第七章 平行线的证明（十大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

第七章 平行线的证明 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、真假命题的判定…………………………………………………………………4 类型二、逻辑与推理……………………………………………………………………9 类型三、平行线的性质与判定的综合应用………………………………………………14 类型四、平面直角坐标系背景下的平行线性质与判定……………………………………39 类型五、动态背景下平行线性质与判定…………………………………………………58 类型六、平行线性质与判定的实际应用…………………………………………………76 类型七、折叠背景下的平行线问题………………………………………………………87 类型八、与平行线有关的三角形内角和问题……………………………………………94 类型九、折叠背景下的三角形内角和问题………………………………………………115 类型十、与角平分线有关的平行线问题…………………………………………………136 知识点1．推理证明的必要性 通过实验、观察、 归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，还必须进行有根有据的证明 知识点2．检验数学结论的常用方法 常用方法：（1）试验验证(2)举出反例(3)推理论证 知识点3．定义的概念 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 知识点4．命题的概念 命题：判断一件事情的句子，叫做命题. （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 知识点5．命题的结构 1. 命题的结构：一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由己知事项推断出的事项。 知识点6．真命题、假命题、反例 1.命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。 2. 反例 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. 知识点7．公理、证明、定理 名称 概念 作用 公理 公认的真命题 作为判断其他命题真假的依据 定理 经过证明的真命题 证明 演绎推理的过程 判断命题真假 知识点7．平行线的判定 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 知识点8．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 定理：平行于同一条直线的两条直线相等 知识点8．证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 知识点1.三角形内角和定理（重点） 知识点9．三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°． 知识点10．三角形的内角和定理的推论 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 类型一、真假命题的判定 1．定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 2．在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法： 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．在平面直角坐标系中，对于任意两点，规定运算： （1）A⊕B=； （2）A⊙B=； （3）当且时，A=B． 有下列四个命题： ①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，则A⊕B=(3，1)，A⊙B=0； ②若有A⊕B=B⊕C，则A=C； ③若有A⊙B=B⊙C，则A=C； ④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）对任意点A、B、C均成立． 其中正确的命题为 （只填序号） 4．定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点为“好友点”． (1)若为“好友点”，则 ______ ； (2)判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”． ①与是互为“好友数”；(    ) ②若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；(    ) ③若与互为相反数，则一定不是“好友点”； (    ) ④存在与互为“好友数”的实数；(    ) (3)已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由． 类型二、逻辑与推理 5．某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（    ） A．丙队不可能获得8个积分 B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数 C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数 D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利 6．有人数不相等的A，B两队同学，A队男生的人数与B队女生的人数相等，若对两队同学进行调换，规则是调换的人数必须相等，则下列说法正确的是（    ） A．可以调整至A队全是男生而B队全是女生 B．可以调整至A队男生的人数比B队女生的人数多1个 C．可以调整至A队男生的人数比B队女生的人数多1倍 D．无论怎么调整，A队男生人数与B队中女生人数始终相等 7．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初二（8）班举办了“乐知杯古诗词”大赛．现有小璟、小桦、小花三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（不并列），对应名次的得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c均为正整数)；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况， 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小璟 a a 26 小桦 a b c 11 小花 b b 11 根据题中所给信息，下列说法正确的是（        ） A．小璟可能有一轮比赛获得第二名 B．小桦有三轮比赛获得第三名 C．小花可能有一轮比赛获得第一名 D．每轮比赛第一名得分a为5 8．容器中有A，B，C 3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子 ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子 ④以上都不正确 其中正确结论的序号是(         )．(写出所有正确结论的序号) A．① B．②③ C．③ D．①③ 9．甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、 乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：（         ） A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的 10．容器中有“O、P、Q”三种颗粒，若相同种类的颗粒发生碰撞，则会变成1个“P颗粒；若不同种类的颗粒发生碰撞，则会变成另一种颗粒，例如：一个“O”颗粒和一个“P”颗粒进行碰撞，则会变成一个“Q”颗粒．现有“O”颗粒11个，“P”颗粒10个，“Q”颗粒12个，经过两两碰撞后，最后一个颗粒一定不是 颗粒． 类型三、平行线的性质与判定的综合应用 11．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 12．已知：P、Q分别是线段上的点，点E在线段的延长线上，连接，且． (1)探究发现：探究与的位置关系． 如图1，过作， ∴（①　　　） ∵（已知） ∴ ∵ ∴（②　　　） ∴（③　　　） 又∵ ∴（④　　　） (2)解决问题： ①如图2， 连接，若，且恰好平分，，试判断与之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，在（2）的条件下，在射线上找一点，连接，使，．补全图形后，则的度数为　　　（直接写出结果）． 13．已知，过内一点作交于点，作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，，求的度数． 14．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 15．如图，点是三角形的边上的一动点，交边于点． (1)如图1，点在边上，连接．若求证：； (2)在（1）的条件下，如图2，分别是和延长线上的点，若与的平分线所在直线的交点在直线左侧，请探究与的数量关系，给出结论并说明理由； (3)如图3，过点作于点，点在直线上，射线在的内部，满足．射线在的内部，满足．且射线与直线交于点．请直接写出的度数． 16．已知，，直线与直线、分别交于点E、F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下．连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 18．已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 19．如图1，，直线与分别交于点，点在直线上，过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，若点在线段上（不与重合），连接，和的平分线交于点，若，求出的度数； (3)若直线的位置如图3所示，点在线段上（不与重合），连接，和的平分线交于点，若，则 （用含的代数式表示） 20．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 类型四、平面直角坐标系背景下的平行线性质与判定 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 22．如图，直线，一副直角三角板（）如图1所示放置．    (1) °； (2)将三角板绕点C逆时针旋转得，探究当ɑ为多少度时，的一条边与平行，请画出简单的示意图，并直接写出答案； (3)如图2，将三角板绕点C逆时针旋转得，若的边所在的直线交直线于点E，探究与的数量关系，直接写出答案． 23．在平面直角坐标系中，点、且、满足 (1)直接写出、两点坐标； (2)如图，直线轴，垂足为点点为上一点，且点在第四象限，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，点为轴负半轴上一点，过点作CD//AB，E为线段上任意一点，以为顶点作，使交于点为线段与线段之间一点，连接，且当点在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 24．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．    (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)如图，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达A点时整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，且，满足，现同时将点，分别先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，分别得到，的对应点，，连接．此时．    (1)______，______． (2)在轴上有一动点，使，求点的坐标； (3)点分别是四边形的边上的一个动点，如图，连接，当点在线段上移动（不与、重合）的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请说明理由并求出其值． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一点（点P不与点B重合），连接AP，过点B作交y轴于C点，，分别平分，．    (1)填空：________，________．（直接写出答案） (2)若点E是x轴上的一点且，则点E的坐标为________．（直接写出答案） (3)若点P的纵坐标为， ①线段的中点的坐标为________．（直接写出答案） ②在直线m上是否存在点Q，使得的面积等于16？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (4)在点P的运动过程中，的值是不变的，则这个值是________．（直接写出答案） 27．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点、满足．    (1)点的坐标为______ ；点A的坐标为______ ； (2)已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发向左以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度向上移动，的中点的坐标是． 设运动时间为秒，问：当 ______ 时，； 在满足的前提下，当点位于的延长线上，此时在第二象限内是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，是否有这样的实数使得总成立，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 类型五、动态背景下平行线性质与判定 28．已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图1，求证：． (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． (3)在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 29．在平面直角坐标系中，，满足，中，的边与x轴分别交于O、G两点，与直线分别交于E、F两点． (1)求 ； ． (2)将直角三角形如图1位置摆放，求证：； (3)将直角三角形如图2位置摆放，N为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由． ； 30．已知，如图1，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1)求α，β； (2)如图2，若点G，H分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 31．如图1，，为之间任意一点． (1)若平分平分．求证：； (2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 32．已知，如图 ，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1) ， ；直线与的位置关系是 ． (2)如图 ，若点，分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论． (3)若将图中的射线绕着端点 逆时针方向旋转（如图 ），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 33．如图1，直线，直线与，分别交于点G，H，．将一个直角三角板按如图1所示放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，已知． (1)若，则的度数为 ； (2)若，对说明理由； (3)如图2，已知的平分线交直线于点O． ①当， 时，求的值； ②现将三角板保持，并沿直线向左平移，在平移的过程中，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 34．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG=∠FEG，EF平分∠AEG． (1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． (2)如图2所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q=a，∠EHG=β． ①若∠HEG=40°，∠QGH=20°，求∠Q的度数． ②判断：点H在运动过程中，a和β的数量关系是否发生变化?若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由． 35．如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 类型六、平行线性质与判定的实际应用 36．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，），小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体（如图2），镜子与之间的角度为，他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． (1)小明发现当，入射光线与反射光线的是平行的，请说明理由； (2)小明继续改变，的大小，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角，大小； (3)小明拿来了一块新的镜子和前面两块镜子和组成一个新的镜子组合体（如图4），其中，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小颖发现当入射光线和镜面的夹角和镜子和形成的角，满足一定数量关系时，入射光线和反射光线始终平行（即），设，请你直接写出此时x和y之间满足的关系式． 37．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ． （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间．    38．某市为了亮化某景点，在两条笔直的景观道上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，B灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动，B灯每秒转动，若这两条笔直的景观道是平行的． (1)B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束和到达如图①所示的位置，和是否互相平行？请说明理由； (2)在（1）的情况下，当B灯的光束第一次到达之前，两灯的光束是否还能互相平行？如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为多少秒？ 39．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 类型七、折叠背景下的平行线问题 40．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．    (1)观察发现：如图①所示：，，则______． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明． 41．  如图1，现有一张纸条，，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G．    (1)①若，则______； ②若，则______； (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处，已知，，求证：； (3)如图3，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点落在处，点落在处，，设，求的度数．（用含x的式子表示） 42．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 43．已知直线，M，N分别为直线，上的两点且，P为直线上的一个动点．类似于平面镜成像，点N关于镜面所成的镜像为点Q，此时． （1）当点P在N右侧时： ①若镜像Q点刚好落在直线上（如图1），判断直线与直线的位置关系，并说明理由； ②若镜像Q点落在直线与之间（如图2），直接写出与之间的数量关系； （2）若镜像，求的度数． 类型八、与平行线有关的三角形内角和问题 44．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    45．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 46．如图，，平分交于点，在射线上，平分交于点．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，在线段上，使得平分． ①当时，比较与的大小关系，并说明理由； ②过作于点，若，且，，，求的长． 47．在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．    (1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系； (2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由； (3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形． 48．如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 49．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M在的延长线上，作、的角平分线交于点N，交于点P，设． ①若，试判断直线上是否存在一点K使得，并说明理由； ②如图3，作的角平分线交于点Q，若，请直接回答与的数量关系：______． 50．综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 51．已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，则的度数为 ； (2)如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，当时，试猜想与之间的关系，请直接写出你的答案． 52．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 53．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    (1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”； (2)若，试说明：是“完美三角形”； 【应用拓展】 (3)如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度数． 类型九、折叠背景下的三角形内角和问题 54．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 55．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 56．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　； ②若，，求点到的距离． 57．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 58．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    59．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 60．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 61．在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．    (1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示； (2)当点与点不重合时， ①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由； ②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）． 62．（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 63．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 类型十、与角平分线有关的平行线问题 64．如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 65．如图，在四边形中，和相交于点． (1)如图，若，平分，，求的度数； (2)如图，若，平分，平分，求证：； (3)如图，若平分，平分，和分别是和外角平分线，试探究，，之间的数量关系． 66．如图1至图2，在中，，点D在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点E；为的角平分线，的平分线交直线于点G． 解决问题： （1）如图1，延长交于点F，若，．试说明：； 深入探究； （2）如图2，若，与反向延长线交于点H，求的度数 拓展延伸： （3）当点D在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为N，直接写出的度数（用含的代数式表示）          67．如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 68．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 69．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．现将点B向右平移6个单位得到点C，，且，连接AB交y轴于点D． (1)如图1，点A，C的坐标分别为_________，_________，并求出三角形的面积； (2)如图2，与的角平分线相交于点E，，垂足为点F，求证：． (3)如图3，点P是线段上一动点，将点P向下平移2个单位到点Q，连接、、，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，请直接写出此时点的坐标． 70．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 71．（问题背景） ，点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数. （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________； ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 试卷第2页，共157页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、真假命题的判定…………………………………………………………………4 类型二、逻辑与推理……………………………………………………………………9 类型三、平行线的性质与判定的综合应用………………………………………………14 类型四、平面直角坐标系背景下的平行线性质与判定……………………………………39 类型五、动态背景下平行线性质与判定…………………………………………………58 类型六、平行线性质与判定的实际应用…………………………………………………76 类型七、折叠背景下的平行线问题………………………………………………………87 类型八、与平行线有关的三角形内角和问题……………………………………………94 类型九、折叠背景下的三角形内角和问题………………………………………………115 类型十、与角平分线有关的平行线问题…………………………………………………136 知识点1．推理证明的必要性 通过实验、观察、 归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，还必须进行有根有据的证明 知识点2．检验数学结论的常用方法 常用方法：（1）试验验证(2)举出反例(3)推理论证 知识点3．定义的概念 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 知识点4．命题的概念 命题：判断一件事情的句子，叫做命题. （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 知识点5．命题的结构 1. 命题的结构：一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由己知事项推断出的事项。 知识点6．真命题、假命题、反例 1.命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。 2. 反例 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. 知识点7．公理、证明、定理 名称 概念 作用 公理 公认的真命题 作为判断其他命题真假的依据 定理 经过证明的真命题 证明 演绎推理的过程 判断命题真假 知识点7．平行线的判定 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 知识点8．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 定理：平行于同一条直线的两条直线相等 知识点8．证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 知识点1.三角形内角和定理（重点） 知识点9．三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°． 知识点10．三角形的内角和定理的推论 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 类型一、真假命题的判定 1．定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查新定义、两点之间，线段最短、三角形形状的判定， ①如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点，得到，，根据“两点之间，线段最短”得，即可得出结论； ②根据题意得出点在长方形内（含边界），分情况讨论即可， 理解和掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴； 当点、重合时，， 综上所述，，故命题①是真命题； ∵，， ∴点在长方形内（含边界）， 当点与点或点重合时，； 当点与点或点重合时，三角形不存在； 当点在长方形内或边上时（顶点除外），； 综上所述，若，，则不可能是锐角，故命题②是真命题． 故选：A． 2．在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法： 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例． 【详解】解：题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等， 举出正例：选择进行“加括号操作”得到， 与原多项式相等，故说法正确； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为， ∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的， ∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去的， ∴存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是错误的； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果， 举出反例：选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 结果大于四种，故说法错误； 故选：． 3．在平面直角坐标系中，对于任意两点，规定运算： （1）A⊕B=； （2）A⊙B=； （3）当且时，A=B． 有下列四个命题： ①若有A(1，2)，B(2，﹣1)，则A⊕B=(3，1)，A⊙B=0； ②若有A⊕B=B⊕C，则A=C； ③若有A⊙B=B⊙C，则A=C； ④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）对任意点A、B、C均成立． 其中正确的命题为 （只填序号） 【答案】①②④ 【分析】①根据规定运算A⊕B=，A⊙B=，把A(1，2)，B(2，﹣1)代入并解出，即可得出判断；②设C为(，)，根据规定运算A⊕B=(，)，分别算出A⊕B、B⊕C，然后再根据规定运算：当且时，A=B，即可得出判断；③根据规定运算：A⊙B=，分别算出A⊙B、B⊙C，然后再根据规定运算：当且时，A=B，即可得出判断；④根据规定运算：A⊕B=，分别算出（A⊕B）⊕C、A⊕（B⊕C），即可得出判断． 【详解】①∵A(1，2)，B(2，﹣1)， ∴A⊕B=(1+2，2﹣1)=(3，1)，A⊙B=1×2+2×（﹣1）=0，故命题①正确； ②设C(，)， ∵A⊕B=(，)，B⊕C=(，)，而A⊕B=B⊕C， ∴=，=，则，， ∴A=C， 故命题②正确； ③∵A⊙B=，B⊙C=， 而A⊙B=B⊙C，则=， ∴不能得到，， ∴A≠C，故命题③不正确； ④∵（A⊕B）⊕C=(，)， A⊕（B⊕C）=(，)， ∴（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），故命题④正确． 综上可得：命题①②④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查点的坐标、新定义问题，能正确地理解定义中规定的运算是解本题的关键． 4．定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点为“好友点”． (1)若为“好友点”，则 ______ ； (2)判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”． ①与是互为“好友数”；(    ) ②若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”；(    ) ③若与互为相反数，则一定不是“好友点”； (    ) ④存在与互为“好友数”的实数；(    ) (3)已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①√②√③×④× (3) 【分析】（1）根据“好友点”的定义把代入，求出值即可； （2）根据“好友数”或“好友点”的定义对每一个命题进行判断即可解决问题； （3）先解关于、的二元一次方程组求出、的值，然后根据“好友点”的定义代入关系式得到关于的方程，解方程即可求出的值，然后求出的值即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：； （2）解：①把和分别代入的左右两边，得： ，， ， 同理可得：， 与是互为“好友数”， 故①是真命题； ②把点代入后，结果为， 根据加法交换律和乘法交换律可以知道可以变形为， 若点为“好友点”，则点也一定为“好友点”， 故②是真命题； ③与互为相反数， ， 假设是“好友点”， ， ， 存在这样的实数，使、是相反数，点又是“好友点”， 故③是假命题； ④把代入得 ， 不存在这样的的值， 不存在与互为“好友数”的实数， 故④是假命题； 故答案为：①√②√③×④×． （3）解：解此方程组得：， 设点是能成为“好友点”， ， ， 解得， ， 点坐标为 【点睛】本题是新定义综合题，主要考查命题和定理，代数式的值，解二元一次方程组以及数对等知识点，理解“好友点”和“好友数”的定义是解决问题的关键． 类型二、逻辑与推理 5．某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（    ） A．丙队不可能获得8个积分 B．四支球队的积分不可能是四个连续的奇数 C．四支球队的积分不可能是四个连续的偶数 D．若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利 【答案】B 【分析】本题考查逻辑推理与论证，先根据赛制得出比赛总场数、单支球队比赛场数，计算出每支球队所有可能的得分情况，再逐项推理论证即可． 【详解】解：根据赛制，一共需要进行6场比赛，每支球队进行3场比赛，3胜得9分，2胜1平得7分，2胜1负得6分， 1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，1胜2负得3分，3平得3分，2平1负得2分，1平2负得1分，3负得0分， 一支球队可能获得的积分为：9，7，6，5，4，3，2，1，0， 丙队不可能获得8个积分，故A选项描述正确； 甲队1平2负得1分，乙队1胜2负得3分，丙队1胜2平得5分，丁队2胜1平得7分，上述情况下，四支球队的积分是四个连续的奇数，故B选项描述不正确； 6场比赛均没有平局时，四支球队的积分之和最高，为分，6场比赛均是平局时，四支球队的积分之和最低，为分，每只球队均积3分， 四支球队的积分是四个连续的偶数时，只可能是0，2，4，6，总积分是12，与每只球队均积3分矛盾，因此这种情况不存在，故C选项描述正确； 若四支球队的积分是四个连续的整数，则有可能是3，2，1，0或4，3，2，1或5，4，3，2或6，5，4，3， 当得分为3，2，1，0时，总积分为6，与总积分最低为12矛盾，不合题意， 当得分为4，3，2，1时，总积分为10，与总积分最低为12矛盾，不合题意， 当得分为6，5，4，3时，总积分为18，有平局，与没有平局时总积分最高18分矛盾，不合题意， 得分为5，4，3，2时，四支球队得分情况为：1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，3平得3分，2平1负得2分，可知有两支球队没有取得一场胜利，故D选项描述正确； 故选B． 6．有人数不相等的A，B两队同学，A队男生的人数与B队女生的人数相等，若对两队同学进行调换，规则是调换的人数必须相等，则下列说法正确的是（    ） A．可以调整至A队全是男生而B队全是女生 B．可以调整至A队男生的人数比B队女生的人数多1个 C．可以调整至A队男生的人数比B队女生的人数多1倍 D．无论怎么调整，A队男生人数与B队中女生人数始终相等 【答案】D 【分析】本题考查推理的应用，理解题意和各选项是解题关键．根据题意逐项分析判断即可． 【详解】解：两队同学进行调换，若调换的同学都是女生或男生，则整个队伍男女生人数不变；若将A队男生1人与B队女生1人进行调换，则A队男生人数少1人，B队女生人数少1人，此时A队男生人数与B队女生的人数仍相等；若将A队女生1人与B队男生1人进行调换，则A队男生人数多1人，B队女生人数多1人，此时A队男生人数与B队女生的人数仍相等．所以不论怎么调整，只要每次调换的人数相等，A队男生与B队女生人数始终相等，所以选项D正确； 因为A队男生人数与B队女生的人数相等，而A队女生人数与B队男生的人数不相等，所以不可能调整至A队全是男生而B队全是女生，所以选项A不正确；不过可以将A队男生与B队女生对调，调整至A队男生0人，B队女生0人，即调整至A队全是女生而B队全是男生； 选项B和选项C不正确，因为不论怎么调整，只要每次调换的人数相等，A队男生与B队女生人数始终相等，即A队男生比B队女生人数多一个（或多一倍）都是不可能发生． 故选D． 7．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初二（8）班举办了“乐知杯古诗词”大赛．现有小璟、小桦、小花三位同学进入了最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（不并列），对应名次的得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c均为正整数)；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况， 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小璟 a a 26 小桦 a b c 11 小花 b b 11 根据题中所给信息，下列说法正确的是（        ） A．小璟可能有一轮比赛获得第二名 B．小桦有三轮比赛获得第三名 C．小花可能有一轮比赛获得第一名 D．每轮比赛第一名得分a为5 【答案】D 【分析】先根据三人总得分共26＋11＋11＝48，可得每一轮的得分a＋b＋c＝8，再根据小桦的等分能够得出c＝1，进而可得到第一二两轮的具体排名，然后在对a、b的值分情况讨论，然后再逐个排除即可求得a，b的值，从而求解即可 【详解】解：∵三人总得分共26＋11＋11＝48， ∴每一轮的得分a＋b＋c＝48÷6＝8， 则对于小桦来说，小桦剩余的第一、三、四轮的总分是11－8＝3分， 又∵a>b>c且a，b，c均为正整数， ∴c≥1， ∴小桦第一、三、四轮的得分均为1分，且c＝1， ∴小花第一、二、四轮的得分均为b， ∵a＋b＋c＝8，c＝1， ∴a＋b ＝7， 又∵a>b>c且a，b，c均为正整数， ∴b＝2时，a＝5，或b＝3时a＝4， 当b＝2，a＝5时， 则小花剩余第三、五、六轮的总分是：11－2×3＝5（分） 结合小桦这几轮的得分情况可知，小花这三轮的得分分别是2,1,2， 此时小璟这三轮的得分分别是5,5,5， 则小璟六轮的具体得分分别是：5,1,5,5,5,5，共26分，符合题意 当b＝3，a＝4时， 则小花剩余第三、五、六轮的总分是：11－3×3＝2（分）＜3分，不符合 综上所述，a＝5，b＝2，c＝1，（D正确） 小璟有五轮得第一名，一轮得第三名；（A错误） 小桦有一轮得第一名，一轮得第二名，四轮得第三名；（B错误） 小花有五轮得第二名，一轮得第三名（C错误） 故选：D 【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题． 8．容器中有A，B，C 3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子 ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子 ④以上都不正确 其中正确结论的序号是(         )．(写出所有正确结论的序号) A．① B．②③ C．③ D．①③ 【答案】D 【分析】将问题抽象为有理数的符号法则即可解决. 【详解】解：③∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子， ∴设B粒子为1，A、C粒子为-1，碰撞为乘法运算， ∴=-1， 故最后一颗粒子一定不是B粒子， ∴③是正确的； ①10颗A粒子，8颗C粒子，8颗B粒子，同种粒子两两碰撞，得到13颗B粒子，再所有B粒子一一碰撞，得到一颗B粒子，和剩下的1颗C粒子碰撞，得到A粒子， ∴最后一颗粒子可能是A粒子； ∴①是正确的，②是错的. 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的符号法则，读懂题意是解题的关键. 9．甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、 乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：（         ） A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的 【答案】C 【分析】先根据丁的丁说的是实话，由甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，且乙、丙的说法不正确，可知甲是红色，然后根据丙的说法判断出丁的颜色，从而当得出结论. 【详解】甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的， 乙说："丙的车是红色的，乙说的肯定不是真的，那么丙的车也不是红色的 ，那么丙说的也不是真的，就是甲说的是真的，他的车是红色的；丙说的是假的，那么丁的车就是蓝色的，甲说的是真的，乙的车不是白色的，那么乙的车是银色的，剩下白色是丙的. 故选C. 【点睛】此题是一个阅读理解形的分析题，抓住题目中的一些关键句意是解题关键. 10．容器中有“O、P、Q”三种颗粒，若相同种类的颗粒发生碰撞，则会变成1个“P颗粒；若不同种类的颗粒发生碰撞，则会变成另一种颗粒，例如：一个“O”颗粒和一个“P”颗粒进行碰撞，则会变成一个“Q”颗粒．现有“O”颗粒11个，“P”颗粒10个，“Q”颗粒12个，经过两两碰撞后，最后一个颗粒一定不是 颗粒． 【答案】P 【分析】本题主要考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，解题的关键是读懂题意写出六种可能的碰撞，且每碰撞一次颗粒总数减少一个，33个颗粒经过32次碰撞后将变为1个． 【详解】解：O、P、Q三种颗粒每一次碰撞会产生以下6种可能的情况： O与O碰撞，会产生一个P颗粒，减少两个O颗粒，增加1个P颗粒，O、Q总数共减少2个， P与P碰撞，会产生一个P颗粒，减少两个P颗粒，减少1个P颗粒，O、Q总数不变， Q与Q碰撞，会产生一个P颗粒，减少两个Q颗粒，增加1个P颗粒，O、Q总数共减少2个， O与P碰撞，会产生一个Q颗粒，O与P各减少1个，减少1个P颗粒，O、Q总数不变， O与Q碰撞，会产生一个P颗粒，O与Q各减少1个，增加1个P颗粒，O、Q总数减少2个， Q与P碰撞，会产生一个O颗粒，Q与P各减少1个，减少1个P颗粒，O、Q总数不变， 从P颗粒角度看，每碰撞1次，P颗粒增加或减少1个，共有个颗粒，经过次碰撞后，剩余1个颗粒，整个过程变化了偶数次，由于开始时P颗粒为10个，因此经过次碰撞后，剩余的P颗粒一定为偶数，所以最后一个颗粒一定不是P颗粒． 故答案为：P． 类型三、平行线的性质与判定的综合应用 11．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 12．已知：P、Q分别是线段上的点，点E在线段的延长线上，连接，且． (1)探究发现：探究与的位置关系． 如图1，过作， ∴（①　　　） ∵（已知） ∴ ∵ ∴（②　　　） ∴（③　　　） 又∵ ∴（④　　　） (2)解决问题： ①如图2， 连接，若，且恰好平分，，试判断与之间的数量关系，并加以证明； ②如图3，在（2）的条件下，在射线上找一点，连接，使，．补全图形后，则的度数为　　　（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析②画图见解析， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）利用平行线的性质和判定方法，作答即可； （2）①由（1）可知：，进而得到，根据已知条件结合平角的定义推出，根据两直线平行，得到，即可得出结论； ②过点作，根据平行线的性质和角之间的和差关系，推出，进而得到，进而求出，再根据角的和差关系结合平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）如图1，过作， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） 又∵ ∴（平行于同一条直线的两直线平行）； （2）①，证明如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ②补全图形如图： 过点作，则：， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．已知，过内一点作交于点，作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作平分，由角平分线定义得出，，，证出，得出，，即可得出结论； （3）设，则，，得出，，由平行线的性质得出，求出，过点作，过点作，由平行线的性质得出，，，，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）证明：过点作平分，如图2所示： 则， 射线，射线分别平分和， ，， ， ， ，， ； （3）解：平分， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 过点作，过点作，如图3所示： ， ，， ，，，， ，， ． 14．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）过点O作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可． 【详解】（1）证明：过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作， ∴，， ∴． 15．如图，点是三角形的边上的一动点，交边于点． (1)如图1，点在边上，连接．若求证：； (2)在（1）的条件下，如图2，分别是和延长线上的点，若与的平分线所在直线的交点在直线左侧，请探究与的数量关系，给出结论并说明理由； (3)如图3，过点作于点，点在直线上，射线在的内部，满足．射线在的内部，满足．且射线与直线交于点．请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的度数为或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定和性质及角平分线的定义． （1）根据，得到，由，推出，即可证明结论； （2）分别过点作，推出，再求出，，即可得出结论； （3）分别过点作，设，则．，，分点M在线段上，且射线与射线交于点，点M在线段上，且射线与射线的反向延长线交于点，点M在射线上，且射线与射线交于点，三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，分别过点作， ，， ， ，， ， 与的平分线所在直线的交点在直线左侧， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：分别过点作， 设， ．， ．， ， 如图，当点M在线段上，且射线与射线交于点时， ，， ，， ， ，即； ， ， ； ， ； 如图，当点M在线段上，且射线与射线的反向延长线交于点时， 同理得， 如图，当点M在射线上，且射线与射线交于点时， 同理得： ， ， ， ，，， ， ， ， ； 综上，的度数为或或． 16．已知，，直线与直线、分别交于点E、F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下．连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不变，的度数为 【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等，和平角的定义，解答计算即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补，证明，利用垂直同一直线的两直线平行，证明． （3）设，则．．．结合解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵, ∴， ∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的大小不变，且度数为．理由如下： ∵， ∴． 设， ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． 答：的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角形外角性质，角的和差表示，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 17．如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①延长交于点N，连接，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况进行讨论：当在之间时，当G在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点N，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在之间时，连接，如图所示： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当G在上时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质． 18．已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证； （2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解； （3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，，理由如下： ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键． 19．如图1，，直线与分别交于点，点在直线上，过点作，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，若点在线段上（不与重合），连接，和的平分线交于点，若，求出的度数； (3)若直线的位置如图3所示，点在线段上（不与重合），连接，和的平分线交于点，若，则 （用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，准确识图并理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）过点作，得到，推出，根据，得到，即可得到； （2）根据角平分线的定义得到，，同理（1）得，结合，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，，由，即可得出结论；当在上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，，由，即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：∵和的平分线交于点， ∴，， 同理（1）得 ， 由（1）得， ； （3）解：①如图，当点在上时， 由，可得：， ， ， 又是的外角， ， ， ； ②如图，当在上时，如图 同理可得，， ， ， 又中，， ， ． ， 综上，的角度为或． 20．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 类型四、平面直角坐标系背景下的平行线性质与判定 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．                                    　备用图 (1)点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． (2)当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． (3)在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，，， (2) (3)或． 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点与中间、点在点的上方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴点，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， （2）过点作于，      设时间经过秒，， 则，，，， ，， ∵， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； （3）解：或， 理由如下： 当点在点与中间，过点作，   ，， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的上方时，过点作，   ， ， ， ， ∵， ， 即， 综上所述，或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22．如图，直线，一副直角三角板（）如图1所示放置．    (1) °； (2)将三角板绕点C逆时针旋转得，探究当ɑ为多少度时，的一条边与平行，请画出简单的示意图，并直接写出答案； (3)如图2，将三角板绕点C逆时针旋转得，若的边所在的直线交直线于点E，探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1) (2)、、 (3)；； 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，三角板中的角度计算，解题的关键是画出对应的图形． （1）过点O作，得出，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）分为当时，当时，当时，分别画图求解即可； （3）设与交于点H，分为当点E在线段时，当点E在线段延长线上时，当点E在线段延长线上时，分别画图求解 【详解】（1）过点O作，    ∵， ∴， ∴， ； （2）解：如图①，当时，   ． 如图②，当时，   ， ． 如图③，当时，   ， ， ． 综上所述：． （3）设与交于点H， 如图④，当点E在线段时，   ， ， 即． 如图⑤，当点E在线段延长线上时，   ， 即． 如图⑥，当点E在线段延长线上时，   ， ， 即． 23．在平面直角坐标系中，点、且、满足 (1)直接写出、两点坐标； (2)如图，直线轴，垂足为点点为上一点，且点在第四象限，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，点为轴负半轴上一点，过点作CD//AB，E为线段上任意一点，以为顶点作，使交于点为线段与线段之间一点，连接，且当点在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）非负性求出的值，即可； （2）设，作于，连接，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，则，再利用平行线的性质表示出即可． 【详解】（1）、满足 ， ， ； （2）如图，设，作于，连接，    ， ， ， ； （3）结论：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∴， ， ， 过点作，    ， ∴， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，三角形的面积，平行线的性质，四边形内角和定理等知识，熟练掌握基本模型是解题的关键． 24．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．    (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)如图，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达A点时整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用非负数的性质即可得出答案； （2）用含有的式子表示，，，，根据三角形的面积公式和构建方程即可解决问题； （3）过点作的平行线，交轴于点，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据平行线的判定和性质可得，，，即可求得，代入即可求得． 【详解】（1）解：∵， 且，， ∴，， ∴，， 则， ∴，． 故答案为：，． （2）解：存在；理由如下： ∵， 由题意可知：，，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：的值不变，其值为．理由如下： 如图2中，过点作的平行线，交轴于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，平行线的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是添加辅助线，用转化的思想思考问题． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，且，满足，现同时将点，分别先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，分别得到，的对应点，，连接．此时．    (1)______，______． (2)在轴上有一动点，使，求点的坐标； (3)点分别是四边形的边上的一个动点，如图，连接，当点在线段上移动（不与、重合）的值是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请说明理由并求出其值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)不变； =1 【分析】（）由根据几个非负数之和为零，则每一项都为零，求出，即可； （）先求解的坐标，再求解，设，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可； （）如图，过作，由，，证明， 可得， 再证明，从而可得答案． 【详解】（1）∵， ∴，解得：，， 故答案为：，； （2）由（）得：，， 将点，分别先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，分别得到，的对应点，， 则， ， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）如图，过作， ∵， ， ∴， ∴， ∴，，    ∴， ∴． 【点睛】此题考查了坐标与图形，平行公理的应用，平行线的性质，平移的性质，求解， ，证明是解本题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一点（点P不与点B重合），连接AP，过点B作交y轴于C点，，分别平分，．    (1)填空：________，________．（直接写出答案） (2)若点E是x轴上的一点且，则点E的坐标为________．（直接写出答案） (3)若点P的纵坐标为， ①线段的中点的坐标为________．（直接写出答案） ②在直线m上是否存在点Q，使得的面积等于16？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． (4)在点P的运动过程中，的值是不变的，则这个值是________．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2)或 (3)①②或 (4) 【分析】（1）可得，即可求解； （2）可得，由点E是x轴上的一点且，即可求解； （3）①可求，，由中点坐标公式即可求解； ②可设，可得，由即可求解； （4）过作，可得，，，从而可得，，可求，，即可求解． 【详解】（1）解：由得 ， 解得：， 故答案：，． （2）解：由（1）得 ， 因为点E是x轴上的一点且， 所以的坐标为或． 故答案：或． （3）解：①由（1）得： ，， 因为过点B作直线轴，P的纵坐标为， 所以 所以，， 所以中点坐标为 故答案：； ②因为Q在直线m上， 所以可设， 所以， ， 所以 ， 解得：或， 所以的坐标为或． （4）解：如图，过作，    因为， 所以， 所以，， ， 因为，分别平分，， 所以，， 所以，， 所以 因为， 所以，， 所以， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了三角形综合问题，非负数和为零的性质，平行线的判定及性质，角平分线的定义，中点坐标公式，掌握相关的性质及公式是解题的关键 27．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点、满足．    (1)点的坐标为______ ；点A的坐标为______ ； (2)已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发向左以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度向上移动，的中点的坐标是． 设运动时间为秒，问：当 ______ 时，； 在满足的前提下，当点位于的延长线上，此时在第二象限内是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，是否有这样的实数使得总成立，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或4；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点C的坐标； （2）①根据题意进行分类讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，画出图形，根据三角形面积公式，列出方程求解即可；②先求出的面积，得出的面积，再根据割补法，列出方程求解即可； （3）如图，过点作的平行线，交轴于， 根据，，，推出，进而得出，则，，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：当点在线段上时，    由题意：， 解得， 当点在的延长线上时，    由题意：， 解得， 故答案为：或； 存在，理由如下： 当时，， ∵， ∴， 过点M作轴，轴于点P，过点D作y轴的平行线，构造如图所示长方形，    ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在，， 如图，过点作的平行线，交轴于，    ， 又，， ， ， ， ， 则，， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，割补法求面积，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；再平面直角坐标系中用割补法求图形面积，以及平行线的判定和性质． 类型五、动态背景下平行线性质与判定 28．已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． (1)如图1，求证：． (2)如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． (3)在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，过点P作，则，由，可得，则，由，可得； （2）设，，则，，，，由，可得，由，可得，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，，，由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解作答即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴； （3）解：由题意知，，，，， 由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解； ①当点S在下方时，如图2， ∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 如图2，过点K作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点S在上方时，如图3， 同理①可得： 过点K作，则：． ∴， ∴； 综上所述，或． 29．在平面直角坐标系中，，满足，中，的边与x轴分别交于O、G两点，与直线分别交于E、F两点． (1)求 ； ． (2)将直角三角形如图1位置摆放，求证：； (3)将直角三角形如图2位置摆放，N为上一点，，请写与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，4 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用算术平方根和绝对值的非负性可得，的值； （2）作轴，推出利用平行线的性质得到，，结合，可得； （3）作轴，推出轴，根据平行线的性质得，，结合得到，结合，可得结论． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：如图1，作轴， ， 轴， 轴， ，， ， ； ； （3）．理由如下： 如图2，作轴， 轴， ，， ， ， ， ． 30．已知，如图1，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1)求α，β； (2)如图2，若点G，H分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不变，． 【分析】（1）利用非负数的性质可知：； （2）结论．只要证明即可解决问题； （3）结论：的值不变，．如图3中，作的平分线交的延长线于．只要证明，即可； 【详解】（1）证明：， ； （2）解：． 理由：∵， ∵平分 ， ∵， ， ∴； ， ， ， ∴， ， ， ； （3）解：的值不变，． 理由：如图3中，作的平分线交的延长线于． ∵， ， ，， ， ∴， ， 设，， 则有：，可得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 31．如图1，，为之间任意一点． (1)若平分平分．求证：； (2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论； （）分别过,作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质和，即可求解； （）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解； 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分,平分， ∴，， ∴，即； （2）如图，分别过,作，， ∵， ∴， ∴， ， ，， ∴，， 同理：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴， （3），理由： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 32．已知，如图 ，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1) ， ；直线与的位置关系是 ． (2)如图 ，若点，分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论． (3)若将图中的射线绕着端点 逆时针方向旋转（如图 ），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)40，40，平行 (2)，证明见解析 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求和的值，通过导角证明，可证； （2）根据可证，等量代换可得，进而证明，推出，结合可得结论； （3）作，，可证，，根据角平分线的定义可得． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平分， ， ， ， 故答案为：40，40，平行； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：不变，值为2． 如图，作，， ∵， ∴ ， ∴，，，， ∴，， ∵的平分线与直线相交于点，的角平分线与射线相交于点， ∴，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明． 33．如图1，直线，直线与，分别交于点G，H，．将一个直角三角板按如图1所示放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，已知． (1)若，则的度数为 ； (2)若，对说明理由； (3)如图2，已知的平分线交直线于点O． ①当， 时，求的值； ②现将三角板保持，并沿直线向左平移，在平移的过程中，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②的度数为或 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，根据，求出结果即可； （2）根据平行线的性质，得出，结合已知条件得出，最后根据平行线的判定得出结论即可； （3）①根据， ，得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，得出，根据， ，根据，得出即可得出答案； ②分两种情况：当N在点G的右侧，当点N在G点的左侧，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； ②当N在点G的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当点N在G点的左侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行公理的应用，解题的关键是数形结合，画出相应的图形，并注意分类讨论． 34．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG=∠FEG，EF平分∠AEG． (1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． (2)如图2所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q=a，∠EHG=β． ①若∠HEG=40°，∠QGH=20°，求∠Q的度数． ②判断：点H在运动过程中，a和β的数量关系是否发生变化?若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)①；②点在运动过程中，和的数量关系不发生变化，理由见解析 【分析】（1）依据平分，可得，再根据，可得，进而得出； （2）①依据，即可得到，依据平分，即可得到，根据进行计算即可； ②根据是的外角，是的外角，即可得到，，再根据平分，平分，即可得出，，最后依据进行计算，即可得到． 【详解】（1）解：直线与直线平行，理由： 平分， ， 又， ， ； （2）解：①， ， 又平分， ， ； ②点在运动过程中，和的数量关系不发生变化， 是的外角，是的外角， ，， 又平分，平分， ，， ， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 35．如图，已知， (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若点E，F在线段上，且满足平分，平分，，求的度数； (3)下列①-③的问题，对应分值分别为4分、5分、6分，请根据你的认知水平，选择其中一个问题作答，解答对多个问题，按分值最高的一个问题记分． ①如图2，在（2）的条件下，若，求的度数；（用含x的代数式表示）． ②如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数；（用含x的代数式表示） ③如图3，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数．（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①②③ 【分析】本题考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，关键是弄清角与角之间的关系． （1）利用两直线平行的判断和性质； （2）利用角平分线的性质； （3）①利用角平分线的性质；②证明、、是的四等分线，③证明、、是的四等分线． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ∵平分 ， ． （3）解：①， ， 平分， ， ∵平分 ， ． ②， ， 平分， ， ∵平分 ， ∵平分 ． ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型六、平行线性质与判定的实际应用 36．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，），小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体（如图2），镜子与之间的角度为，他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． (1)小明发现当，入射光线与反射光线的是平行的，请说明理由； (2)小明继续改变，的大小，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角，大小； (3)小明拿来了一块新的镜子和前面两块镜子和组成一个新的镜子组合体（如图4），其中，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小颖发现当入射光线和镜面的夹角和镜子和形成的角，满足一定数量关系时，入射光线和反射光线始终平行（即），设，请你直接写出此时x和y之间满足的关系式． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可证； （2）在中，得出，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，即可求解； （3）根据根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得从而表示出，，，作证出即可求解； 【详解】（1）， 理由如下：在中，．． ， ， ． （2）在中， ， 在中， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， 作 ． 37．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ． （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间．    【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），，，， 【分析】（1）根据，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角反射光线与镜面的夹角，从而求出夹角，然后求出对应的角； （3）通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用来表示，然后求出值． 【详解】（1）证明：如图，延长入射光线，与直线相交得到，，   ， ， ， ，， ， ； （2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图     ， 解得：；   ， ， 当时， ， ， ；   ， ， ， ， ， ；   ， ， ， ， ， ；   ， ， ， ， ， ， 综上所述所有满足条件的时间，，，，． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度是解答本题的关键． 38．某市为了亮化某景点，在两条笔直的景观道上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，B灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动，B灯每秒转动，若这两条笔直的景观道是平行的． (1)B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束和到达如图①所示的位置，和是否互相平行？请说明理由； (2)在（1）的情况下，当B灯的光束第一次到达之前，两灯的光束是否还能互相平行？如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为多少秒？ 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)69或125或141 【分析】（1）分别计算和，得到它们相等，即可求解； （2）先计算出A灯一共旋转的时间，再分情况讨论，利用建立方程求解即可． 【详解】（1）互相平行； 理由：当B灯先转动15秒，A灯才开始转动，且当A灯转动5秒时． ，， ∵两条笔直的景观道是平行的， ∴， ∴， ∴，即和互相平行； （2）能，69或125或141； 理由：当A灯旋转x秒时， ， 当B灯的光束第一次到达之时， B灯所用时间为（秒）， ∴A灯共旋转了（秒）， ∵，即A灯光线每45秒从一边到达另一边， 当时，， 若，则，为（1）中的情况，符合题意； 当时，， 若，则，符合题意； 当时，， 若，则，符合题意； 当，， 若，则，符合题意； 所以能，此时A灯旋转的时间为69或125或141秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和平行线的判定与性质，解题关键是能进行分类讨论，并正确列出一元一次方程． 39．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角） （3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行 【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解； （3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解． 【详解】解：（1）平行．理由如下： 如图，∵∠3＝∠4， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6， ∴． （2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ∴∠1＝∠2， ∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底， ∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°， ∴∠1＝×48°＝24°， ∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°． （3）存在． AB与CD在EF的两侧时，如图①所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t， ∠BAC＝110°−t， 要使， 则∠ACD＝∠BAF， 即120°−3t＝110°−t， 解得t＝5； 此时（180°−60°）÷3＝40， ∴0＜t＜40， ∴t＝5符合题意； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t， ∠BAC＝110°−t， 要使， 则∠DCF＝∠BAC， 即300°−3t＝110°−t， 解得t＝95， 此时（360°−60°）÷3＝100， ∴40＜t＜100， ∴t＝95符合题意； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示： ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°， ∠BAC＝t−110°， 要使， 则∠DCF＝∠BAC， 即3t−300°＝t−110°， 解得t＝95， 此时t＞110， ∵95＜110， ∴此情况不存在． 综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． 类型七、折叠背景下的平行线问题 40．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．    (1)观察发现：如图①所示：，，则______． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)不成立，数量关系应为：，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可； （2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系； （3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系． 【详解】（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，， ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ， ，（四边形内角和为） ， 故答案为： （2）解：如下图，过点作，交于点，交于点    则， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， （全等三角形对应角相等） （3）解：如下图，过点作，则，   ， ， ， 由折叠的性质得，， （全等三角形对应角相等） ，即 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． 41．  如图1，现有一张纸条，，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G．    (1)①若，则______； ②若，则______； (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处，已知，，求证：； (3)如图3，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点落在处，点落在处，，设，求的度数．（用含x的式子表示） 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①②根据折叠的性质和等于，根据平角的定义求出，再根据平行线的性质即可得解； （2）根据折叠的性质和等于，进一步求出，根据平行线的性质即可求出，根据折叠可得，即可得到，再根据平行线的判定定理证明即可； （3）根据折叠的性质和，即可得到，根据平行线的性质求出，进一步得到和，根据平角的定义求出，根据折叠得到，再利用角的和差可得答案． 【详解】（1）解：①由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：由折叠可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由折叠可得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，角的和差，有一定难度，解题的难点在于读懂图形，找准折叠前后的对应角． 42．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）． ①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线． （2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）． 【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析 【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线； ②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． （2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论． 【详解】（1）解：①如图2所示： ②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线． 故答案为垂； （2）证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式性质）， （内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定． 43．已知直线，M，N分别为直线，上的两点且，P为直线上的一个动点．类似于平面镜成像，点N关于镜面所成的镜像为点Q，此时． （1）当点P在N右侧时： ①若镜像Q点刚好落在直线上（如图1），判断直线与直线的位置关系，并说明理由； ②若镜像Q点落在直线与之间（如图2），直接写出与之间的数量关系； （2）若镜像，求的度数． 【答案】（1）①，证明见解析，②，（2）或． 【分析】(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作QF∥CD，根据平行线的性质证即可； (2)过点Q作QF∥CD，根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点Q作QF∥CD， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，当点P在N右侧时，过点Q作QF∥CD， 同（1）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当点P在N左侧时，过点Q作QF∥CD，同（1）得，， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推导角之间的关系． 类型八、与平行线有关的三角形内角和问题 44．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 45．如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则 度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'，，最后计算出 ； （2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ． 【详解】解：（1）如图1所示， ， ，， 又'， '， 又'， ， 又， ， 故答案为：； （2）如图2所示， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 46．如图，，平分交于点，在射线上，平分交于点．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，在线段上，使得平分． ①当时，比较与的大小关系，并说明理由； ②过作于点，若，且，，，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，外角和定理，等积法等． （1）根据题意利用平行线性质列出等式，继而得到本题答案； （2）①利用角平分线定义得到和，再利用外角和定理表示出与，再等量代换即可得到本题答案；②按题意画图，利用条件关系可求得，继而得，再利用等积法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由题意画图如下：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 47．在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．    (1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系； (2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由； (3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，见解析 (3)一定成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出； （2）由角平分线的定义得到，进而推出，则由平角的定义可得，由（1）的结论可知，则，即； （3）设，则，由（1）得结论可得，则；再由角平分线的定义得到，，则，，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴；    （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论可知， ∴， ∴， ∴； （3）解：一定成立，理由如下： 设，则， 由（1）得结论可得， ∵， ∴； ∵和的平分线相交于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 48．如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据，结合“三角形内角和为”，求出的度数，再计算得出的度数即可； （2）点向左作，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”，推出，，根据角平分线的定义，得出，计算得出的度数即可； （3）交于点，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，结合“三角形内角和为”，得出、，整理得出与之间的关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，点向左作，点向左作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3），理由如下， 如图，交于点，点向左作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ， ∵，平分，延长到点，且平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点、作平行辅助线推理是解题的关键． 49．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M在的延长线上，作、的角平分线交于点N，交于点P，设． ①若，试判断直线上是否存在一点K使得，并说明理由； ②如图3，作的角平分线交于点Q，若，请直接回答与的数量关系：______． 【答案】(1)见详解 (2)①不存在，见解析；② 【分析】（1）由平行线的性质得，再由平行线的判定方法即可求证； （2）①由线的性质，得到，由、的角平分线交于点N，得到，，在中应用三角形内角和定理，得到，代入得，由，得，根据点到直线距离垂线段最短，即可判断，②由平行线的性质，和角分线，得到，，由， 得到， ，代入，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，与角分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：①∵， ∴，即：， ∵、的角平分线交于点N， ∴，， ∵，， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴直线不存在点K使得， ②的角平分线交CD于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵，， ∴，即：， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 50．综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①图见解析，；②或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系是解题关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，即可推出； （2）①根据平行的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义推出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数； ②分情况讨论：当点在点的右侧时，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系；当点在点的左侧时，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ， ， ； （2）①画出图形， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； ②猜想：或，理由如下： 当点在点的右侧时，如下图： ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧时，如下图： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 综上可知，或． 51．已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，则的度数为 ； (2)如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，当时，试猜想与之间的关系，请直接写出你的答案． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等，解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题． （1）运用平行线性质求解即可； （2）过点F作，过点P作，运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即可证得结论； （3）分两种情况：当点H在点P的左侧时，当点H在点P的右侧时，分别求得即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）如图，过点F作，过点P作， ，， ， ， ，， 平分， ， 同理可得：， 设， ，， ，， ，， ， ， ， ； （3）或，理由如下： 当点H在点P的左侧时，如图， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； 当点H在点P的右侧时，如图， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 52．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)不变，2 (3)①②或4或9 【分析】（1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质和平行线的性质，得到，，进行求解即可； （3）①先求出，在用平角的定义求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不变，； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， 由（2）知：， ∴； 故答案为：； ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角，三角形的内角和定理等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 53．我们定义： 【概念理解】 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． 【简单应用】 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    (1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”； (2)若，试说明：是“完美三角形”； 【应用拓展】 (3)如图2，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度数． 【答案】(1)，，是 (2)见详解； (3)或 【分析】（1）根据即可得到，结合即可得到与，即可得到答案； （2）根据，，即可得到即可得到答案； （3）根据，，得到，得到，根据角平分线的定义得到，结合得到，从而得到，即可得到，即可得到，结合“完美三角形”列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是完美三角形， 故答案为：，，是； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是“完美三角形”； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“完美三角形”， ①当时，根据三角形内角和定理可得， ， 解得：， ②当时，根据三角形内角和定理可得， ， 解得：， 综上所述：或； 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线有关计算，平行线判定与性质，解题的关键是理解题目中的新定义，注意分类讨论． 类型九、折叠背景下的三角形内角和问题 54．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 55．如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 56．综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　； ②若，，求点到的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知，求出即可得出答案； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，求出，．求出，得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置， ． ，， ， 即； 故答案为：； （2）， 理由如下：设与交于点，如图②， ，， ， ； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③， ， ． ， ． 故答案为：； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图， ，， ，． ， ， ， ， ． ， ， ，即点到的距离为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，勾股定理及直角三角形的相关性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 57．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 58．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 59．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 60．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 61．在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．    (1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示； (2)当点与点不重合时， ①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由； ②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；②或 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据直角三角形性质得出，根据折叠得出，根据求出结果即可； （1）①在上截取，连接，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出即可； ②分两种情况，当点P在点E的左侧时，当点P在点E的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴． （2）解：①；理由如下： 在上截取，连接，如图所示：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据折叠可知，，，， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在点E的左侧时，如图所示：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 根据折叠可知，，， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图所示：    ∵，， ∴， 根据折叠可知，，， ∴； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，注意分类讨论． 62．（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可； （2）根据折叠性质和三角形内角和即可； （3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可； （4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：， （2）由由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵，，，， ∴， 同理：，， ∴， （3）根据(2)可知：，， 如图3，∵，， ∴， ∴， 故答案为：， （4）根据（2）（3）可知：，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 63．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 【答案】（1）；理由见解析（2）（3）A（4） 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案； （4）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可． 【详解】解：（1）； 理由如下：由折叠的性质得：，， ∴①， 又∵， ∴②， 由①②得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）理由：∵于点M，于点N， ∴，， ∴，由（1）知， ∴， ∴， 故选：A； （4）由（1）得：， 得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 类型十、与角平分线有关的平行线问题 64．如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为2 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质，利用数形结合探究角的运算关系是解答的关键． （1）由平行线的性质得，则；再由角平分线的定义得，结合已知，即可求解； （2）设交于点H；先求得，由角平分线定义得，则，利用互补关系即可求解； （3）由角平分线与三角形外角的性质得：，，则可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， 即； 平分， ； ， ， ， 即， 即； （2）解：如图，设交于点H； 由（1）知，且， ； 平分，平分， ， ， ；    （3）解：不变； ，，， ； 同理：； 平分，平分， ， ， ， ； 即的值不变，且为2． 65．如图，在四边形中，和相交于点． (1)如图，若，平分，，求的度数； (2)如图，若，平分，平分，求证：； (3)如图，若平分，平分，和分别是和外角平分线，试探究，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的判定，求得，再根据角平分线的性质，进而求解； （2）根据角平分线的性质可以得到设，，过点作，则，即可得到，即可求解； （3）设，，根据角平分线的性质可以得到，进而求出，，之间的数量关系，进而求解； 【详解】（1）， ， 又， ，                  平分， ，                      （2）平分，平分， ，， 设，， ， ， ．              过点作，则， ， ， ， ，                    ．                                   （3）平分，平分，和分别是和外角平分线， ，，，， 设，， ，， 则①，          ， ， ②，                             ③，             由①②+③得：． 66．如图1至图2，在中，，点D在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点E；为的角平分线，的平分线交直线于点G． 解决问题： （1）如图1，延长交于点F，若，．试说明：； 深入探究； （2）如图2，若，与反向延长线交于点H，求的度数 拓展延伸： （3）当点D在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为N，直接写出的度数（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）（3）或 【分析】        （1）根据平行线的性质得＝＝，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）在和中，利用三角形的内角和定理结合对顶角相等，得到，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）在和中，， 又∵， ∴， ． ∴当时， 故答案为：． （3）①如图，当点在延长线上时，    同（2）可得：和中， ， ； ②如图，当点在线段上时，    由四边形的内角和得， ； ③如图，当点在延长线上时，    同（2）可得：，， ∴ ； 综上分析可知，＝或． 【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 67．如图，，点是上一点，连结． (1)如图1，若平分，过点作交于点，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，且，求的度数； (3)如图3，过点作交的平分线于点交于点，，垂足为．若，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线，直角三角形，角平分线等，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线定义的计算，是解题的关键． （1）根据垂直性质推出，得到，根据角平分线定义得到，推出，根据平行线性质得到，推出，进而求解即可； （2）过点作，根据平行线性质推出，，得到，根据角平分线性质得到，，推出，根据，得到，根据，得到； （3）延长交的延长线于点，根据垂直性质得到，，得到，设，则，根据角平分线定义设，得到，根据垂直性质得到，推出，根据，推出，得到． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）与之间的数量关系是：，理由： 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴设，则， ∵平分， ∴设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求值， ①如果，则的度数为 ；如果，则的度数为 ； ②于是猜想与的数量关系为 ；请你说明理由． (2)小明继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为 ； (3)小明又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角与外角．的角平分线所在的直线相较于点P，当，时，的度数为 ． 【答案】(1)①；；②，证明见解析； (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键. （1）①利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可求解；②利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可证明； （2）延长交于点P，在中，求得，利用（1）的结论即可解决问题. （3）如图，延长，延长交于点，求解，由，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P，可得分别平分，利用（2）的结论可得答案； 【详解】（1）解：①平分，平分， ， ， ∵，则； ∵，则； ②猜想：，理由如下： 平分，平分， ， ； （2）解：延长交于点P，   ，， ，， 在中，， 由（1）结论得： （3）解：如图，延长，延长交于点， ∵，， ∴，    ∵，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相较于点P， ∴分别平分， 由（2）的结论可得： ； 69．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．现将点B向右平移6个单位得到点C，，且，连接AB交y轴于点D． (1)如图1，点A，C的坐标分别为_________，_________，并求出三角形的面积； (2)如图2，与的角平分线相交于点E，，垂足为点F，求证：． (3)如图3，点P是线段上一动点，将点P向下平移2个单位到点Q，连接、、，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)，，的面积是15 (2)见解析 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）根据点B的平移可得点C的坐标，根据，，可得点A的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由，得到，从而，由角平分线的定义得到，，从而，进而根据三角形的内角和定理得到，因此，从而，得证； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，表示出三角形和三角形的面积，根据三角形的面积是三角形的面积的4倍即可列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵将点向右平移6个单位得到点C， ∴， ∵，且， ∴， ． 故答案为：， （2）∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵将点P向下平移2个单位到点Q， ∴， 过点Q作轴于点M，作于点N， ∴，， ∴， ， ∵当三角形的面积是三角形的面积的4倍时， ， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查点的平移的坐标变化，待定系数法，三角形的面积，平行线的判定及性质，三角形的内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． 70．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 71．（问题背景） ，点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数. （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________； ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 【答案】（1）（2）①②的度数不随、的移动而发生变化，理由见解析（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论； （3）在②的基础上，将换成即可． 【详解】解：（1）， ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：； （2）①，， ，， 是的平分线， ， 平分， ， ， 故答案为：； ②的度数不随、的移动而发生变化， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：． 试卷第2页，共157页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$