3.4.1二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1）（分层培优提分练）数学鲁教版五四制九年级上册

3.4.1二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 2．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）下列各点，在二次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·广东湛江·期末）比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 5．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）已知点都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）小明在探究二次函数的图象和性质时，运用列表、描点、连线的步骤画出图象．发现图象的最低点为，从而得出函数的最小值为6，他又根据平方的意义，得出的最小值为0，则的最小值为6，即得出函数的最小值为6．这个过程中蕴含的数学思想是（    ） A．类比 B．数形结合 C．从特殊到一般 D．转化 7．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 8．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   10．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024九年级上·全国·专题练习）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·广东·单元测试）已知点，是二次函数上的两点，若，则 ． 13．（2023九年级上·全国·专题练习）若抛物线与抛物线关于轴对称，则 ， ． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 15．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 16．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线与轴交于，与轴交于，当为直角三角形时，满足的关系为： ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 18．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 19．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数． (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 20．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 21．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 22．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知A、B是抛物线上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为，C为线段的中点，轴，交抛物线于点D，且. (1)抛物线的顶点坐标是______； (2)请求出t的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（10-11九年级下·北京西城·期末）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 7．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 8．（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（    ）的图象上． A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·上海杨浦·一模）如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ． 11．（23-24九年级上·天津东丽·阶段练习）二次函数 ，当时，y的取值范围为 ． 12．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 13．（2023·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如等．抛物线上的“黎点”是 ． 14．（21-22九年级上·北京密云·期末）如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 16．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4.1二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 2．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）下列各点，在二次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键． 直接把各选项的坐标代入二次函数看是否满足即可解答． 【详解】解：A．时；，不符合题意； B．时；，不符合题意； C．时；，不符合题意； D．时；，符合题意． 故选：D． 3．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决． 【详解】解：， 函数的图像开口向上， 若且满足， 点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且， 当点B在点A的左侧时，，，， 当点B在点A的右侧且时，，，， 综上所述，选项D不正确， 故选：D 4．（23-24九年级上·广东湛江·期末）比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 【详解】解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． 5．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）已知点都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 6．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）小明在探究二次函数的图象和性质时，运用列表、描点、连线的步骤画出图象．发现图象的最低点为，从而得出函数的最小值为6，他又根据平方的意义，得出的最小值为0，则的最小值为6，即得出函数的最小值为6．这个过程中蕴含的数学思想是（    ） A．类比 B．数形结合 C．从特殊到一般 D．转化 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“数形结合”的思想解答即可． 【详解】解：根据题意，这个过程中蕴含的数学思想是“数形结合”， 故选：B． 7．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．函数有最大值为 B．函数的对称轴为轴 C．时，随的增大而增大 D．函数的顶点为 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，直接利用二次函数的性质分析得出答案，正确掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，则函数有最大值，即当时，的最大值为，故正确； 函数的对称轴为直线，即轴，故正确； 当时，随的增大而减小，故错误； 由可知函数的顶点坐标为，故正确； 故选：． 8．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出，再根据正方形的性质得出，进而可得点，将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接交y轴于点D， 对于，当时，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选D． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：当时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限．C选项符合题意 当时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，与y轴负半轴交于一点， 即，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 故选：C． 10．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， ∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， 如图， ∵点，轴， ∴点坐标为， 将代入得，， 解得， ∴时，抛物线向上移动，抛物线与的边有两个交点， 如图， 当抛物线经过原点时，有两个交点，将代得，， 当抛物线向上平移，且与直线：只有一个交点时， 由得，， 解得， ∴时与三角形有两个交点， 综上，， 故选：C． 二、填空题 11．（2024九年级上·全国·专题练习）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·广东·单元测试）已知点，是二次函数上的两点，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的图象和性质，直接利用二次函数的性质求解可得． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（2023九年级上·全国·专题练习）若抛物线与抛物线关于轴对称，则 ， ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查抛物线关于轴对称，熟练掌握抛物线关于轴对称的特征是解题的关键．根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数即可得到答案． 【详解】解：根据抛物线关于轴对称的特征可知，的符号不变，的符号变为相反数 抛物线关于轴对称的抛物线为， 即 故答案为：，． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则； ∴的值是或 故答案为：或 15．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 16．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线与轴交于，与轴交于，当为直角三角形时，满足的关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，理解的性质是解题关键．先分别求得抛物线与坐标轴的交点，然后根据等腰直角三角形的性质分析求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 当时，，解得， ∴，且a，c异号， 当为直角三角形时，此时， ∴， ∴，即， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 18．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【答案】(1)轴，； (2)，，图象见解析； (3)． 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 21．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 22．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知A、B是抛物线上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为，C为线段的中点，轴，交抛物线于点D，且. (1)抛物线的顶点坐标是______； (2)请求出t的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． （1）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （2）由题意写出A、B的坐标，再根据中点坐标得出C点坐标，再由轴得出D点坐标，由可求出t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）解：依据题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即为， ∵C为线段的中点， ∴C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∴． 解得，或 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质可进行求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以抛物线开口向上，故正确，不符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以，故正确，不符合题意； 、抛物线的对称轴为直线，故错误，符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，当时，，所以，故正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据，得到当点A、B都在y轴左侧时，，当点A、B都在y轴右侧时，，当点A、B分布在y轴两侧时，，或，且． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，对称性． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵， 如图1，当点A、B都在y轴左侧时， ∵y随x的增大而增大， ∴， 如图2，当点A、B都在y轴右侧时， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点， 如图3，∵， ∴，且， 或如图4，∵， ∴，且． 故选：D．    4．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意，得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴或， 当时，，， ∴， ∴， ∴， 当时，，； ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选B． 5．（10-11九年级下·北京西城·期末）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 6．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（    ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 【答案】C 【分析】先根据题意确定抛物线的开口和对称轴，然后根据横坐标的取值范围确定点，相对于对称轴的位置，最后利用函数的增减性得解． 【详解】解：的对称轴， 的对称轴为轴，且开口向上， ， ，在对称轴的右侧，随的增大而增大， ； ，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，包括抛物线的开口、对称轴以及函数的增减性，根据函数解析式确定对称轴是解题的关键． 7．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围． 【详解】解：如图，把代入， ∴， 由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变， 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上， ∴； 故选A 8．（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（    ）的图象上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在半径为的同心圆上，与直线的交点为，利用勾股定理可得横纵坐标间的关系，即可求解． 【详解】解：设在半径为的同心圆上，与直线的交点为， ， ，即， ， 点在抛物线上， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 9．（2024·上海杨浦·一模）如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】= 【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，得到距离对称的距离越大，函数值越下，计算判断即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ． 【答案】 【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴另一个交点为， 把代入，得， 把，代入，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答． 11．（23-24九年级上·天津东丽·阶段练习）二次函数 ，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，在取得最大值，当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，y取得最大值3， 又∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数值的取值范围，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 12．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，， ∵为线段的中点， ∴的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． 13．（2023·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如等．抛物线上的“黎点”是 ． 【答案】， 【分析】根据题意，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，得到横纵坐标的数量关系，直接将点代入函数解析式，解一元二次方程即可． 【详解】由题可知，“黎点”的坐标为，代入， 得，即， 解得， 故坐标为：，． 故答案为：， 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，推出点的横纵坐标关系，然后列方程求解． 14．（21-22九年级上·北京密云·期末）如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 三、解答题 15．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 16．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． ( 29 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$