重难点06 与圆相关的最值问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点06 与圆相关的最值问题 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆·期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（    ） A． B． C． D．4 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东·期中）过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（    ） A．5 B．2 C． D．4 4．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 9．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 10．（23-24高二上·福建福州·期中）直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 11．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 13．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．无论m取何值，与都互相垂直 B．和分别过定点和 C．不论m为何值，和都关于直线对称 D．若和交于点M，则的最大值是 14．（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 16．（23-24高二上·福建福州·期中）已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离最大值为5 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 17．（23-24高二上·江苏常州·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 18．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 19．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 20．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线和圆.则（    ） A．无论为何值，直线与圆总相交 B．直线被圆截得的最长弦长为5 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时， 21．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知的顶点P在圆C：上，顶点A，B在圆O：上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆C截得的弦长的最大值为 C．过P作圆O的切线，则切线长的最小值为 D．不存在这样的点P，使得为等边三角形 22．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 三、填空题 23．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 . 24．（23-24高二上·宁夏银川·期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数 ． 25．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 26．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 27．（23-24高二上·山东·阶段练习）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 28．（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 29．（23-24高二上·广东揭阳·期中）已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 . 30．（23-24高二上·北京昌平·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线G：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线G 有且仅有四条对称轴； ②曲线G上任意两点之间的距离的最大值为6； ③曲线G恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)； ④曲线G所围成的区域的面积为． 其中，所有正确结论的序号是 ． 31．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 四、解答题 32．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 33．（23-24高二上·山西·期中）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 34．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 35．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆，直线（）恒过定点. (1)求定点的坐标； (2)求直线被圆截得的弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长. 36．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 与圆相关的最值问题 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆·期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可. 【详解】 由题意得，等于点到准线的距离， 过点作垂直准线于点，则， 设动点，则，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， ， 所以当四点共线时，最小，. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 3．（23-24高二上·山东·期中）过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（    ） A．5 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】求过圆内一点的最短弦长，可连接该点与圆心，再过该点作这条直线的垂线即得. 【详解】   如图，点在圆内，连接， 过点作直线，分别交圆于两点，则弦长最小，理由如下： 过点作任意直线，分别交圆于两点，过点作于点， 则在中，易得， 因为，而， 故，故弦是过点的最短弦， 因为，则最短弦长为. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解. 【详解】的圆心为，半径为， 由题意得，故在圆外， 所以的最大值为． 故选：D 5．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图像给出外接圆的表达式即可求解. 【详解】如图，由知四边形的外接圆以为直径，故面积， 而最小值为点到的距离， 故， 故选：B 6．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可知直线，分别过定点，，且两直线垂直，点的轨迹是以为直径的圆，点到直线的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和. 【详解】由已知直线，分别过定点，， 当时，：，：，交点为， 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：. 8．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 【答案】D 【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 所以圆上点到直线的最大距离为， 所以的面积的最大值为， 故选：D. 9．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆C截得的弦长最短时有，则，解出方程即可. 【详解】因为直线：， 方程可化为， 令，解得， 故直线过定点， 且在圆C:内，又, 故当直线被圆C截得的弦长最短时, 有， 则， 解得， 故选：B. 10．（23-24高二上·福建福州·期中）直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先求出圆心、半径，得出直线的定点.求出圆心到直线的最大距离，即可根据垂径定理，得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 将直线方程化为， 由可得，， 所以直线恒过点，显然点在圆内. 当与直线垂直时，圆心到直线的距离有最大值，最大值为. 由垂径定理可得，，可知此时弦长有最小值， 最小值为. 故选：C. 11．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，找出最小，即时，然后计算即可. 【详解】如图所示，圆的面积为：. ,要使最大，则最小. 由圆的性质知道，当时，最小. ，则，则. 与圆的交点为. 此时.. 故选：C. 12．（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 二、多选题 13．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ） A．无论m取何值，与都互相垂直 B．和分别过定点和 C．不论m为何值，和都关于直线对称 D．若和交于点M，则的最大值是 【答案】ABD 【分析】对于A：根据直线垂直的分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于C：根据直线对称的点的性质分析判断；对于D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】对于选项A：因为，无论m取何值，与都互相垂直，故A正确； 对于选项B：对于直线：，当时，恒成立，即过定点，记为， 对于直线：，当时，恒成立，则恒过定点，记为，故B正确； 对于选项C：在上任取点，关于直线对称的点的坐标为， 代入方程得：不恒在上，故C错误； 对于选项D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆， 可知圆心为，半径为， 所以的最大值是，故D正确； 故选：ABD. 14．（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号． 故选：ABD      15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】 根据题意，求出 直线过定点为，得到M轨迹是以PQ为直径的圆，分析可得点到直线的最大距离即，可得正确；分析的轨迹和轨迹方程，结合点与圆的位置关系可得，错误，综合可得答案. 【详解】 已知， 则，故直线过定点，正确； 设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确； 过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆， 而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为， 又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误． 故选：． 16．（23-24高二上·福建福州·期中）已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离最大值为5 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】求出圆心、半径，根据几何意义转化为圆心与直线或点的距离以及连线的斜率求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 对于A项，圆心到直线的距离， 所以，到直线的距离最大值为，故A项错误； 对于B项，设，当与圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，整理可得，解得， 所以，的最大值为，故B项正确； 对于C项，圆心到的距离为， 所以，圆上点到的距离的最小值为， 即， 所以，，故C项正确； 对于D项，设直线方程为，即， 当直线与方程相切时，有最大值或最小值， 则，所以. 所以，的最小值为， 即的最小值为，故D项错误. 故选：BC. 17．（23-24高二上·江苏常州·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】AD 【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断A选项；求出直线截圆所得弦长，可判断B选项；分析可知，线段的垂直平分线为直线，求出直线的方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以，直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，，B错； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以，直线过圆心，易知为的中点， 又因为，所以，，所以，垂直平分线段， ，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为，D对. 故选：AD. 18．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D. 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 19．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 【答案】AB 【分析】直线恒过点，A正确，根据圆的一般方程计算B正确，计算弦长的最小值为，C错误，确定，D错误，得到答案. 【详解】圆：的圆心坐标为， 故，，解得，，圆方程为， 对选项A：因为直线恒过点，正确； 对选项B：，，正确； 对选项C：当直线与垂直时，弦最短，此时， 弦长为，错误； 对选项D：设，即，当直线与圆相切时，， 解得或，故，错误； 故选：AB 20．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线和圆.则（    ） A．无论为何值，直线与圆总相交 B．直线被圆截得的最长弦长为5 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时， 【答案】ACD 【分析】根据直线所过的定点在圆内可判断选项A;利用过圆心的弦最长，以及垂直于最长弦的弦最短可求解选项B,C；利用垂直与斜率的关系可求解选项D. 【详解】   由直线可得，， 所以直线恒过定点， 又因为圆心,半径， 点到圆心的距离为， 所以点在圆内，所以无论为何值，直线与圆总相交，A正确； 当直线过圆心时，被圆截得的弦最长，最长为，B错误； 当时，直线被圆截得的弦最短为，C正确； 时，,所以，解得，D正确； 故选:ACD. 21．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）已知的顶点P在圆C：上，顶点A，B在圆O：上.若，则（    ） A．的面积的最大值为 B．直线被圆C截得的弦长的最大值为 C．过P作圆O的切线，则切线长的最小值为 D．不存在这样的点P，使得为等边三角形 【答案】AC 【分析】首先设点到直线的距离为，利用几何图形得到不等关系，即可求解点到距离的最大值，即可判断A； 利用直线与圆的位置关系，结合弦长和切线长公式，即可判断BC； 利用为等边三角形，转化为判断是否存在点，满足，利用与圆有关的最值问题，即可判断D. 【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，， 所以，且， A.设点到直线的距离为，则， 所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确； B.点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为，所以点到直线的距离的最大值为7，这是直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误； C.如图，过点作圆的切线，连结，，，的最小值为， 所以的最小值为，故C正确； D.若为等边三角形，则需，， 因为,所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以， 又的最小值为4，所以，当且仅当四点共线时成立， 因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故D错误. 故选：AC 【点睛】思路点睛：本题考查点与圆，直线与圆，圆与圆，以及轨迹和最值的综合应用问题，D选项是本题的难点，需转化为判断点与点的轨迹的位置关系问题. 22．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 23．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求. 【详解】因为，化为， 圆心为，半径为， 又表示点与点的距离的平方， 圆心与点的距离为， 所以点与点的距离的最小值为， 故的最小值为， 故答案为：. 24．（23-24高二上·宁夏银川·期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数 ． 【答案】 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆截得的弦长最短时有，则，解出方程即可. 【详解】将直线，化为， 令，解得，所以直线过定点， 又圆的标准方程为，则圆心为， 由，则点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短， 则，解得． 故答案为：． 25．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知直线与直线相交于点，，则点到坐标原点O的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线过定点且互相垂直可确定点轨迹为圆，将问题转化为圆外一点到圆上的动点距离的最小值，进而求得结果. 【详解】因为，所以， 又知直线，可得直线恒过定点， 直线，可得直线恒过定点， 所以点在以AB为直径的圆上，且， 所以半径为，圆心C为AB的中点，即， 即所在的圆的方程为：， 可得， 所以O到圆上点P的最小距离． 故答案为：． 26．（23-24高二上·河南·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题可利用中点去研究，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征,求出模的最值，得到本题答案. 【详解】   ∵圆， ∴，圆心，半径， ∵点在圆上，， ∴， 即，点在以为圆心，半径的圆上. ∴· ∴，即的最小值为. 故答案为：. 27．（23-24高二上·山东·阶段练习）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，求出，然后将求的最大值问题转化为求的最大值问题，数形结合即可得答案. 【详解】由题意得设，， 所以，则， 由于是圆上的点， 所以， 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最大值为， 故答案为：. 28．（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 29．（23-24高二上·广东揭阳·期中）已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 . 【答案】12 【分析】结合图形分析，最长弦为过点的直径，最短弦为过点且与垂直的弦，分别求弦长，则可由对角线互相垂直求得四边形的面积. 【详解】圆， 由题意可得，圆心为，半径， 最长弦为过点的直径，且，    设过点的任意一条弦，过点作， 由图可知圆心到直线的距离， 则弦长为， 即最短的弦为过，且与垂直的弦， 最短弦长， 如图，四边形对角线， 则其面积. 故答案为：.    30．（23-24高二上·北京昌平·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线G：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线G 有且仅有四条对称轴； ②曲线G上任意两点之间的距离的最大值为6； ③曲线G恰好经过9个整点(即横坐标、纵坐标均为整数的点)； ④曲线G所围成的区域的面积为． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】先根据题意画出曲线G，根据圆的性质可得曲线G 有且仅有轴，轴，直线，直线四条对称轴，进而即可判断①；由图象可知当曲线G上的两点在直线，直线上时，其之间的距离的最大值，进而即可可判断②；分别令，，，可得到9个整点的坐标，再进而说明当时，不存在这样的点，即可判断③；根据图象可得曲线G由四个半径为的半圆所围成的区域，再根据即可判断④正确． 【详解】由， 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第一象限的半圆弧及点，，； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第二象限的半圆弧及点； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第三象限的半圆弧； 当，时，， 则其图象为以为圆心，为半径在第四象限的半圆弧及点； 则曲线G如下图，    对于①，根据圆的性质可得曲线G 有且仅有轴，轴，直线，直线四条对称轴，故①正确； 对于②，由图象可知当曲线G上的两点在直线，直线上时， 其之间的距离的最大值，且最大值为，故②错误； 对于③， 令，则，解得或，可得点，，； 令，则，显然无整数解； 令，则，解得或，可得点，，，，，； 令，，显然不成立， 所以曲线G恰好经过9个整点，故③正确； 对于④，根据图象可得曲线G由四个半径为的半圆所围成的区域， 所以其面积为，故④正确．    故答案为：①③④． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将曲线G：分四种情况：①，；②，；③，；④，，再画出图象即可求解． 31．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 【答案】 【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可. 【详解】圆，整理得，则其圆心为， 由题意得：直线过圆心， 所以，又，， 所以．（当且仅当，时，取“＝”）． 此时直线方程为，即. 故答案为：；. 四、解答题 32．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 33．（23-24高二上·山西·期中）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出圆的标准方程，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再减去半径即可得解. 【详解】（1）因为圆M的圆心在y轴上， 所以可设圆M的方程为， 又圆M经过，两点， 所以，解得， 所以圆M的方程为， 故圆M的圆心坐标为，半径为， （2）由题意得圆心M到直线的距离为， 故直线与圆相离， 所以P到直线的距离的最小值为． 34．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值及弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立，解得. 故直线恒过定点. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为， 可知点在圆内，直线与圆相交， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，解得， 此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为. 35．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆，直线（）恒过定点. (1)求定点的坐标； (2)求直线被圆截得的弦长最短时的值、直线的方程以及最短弦长. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值及弦长. 【详解】（1）直线的方程整理得， 该方程对于任意实数成立，则，解得， 所以直线恒过定点. （2）因为直线恒经过圆内的定点， 当直线垂直于时被截得的弦长最短. 由，可知， 所以当直线被圆截得的弦最短时，直线的斜率为2， 于是有，解得， 此时直线的方程为，即， 又因为，所以最短弦长为. 36．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案； （2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程． 【详解】（1）设动点的坐标为，则由, 得，即， 即， 即的方程为； （2）直线，即， 由于，故令，解得， 即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内， 即直线l和圆相交， 当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值， 由于，故，圆半径为， 故的长度的最小值为. 又的斜率为，故此时直线l的斜率为3， 则直线l的方程为，即. 试卷第30页，共30页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$