第16讲 方差（3考点2题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第16讲 方差 课程标准 学习目标 1 理解方差的概念和意义； 2 会计算一组数据的方差； 3 体会方差在数据分析中的作用。 1. 理解方差的定义和计算公式； 2. 掌握计算方差的方法； 3. 能够运用方差分析数据的离散程度； 4. 培养学生的数据处理能力和统计思维。 知识点一、极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点二、方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 知识点三、极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 题型01 方差的计算 1．某校男子篮球队16名队员的年龄分布如下表所示： 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数/名 1 4 6 4 1 下列关于这16名队员年龄的说法中，正确的是（　　） A．平均年龄是14.25岁 B．方差是1 C．中位数是13.5岁 D．众数是16岁 【分析】根据众数、中位数、平均数与方差的求解方法逐一计算即可判断． 【解答】解：由表格可知年龄是14岁的人数最多， ∴众数是14岁．故选项D不符合题意； 将16名队员的年龄按从小到大的顺序排列后，中位数是第8、9名队员年龄的平均数， 即为（岁）．故选项C不符合题意； 平均年龄是（12×1+13×4+14×6+15×4+16×1）÷16＝14（岁）．故选项A不符合题意； 方差是．故选项B符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查众数、方差、中位数和平均数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．一组数据a1，a2，a3，…，an的方差是2，那一组新数据3a1﹣1，3a2﹣1，…3an﹣1的方差是（　　） A．17 B．18 C．2 D．6 【分析】根据方差的特点即可解答． 【解答】解：∵数据a1，a2，a3，•••，an的方差是2， ∴新数据3a1﹣1，3a2﹣1，•••3an﹣1的方差是32×2＝18； 故选：B． 【点评】此题考查了方差的特点，解题的关键是熟练掌握“若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变”． 3．已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求解． 【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b， ∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为：3×a﹣2＝3a﹣2，方差为：32×b＝9b． 故选：D． 【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是掌握若数据x1，x2，……，xn的平均数是，方差为s2，则新数据ax1+b，ax2+b，……，axn+b的平均数为ab，方差为a2s2． 题型02 方差的应用 1．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：C． 【点评】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 2．如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【解答】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由图可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小， ∴； 故选：A． 【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 3．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（　　） A．平均分和方差都不变 B．平均分不变，方差变大 C．平均分不变，方差变小 D．平均分和方差都改变 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可． 【解答】解：∵小亮的成绩和其他49人的平均数相同，都是90分， ∴该班50人的测试成绩的平均分为90分， ∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1， ∴新数据方差变小． 故选：C． 【点评】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.76 乙组 6.8 b 7 1.16 （1）以上成绩统计分析表中a＝　6.8　，b＝　7　，c＝　6　； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能 　甲　组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【解答】（1）解：， 把乙组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数b＝7； 甲组学生成绩中，数据6出现次数最多，所以众数c＝6． 故答案为：6.8；7；6； （2）解：小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上， 故答案为：甲； （3）解：选乙组参加决赛．理由如下： ∵两组平均数相同，， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，关键是根据概念解答． 1．下列说法正确的是（　　） A．九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B．数据1，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D．若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 【分析】根据选项内容逐个进行剖析，判断正误，做出选择即可， 【解答】解：英语测试平均成绩是95.5，说明这个班的英语成绩的平均水平是95.5分，并不是每个同学的得分都是95.5分，因此A选项不符合题意， 数据1，4，5，5，0的中位数是4，众数是5，因此选项B不符合题意， 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽查的方式，不能采取全面调查，也没有全面调查的必要，因此C选项不符合题意， 甲的方差比乙的方差小，因此甲数据比较稳定，因此D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查全面调查、抽样调查的意义，中位数、众数、平均数以及方差的意义，理解这些概念的意义是正确做出判断的前提． 2．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是184，188，190，190，193．现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上身高为184cm和193cm的队员．下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的是（　　） A．中位数变大，众数不变 B．中位数不变，方差变小 C．平均数变小，众数变小 D．平均数变小，方差变大 【分析】根据题意算出换人前后的中位数、众数、平均数、方差，并进行比较，即可解题． 【解答】解：换人前：中位数为：190，众数为：190， 平均数为：， 方差为：， 换人后：中位数为：190，众数为：190， 平均数为：， 方差为：， 综上所述，中位数不变，方差变小， 故选：B． 【点评】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，掌握相关的概念是解题的关键． 3．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn可用如下算式计算方差： ，其中“3”是这组数据的（　　） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 【分析】根据方差的定义即可得出答案． 【解答】解：对于一组数据x1，x2，x3，…，xn可用如下算式计算方差： ，其中“3”是这组数据的平均数， 故选：B． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义． 4．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分4个投篮点，每个投篮点投10个球，投中次数如表（单位：次）： 甲 8 6 9 9 乙 7 8 9 8 则下列结论正确的是（　　） A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好 C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定 【分析】根据算术平均数的概念先求出甲和乙的平均数，再代入方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案． 【解答】解：甲的平均数是：8（次）， 乙的平均数是：8（次）， 甲的方差S2[（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2]＝1.2， 乙的方差S2[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]＝0.4， ∵1.2＞0.4， ∴乙的投篮成绩较稳定． 故选：D． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义及方差的意义． 5．某鞋店老板为了能更好地决定某种皮鞋各种鞋码如何进货能更好地销售，进行了市场调研，那么鞋店老板应重视鞋码的（　　） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据． 【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量， ∴鞋店老板最关心的统计量应该是众数． 故选：B． 【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 6．某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下：甲＝1.69m，乙＝1.69m，s甲2＝0.006，s乙2＝0.0315，则这两名运动员中的 　甲　的成绩更稳定． 【分析】根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【解答】解：∵S2甲＝0.006，S2乙＝0.0315，甲＝1.69m，乙＝1.69m， ∴S2甲＜S2乙，甲乙， ∴这两名运动员中甲的成绩更稳定． 故答案为：甲． 【点评】本题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 7．在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据 　平均数　． 【分析】根据方差的计算公式即可分析求解． 【解答】解：∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：， ∴上述公式中的“38”是这组数据平均数． 故答案为：平均数． 【点评】此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式． 8．一组数据的方差为9，将这组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍，则得到的一组新数据的方差是 　36　． 【分析】根据方差的公式进行分析即可得到答案． 【解答】解：这组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍， ∴扩大后的数据的方差为22×9＝36， 故答案为：36． 【点评】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；若数据都扩大到原来的a倍，则方差就是原来的a2倍． 9．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为、，则 　＞　．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可． 【解答】解：图表数据可知， 甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小， 即甲的波动性较大，即方差大， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10．某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上表得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是 　①②③　（填序号） 【分析】根据表格数据可得甲、乙两班学生的平均字数一样，因此平均水平相同；根据中位数可得乙班的中位数比甲大，因此乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多；根据方差的意义可得：方差越大，波动越大． 【解答】解：①甲、乙两班学生的平均水平相同，说法正确； ②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀），说法正确； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大，说法正确； 故答案为①②③． 【点评】此题主要考查了方差、平均数、中位数，关键是掌握方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 11．为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下： 七八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 36.2 八年级 92 c 100 43 已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81 若成绩得分用x表示，八年级10名学生的成绩分成四组A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100．其中C组的数据是：94，90，92．根据以上信息，解答下列问题． （1）计算七年级10名学生成绩的平均数； （2）直接写出b、c的值，并对两个年级的成绩做出评价； （3）若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀（x≥90）的学生人数． 【分析】（1）根据平均数的定义进行求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求出b、c，再由七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定； （3）用400乘以样本中八年级优秀人数的占比即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，； （2）∵七年级成绩中得分为96的人数最多， ∴七年级成绩的众数为96，即b＝96； 把八年级成绩从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为92，94， ∴八年级成绩的中位数为，即c＝93； 由于七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定； （3）400×（1﹣10%﹣20%）＝280人， ∴估计此次活动成绩优秀 （x≥90）的学生人数为280人． 【点评】本题主要方差、中位数、众数和平均数的意义和计算方法，用样本估计总体，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为x mm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，B款包装盒中的苹果果径要求是85≤x＜90．从这2000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：mm），所得数据整理如下： 80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98 （1）这20个苹果的果径的众数是 　87　，中位数是 　86.5　； （2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从这批苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示． 包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84 包装盒2的苹果果径 81 81 82 82 82 84 其中，包装盒 　2　中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）； （3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？ 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径为80≤x＜85（单位：mm）所占比例即可． 【解答】解：（1）87出现的次数最多，故众数是87； 把20个苹果的果径从小到大排列，排在中间的两个数分别是86，87，故中位数是86.5； 故答案为：87，86.5； （2）包装盒1的平均数为82， 包装盒1的方差为：[（80﹣82）2+（81﹣82）2+（82﹣82）2+（82﹣82）2+（83﹣82）2+（84﹣82）2]， 包装盒2的平均数为82， 包装盒2的方差为：[2×（81﹣82）2+3×（82﹣82）2+（84﹣82）2]＝1， 因为1， 所以包装盒 2中的苹果大小更均匀； 故答案为：2； （3）2000700（个）， 答：估计符合A款包装盒要求的苹果有700个． 【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． 13．学校九年级甲、乙两班在参加全校演讲比赛的预选赛中，每班随机抽取5名的成绩分别为：甲班：86，85，77，92，85；乙班：79，85，92，85，89；通过数据分析，列表如下： （1）表中a＝　86　，b＝　85　c＝　85　． （2）你认为哪个班级抽取的5名同学的成绩较好？说明理由． （3）规定大于或等于85分为优秀，九年级现有学生920人，请估计全年级的优秀人数有多少人？ 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲 85 b c 22.8 乙 a 85 85 19.2 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）； （3）用总人数乘样本中测试成绩大于或等于85分人数所占比例即可． 【解答】解：（1）a86， 把甲班5名选手的成绩的成绩从小到大排列为：77、85、85、86、92，故中位数b＝85， 甲班5名选手的成绩的成绩中85出现的次数最多，故众数c＝85； 故答案为：86，85，85； （2）乙班前5名同学的成绩较好，理由如下： 因为甲班前5名同学的平均成绩为85分，乙班前5名同学的平均成绩为86分，由于86＞85，所以乙班前5名同学的成绩较好； 由于22.8＞19.2，所以乙班前5名同学的成绩较稳定； （3）920736（人）， 答：估计全年级的优秀人数有736人． 【点评】本题主要考查了求平均数、中位数、方差、众数，用样本估计总体以及利用平均数和方差做决策，熟练掌握中位数、众数、方差和平均数定义是解题的关键． 14．希望中学八年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩（单位：个） 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 89 100 95 119 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息为参考，请你回答下列问题： （1）求两班比赛数据的中位数； （2）计算两班比赛数据的方差，并比较哪一个小？ （3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由． 【分析】（1）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可； （2）先根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可； （3）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差方面进行比较，即可得出答案． 【解答】解：（1）甲班比赛数据的中位数是100； 乙班比赛数据的中位数是97； （2）甲的平均数为：500÷5＝100（个）， S 甲2＝[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（110﹣100）2+（89﹣100）2+（103﹣100）2]÷5＝46.8； 乙的平均数为：500÷5＝100（个）， S 乙2＝[（89﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（119﹣100）2+（97﹣100）2]÷5＝103.2； ∵S 甲2＜S 乙2， ∴甲班方差小，成绩稳定； （3）应该把团体第一名的奖状给甲班，理由如下： 因为甲班的中位数比乙班高；甲班的方差比乙班低，比较稳定，综合评定甲班比较好． 【点评】本题考查了中位数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 方差 课程标准 学习目标 1 理解方差的概念和意义； 2 会计算一组数据的方差； 3 体会方差在数据分析中的作用。 1. 理解方差的定义和计算公式； 2. 掌握计算方差的方法； 3. 能够运用方差分析数据的离散程度； 4. 培养学生的数据处理能力和统计思维。 知识点一、极差的定义及计算公式 1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差； 2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值. 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的. 知识点二、方差及标准差 1.方差的概念 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）. 若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方. 2.方差的其他公式： （1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方. ①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小； ②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变； ③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 3.标准差 有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度. 知识点三、极差、方差及标准差的区别与联系 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数； 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大. 题型01 方差的计算 1．某校男子篮球队16名队员的年龄分布如下表所示： 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数/名 1 4 6 4 1 下列关于这16名队员年龄的说法中，正确的是（　　） A．平均年龄是14.25岁 B．方差是1 C．中位数是13.5岁 D．众数是16岁 2．一组数据a1，a2，a3，…，an的方差是2，那一组新数据3a1﹣1，3a2﹣1，…3an﹣1的方差是（　　） A．17 B．18 C．2 D．6 3．已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 题型02 方差的应用 1．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2．如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 3．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（　　） A．平均分和方差都不变 B．平均分不变，方差变大 C．平均分不变，方差变小 D．平均分和方差都改变 4．某校举办了国学知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：3，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，8，9． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.76 乙组 6.8 b 7 1.16 （1）以上成绩统计分析表中a＝　6.8　，b＝　7　，c＝　6　； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能 　甲　组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 1．下列说法正确的是（　　） A．九年级某班的英语测试平均成绩是95.5分，说明每个同学的得分都是95.5分 B．数据1，4，5，5，0的中位数和众数都是5 C．要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查 D．若甲、乙两组数据中各有15个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定 2．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是184，188，190，190，193．现用两名身高分别为186cm和190cm的队员换下场上身高为184cm和193cm的队员．下列关于换人前后场上队员的身高说法正确的是（　　） A．中位数变大，众数不变 B．中位数不变，方差变小 C．平均数变小，众数变小 D．平均数变小，方差变大 3．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据x1，x2，x3，…，xn可用如下算式计算方差： ，其中“3”是这组数据的（　　） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 4．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮测试，共分4个投篮点，每个投篮点投10个球，投中次数如表（单位：次）： 甲 8 6 9 9 乙 7 8 9 8 则下列结论正确的是（　　） A．甲的平均成绩较好 B．乙的平均成绩较好 C．甲的投篮成绩较稳定 D．乙的投篮成绩较稳定 5．某鞋店老板为了能更好地决定某种皮鞋各种鞋码如何进货能更好地销售，进行了市场调研，那么鞋店老板应重视鞋码的（　　） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 6．某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下：甲＝1.69m，乙＝1.69m，s甲2＝0.006，s乙2＝0.0315，则这两名运动员中的 　 　的成绩更稳定． 7．在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据 　 　． 8．一组数据的方差为9，将这组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍，则得到的一组新数据的方差是 　 　． 9．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为、，则 　 　．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上表得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； 4 甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是 　 　（填序号） 11．为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下： 七八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 36.2 八年级 92 c 100 43 已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81 若成绩得分用x表示，八年级10名学生的成绩分成四组A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100．其中C组的数据是：94，90，92．根据以上信息，解答下列问题． （1）计算七年级10名学生成绩的平均数； （2）直接写出b、c的值，并对两个年级的成绩做出评价； （3）若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀（x≥90）的学生人数． 12．某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为x mm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，B款包装盒中的苹果果径要求是85≤x＜90．从这2000个苹果中随机抽取20个，测量它们的果径（单位：mm），所得数据整理如下： 80 81 82 82 83 84 84 85 86 86 87 87 87 89 90 91 92 92 94 98 （1）这20个苹果的果径的众数是 　 　，中位数是 　 　； （2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从这批苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如下表所示． 包装盒1的苹果果径 80 81 82 82 83 84 包装盒2的苹果果径 81 81 82 82 82 84 其中，包装盒 　 　中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）； （3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？ 13．学校九年级甲、乙两班在参加全校演讲比赛的预选赛中，每班随机抽取5名的成绩分别为：甲班：86，85，77，92，85；乙班：79，85，92，85，89；通过数据分析，列表如下： （1）表中a＝　 　，b＝　 　c＝　 　． （2）你认为哪个班级抽取的5名同学的成绩较好？说明理由． （3）规定大于或等于85分为优秀，九年级现有学生920人，请估计全年级的优秀人数有多少人？ 班级 平均分 中位数 众数 方差 甲 85 b c 22.8 乙 a 85 85 19.2 14．希望中学八年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩（单位：个） 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 89 100 95 119 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息为参考，请你回答下列问题： （1）求两班比赛数据的中位数； （2）计算两班比赛数据的方差，并比较哪一个小？ （3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$