重难点06 分式型函数-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

重难点06 分式型函数 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京·期中）函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，，其中，则． 其中，所有正确结论的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 17．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数，以下说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．函数的值域为 C．在上单调递减 D．在上单调递增 18．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列函数中，值域为的有（　　） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．在区间单调递减 C．的值域为 D．的图像关于直线对称 20．（23-24高一上·四川成都·期中）关于函数，正确的说法是（    ） A．与x轴仅有一个交点 B．的值域为 C．在单调递增 D．的图象关于点中心对称 21．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．在区间上单调递增 D．的值为 22．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．的值域是R B．存在，且，有 C．若函数满足，函数与的图像相交于点，则 D．若，则 23．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B． C． D．函数的值域为 24．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的值域是 B．函数关于点成中心对称 C．在定义域上单调递减 D． 25．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，下面有关结论正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 26．（23-24高一上·江苏南京·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在R上有三个零点． 27．（23-24高一上·江苏盐城·期中）几位同学在研究函数时给出了下列结论，其中正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时，有最大值 D．的值域为 28．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，函数，当时，的最小值为，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 29．（23-24高一上·山东青岛·期中）关于函数性质描述，正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．在定义域上是增函数 三、填空题 30．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 31．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ． 32．（23-24高一上·湖南张家界·期中）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 . 33．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 34．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 35．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 36．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 37．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 38．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 39．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 40．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 试卷第2页，共7页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 分式型函数 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】代入解析式求值即可. 【详解】由，得. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 【答案】B 【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得. 【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得， 则，又是偶函数， 则，即，解得， 则，， 则. 故选：B. 3．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 4．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案. 【详解】A选项，令，则， 则函数在上单调递增，则，故A错误； B选项，，则，故B错误； C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号， 则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 6．（23-24高一上·北京·期中）函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有； ④规定，，其中，则． 其中，所有正确结论的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性就能判断①②，对，分别取值代入即可验证③，对④由递推式得到的表达式即可判断. 【详解】因为， 又，所以为奇函数， 当时，，且在上单增， 所以在上单增，所以在上单增，故②正确； 当时，，所以的值域是，故①正确； 对于③，取，，则， 所以，， ， 所以，故③错误； 对于④，因为，且， 所以， ， ， ， 所以，故④正确. 故正确的结论有3个. 故选：B 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：当时，，即值域有0，故A错误； 对于选项B，因为，即值域没有1，故B错误； 对于选项C：函数的定义域为，所以函数值域不连续，故C错误． 对于选项D：因为的取值范围是，所以函数的值域为，故D正确． 故选：D． 8．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 9．（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得. 【详解】因为，又因为，所以， 所以，所以，所以函数，的值域为． 故选：A． 10．（23-24高一上·广东佛山·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下，结合基本不等式可求得结果. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）； 综上所述：的值域为. 故选：C. 11．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围. 【详解】由， 因为在上的最小值为， 所以时，， 所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ， 所以. 故选：D 12．（23-24高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 13．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对，，使得，由包含关系列不等式求解. 【详解】解：， 令，则， 由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增， 所以，则， 易知在上递增，则， 因为对，，使得， 所以，解得， 故选：A 14．（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数在上为单调性，求得其最小值，即可求解. 【详解】由题意，当时，不等式恒成立， 因为函数在上为单调递增函数， 所以，当时，，所以， 即实数的取值范围是. 故选：D. 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 二、多选题 16．（23-24高一上·山东济宁·期中）若函数，定义域为，下列结论正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．，使 C．在和上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B， ，则，即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增，所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 17．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数，以下说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．函数的值域为 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】A.利用奇偶性的定义判断；B.由且时求解判断；CD.作出函数的图象判断. 【详解】A.的定义域为，且，所以是偶函数，故A正确； B. 当且时，，又所以是偶函数，所以函数的值域为，故B正确； C. 作出函数的图象如图所示： 由图象知：在上单调递增，在上单调递减，故C,D错误； 故选：AB 18．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列函数中，值域为的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知结合基本初等函数的值域即可求解． 【详解】对于A，函数的值域为，故A符合； 对于B，因为分母上的，所以， 即函数的值域为，故B符合； 对于C，因为，所以，所以， 即函数的值域为，故C符合； 对于D，因为，所以， 即函数的值域为，故D不符合. 故选：ABC. 19．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．在区间单调递减 C．的值域为 D．的图像关于直线对称 【答案】ABD 【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项 【详解】化简得， 的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到， 先画出的图象，再进行平移画出的图象， 因为函数为奇函数，关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则经过平移后变成的关于点对称，且在和上为单调递减函数， 则在上单调递减，值域为， 若点在图象上，则，整理得， 即点也在图象上，可知的图像关于直线对称， 所以ABD正确； C错误. 故选：ABD. 20．（23-24高一上·四川成都·期中）关于函数，正确的说法是（    ） A．与x轴仅有一个交点 B．的值域为 C．在单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【分析】根据函数求值、值域的定义、函数单调性、对称性，可得答案. 【详解】对于A，令，则，由，则，解得， 所以函数图象与轴交唯一一点，故A正确； 对于B，由函数，显然，则， 所以函数的值域，故B正确； 对于C，由函数，根据反比例函数的单调性， 可得在和上单调递减，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 21．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为R C．在区间上单调递增 D．的值为 【答案】ACD 【分析】根据给定函数，求出定义域、值域判断AB；求出函数的单调区间判断C；计算得出求解判断D. 【详解】对于A，由，得函数的定义域为，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，在区间上单调递增，C正确； 对于D，，又， 则，D正确. 故选：ACD 22．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．的值域是R B．存在，且，有 C．若函数满足，函数与的图像相交于点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】分离常数法求函数的值域，故选A；通过单调性分析当时，判断B；函数满足，得到和都关于中心对称，判断C；作差法判断D. 【详解】对于A，，定义域为， 值域为，故A错误； 对于B，，在和单调递减， 且当，，当，， 所以当时，，故B正确； 对于C，若函数满足，，则和都关于中心对称， 所以，所以，故C正确； 对于D， , 因为，所以，， 所以，即，故D正确， 故选：BCD. 23．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B． C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义即可判断A；求出即可判断B；结合B选项即可判断C；分离常数，再结合反比例函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，由，得，所以， 所以函数的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由B选项可得， 所以， 又， 所以，故C错误； 对于D，， 由且，得且， 所以，所以， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 24．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的值域是 B．函数关于点成中心对称 C．在定义域上单调递减 D． 【答案】AB 【分析】根据函数的单调性和对称性分析即可. 【详解】由， 则函数的定义域是，值域为，故A正确； 因为， 则函数关于点成中心对称，故B正确； 函数在和上为减函数，故C错误； 而，故D错误. 故选：AB. 25．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，下面有关结论正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：ABD. 26．（23-24高一上·江苏南京·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在R上有三个零点． 【答案】AB 【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由的奇偶性和单调性，结合函数的值域分析判断，对于D，由的奇偶性和单调性分析判断. 【详解】对于A，因为， 所以是奇函数，故对恒成立，所以A正确； 对于B，当时，，因为在上递减， 所以在上递增， 因为是奇函数，所以在上也是增函数， 而，的图象连续，所以在上为单调递增函数， 所以，则一定有成立，所以B正确； 对于C，因为，所以为偶函数， 当时，，因为在为单调递增函数， 所以在上单调递减， 当时，， 因为，所以，所以，则， 因为，为偶函数，所以， 所以当时有两个不相等的实数根，当时不可能有两个不等的实数根，所以C错误； 对于D，因为，所以为奇函数， 当时，， 因为为奇函数，所以当时，， 因为，所以函数在R上有一个零点，所以D错误； 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数与方程，解题的关键是对函数奇偶性和单调性的正确判断，然后利用奇偶性和单调性的性质求解，考查计算能力，属于较难题. 27．（23-24高一上·江苏盐城·期中）几位同学在研究函数时给出了下列结论，其中正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时，有最大值 D．的值域为 【答案】ABC 【分析】A选项，由奇偶性可判断选项正误；B选项，，，即可判断单调性； C选项，注意到此时，即可判断函数最大值；D选项，注意到此时，结合奇偶性可判断值域. 【详解】A选项，注意到的定义域为，关于原点对称，且，则为偶函数，即的图象关于轴对称，故A正确； B选项，时，，因函数在上单调递增，则在上单调递减，故B正确； C选项，此时，当时，单调递增，当时，单调递减，则，即有最大值，故C正确； D选项，，由奇偶性可知，仅判断时的值域即可.当时，由C选项分析可知，当时， ，则的值域为，故D错误. 故选：ABC 28．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，函数，当时，的最小值为，下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由基本不等式可求得的值，故可得函数的单调区间，同时求得函数的奇偶性，故可判断各选项． 【详解】对于，定义域为，，是奇函数，不是偶函数． 当时， 由基本不等式，解得， 由对勾函数易知在和上递增，在和上递减， 所以C正确，D不正确， 故选：AC． 29．（23-24高一上·山东青岛·期中）关于函数性质描述，正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．在定义域上是增函数 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域、值域、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于函数， 由解得或或， 若，则，不符合，所以， 若，则，符合， 若，则，符合， 由，解得或， 此时， 综上所述，的定义域是，A选项正确. 由上述分析得， 由于，所以是奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于对称，C选项正确. 当时，，单调递增. 当时，，单调递增. 所以的值域为，所以B选项错误. 的单调递增区间是、， 但不能说在定义域上单调递增，所以D选项错误. 故选：AC 三、填空题 30．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是 . 【答案】 【分析】先分离变形，然后结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增，故，且， 所以函数的值域为； 故答案为： 31．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，，在上单调递增，无最小值，舍去； 当时，由于，故， 令，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 要想在上存在最小值，则，解得，满足； 当时，在上单调递增， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上存在最小值，则， 解得，满足； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 32．（23-24高一上·湖南张家界·期中）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 . 【答案】 【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案. 【详解】设函数，则的最大值为，最小值为， ，则， 所以是奇函数，所以，所以． 故答案为：. 33．（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意先构造，可得为奇函数，且在上单调递增，即可由得，将看作为关于的一次函数，结合，有解，根据一次函数的单调性分类可得的取值范围. 【详解】由得， 设则 故为奇函数， 由得， 即， 当时，， 根据在单调递增，在单调递增， 故在单调递增，又为奇函数， 故在上单调递增， 故由得即， 由题意使得有解， 当时，，不符合题意； 当即时，，解得或，故； 当即时，，解得或，故， 综上可得实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 34．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 35．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 36．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 37．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可； （2）利用定义判断函数的单调性，进而可求得函数的最值． 【详解】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 38．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 39．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值是1，最大值是 【分析】（1）根据单调性的定义，先任取，且，然后作差，变形判断符号可得结论； （2）由在上递增，可求出其最大值和最小值. 【详解】（1）证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是 40．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 试卷第2页，共29页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$