 的方程 x2＋ mx ＝ n ，其中四边形 ABFE 为长方 形，四边形 ABCD 为正方形，且 DE ＝ m ， BF × CD ＝ n ，则方程 x2＋ mx ＝ n 的其中一个正根为(　B　) B A. DE 的长 B. AB 的长 C. AE 的长 D. BE 的长 2 3 4 5 6 7 8 1 3星题　发展素养 点拨：设正方形 ABCD 的边长为 a ，则 AB ＝ CD ＝ BC ＝ a .∵ BF ＝ BC ＋ CF ＝ BC ＋ DE ＝ a ＋ m ，∴ BF × CD ＝( a ＋ m )× a ＝ n ，∴ a2＋ ma ＝ n ，则方程 x2＋ mx ＝ n 的其中一个正根为 AB 的长. 2 3 4 5 6 7 8 1 $$九年级上册 第二章一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 第1课时】 用配方法解简单的一元二次方程 同步训练 1星题 夯实基础 知识点1直接开平方法 1.方程x2=4的根是(C) A.x=2 B.x=一2 C.x1=2,X2=-2 D.x=4 23456789101112131415 2.2024西安月考1用直接开平方法解下列一元二次方程，其 中无解的方程为(C) A.x2-2=0 B.x2=0 C.x2十4=0 D.-x2+1=0 23456789101112131415 3.一元二次方程(x+2)2=16用直接开平方法求解，转化成 一元一次方程，其中一个方程为x十2=4，则另一个方程 为x十2=-4. 123456789101112131415 4.解方程：(x-1)2=4. 解：直接开平方，得x一1=±2 即x一1=2，或x一1=一2. 解得x1=3,x2=一1· 123456789101112131415 5.用直接开平方法解下列一元二次方程. (1)2x-1)2=36; 解：开平方，得2x一1=±6， 解得x=一，2= 123456789101112131415 2)2(x+3)2-18=0. 解：移项，得2(x+3)2=18,∴.(x十3)2=9， 开平方，得x十3=士3， 解得x1=0,x2=一6. 123456789101112131415 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 6.2024榆林期末用配方法解一元二次方程x2十+6x一4=0 时，以下变形正确的是(A) A.(x+3)2=13 B.(x-3)2=13 C.(x-6)2=4 D.(x+6)2=4 12345 6789101112131415 7.[教材P36做一做变式]填空： (1)x2+8x+16=(x+4)2; (2)x2-12x+36=(x-6)2; 3)2+5x+空=(x+ ④-x+日=(x-是卫 1234567 89101112131415 8.解方程：x2十10x十4=0. 解：移项，得x2十10x=一4 两边都加25，得x2十10x十25=21. 左边写成完全平方的形式，得(x十5)2=21. 两边开平方，得x十5=±√21 即x十5=V21,或x+5=一V21, 所以x1=√21一5，x2=-V21一5· 234567 8 9101112131415第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程 第2课时　用配方法解较复杂的一元二次方程 同步训练 九年级上册 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1. 用配方法解方程2x2－x－6＝0时，配方的过程如下，开始 出现错误的一步是(　C　) ①2 x2－ x ＝6；② x2－ x ＝3； ③ x2－ x ＋ ＝3＋ ；④ ＝3 . C A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1星题　夯实基础 2. [2023福州]用配方法解方程2 x2＋4 x －7＝0，下列变形结 果正确的是(　B　) A. ( x ＋1)2＝ B. ( x ＋1)2＝ C. ( x ＋2)2＝3 D. ＝7 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3. [教材P38例2变式]用配方法解一元二次方程2 x2－5 x ＋2＝0. 解：两边同除以2，得 x2－ ＋1＝0. 配方，得 x2－ x ＋ 　 　－ 　 　＋1＝0. ∴ ＝ 　 　. 两边开平方，得 x － ＝ 　± 　. ∴ x1＝ ， x2＝ ⁠. x 　 　 　 　 ± 　 2　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4. [2024南京月考]一元二次方程2 x2－8 x ＋ a ＝0配方后化为 2( x －2)2＝4，则 a 的值为 ⁠. 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 5. [教材P39随堂练习变式]用配方法解下列方程： (1)2 x2＋4 x －1＝0； 解：两边同除以2，得 x2＋2 x － ＝0，配方，得 x2＋2 x ＋1－1－ ＝0，∴( x ＋1)2＝ ，两边开平方，得 x ＋ 1＝± ，∴ x1＝－1＋ ， x2＝－1－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2)3 x2－6 x ＋2＝0； 解：两边同除以3，得 x2－2 x ＋ ＝0，配方，得 x2－2 x ＋1－1＋ ＝0，∴( x －1)2＝ ，两边开平方， 得 x －1＝± ，∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (3)2 x2＋1＝3 x . 解：移项，得2 x2－3 x ＋1＝0，两边同除以2，得 x2－ x ＋ ＝0，配方， 得 x2－ x ＋ － ＋ ＝0， ∴ ＝ ，两边开平方，得 x － ＝± ， ∴ x1＝1， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6. [2023宝鸡期中]若方程4 x2－( m －2) x ＋1＝0的左边可以 写成一个完全平方式，则 m 的值为(　B　) A. －2 B. －2或6 C. 2或－6 D. 6 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2星题　提升能力 7. [2024榆林月考]已知关于 x 的方程4 x2－ px ＋ q ＝0通过配 方可变形为 ＝ ，则 的值为(　A　) A. －4 B. 4 C. －8 D. 8 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 8. 【新考法·作差法】已知 P ＝2 x2－ x ， Q ＝ x －2( x 为任意 实数)，则 P ， Q 的大小关系为(　A　) A. P ＞ Q B. P ＝ Q C. P ＜ Q D. 无法确定 点拨：∵ P ＝2 x2－ x ， Q ＝ x －2，∴ P － Q ＝2 x2－ x － ( x －2)＝2 x2－2 x ＋2＝2 ＋ ＞0，∴ P ＞ Q . A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 9. 【新考法·数形结合法】如图，已知点 A ， B ， C 在数轴上的位置如图， O 为原点，且 O 为 AB 的中点， B 为 AC 的中点，若点 B 表示的数为 x ，点 C 表示的数为4 x2－5 x －2，则 x 的值是 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 ∵ B 为 AC 的中点，∴ x ＝ ，整理方程得4 x2 －8 x －2＝0，解得 x ＝1＋ 或 x ＝1－ . ∵ x ＞0，∴ x ＝1＋ . 点拨：∵ O 为原点，且 O 为 AB 的中点，点 B 表示的数为 x ，∴点 A 表示的数是－ x . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 10. [2024延安模拟]下面是甲、乙两名同学解方程3 x2＋12 x －7＝0的部分过程： 请判断他们的解答过程是否正确.若其中至少有一名同学的解答过程正确，请选择一名同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：甲、乙两名同学的解答过程都正确. 甲：3 x2＋12 x ＝7，9 x2＋36 x ＝21，9 x2＋36 x ＋36＝ 57，(3 x ＋6)2＝57，3 x ＋6＝± ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 乙：3 x2＋12 x ＝7， x2＋4 x ＝ ， x2＋4 x ＋4＝ ＋4， ( x ＋2)2＝ ， x ＋2＝± ， ∴ x1＝ －2， x2＝－ －2.(任选其一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 11. 【荣德原创】有 n 个方程：4 x2＋8 x ＋3＝0；4 x2＋16 x ＋15 ＝0；…；4 x2＋8 nx ＋4 n2－1＝0.小静同学解第一个方程4 x2＋8 x ＋3＝0的步骤为： ① x2＋2 x ＝－ ；② x2＋2 x ＋1＝ ； ③( x ＋1)2＝ ；④ x ＋1＝± ； ⑤ x ＝1± ；⑥ x1＝ ， x2＝ . (1)小静的解法从步骤 开始出现错误； (2)用配方法解第 n 个方程4 x2＋8 nx ＋4 n2－1＝0.(用含有 n 的式子表示方程的根) ⑤　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：移项，得4 x2＋8 nx ＝1－4 n2， 两边同时除以4，得 x2＋2 nx ＝ ， 配方，得 x2＋2 nx ＋ n2＝ n2＋ ，即( x ＋ n )2＝ ， 两边同时开平方，得 x ＋ n ＝± ， ∴ x1＝－ n ＋ ， x2＝－ n － . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12. 【2024安康模拟 新视角·动点探究题】如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝12 cm， BC ＝16 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开 始沿 BC 边向点 C 以2 cm/s的速度移动，如果 P ， Q 分别 从 A ， B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也 随之停止运动.设运动的时间为 t s. (1)当 t 为何值时，△ PBQ 的面积等于35 cm2？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解得 t1＝5， t2＝7. 故当 t 为5或7时，△ PBQ 的面积等于35 cm2. 解：(1)根据题意知 BQ ＝2 t cm， AP ＝ t cm，0＜ t ≤8， ∴ BP ＝ AB － AP ＝(12－ t ) cm. ∵ S△ PBQ ＝ BQ · BP ＝35 cm2， ∴ ·2 t (12－ t )＝35， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12. 【2024安康模拟 新视角·动点探究题】如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝12 cm， BC ＝16 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开 始沿 BC 边向点 C 以2 cm/s的速度移动，如果 P ， Q 分别 从 A ， B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也 随之停止运动.设运动的时间为 t s. (2)当 t 为何值时， PQ 的长度等于8 cm？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 解：(2)∵ PQ2＝ BP2＋ BQ2， ∴(8 )2＝(12－ t )2＋(2 t )2， 解得 t1＝ ， t2＝4. 故当 t 为 或4时， PQ 的长度等于8 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 13. [2023西安模拟 新考向·数学文化]如图，我国古代伟大的 数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等 的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方 法所得的图形证明了勾股定理.若 a ＝4， b ＝6，则正方 形的边长为 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3星题　发展素养 点拨：如图，由题意可得 AG ＝ AD ＝ a ＝4， CF ＝ CD ＝ b ＝6， ∴ AC ＝ a ＋ b ＝10. 设正方形的边长为 x ，则 AB ＝4＋ x ， BC ＝6＋ x . 在Rt△ ABC 中， AB2＋ BC2＝ AC2，即(4＋ x )2＋(6＋ x )2＝ 102，解得 x ＝2或 x ＝－12(舍去)，∴正方形的边长为2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程 第1课时　公式法 同步训练 九年级上册 知识点1 用公式法解一元二次方程 1. 用公式法解一元二次方程3x2＝2x－3时，先要确定a，b， c的值，下列正确的是(　D　) A. a ＝3， b ＝2， c ＝3 B. a ＝－3， b ＝2， c ＝3 C. a ＝3， b ＝2， c ＝－3 D. a ＝3， b ＝－2， c ＝3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1星题　夯实基础 2. 【2023榆林期中 新考法·逆向思维法】 x ＝ 是下列哪个一元二次方程的根？(　C　) A. 2 x2＋ x －3＝0 B. x2－2 x －3＝0 C. 2 x2－ x －3＝0 D. x2＋2 x －3＝0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3. [2024西安月考]用公式法解一元二次方程3 x2－2 x －1＝0 时，计算 b2－4 ac 的结果为(　D　) A. 8 B. －8 C. 14 D. 16 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 4. [2023西安碑林区期中]用公式法解一元二次方程： ( x －2)(3 x －5)＝0. 解：方程化为3 x2－11 x ＋10＝0， 则 a ＝3， b ＝ ， c ＝10. ∵ b2－4 ac ＝ －4×3×10＝1＞0， ∴ x ＝ 　 　＝ 　 　， 即 x1＝ ， x2＝ . －11　 (－11)2　 　 　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 5. [教材P43习题T2变式]用公式法解下列方程： (1)2 x2＋8 x －1＝0； 解：∵ a ＝2， b ＝8， c ＝－1， ∴ b2－4 ac ＝82－4×2×(－1)＝72＞0， ∴ x ＝ ＝ ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2) x2＋5＝3( x ＋2). 解：将方程化为一般形式为 x2－3 x －1＝0， ∴ a ＝1， b ＝－3， c ＝－1，∴ b2－4 ac ＝13＞0， ∴ x ＝ ＝ ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 知识点2 一元二次方程根的判别式 6. 一元二次方程x2＋4x＋2＝0的根的判别式的值为(　A　) A. 8 B. 24 C. 2 D. ±2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 7. [教材P43随堂练习T1变式]方程2 x2－7 x ＋5＝0的根的情 况是(　B　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8. [2024西安铁一中月考]若关于 x 的一元二次方程 x2＋ ( m －2) x ＋ m ＋1＝0有两个相等的实数根，则 m 的值为 (　C　) A. 0 B. 8 C. 0或8 D. 2或8 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9. [教材P43随堂练习T1变式]不解方程，判断下列一元二次 方程的根的情况： (1) x2－2 x －5＝0； 解：此方程有两个不相等的实数根. (2)4 x2＋4 x ＋1＝0； 解：此方程有两个相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (3) x2－3 x ＋4＝0； 解：此方程有两个不相等的实数根. (4)5 x2＋5 x ＝4 x2－10. 解：此方程无实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 10. 【新考法·逐项判断法】下列选项中，能使关于 x 的一元 二次方程 ax2－5 x － m ＝0一定有实数根的是(　D　) A. a ＞0 B. a ＝0 C. m ＞0 D. m ＝0 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2星题　提升能力 点拨：由题意可得Δ＝(－5)2－4 a ·(－ m )＝25＋4 am .当 a ＞0时，若 m ＜0，不能保证Δ≥0，故A选项不合题意； 当 a ＝0时， ax2－5 x － m ＝0不是一元二次方程，故B选 项不合题意；当 m ＞0时，若 a ＜0，不能保证Δ≥0，故 C选项不合题意；当 m ＝0时，Δ＝25＞0，故D选项符合 题意.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 11. [2024天津期中]已知方程 x2－5 x ＋ a ＋3＝0有两个正整 数根，则 a 的值是(　C　) A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或4 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 点拨：∵方程的根是 x ＝ ，且是两个正整数 根，∴25－4( a ＋3)＝13－4 a 为完全平方数，∴ a 可取1 或3.当 a ＝1时，方程的根为 x1＝1， x2＝4；当 a ＝3时， 方程的根为 x1＝2， x2＝3.综上可得 a ＝1或3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 12. [2024西安未央区模拟]已知等腰三角形 ABC 的底边长为 3，两腰长恰好是关于 x 的一元二次方程 kx2－( k ＋3) x ＋6＝0的两根，则△ ABC 的周长为(　B　) A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 点拨：由题意得Δ＝[－( k ＋3)]2－4· k ·6＝0， 解得 k1＝ k2＝3.则方程为 x2－6 x ＋6＝0，整理得( x －2)2 ＝0，解得 x1＝ x2＝2.因此，等腰三角形 ABC 的三边 长分别为3，2，2，则△ ABC 的周长为3＋2＋2＝7. B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 13. 【新视角·新定义题】定义新运算“*”，规则：a*b＝ 如1*2＝2，(－ )* ＝ .若 x2＋ x －1＝ 0的两根分别为 x1， x2，则 x1*x2＝ ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 点拨：∵ a ＝1， b ＝1， c ＝－1，∴ b2－4 ac ＝12－ 4×1×(－1)＝5，∴ x ＝ ，∴ x1＝ ， x2＝ 或 x1＝ ， x2＝ .∵ ＞ ， ∴ x1*x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 14. 用公式法解方程： (1)3 x2＋1＝2 x ； 解：将原方程化为一般形式为3 x2－2 x ＋1＝0，则 a ＝3， b ＝－2 ， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－2 )2－4×3×1＝12－12＝0， ∴ x ＝ ， ∴ x1＝ x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)( x ＋5)( x －1)＝7. 解：将原方程化为一般形式为 x2＋4 x －12＝0， 则 a ＝1， b ＝4， c ＝－12， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝42－4×1×(－12)＝64， ∴ x ＝ ＝－2±4， ∴ x1＝2， x2＝－6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 15. [2024宝鸡月考]不解方程，判断关于 x 的方程( m ＋2) x2 －2 mx ＋ m －1＝0的根的情况. 解：(1)当 m ＋2＝0，即 m ＝－2时，方程为一元一次方 程，有一个实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 (2)当 m ＋2≠0，即 m ≠－2时，方程为一元二次方程， ∵ a ＝ m ＋2， b ＝－2 m ， c ＝ m －1，∴Δ＝(－2 m )2－4( m ＋2)( m －1)＝－4 m ＋8. 当－4 m ＋8＞0，即 m ＜2，且 m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根； 当－4 m ＋8＝0，即 m ＝2时，方程有两个相等的实数根； 当－4 m ＋8＜0，即 m ＞2时，方程没有实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16. 已知关于 x 的方程 x2－( k ＋2) x ＋2 k ＝0. (1)试说明 k 取任何实数，方程总有实数根，并求出方程的根； 解：(1)∵Δ＝ b2－4 ac ＝[－( k ＋2)]2－4×1×2 k ＝( k －2)2≥0， ∴ k 取任何实数，方程总有实数根. x ＝ ＝ ， ∴ x1＝ k ， x2＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3星题　发展素养 16. 已知关于 x 的方程 x2－( k ＋2) x ＋2 k ＝0. (2)若△ ABC 为直角三角形，且斜边 a ＝4，另两边长 b ， c 恰好是这个方程的两个根，求出 k 的值. 解：(2)由(1)知，方程的两根为 x1＝ k ， x2＝2， 不妨设 b ＝ k ， c ＝2，∴ k ＞0. 根据题意知 b2＋ c2＝42， ∴ k2＋22＝16， ∴ k ＝±2 . ∵ k ＞0，∴ k ＝2 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程 第2课时　用一元二次方程解决面积问题 同步训练 九年级上册 知识点 用一元二次方程解决面积问题 1. [2023宁波期中]用总长为50 m的篱笆围成一个面积为100 m2的矩形场地，设矩形场地的一边长为 x m，根据题意， 可列方程为(　B　) A. x (50－ x )＝100 B. x (25－ x )＝100 C. x (50＋ x )＝100 D. x (25＋ x )＝100 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　夯实基础 2. [2024西安西工大附中模拟]一农户家承包了一块矩形荒 地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示.已知矩 形荒地的长 AD ＝60 m，宽 AB ＝17 m，阴影部分为大 棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870 m2，则 通道宽为 ⁠. 1 m　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. [陕西人文信息手工艺]“靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡 景区的人民依靠制作手工艺品走出了一条致富路.如图是 一个长方形藤编相框摆件，若内框与外框之间的宽度相等 且内外框之间部分的面积与内框的面积相等，那么内框与 外框之间的宽度是 ⁠. 5 cm　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. [教材P57复习题T8变式]某工厂生产一批无盖盒子，如 图，把长为50 cm，宽为40 cm 的长方形铁皮的四角各截去 一个大小相同的正方形，然后把每边折起来，做成一个无 盖的盒子.若盒子的底面积(阴影部分)为600 cm2，则盒子 的高为 ⁠. 10 cm　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. [教材P45习题T2变式]如图，用总长为40 m的篱笆围成一 个一边靠墙的矩形养鸡场，墙长25 m. (1)设养鸡场与墙垂直的一边 AB 的长为 x m，请用含 x 的 代数式表示养鸡场的面积，并求出 x 的取值范围. 解：(1)这个养鸡场的面积为 x (40－2 x )＝(－2 x2＋40 x ) m2. ∵0＜40－2 x ≤25， ∴7.5≤ x ＜20. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. [教材P45习题T2变式]如图，用总长为40 m的篱笆围成一 个一边靠墙的矩形养鸡场，墙长25 m. (2)养鸡场的面积能否等于150 m2？若能，求出此时 AB 的 长；若不能，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ∴这个矩形养鸡场的面积能等于150 m2，此时 AB 的长为15 m. 解：(2)由题意可知－2 x2＋40 x ＝150， ∴ x2－20 x ＋75＝0. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝100＞0，∴ x ＝ ， ∴ x1＝5， x2＝15.∵7.5≤ x ＜20， ∴ x ＝15. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. [教材P57复习题T15变式]小华的父亲想把家里一块矩形 空地修建成蔬菜采摘园，已知矩形空地的长为40 m，宽为 19 m，父亲准备把它平均分成六个小矩形种植区，并在种 植区之间修出如图所示的等宽小路，要求种植区的总面积 占整个采摘园面积的90％，则小路的宽度为 ⁠. 1 m　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　提升能力 7. [2024西安模拟]如图，一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁 皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余 部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖长方体铁 盒，则该铁盒的体积为 ⁠. 48 cm3　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 点拨：设剪去的正方形的边长为 x cm，则制成的有盖长 方体铁盒的底面长为(10－2 x )cm，宽为 ＝(6－ x )(cm).依题意得(10－2 x )(6－ x )＝24， 整理得 x2－11 x ＋18＝0，解得 x1＝2， x2＝9(舍去). ∴10－2 x ＝6，6－ x ＝4. ∴该铁盒的体积为2×4×6＝48(cm3). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. [2023咸阳实验中学月考 教材P45习题T2变式]某公园需要 绿化的面积为52 000 m2，施工队在绿化了28 000 m2后， 将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了 该项绿化工程. (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)设原计划每天完成 x m2， ∴ － ＝4， 解得 x ＝2 000. 经检验， x ＝2 000是原方程的解. 故该项绿化工程原计划每天完成2 000m2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)在该项绿化工程中，需要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙(墙的最大可用长度为14 m)，其余部分由篱笆围成，共用篱笆22 m. 为了方便出入，在建造篱笆花圃时， 在 BC 上用其他材料造了两个宽为1 m 的小门，此时花圃的面积刚好为45 m2， 求此时花圃的长和宽. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)设 AB 为 y m，则 BC ＝22＋2－3 y ＝(24－3 y )m， ∴ y (24－3 y )＝45， 化简得 y2－8 y ＋15＝0， 解得 y1＝3， y2＝5. 当 y ＝3时，24－3 y ＝15＞14， 不符合题意，舍去， 当 y ＝5时，24－3 y ＝9＜14，符合题意. ∴ AB ＝5 m， BC ＝9 m. ∴花圃的长为9 m，宽为5 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【学科素养·应用意识】某公园要修建一个矩形广场，其 图案设计如图所示.矩形广场的长为50 m，宽为32 m，中 心建一个直径为10 m的圆形喷泉，四个角修建相同的矩形 花坛，图中阴影部分铺地砖.已知矩形花坛的长比宽多15 m，铺地砖的面积是1 125 m2. (1)求矩形花坛的宽是多少米；(π取3) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3星题　发展素养 解：(1)设矩形花坛的宽是 x m，则长是( x ＋15)m， 依题意得50×32－4 x ( x ＋15)－3×(10÷2)2＝1 125， 整理得 x2＋15 x －100＝0， 解得 x1＝5， x2＝－20(舍去). 因此矩形花坛的宽是5 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【学科素养·应用意识】某公园要修建一个矩形广场，其 图案设计如图所示.矩形广场的长为50 m，宽为32 m，中 心建一个直径为10 m的圆形喷泉，四个角修建相同的矩形 花坛，图中阴影部分铺地砖.已知矩形花坛的长比宽多15 m，铺地砖的面积是1 125 m2. (2)四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化，甲 工程队每平方米施工费为100元，乙工 程队每平方米施工费为120元.若完成 此工程的工程款不超过42 000元，至 少要安排甲工程队施工多少平方米？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)设安排甲工程队施工 y m2，则 安排乙工程队施工4×5×(5＋15)－ y ＝(400－ y )m2， 依题意得100 y ＋120(400－ y )≤42 000， 解得 y ≥300. 因此至少要安排甲工程队施工300 m2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$第二章　一元二次方程 4　用因式分解法求解一元二次方程 同步训练 九年级上册 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1. 方程(3x－2)(x－1)＝0的解是(　C　) A. x ＝1 B. x ＝ C. x1＝1， x2＝ D. x1＝1， x2＝ C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1星题　夯实基础 2. 一元二次方程 x2＋3 x ＝0的根是(　D　) A. x1＝0， x2＝3 B. x1＝1， x2＝3 C. x1＝1， x2＝－3 D. x1＝0， x2＝－3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3. 方程 x ＋1＝ x ( x ＋1)的解为(　D　) A. x ＝－1 B. x ＝0 C. x ＝1 D. x1＝1， x2＝－1 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 4. [教材P47习题T1变式]用因式分解法解下列方程： (1) x2－4 x ＝－4； 解：原方程可变形为 x2－4 x ＋4＝0， ∴( x －2)2＝0， ∴ x1＝ x2＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2)( x －2)2－3 x ( x －2)＝0； 解：原方程可变形为( x －2)( x －2－3 x )＝0， 即( x －2)(－2－2 x )＝0， ∴ x －2＝0，或－2－2 x ＝0， ∴ x1＝2， x2＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (3) x ( x ＋3)＝3 x ＋9； 解：原方程可变形为( x ＋3)( x －3)＝0， ∴ x ＋3＝0，或 x －3＝0， ∴ x1＝－3， x2＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (4)(3 y －4)2－ y2＝0. 解：原方程可变形为 (3 y －4＋ y )(3 y －4－ y )＝0， 即(4 y －4)(2 y －4)＝0， ∴4 y －4＝0，或2 y －4＝0， ∴ y1＝1， y2＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 5. 认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较合适. (1)4x2＝5，应选用 法； (2) x2＋16 x ＝5，应选用 法； (3)2( x ＋2)( x －1)＝( x ＋2)( x ＋4)，应选用 ⁠ 法； (4)2 x2－3 x －3＝0，应选用 法. 直接开平方　 配方　 因式 分解　 公式　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 6. 用适当的方法解下列方程： (1) x2－6 x ＋5＝0； 解：原方程可化为 x2－6 x ＝－5， ∴ x2－6 x ＋9＝－5＋9， ∴( x －3)2＝4， ∴ x －3＝±2， ∴ x1＝5， x2＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2)2( x －3)2＝ x ( x －3)； 解：移项得2( x －3)2－ x ( x －3)＝0， ∴( x －3)(2 x －6－ x )＝0， ∴( x －3)( x －6)＝0， ∴ x1＝3， x2＝6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (3) y2＋4＝3( y ＋1) . 解：原方程可化为 y2－3 y ＋1＝0， 则 a ＝1， b ＝－3， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－3)2－4×1×1＝5， ∴ y ＝ ＝ . ∴ y1＝ ， y2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 7. 若 x2－2 px ＋3 q ＝0的两根分别是－3和5，则多项式2 x2－ 4 px ＋6 q 可以分解为(　C　) A. ( x ＋3)( x －5) B. ( x －3)( x ＋5) C. 2( x ＋3)( x －5) D. 2( x －3)( x ＋5) C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2星题　提升能力 8. [2024榆林模拟]已知 k ， b 是一元二次方程( x ＋1)( x －1) ＝0的两个根，且 k ＞ b ，则函数 y ＝ kx ＋ b 的图象不经过 (　B　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 9. 若关于 x 的一元二次方程( k －1) x2＋ x － k2＝0的一个根为 1，则 k 的值为(　B　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 0或1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 10. [陕西人文信息传统文化]“房子半边盖”是陕西十大怪 之一，这种房子的结构是“人”字结构房子的一半.如图 是这种房子的屋架，∠ ACB ＝90°， D 是 AB 的中点， AC ＝ a m， BC ＝ b m( a ＜ b )，若 a ， b 恰好是方程 x2－ x ＝4( x －1)的两个实数根，则 CD 的长是(　D　) A. 1 m B. 4 m C. m D. m D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 点拨：方程变形为( x －1)( x －4)＝0， 解得 x1＝1， x2＝4.∴ a ＝1， b ＝4. 由勾股定理知， AB ＝ ＝ (m). ∵ D 是 AB 的中点，∴ CD ＝ m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 11. [2023西安交大附中月考]在实数范围内定义一种运算 “*”，其规则为 a*b＝ a ( a － b )，根据这个规则，方程 ( x ＋2)*5＝0 的解为 ⁠. x1＝－2， x2＝3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 12. 解方程： (1) x2－4 x －7＝0； 解：移项得 x2－4 x ＝7， 配方得 x2－4 x ＋4＝7＋4，即( x －2)2＝11， 开平方得 x －2＝± ， ∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2) x ( x －3)＝－ x ＋3； 解：移项得 x ( x －3)＋ x －3＝0， 因式分解得( x －3)( x ＋1)＝0， ∴ x －3＝0，或 x ＋1＝0， ∴ x1＝3， x2＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (3)9( x ＋1)＝( x ＋2)2； 解：方程可变形为 x2－5 x －5＝0，则 a ＝1， b ＝－5， c ＝－5，∴Δ＝(－5)2－4×1×(－5)＝45， ∴ x ＝ ＝ ， ∴ x1＝ ， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (4) x2－6 x ＋9＝(5－2 x )2. 解：方程整理得( x －3)2＝(5－2 x )2，开平方得 x －3＝ ±(5－2 x )，即 x －3＝5－2 x ，或 x －3＝－(5－2 x )， 解得 x1＝ ， x2＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 13. 【2023惠州期中 新考法·分类讨论法】已知关于 x 的方程 x2－(2 k ＋5) x ＋ k2＋5 k ＋6＝0. (1)求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等的实 数根； (1)证明：由题意得Δ＝[－(2 k ＋5)]2－4( k2＋5 k ＋6) ＝1＞0， ∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3星题　发展素养 (2)解：∵方程总有两个不相等的实数根， ∴ x1≠ x2. ∵以 x1， x2，3为三边的三角形为等腰三角形， ∴等腰三角形的腰长为3， x1＝3或 x2＝3， ∴9－3(2 k ＋5)＋ k2＋5 k ＋6＝0， 解得 k ＝0或 k ＝1. 13. 【2023惠州期中 新考法·分类讨论法】已知关于 x 的方程 x2－(2 k ＋5) x ＋ k2＋5 k ＋6＝0. (2)设方程的两个实数根分别为 x1， x2.若以 x1， x2，3为 三边的三角形为等腰三角形，求 k 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 当 k ＝0时，原方程为 x2－5 x ＋6＝0， 解得 x ＝2或 x ＝3，∴此时三角形的三边长分别为2，3，3. ∵2＋3＞3，∴此时能构成三角形，符合题意. 当 k ＝1时，原方程为 x2－7 x ＋12＝0，解得 x ＝3或 x ＝4， ∴此时三角形的三边长分别为4，3，3. ∵3＋3＞4，∴此时能构成三角形，符合题意. 综上所述， k ＝0或 k ＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 $$第二章　一元二次方程 *5 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 九年级上册 知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1. 已知x1，x2是方程x2－x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2的 值是(　A　) A. 1 B. －3 C. 3 D. 2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1星题　夯实基础 2. [2023西安月考]方程 x2＋2 x －3＝0的两根为 x1， x2，则 x1 x2的值为 ⁠. －3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3. [教材P50随堂练习T1变式]利用根与系数的关系，求下列 方程的两根之和、两根之积： (1) x2＋4 x －5＝0； 解：这里 a ＝1， b ＝4， c ＝－5， Δ＝ b2－4 ac ＝42－4×1×(－5)＝36＞0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2， ∴ x1＋ x2＝－ ＝－4， x1 x2＝ ＝－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)3 x2＋2 x －5＝0. 解：这里 a ＝3， b ＝2， c ＝－5， Δ＝ b2－4 ac ＝22－4×3×(－5)＝64＞0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2， ∴ x1＋ x2＝－ ＝－ ， x1 x2＝ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点2 利用根与系数的关系求代数式的值 4. 【新考法·整体代入法】已知关于x的一元二次方程x2－3x －4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2－x1－x2的值为 (　D　) A. －1 B. 1 C. 7 D. －7 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 5. [2023菏泽]一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的两根为 x1， x2， 则 ＋ 的值为(　C　) A. B. －3 C. 3 D. － C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6. 若方程 x2－4 x －5＝0的两根分别是 x1， x2，则 ＋ 的 值为(　A　) A. 26 B. 18 C. 16 D. －16 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 知识点3 利用根与系数的关系求方程的根及待定系数的值 7. [2024榆林月考 教材P51习题T3变式]若x＝1是一元二次方 程x2＋x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分 别是(　C　) A. 0，－2 B. 0，0 C. －2，－2 D. 2，2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 8. [2023乐山]若关于 x 的一元二次方程 x2－8 x ＋ m ＝0的两 根为 x1， x2，且 x1＝3 x2，则 m 的值为(　C　) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 9. [2024西安新城区月考]若一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的解 为 a ， b ，则一次函数 y ＝( a ＋ b ) x － ab 的图象不经过的 象限是(　C　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2星题　提升能力 10. [2024西安长安区模拟]一元二次方程 x2＋ mx ＋2 m ＝0的 两个实数根分别为 x1， x2，若 x1＋ x2＝1，则 x1 x2＝ ⁠⁠. －2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 11. 若 m ， n 是方程 x2＋2 x －5＝0的两个根，则 m2＋ mn － 2 n ＝ ⁠. 点拨：∵ m 是方程 x2＋2 x －5＝0的一个根， ∴ m2＋2 m －5＝0，即 m2＝ －2 m ＋5， ∴ m2＋ mn －2 n ＝－2 m ＋5＋ mn －2 n ＝－2( m ＋ n )＋ mn ＋5. ∵ m ， n 为方程 x2＋2 x －5＝0的两个根， ∴ m ＋ n ＝－2， mn ＝－5， ∴ m2＋ mn －2 n ＝－2×(－2)－5＋5＝4. 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 12. [2023泸州]若一个菱形的两条对角线的长分别是关于 x 的 一元二次方程 x2－10 x ＋ m ＝0的两个实数根，且其面积 为11，则该菱形的边长为 ⁠. 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 点拨：设方程 x2－10 x ＋ m ＝0的两根分别为 a ， b ， ∴ a ＋ b ＝10.∵ a ， b 分别是一个菱形的两条对角线的 长，且菱形的面积为11，∴ ab ＝11，即 ab ＝22.∵菱 形的对角线互相垂直且平分，∴该菱形的边长为 ＝ ＝ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 13. [2024武汉模拟]已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2 m ＋1) x ＋ m2＋ m ＝0. (1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根； (1)证明：∵Δ＝[－(2 m ＋1)]2－4( m2＋ m )＝1＞0， ∴无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 (2)解：∵ x2－(2 m ＋1) x ＋ m2＋ m ＝0的两个实数根为 a ， b ， ∴ a ＋ b ＝2 m ＋1， ab ＝ m2＋ m . ∵(2 a ＋ b )( a ＋2 b )＝20，∴2 a2＋4 ab ＋ ab ＋2 b2＝20， 即2( a ＋ b )2＋ ab ＝20.∴2(2 m ＋1)2＋ m2＋ m ＝20， 即 m2＋ m －2＝0，解得 m ＝1或 m ＝－2.∴ m 的值为1或－2. 13. [2024武汉模拟]已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2 m ＋1) x ＋ m2＋ m ＝0. (2)设该方程的两个实数根为 a ， b ，若(2 a ＋ b )·( a ＋2 b )＝20，求 m 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋3 x ＋ k －2＝0有实数根. (1)求实数 k 的取值范围； 解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝9－4( k －2)≥0，解得 k ≤ . (2)设方程的两个实数根分别为 x1， x2，若 ＋ ＝ k ， 求 k 的值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 解：(2)∵关于 x 的一元二次方程 x2＋3 x ＋ k －2＝0有实数根， ∴ x1＋ x2＝－ ＝－3， x1 x2＝ ＝ k －2. ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ k ， ∴ ＝ k ，解这个方程得 k ＝± . 经检验 k ＝± 都为方程的解. ∵ k ＝± ＜ ，∴ k 的值为± . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 15. [2024西安模拟 教材P51习题T4变式]关于 x 的一元二次方 程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2＋5＝0有两个实数根. (1)求 m 的取值范围； 解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2 ＋5＝0有两个实数根，∴Δ＝[－2( m ＋1)]2－4( m2＋5) ＝8 m －16≥0.解得 m ≥2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 3星题　发展素养 (2)若Rt△ ABC 的两条直角边 AC ， BC 的长恰好是此方 程的两个实数根，斜边 AB ＝6，求Rt△ ABC 的周长. 解：(2)设 x1， x2是方程 x2－2( m ＋1) x ＋ m2＋5＝0的两实数根，∴ x1＋ x2＝2( m ＋1)， x1 x2＝ m2＋5. ∴ ＋ ＝( x1＋ x2)2－2 x1 x2＝ －2( m2＋5)＝4( m2＋2 m ＋1)－2 m2－10=2 m2＋8 m －6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 根据勾股定理得 ＋ ＝ AB2＝62＝36， ∴2 m2＋8 m －6＝36， 解得 m ＝3或 m ＝－7(舍去)， ∴ x1＋ x2＝2( m ＋1)＝8， ∴ AC ＋ BC ＝8， ∴Rt△ ABC 的周长为8＋6＝14. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第1课时　一元二次方程的应用(一) 同步训练 九年级上册 知识点1 应用一元二次方程解决几何图形问题 1. [2024宝鸡模拟]为落实新课标劳动课的要求，某校修建了 一个面积为1 500 m2的矩形花圃实践基地.已知基地的长 比宽多20 m，若设基地的宽为 x m，则可列方程为(　B　) B A. x ( x －20)＝1 500 B. x ( x ＋20)＝1 500 C. 2 x ＋2( x －20)＝1 500 D. 2 x ＋2( x ＋20)＝1 500 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　夯实基础 2. [教材P57复习题T17变式]一个直角三角形的斜边长 2 cm，两条直角边长的和是6 cm，则这个直角三角形的面积是 ⁠. 4 cm2　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 【情境题】某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动 中，计划利用如图所示的直角墙角(墙足够长)，用40 m长 的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB ， AD 两 边)，设 AB ＝ x m. (1)若矩形花园的面积为300 m2，求 x 的值. 解：(1)∵ AB ＝ x m，∴ AD ＝(40－ x ) m， 由题意得 x (40－ x )＝300， 即 x2－40 x ＋300＝0， 解得 x1＝10， x2＝30，即 x 的值为10或30. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 【情境题】某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(墙足够长)，用40 m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB ， AD 两边)，设 AB ＝ x m. (2)能围成面积为500 m2的矩形花园吗？若能，求出 x 的 值；若不能，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)不能围成面积为500 m2的矩形花园.理由如下： 由题意得 x (40－ x )＝500，即 x2－40 x ＋500＝0. ∵Δ＝(－40)2－4×1×500＝－400＜0， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为500 m2的矩形花园. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点2 应用一元二次方程解决古算术问题 4. [2024重庆期中 新考向·数学文化]我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形田地，其中间有一正方形水池，测量出除水池外可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是(　B　) B A. － x2＝72 B. π － x2＝72 C. π( x ＋3)2－ x2＝72 D. π( x ＋6)2－ x2＝72 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 【新考向·数学文化】我国南宋数学家杨辉在1275年提出 一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)， 只云阔(宽)不及长一十二步(比长少一十二步)，问阔(宽)及 长各几步？”解答这个问题可知，阔(宽)为 步，长 为 步. 24　 36　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点3 应用一元二次方程解决动态几何问题 6. 【易错题】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm ，BC＝6 cm ，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动 (运动方向如图所示)，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为 2 cm/s，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，当 四边形APQC的面积为12 cm2时，点P运动的时间是(　A　) A A. 2 s B. 2 s或6 s C. 4 s D. 6 s 【点易错】此题易因忽略运动时间的取值范围而错选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 【新趋势·学科内综合】如图，直线 y ＝－2 x ＋6与 x 轴交 于点 A ，与 y 轴交于点 B ，点 P 在线段 AB 上(不与点 A ， B 重合)，过点 P 分别作 OA 和 OB 的垂线，垂足分别为 C ， D . 当矩形 OCPD 的面积为4时，点 P 的坐标为(　D　) D A. (2，2) B. C. (1，4)或 D. (1，4)或(2，2) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　提升能力 8. 【2024西安爱知中学模拟 新视角·动点探究题】如图，在 矩形 ABCD 中， AB ＝16 cm， BC ＝6 cm，动点 P ， Q 分 别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点 A ， C 同时出发，点 Q 从 点 C 向点 D 移动. (1)若点 P 沿 AB 移动到点 B 停止，问经 过2 s时 PQ 的长度是多少厘米？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)过点 P 作 PE ⊥ CD 于 E . 根据题意， 得 EQ ＝16－2×3－2×2＝6(cm)， PE ＝ BC ＝6 cm. ∴ PQ ＝ ＝6 cm. ∴经过2 s时 PQ 的长度是6 cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 【2024西安爱知中学模拟 新视角·动点探究题】如图，在 矩形 ABCD 中， AB ＝16 cm， BC ＝6 cm，动点 P ， Q 分 别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点 A ， C 同时出发，点 Q 从 点 C 向点 D 移动. (2)若点 P 沿 AB － BC 移动到点 C 停止， 当点 P 停止时点 Q 随之停止移动， 问经过多长时间△ PBQ 的面积为12 cm2？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解： （2）设经过y s后△PBQ的面积为12 cm2. ①当点 P 在 AB 上移动，即0≤ y ＜ 时， PB ＝(16－3 y ) cm， ∵ PB · BC ＝12， ∴ ×(16－3 y )×6＝12，解得 y ＝4； ②当点 P 在 BC 上移动，即 ＜ y ≤ 时， 如图， BP ＝(3 y －16) cm， QC ＝2 y cm， ∵ BP · CQ ＝12， ∴ (3 y －16)×2 y ＝12，解得 y1＝6， y2＝－ (舍去). 综上所述，经过4 s或6 s后△ PBQ 的面积为12 cm2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【学科素养·应用意识】 已知长方形的生活小区 OBCD 的 两边长分别为 BC ＝40 m， OB ＝130 m，如图，建立平面 直角坐标系，“创文明城市”宣传车 P 从点 O 出发，沿 OB 运动至点 B 停止，宣传车 Q 从点 C 出发，沿 CD 运动 至点 D 停止，两车同时出发，速度都是1 m/s. (点 A ( x1， y1)， B ( x2， y2)间的距离公式： AB ＝ ) (1)求直线 OC 的表达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3星题　发展素养 解：(1)设直线 OC 的表达式为 y ＝ kx ，易得点 C (130，40)， 将点 C 的坐标代入 y ＝ kx ，得40＝130 k ，解得 k ＝ ， ∴直线 OC 的表达式为 y ＝ x . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【学科素养·应用意识】 已知长方形的生活小区 OBCD 的 两边长分别为 BC ＝40 m， OB ＝130 m，如图，建立平面 直角坐标系，“创文明城市”宣传车 P 从点 O 出发，沿 OB 运动至点 B 停止，宣传车 Q 从点 C 出发，沿 CD 运动 至点 D 停止，两车同时出发，速度都是1 m/s. (点 A ( x1， y1)， B ( x2， y2)间的距离公式： AB ＝ ) (2)运动几秒时，△ OPQ 为等腰三角形？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：（2）∵△OPQ为等腰三角形， ∴OP＝PQ或PQ＝QO或QO＝OP. 设运动t s时，△OPQ为等腰三角形，则 P ( t ，0)， Q (130－ t ，40). ①当 OP ＝ PQ 时， OP2＝ PQ2， 即 t2＝(130－2 t )2＋402，解得 t ＝50或 t ＝ ； ②当 PQ ＝ QO 时，易得 OP ＝2 DQ ， 即 t ＝2(130－ t )，解得 t ＝ ； ③当 QO ＝ OP 时， QO2＝ OP2， 即(130－ t )2＋402＝ t2，解得 t ＝ . 综上所述，运动50 s或 s或 s或 s时， △ OPQ 为等腰三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程 第2课时　一元二次方程的应用(二) 同步训练 九年级上册 知识点1 应用一元二次方程解决销售问题 1. [2023重庆期中 新考向·传统文化]端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若每袋售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元 时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1 440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为(　A　) A A. (16－ x －10)(200＋80 x )＝1 440 B. (16－ x )(200＋80 x )＝1 440 C. (16－ x －10)(200－80 x )＝1 440 D. (16－ x )(200－80 x )＝1 440 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　夯实基础 2. [2024苏州模拟 教材P55随堂练习变式]某商场将进货价为 45元的某种服装以65元出售，平均每天可售30件，为了尽 快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现： 每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元. 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. [2024咸阳月考 陕西人文信息风俗]中秋节前，正是柿子成 熟的季节.在陕西很多地区都有中秋节送柿子的习俗.某水 果批发市场销售柿子，如果每千克盈利(毛利)10元，每天 可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况 下，若每千克柿子每涨价1元，日销量将减少20千克.现市 场要保证每天销售柿子的总毛利润为6 000元，同时又要 使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：设每千克应涨价 x 元，由题意得， ( x ＋10)(500－20 x )＝6 000， 解得 x1＝5， x2＝10. ∵要使顾客得到实惠，∴ x ＝5. ∴每千克应涨价5元. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点2 应用一元二次方程解决变化率问题 4. [2024西安月考 教材P55习题T3变式]近年来，由于新能源 汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经 销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价 为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两个月 售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是(　A　) A A. 23(1－ x )2＝18.63 B. 18.63(1＋ x )2＝23 C. 18.63(1－ x )2＝23 D. 23(1＋ x )2＝18.63 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. [2023西安高新区模拟]某农户10月份购买了100只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至169只，若兔子的月平均增长率都相同，则开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为 只. 130　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 【荣德原创】水晶饼是陕西地区传统美食之一，水晶饼面 色金黄，四周雪白，素有“金底银帮鼓鼓腔，红色印章盖 中央”的赞誉，被称为“秦点之首”.某食品厂2023年11 月份共生产25 000 kg水晶饼，考虑到春节前后需求量会增 加，为保证产量能跟上需求，该食品厂决定在接下来的两 个月增加产量，若该食品厂每月的产量增长率相同，2024 年1月份生产了36 000 kg水晶饼，求该食品厂这两个月每 月的生产量增长率是多少. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：设该食品厂这两个月每月的生产量增长率是 x ， 根据题意得25 000(1＋ x )2＝36 000， 解得 x1＝0.2＝20％， x2＝－2.2(舍去). 因此该食品厂这两个月每月的生产量增长率是20％. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 某商厦10月份的营业额是50万元，第四季度的营业额是 182万元.问第四季度后两个月的营业额的月平均增长率是 多少？设月平均增长率为 x ，以下方程正确的是(　C　) A. 50(1＋2 x )＝182 B. 50(1＋ x )2＝182 C. 50＋50(1＋ x )＋50(1＋ x )2＝182 D. 50＋50(1＋ x )＋50(1＋2 x )＝182 C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　提升能力 8. 【情境题】随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车 也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地投放了 一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元，据统 计，七月份的全天包车数为25次/月，在租金不变的基础 上，八、九月的全天包车数持续走高，九月份的全天包车 数达到64次/月. (1)若从七月份到九月份的全天包车数月平均增长率不 变，求全天包车数的月平均增长率； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)设全天包车数的月平均增长率为 x ，由题意可得， 25(1＋ x )2＝64，解得 x1＝ ＝60％， x2＝－ (舍去). 因此全天包车数的月平均增长率为60％. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 【情境题】随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元，据统计，七月份的全天包车数为25次/月，在租金不变的基础上，八、九月的全天包车数持续走高，九月份的全天包车数达到64次/月. (2)从十月份起，全天包车数稳定于64次/月，一段时间后，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，每辆车全天包车的租金每降价1元，平均每月的全天包车数增加1.6次，当租金降价多少元时，公司月营业额为8 800元？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)设租金降价 y 元，此时租金为(120－ y )元，全天 包车数为(64＋1.6 y )，由题意可得， (120－ y )(64＋1.6 y )＝8 800，解得 y1＝10， y2＝70. ∵尽可能地让利顾客，∴ y ＝70. 因此当租金降价70元时，公司月营业额为8 800元. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【学科素养·应用意识】某运动品牌销售一款运动鞋，已 知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均 每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售 出的运动鞋数量 y (双)与每双运动鞋降低的价格 x (元)之间 存在如图所示的一次函数关系. (1)求出 y 与 x 的函数关系式. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3星题 发展素养 解：(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0). ∵函数图象经过点(0，200)和(10，300)， ∴解得 ∴ y 与 x 的函数关系式为 y ＝10 x ＋200. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【学科素养·应用意识】某运动品牌销售一款运动鞋，已 知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均 每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售 出的运动鞋数量 y (双)与每双运动鞋降低的价格 x (元)之间 存在如图所示的一次函数关系. (2)公司希望平均每天获得的利润达到 8 910元，且优惠力度最大，则每双 运动鞋的售价应该定为多少？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)由题意得(10 x ＋200)(100－ x －60)＝8 910， 解得 x1＝7， x2＝13. ∵优惠力度最大， ∴ x ＝13，此时售价为100－13＝87(元). 因此每双运动鞋的售价应该定为87元. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本 价的50％，公司每天能否获得9 000元的 利润？若能，请求出售价；若不能，请 说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(3)公司每天能获得9 000元的利润. 依题意，得(100－60－ x )(10 x ＋200)＝9 000， 解得 x1＝ x2＝10. ∵要保证每双运动鞋的利润不低于成本 价的50％， ∴100－60－ x ≥60×50％，解得 x ≤10. ∴ x ＝10，此时售价为100－10＝90(元). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$