专题01一元二次方程（十五大类型提分练+30道培优压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题01一元二次方程（十五大类型提分练+30道培优压轴题） 类型一、一元二次方程的定义 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 类型二、一元二次方程的一般形式 4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．-3 5．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）把方程化为的形式为 ． 6．若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 类型三、一元二次方程的解 7．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的方程有一个根为，则实数k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若方程的一个根是a，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 9．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 类型四、配方法解一元二次方程 10．（23-24九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程 配方后可化为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 类型五、直接开平方法一元二次方程 13．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 14．（11-12九年级上·江苏泰州·阶段练习）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 15．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 类型六、解一元二次方程 16．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）根据要求的方法解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法） 17．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程： (1)； (2)． 18．（22-23九年级上·江苏常州·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型七、一元二次方程的判别式 19．（22-23九年级上·江苏常州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ． 21．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）请在横线上写一个常数，使得关于的方程 ．有两个相等的实数根． 类型八、一元二次方程的根与系数的关系 22．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值 ． 23．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 24．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足 ． 类型九、判别式与根与系数的关系 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 26．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 27．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 类型十、一元二次方程的有关新定义问题 28．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 29．（21-22九年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A．， B．， C．， D．， 30．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是______（填序号即可）； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若一元二次方程是倍根方程，请直接写出的等量关系． 类型十一、由实际问题抽象出一元二次方程 31．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 32．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 类型十二、一元二次方程的应用：增长率问题 34．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的元/平方米下降到12月份的元/平方米． (1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破元/平方米？请说明理由． 35．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）为拉动经济，某景区抓住旅游旺季的时机开展宣传推介活动，致使游客人数逐月增加，7月份游客人数为万人，9月份游客人数为万人．若平均每月增长的百分率相同． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区月1日至月21日已接待游客万人，则月份剩余天数该景区至少还需接待游客多少万人才能保证月平均增长率不降低？ 36．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2、3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？ 类型十三、一元二次方程的应用：面积问题 37．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时， 米， 平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 38．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．    (1)请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 39．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 类型十四、一元二次方程的应用：销售问题 40．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 41．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）某商店以每件30元的价格购进一批玩具，计划以每件48元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知这批玩具销售量y（件）与每件降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件玩具降价2元时，商场获利多少元？ (3)若商场要想获利1680元，且让顾客获得更大实惠，这批玩具每件应降价多少元？ 42．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江某学校组织七年级学生到世业洲旅游景点进行研学活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点研学每人收费是多少？ 导游：正常成年人的人均费用为300元，没有优惠；学生票打八折，而且若学生人数超过100人，还有优惠． 领队：学生人数超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果学生人数超过100人，每增加10人，学生人均研学费用降低6元，但旅行社规定人均研学费用不得低于150元． 该学校经商定后按旅行杜的收费标准组团去该景点进行研学活动，解决下列问题： (1)若参加研学活动的学生共人，则学生人均研学费用是______元； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的领队、教师共5人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人． 类型十五、一元二次方程的应用：运动问题 43．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．    44．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值； 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 5．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ） A． B．或4 C．或 D． 7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程 ． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ． 11．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知方程的两实数根为、，则 ． 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 14．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明，如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一切不小于的自然数，关于的一元二次方程的两个根为，（），则 ． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 17．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则= ． 18．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知：方程组有两组不同的实数解，． (1)求实数k的取值范围． (2)是否存在实数k，使?若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程，求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根． 21．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”． 22．已知关于的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，方程的两个实数根分别为、，求证：． 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．    25．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． (1)若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； (2)若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某小区有一块长，宽的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少？ (2)该停车场共有个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元？ 27．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）某大樱桃采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 大樱桃价格 不超过10人 超过10人 15元/人 20元/斤 20元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价． 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买． (1)周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用___________元； (2)某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？ 28．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？ 导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元． 该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？ 29．（22-23九年级上·江苏南通·期中）某汽车店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x B 50 y （注：厂家要求店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： (1)用含x的代数式表示y； (2)今年第三季度该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值； (3)求该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润． 30．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x/元 … 25 30 35 … 日销售量y/千克 … 110 100 90 … （1）该超市要获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （2）该超市日销售利润能否达到2000元，若能，求出每千克樱桃的售价；若不能，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程（十五大类型提分练+30道培优压轴题） 类型一、一元二次方程的定义 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、未指明，不一定是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程未知数的最高次数是和二次项的系数不等于解答即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的二次项的系数不为0，列式求解即可．掌握一元二次方程的二次项的系数不为0，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 类型二、一元二次方程的一般形式 4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的一般形式，将一元二次方程化为一般式，根据不含一次项可得一次项系数为0，求解即可． 【详解】解：方程化为一般形式为： 由题意可得： 解得 故选：C 5．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）把方程化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，展开移项合并同类项即可． 【详解】解： 即 即 故答案为：． 6．若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【答案】 【分析】直接利用常数项为0，得出关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义进而得出答案． 【详解】解：∵常数项为0， ∴， 解得：或2， 又∵，即， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，正确解方程是解题关键． 类型三、一元二次方程的解 7．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的方程有一个根为，则实数k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 根据一元二次方程的解的定义，把代入原方程得到关于k的一元一次方程，然后解此方程即可． 【详解】解：把代入关于x的方程中得： ， 解得． 故选：C． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若方程的一个根是a，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程的解，熟练掌握解方程是解题的关键．将代入，得到，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 得到， ， ． 故选D． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题．本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 类型四、配方法解一元二次方程 10．（23-24九年级上·江苏南京·期中）一元二次方程 配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 11．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； 【详解】解： ， 即或 ， 所以，这位同学是乙， 故选：B． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值． 【详解】解：， ， ，即， ， 故答案为：． 类型五、直接开平方法一元二次方程 13．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 14．（11-12九年级上·江苏泰州·阶段练习）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系，先解一元二次方程得出，，设第三边长为，再由三角形三边关系得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：解得：，， ∵一个三角形的两边长分别为3和6， ∴设第三边长为，则，即， ∵第三边是方程的一个根， ∴， ∴这个三角形的周长是， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为0或，然后解两个一次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：， （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 类型六、解一元二次方程 16．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）根据要求的方法解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）求出的值，再代入公式求出即可． （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）， ，，， ， ， ，． （2）， 移项：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 17．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）， ， 或， 解得：，； （2）， ， 或， 解得：，． 18．（22-23九年级上·江苏常州·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法，配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （3）整理后，利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （4）整理后，利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1） 解：， ∴， ∴或， ∴，； （2） 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3） 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （4） 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 类型七、一元二次方程的判别式 19．（22-23九年级上·江苏常州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的正整数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与 有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得， 正整数的值为． 故选：A． 20．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 21．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）请在横线上写一个常数，使得关于的方程 ．有两个相等的实数根． 【答案】9 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式 ，即可得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：， 故答案为：9． 类型八、一元二次方程的根与系数的关系 22．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值 ． 【答案】−1 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，异分母加减法，解题关键是掌握、是一元二次方程的两个实数根，则，．由一元二次方程根和系数的关系，得到，，再代入计算求值即可． 【详解】解：a、b是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为： 23．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得出，然后对进行变形后整体代入即可解答．掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为8． 24．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设关于的一元二次方程的两个根分别为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：由题意，设关于的一元二次方程的两个根分别为， 则，且， 由①得：， 将代入②得：， 则， 故答案为：2． 类型九、判别式与根与系数的关系 25．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可； （2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，即k的取值范围为； （2）解：是方程的两个实根， ， ， ， 解得， ∵方程有实根时k的取值为， ∴不存在k值使得． 26．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． 27．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键； （2）根据根与系数的关系得到，又求出和，根据，由，即可得到结果．熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 【详解】（1）方程有实数根， ， ， 即； （2）为该方程的两个实数根， ， 又， 解得， ∵， ． 类型十、一元二次方程的有关新定义问题 28．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 29．（21-22九年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据新定义列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，方程，化为， 整理得，， ， ∴， 解得：，， 故选A． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确理解新运算、掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 30．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是______（填序号即可）； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若一元二次方程是倍根方程，请直接写出的等量关系． 【答案】(1)②④ (2)26或5 (3) 【分析】题目主要考查解一元二次方程及根与系数的关系， （1）将题干中的一元二次方程求解，然后看是否符合题意即可； （2）根据题意得出或，然后分情况代入求解即可； （3）设方程的两根分别为，根据根与系数的关系得出，即可得出结果； 熟练掌握解一元二次方程的方法及根与系数的关系是解题关键． 【详解】（1）解：①， ， 解得，不是倍根方程； ②， 解得，是倍根方程； ③， 解得，不是倍根方程； ④， 解得，是倍根方程； 故答案为：②④； （2）或， 解得， 是“倍根方程”， 或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； （3）一元二次方程是倍根方程， 设方程的两根分别为， 根据根与系数的关系得， ， ， ． 类型十一、由实际问题抽象出一元二次方程 31．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 32．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可． 【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 33．（23-24九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为，根据“纸盒的底面（图中阴影部分）面积是”即可列出方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为， 纸盒的底面（图中阴影部分）面积是， ， 故选：D． 类型十二、一元二次方程的应用：增长率问题 34．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的元/平方米下降到12月份的元/平方米． (1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破元/平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)会跌破元/平方米，理由见解析 【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为，12月份的房价为，然后根据12月份的元/平方米即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和元进行比较即可作出判断． 此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 【详解】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x， 则11月份的成交价是：， 12月份的成交价是：， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去） 答：11、12两月平均每月降价的百分率是； （2）会跌破元/平方米，理由如下： 如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为： ， 由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破元/平方米． 35．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）为拉动经济，某景区抓住旅游旺季的时机开展宣传推介活动，致使游客人数逐月增加，7月份游客人数为万人，9月份游客人数为万人．若平均每月增长的百分率相同． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区月1日至月21日已接待游客万人，则月份剩余天数该景区至少还需接待游客多少万人才能保证月平均增长率不降低？ 【答案】(1) (2)1万人 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意正确的列等式、不等式是解题的关键． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设至少还需接待游客万人才能保证月平均增长率不降低，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为， 依题意得，， 解得，（舍去）， ∴这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设至少还需接待游客万人才能保证月平均增长率不降低， 依题意得，， 解得，， ∴至少还需接待游客1万人才能保证月平均增长率不降低． 36．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2、3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？ 【答案】(1)2、3两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握增减率模型和总利润=单件利润×数量，是解题的关键．增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． （1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设2、3两个月的销售量月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：2、3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：设降价y元， ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴这种台灯售价定为（元）， 答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元． 类型十三、一元二次方程的应用：面积问题 37．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时， 米， 平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 【答案】(1)10；200 (2)的长为15米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得，即可求出，根据长方形面积公式，即可求出y； （2）根据题意可得，则，根据长方形面积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：10，200； （2）解：由题意知：，则， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，应舍去， ∴的长为15米． 38．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．    (1)请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 【答案】(1)； (2)当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设的长度为米，则的长度为米； （2）根据矩形的面积公式列出方程． 【详解】（1）解：依题意得，． 则； （2）解：根据题意得， 解得，． 则或． ， ，舍去． 即，． 答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米． 39．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)每个车位的月租金应上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 类型十四、一元二次方程的应用：销售问题 40．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件． (1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元； (2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)7040； (2)60． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）根据题意可列出关于x的方程，解出方程，再结合使消费者得到实惠，确定出最后的售价即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，（元）． 故答案为7040． （2）解：设销售单价应定为x元，根据题意得 整理得， 解得 ∵要使顾客得到实惠 ∴， 答：销售单价应定为60元． 41．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）某商店以每件30元的价格购进一批玩具，计划以每件48元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知这批玩具销售量y（件）与每件降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件玩具降价2元时，商场获利多少元？ (3)若商场要想获利1680元，且让顾客获得更大实惠，这批玩具每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． （1）由待定系数法求出与x之间的函数关系式即可； （2）由题意列式计算即可； （3）设这批玩具每件应降价x元，根据商场要想获利1680元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：， 答：当每件玩具降价2元时，商场获利1440元； （3）设降价x元，则， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：这批玩具每件应降价10元． 42．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江某学校组织七年级学生到世业洲旅游景点进行研学活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点研学每人收费是多少？ 导游：正常成年人的人均费用为300元，没有优惠；学生票打八折，而且若学生人数超过100人，还有优惠． 领队：学生人数超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果学生人数超过100人，每增加10人，学生人均研学费用降低6元，但旅行社规定人均研学费用不得低于150元． 该学校经商定后按旅行杜的收费标准组团去该景点进行研学活动，解决下列问题： (1)若参加研学活动的学生共人，则学生人均研学费用是______元； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的领队、教师共5人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人． 【答案】(1) (2)学校这次到该景点参加研学活动的学生有人 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，一元二次方程的应用； （1）根据题意，按照如果学生人数超过100人，每增加10人，学生人均研学费用降低6元，列出算式，即可求解． （2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，则人均费用为元，根据该学校共支付给旅行社元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，参加研学活动的学生共人，则学生人均研学费用是（元）， 故答案为：． （2）解：设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，则人均费用为元， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：学校这次到该景点参加秋游活动的学生有人． 类型十五、一元二次方程的应用：运动问题 43．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用 （1）根据题意，找出等量关系列出方程求解即可． （2）判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 【详解】（1）解：设后，的面积等于． 此时，． 由，得． 即，解得． 当时，的面积等于； 当时，的面积等于． （2）仿（1）得． 整理，得，因为，所以，此方程无解． 所以的面积不可能等于． 44．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值； 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可知：，，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或 （2）解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， 即， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形等知识点，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意； ④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， 四个矩形的长为，宽为， 大正方形的面积可以表示为，中间小正方形的面积为， ， 大正方形的面积还可以表示为， ， ， 综上所述，， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据根的判别式的意义得到，再把代入得，所以，则或，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 故选：C． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答． 【详解】解：令， 则方程可改写为：， ∵一元二次方程的解是，， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的个数是（    ） （1）当时，方程一定有实数根； （2）当时，方程至少有一个根为； （3）当，方程的两根一定互为相反数； （4）当时，方程的两个根同号，当时，方程的两个根异号． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．正确．当时，，则方程一定有实数根； B．正确．当时，则，则方程至少有一个根为0； C．正确．当时，设方程两根为， ，则方程的两根一定互为相反数； D．错误．当时，方程的两个根异号，当时，方程的两个根同号． 故选：C． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴，则， 根据图形可得：剩下的钢板面积 ； ∵， ∴，即剩下的钢板面积， ∴剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合； 故选：B． 8．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据有一根小于1，一根大于1建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：， ， 解得，， 这个方程有一根小于1，一根大于1， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键． 二、填空题 9．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是、，若线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的面积，解一元二次方程的应用；作辅助线，由已知线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分可得，列方程可解答． 【详解】解：如图，将图形补成长方形， 设正方形③的边长为，则，， 正方形①、②的边长分别是，， 线段恰好分这三个正方形成面积相等的两部分， ， ， ， 解得：，， 则正方形③的边长为或． 故答案为：或． 11．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知方程的两实数根为、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程的两实数根为、， ∴，． ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支， ， 解得：（舍去）， ∴这种植物每个支干长出7个小分支， 故答案为：7． 14．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明，如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，根据大正方形的面积是13，小正方形的面积是1得出，，设，则，由勾股定理得出，解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ，， 设，则， ， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：3． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于一切不小于的自然数，关于的一元二次方程的两个根为，（），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为，（）， ∴，， ∴， 则， ∴ . 故答案为：. 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 17．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则= ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，由根的定义得到，恒等变形代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解： 是方程的一个根， ，则，且， ， 故答案为：2026． 18．（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知：方程组有两组不同的实数解，． (1)求实数k的取值范围． (2)是否存在实数k，使?若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)由等式得，不符合（1）所求范围，所以不存在 【分析】本题考查了高次方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的存在关系是解题的关键， （1）将方程整理为，根据题意可得，，求出的范围即可； （2）由根与系数的关系可得，通过计算可得，即可进行判断． 【详解】（1）解：， 将代入，得， 方程组有两组不同的实数解， ，， 解得且． （2）解：不存在，理由如下： ， ， ， 不成立． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程，求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．因此只需证明即可． 【详解】证明：中， ， ， ， 无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根． 21．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根据与系数的关系，根的判别式，求根公式的运用，反比例函数的运用，理解并掌握一元二次方程中根据与系数的关系，求根公式的运算，反比例函数的运用是解题的关键． （1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，运用根与系数的关系列式求解即可； （2）根据材料提示的“倍根方程”的定义，结合方程可得，，分类讨论即可求解； （3）将带入中，得，运用求根公式可得关于的方程的两个根据，再结合“倍根方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为， ∴由根与系数的关系得，， 解得，，即一个根为1，另一个根为2， ∴． （2）解：， ，， 当时，，原式， 当时，，原式． （3）解：将带入中，得，关于的方程， ， ， ，， ， 是倍根方程． 22．（13-14九年级上·重庆江津·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得（负值舍去）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 23．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，方程的两个实数根分别为、，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，可知，即可求得k的取值范围； （2）根据根与系数的关系，可以求得，结合k的取值范围，即可证明． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围是． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是明确一元二次方程有根时，以及根与系数的关系． 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．    【答案】原空地的长为，宽为 【分析】本题考查了解一元二次方程的实际问题，设原空地的宽为，则长为，根据题意得出方程，求出x的值，再求出答案即可． 【详解】解：设原空地的宽为，则长为， 根据题意得：，整理得：， 解得：或6， 当时，，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：原空地的长为，宽为． 25．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． (1)若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； (2)若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）先求出，再根据矩形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到方程，解方程得到或，再由题意得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：能，理由如下： 当养殖场的面积为时，则， 解得或， ∵在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米， ∴， ∴， ∴， ∴养殖场的面积能为，此时 ． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某小区有一块长，宽的矩形空地，如图所示．社区计划在这块空地上建一个小型的停车场，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为． (1)求通道的宽是多少？ (2)该停车场共有个车位，据调查发现：当每个车位的日租金为元时，可全部租出；当每个车位的日租金每上涨1元时，就会少租出1个车位．当每个车位的日租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元？ 【答案】(1)通道的宽是 (2)设每个车位的日租金上涨5元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用： （1）设通道的宽是，依题意，列式得，求解即可； （2）设每个车位的日租金上涨元，则出租的车位为个，，求解后注意题干条件进行筛选，作答即可． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：设通道的宽是， 由题意得：， 整理得 解得：，（不合题意舍去） 所以通道的宽是． （2）解：设每个车位的日租金上涨元，则出租的车位为个， 由题意得：， 解得：， 因为要优惠大众，所以舍去． 所以设每个车位的日租金上涨5元，既能优惠大众，又能使对外开放的日租金收入为元． 27．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）某大樱桃采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 大樱桃价格 不超过10人 超过10人 15元/人 20元/斤 20元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价． 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的大樱桃需按价购买． (1)周末，6个成人带领3个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了15斤大樱桃，则该团需支付的总费用___________元； (2)某公司员工（均为成人）在该大樱桃采摘园组织团建活动，共支付票价221元，求这次参加团建的共多少人？ 【答案】(1) (2)这次参加团建的共人 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设这次参加团建的共人，根据题意得出，解方程，根据题意取舍的值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，元； 故答案为：． （2）解：设这次参加团建的共人，若， 则，解得：（舍去） ∴ 依题意， 解得： 当时，票价为： 当时，票价为： ，不合题意，舍去； 答：这次参加团建的共人 28．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某学校组织初三学生到该市某旅游景点举行秋游活动．下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：学校组团到该景点秋游每人收费是多少？ 导游：如果正常成年人的人均费用为300元，学生票打八折；而且人数超过100人，还有优惠． 领队：超过100人怎样优惠呢？ 导游：如果超过100人，每增加10人，人均秋游费用降低6元，但旅行社规定：人均秋游费用不得低于150元． 该学校按旅行社的收费标准组团去该景点秋游活动结束后，共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用）．请你根据上述信息，求学校这次到该景点参加秋游活动的学生有多少人？ 【答案】学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人 【分析】设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为元，根据该学校共支付给旅行社36000元（随队的领队、教师费用除外且人均秋游费用没有达最低费用），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设学校这次到该景点参加秋游活动的学生有x人，则人均秋游费用为元， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：学校这次到该景点参加秋游活动的学生有200人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．（22-23九年级上·江苏南通·期中）某汽车店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x B 50 y （注：厂家要求店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： (1)用含x的代数式表示y； (2)今年第三季度该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值； (3)求该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润． 【答案】(1) (2)90 (3)675万元 【分析】（1）根据店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍列出等量关系，化简即可； （2）根据该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为0； （3）设该店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，根据总利润等于销售A，B两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：； （2）解：根据题意得：， 由（1）知，， ∴， 整理得：， 解得， ∵时利润为0， ∴x的值为90； （3）解：设该店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元， 则 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为675， 答：该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元． 【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或一元二次方程． 30．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x/元 … 25 30 35 … 日销售量y/千克 … 110 100 90 … （1）该超市要获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （2）该超市日销售利润能否达到2000元，若能，求出每千克樱桃的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）每千克樱桃的售价应定为30元；（2）不能，理由见详解 【分析】（1）由题意可设樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的解析式为，然后由表格可得，进而可得，则由销售利润=单个利润×销售量可进行求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解． 【详解】解：（1）设樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的解析式为，由表格可得： ，解得：， ∴一次函数解析式为， ∴， 解得：， ∵每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元， ∴； 答：每千克樱桃的售价应定为30元． （2）不能，理由如下： 由（1）及题意得： ， 整理得：， ∵， ∴该超市日销售利润不能达到2000元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元二次方程的应用是解题的关键． ( 50 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第50页，共53页 ( 49 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第49页，共53页 学科网（北京）股份有限公司 $$