第五章 二元一次方程组（11大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

第五章 二元一次方程组 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、含有参数的二元一次方程组……………………………………………………5 类型二、不定方程的整数解……………………………………………………………10 类型三、二元一次方程组的特殊解法……………………………………………………21 类型四、二元一次方程组背景下的自定义问题…………………………………………29 类型五、方案问题………………………………………………………………………42 类型六、行程问题………………………………………………………………………55 类型七、分配问题………………………………………………………………………60 类型八、营销问题………………………………………………………………………66 类型九、二元一次方程组在几何问题中的应用…………………………………………79 类型十、一次函数与二元一次方程组…………………………………………………107 类型十一、待定系数法求一次函数解析式……………………………………………127 知识点1．二元一次方程的定义 方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点2．二元一次方程组的定义 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数 知识点3．二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. 知识点4．用代入消元法解二元一次方程组 (1)代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． (2)代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为： ①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b. ②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程． ③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值． ④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解． ⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解． 知识点5．用加减消元法解二元一次方程组 (1)加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． (2)加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为： ①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．[来源:学科网ZXXK] ②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程． ③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值． ④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． ⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解． 知识点6．实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. （1） 销售问题 商品利润=销售价格 —商品进价; 商品利润率= ×100%. （2）储蓄问题, 利息=本金×利率×期数; 本息和=本金＋利息． （3）增长(降低）率问题 增长率= 增长后的量=增长前的量×(1+增长率); 下降后的量=下降前的量×(1-降低率). （4）行程问题：知识梳理路程=速度×时间； 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距； 追及问题：快行距－慢行距＝原距;航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度； 知识点7．二元一次方程与一次函数的关系 （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. （2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程. 要点： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 知识点8．二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 知识点9．用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 类型一、含有参数的二元一次方程组 1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有 ．（填序号） ①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对 3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 类型二、不定方程的整数解 5．设，都是正整数，则方程的正整数解有 ． 6．如果一个四位数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称这个数为“四位凹对称数”．例如：，均为“四位凹对称数”．一个“四位凹对称数”，其前两位数与后两位数的平方差为的倍数，令，则的最大值为 ． 7．若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 8．定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为．例如：852是“开合数”，则． 已知开合数（，且为x整数），则 ； 若三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且能被个位数字与百位数字的差整除，则 ． 9．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“吉祥数”．例如：四位数6137，因为，所以6137是“吉祥数”；又如：四位数5236，因为，所以5236不是“吉祥数”．若是“吉祥数”，记，若是一个完全平方数，则 ；若“吉祥数”能被7整除，则所有满足条件的四位数的最大值与最小值的差为 ． 10．材料：对于一个四位自然数N，满足十位数字与百位数字之和等于个位数字与千位数字之和的两倍，则称这个数为“和倍数”．若规定为千位数字的3倍与个位数字的差，为千位数字与个位数字之和，令；例如：3621，，是“和倍数”， ，再比如4271，不是“和倍数”． (1)判断3531，4682是否是“和倍数”，并说明理由；如果是，请计算的值； (2)若四位自然数n是“和倍数”，其10位数字能被5整除，且个位数字与百位数字的和能被3整除，为整数，求出符合条件的n． 11．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为．例如693，，∴693是“银翔数”， 规定：（均为非零常数，为三位自然数） 已知； （1）求的值及； （2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，，，且为整数，且加上各个数位上数字之和被16除余7，若，求的最小值． 12．阅读材料：一个三位自然数，其各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2，我们称这个三位自然数为“偶发数”，记．比如412，各位数字互不相同且均不为0，百位数字4比个位数字2大2，所以412是“偶发数”，． (1)请写出最小的“偶发数”m，并求出的值； (2)若一个“偶发数”m，使恰为7的倍数，求满足题意的最大“偶发数”和最小的“偶发数”之差． 类型三、二元一次方程组的特殊解法 13．若实数x,y满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 则写有最大数卡片的编号是(    ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 15．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 16．阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 17．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． (1)学以致用 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 18．阅读材料： 已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得 因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和． 通过你所知晓的知识，请解决以下问题： (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解． 类型四、二元一次方程组背景下的自定义问题 19．对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 20．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ． 22．对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则x的值为 ． （2）若， 则 ． 23．对，定义一种新的运算，规定：（其中）． （1）若已知，，则_________． （2）已知，．求，的值； （3）在（2）问的基础上，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围． 24．规定：关于的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称点为“坐标点”，将这些“坐标点”连接新得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题： (1)已知，则是“关联线”的“坐标点”的______． (2)若题“关联线”的“坐标点”，求的值． (3)已如是实数，且，若是“关联线”的一个“坐标点”，用等式表示与之间的关系，并求出的最小值． 25．阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． (1)判断点是否为“爱心点”，并说明理由； (2)若点是“爱心点”，请求出a的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求p，q的值． 26．规定：二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为二元一次方程亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1)已知，，，则是隐线的亮点的是 ； (2)设，是隐线的两个亮点，求方程中的正整数解； (3)已知是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和． 27．对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：_____（用含，的代数式表示）； （2）若且． ①求与的值； ②若，求的值． 28．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”． (1)请判断点点，是否为“郡麓点”：______； (2)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值； (3)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值． 类型五、方案问题 29．母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 30．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 31．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 32．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 33．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 34．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 35．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒 板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） 4x 3y B型（张） x ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案） (3)若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2中横式无盖礼品盒，当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个（在横线上直接写出所有可能的答案） 礼品盒板 材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） A型（张） B型（张） 类型六、行程问题 36．爸爸骑电动车带着姐弟俩去公园玩，根据规定爸爸骑电动车时一次只能搭载一名未成年人．为尽快到达公园又不违反交通法规，出发时，爸爸让姐姐先步行，将弟弟载了一段路程后让其步行前往公园，并立即原路返回接步行的姐姐，结果与弟弟同时到达公园．如果姐弟俩步行的速度相同，爸爸一个人骑电动车的速度比搭载一名未成年人时的速度快5千米/时，爸爸与公园的距离与出发时间之间的函数关系如图所示，则爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是 ．    37．王老师和胡老师沿相同路线同时从松中A校区出发去松中B校区开会，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，王老师发现自己有一份文件落在松中A校区，于是立即以之前速度的2倍跑回A校区，在到达A校区后停留了8分钟后骑车以更快的速度匀速驶往B校区开会，胡老师在途中某地停留了5分钟等王老师，但没见到王老师来，就以原来的速度继续前进，最终两人同时到达松中B校区会议室，王老师和胡老师两人的距离y米与王老师行进时间x分钟之间的关系如图所示，则松中A校区与B校区之间的距离为 米． 38．如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛海里处，已知两船的航速如下表所示： 最大航速 经济航速 海监46 16节 14节 海监49 15.2节 14.5节 其中，一节等于海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问： (1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由； (2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？ (3)设海监46航行时间为，求两海监船之间的距离与之间的函数关系式． 39．点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． (1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数； (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度； (4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由． 类型七、分配问题 40．某采摘园计划拿出一笔固定的资金分两天购进甲、乙、丙三种水果树苗，且购买甲、乙、丙三种树苗的总价之比为3:4:6．第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金之比为2:3:1，第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，则采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为 ． 41．某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为 ． 42．北关美食街开业当天为提升知名度、吸引众食客前往，现场举行了一系列促销活动，其中一项“微信关注、礼券来袭”的促销活动方案如下：“美食街入口宣传桁架上张贴了300个外观完全相同的定制红包，食客微信关注分享公众号后即可获得一次抽取红包的机会，每个红包内随机装有一张5元，10元，20元，30元的礼券．”开业当天300个定制红包均被领取，经统计，上午取出的红包礼券总金额为940元，其中20元礼券的红包个数为10元礼券红包个数的一半，30元礼券的红包个数多于1个，且少于5个；下午取出的红包礼券总金额为1130元，下午5元礼券的红包个数比上午少10个，10元礼券的红包个数为上午的两倍，20元礼券的红包个数比上午多5个，仅出现了1个30元礼券；剩余的所有红包均在晚上被领取，则晚上领取的红包总数为 个． 43．每年冬季是渝北梨橙大丰收的季节，四川成都开展“水果一带一路”活动，渝北顺丰快递公司出动所有车辆分12月25，26日两批往成都运输现摘梨橙．该公司共有A，B，C三种车型，其中A型车数量占公司车辆总数的一半，B型车数量与C型车数量相等．25日安排A型车数量的一半，B型车数量的，C型车数量的进行运输，且25日A，B，C三种车型每辆车载货量分别为10吨，15吨，20吨，则25日刚好运完所有梨橙重量的一半．26日安排剩下的所有车辆完成剩下的所有梨橙的运输，且26日A，B，C三种车型每辆载货量分别不超过15吨，27吨，24吨．26每辆B型车实际载货量为26日每辆A型车每辆实际载货量的．已知同型货车每辆的实际载货量相等，A，B，C三种车型每辆车26日运输成本分别为100元/吨，200元/吨，75元/吨，则26日运输时，一辆A型车、一辆B型车，一辆C型车总的运输成本至多为 元． 种类 运输车辆总数 运输梨橙总量 A x 10x B 5x C 15x 种类 运输车辆总数 一辆车实际载货量 运输梨橙总量 A x m mx B mx C n 44．育人，是一所学校的根本使命．近年来，巴蜀中学坚持“挖掘潜能张扬个性”的办学特色，“善为根、雅为骨、志为魂”的德育理念．在“善雅志”德育理念指导下，各年级都有以“善雅志”为主题的品牌活动．比如在2021年3月25日，初一年级举行了“尚善青春致敬楷模爱党爱国共成长”为主题的班级形象大赛．在活动初期，某几个班级组织了86名同学搬活动节目所需要的道具，为了便于管理，把其中50名同学分成了A、B两组，另外36名同学分成了C、D两组． A、C两组把道具搬到甲地点，B、D两组把道具搬到乙地点，结束后统计得知：A组搬道具的人均件数比B组搬道具的人均件数多2件，C，D两组搬道具的人均件数相同，且是B组搬道具的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬道具件数相同，且比A组搬道具的人均件数高25%．已知搬道具的人均件数为整数，则一共有道具 件． 类型八、营销问题 45．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 46．某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 47．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 48．为了切实保护自然生态环境，某地政府实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示： 进价（元） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 5 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． (1)求a，b的值； (2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①端午节这天，老李打算让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． ②老李又想出新的让利销售方案，端午节当天老李决定销售鲢鱼80斤，草鱼220斤，且两种鱼都不再降价，按表中售价销售，但花费共计200元购买赠品并全部赠送给前来买鱼的消费者，此种方案与①中m取最大值时的方案相比哪种方案老李的利润率更高？ 49．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 50．根据以下素材，探索完成任务一： 如何设计购买方案？ 素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元 素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案． 探索完成任务二： 如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系． （）两场馆之间的距离为______； （）第二组步行的速度为______； （）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间． 51． 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ； (2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？ (3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450 不优惠 超过450，但不超过600 按打九折 超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 52．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． (2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 类型九、二元一次方程组在几何问题中的应用 53．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、C两点的坐标分别为，，且m，n满足方程组，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，用含t的代数式表示的面积，并直接写出t的取值范围； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点标；若不存在，请说明理由． 54．平面直角坐标系中，有三个点A、B、C，，m，n满足（t为实数）其中a，b，c为满足．    (1) ______， _______ (2)当时，将线段竖直向上平移3个单位长度，再水平平移e个单位长度到，点B对应，点C对应，若A，，三点共线，求线段的水平平移方式；（提示：面积法） (3)若A点和C点关于y轴对称，在x轴上是否存在一点，使，若存在，求出k的取值范围． 55．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标，点C在x轴的正半轴上，且m、n满足方程组． (1)求点B的坐标； (2)动点P从B点出发以2个单位购的速度沿射线方向移动，连接，设点P运动时间为，的面积为S，用含有的式子表示S（并直接写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当P在线段上时，点R为线段的中点，连接、、，当时，求点P的坐标，并求出的面积． 56．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，直线交x轴的正半轴于点C，且a、b满足．    (1)请直接写出点B的坐标； (2)如图1，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，设的面积为S，点P的运动时间为t，连接，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，D为上一点，E为x轴负半轴上一点，，直线于点F，直线于点G，连接、，且平分，，当点P在线段上时，连接、，若，，求的面积． 57．在平面直角坐标系中，点均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．    (1)求点的坐标时，小明是这样想的：先设点坐标为，因为B点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而满足．据此可求出点坐标为________，再求出点坐标为________，点坐标为________（均直接写出结果）． (2)点在线段上，使，求点坐标； (3)点是坐标平面内的动点，若满足，求的取值范围． 58．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中b、c是二元一次方程组的解．    (1)求点B、C的坐标； (2)如图，直线轴于点，点的坐标为，为线段的中点，直线交于x轴点A，动点P从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动．设的面积为S，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，动点Q同时从点A出发以每秒3个单位的速度沿线段匀速运动，分别过点O、B作直线的垂线，垂足分别为点E、点F，当时，求出t的值． 59．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为______，再求出点A的坐标为______，点B的坐标为 ； (2)求四边形BODC的面积； (3)点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ； (4)在y轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 60．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 61．问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 62．用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2） （1）如图（1），若AD＝7，AB＝8，求与的值； （2）如图（1），若长方形ABCD的面积为35，其中阴影部分的面积为20，求长方形ABCD的周长； （3）如图（2），若AD的长度为5，AB的长度为． ①当＝________，＝_________时，，的值有无数组； ②当________，_________时，，的值不存在． 63．某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 类型十、一次函数与二元一次方程组 64．设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 65．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标 66．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． (3)若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 67．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)若直线解析式为，直线解析式为， ①求点C的坐标 ②求的面积． (2)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，的面积为6，P、Q分别为线段上的动点，连结与，则最小值为________． 68．函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．    (1)关于1的对称函数与直线交于点C； ①A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）． ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出A、E、F组成直角三角形且A为直角顶点时m的值． 69．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 70．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 71．阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数． (1)坐标是函数 的函数坐标；（填函数表达式） (2)已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是 ； (3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是 ． 72．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． … 0 1 2 3 … … 0 3 6 9 12 … 类型十一、待定系数法求一次函数解析式 73．甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 74．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及点E的坐标． (3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点N是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程． 75．如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 76．如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 77．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴交于点，点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，，连接，为线段上一动点，过点作轴,分别交轴，，于点，， ． (1)若点坐标为． ①求直线BC的函数关系式； ②若为中点，求点坐标． (2)在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值，请说明理由． 78．如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 79．某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱.小苏经过考察，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表1所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨.平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标，计算公式：） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为，成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动，小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图3所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式． (2)若乙生产线分配到草莓原料80吨，试求出成品草莓酱的销售总额． (3)考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍；工厂每季购进200吨草莓，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与生产方案，并说明理由． 80．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求c的值． (3)当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． (4)当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 试卷第2页，共144页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二元一次方程组 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、含有参数的二元一次方程组……………………………………………………5 类型二、不定方程的整数解……………………………………………………………10 类型三、二元一次方程组的特殊解法……………………………………………………21 类型四、二元一次方程组背景下的自定义问题…………………………………………29 类型五、方案问题………………………………………………………………………42 类型六、行程问题………………………………………………………………………55 类型七、分配问题………………………………………………………………………60 类型八、营销问题………………………………………………………………………66 类型九、二元一次方程组在几何问题中的应用…………………………………………79 类型十、一次函数与二元一次方程组…………………………………………………107 类型十一、待定系数法求一次函数解析式……………………………………………127 知识点1．二元一次方程的定义 方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点2．二元一次方程组的定义 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数 知识点3．二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. 知识点4．用代入消元法解二元一次方程组 (1)代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． (2)代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为： ①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b. ②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程． ③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值． ④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解． ⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解． 知识点5．用加减消元法解二元一次方程组 (1)加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． (2)加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为： ①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．[来源:学科网ZXXK] ②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程． ③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值． ④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． ⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解． 知识点6．实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. （1） 销售问题 商品利润=销售价格 —商品进价; 商品利润率= ×100%. （2）储蓄问题, 利息=本金×利率×期数; 本息和=本金＋利息． （3）增长(降低）率问题 增长率= 增长后的量=增长前的量×(1+增长率); 下降后的量=下降前的量×(1-降低率). （4）行程问题：知识梳理路程=速度×时间； 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距； 追及问题：快行距－慢行距＝原距;航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度； 知识点7．二元一次方程与一次函数的关系 （1）任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数. （2）我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程. 要点： 1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； 2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 知识点8．二元一次方程组与一次函数 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 知识点9．用二元一次方程组确定一次函数表达式 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 利用待定系数法解决问题的步骤： 1.确定所求问题含有待定系数解析式. 2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程. 3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 类型一、含有参数的二元一次方程组 1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 2．已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有 ．（填序号） ①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对 【答案】①② 【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断； ②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断； ③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解； 【详解】解关于x，y的方程组得 ①当时，原方程组的解是，此时是的解，故①正确； ②原方程组的解是，∴，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确； ③x，y都为正整数，则，解得，正整数解分别是当时，故只有两组，故③错误； 故答案为①② 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得， 将代入方程左右两边， 左边，右边， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； 方程组得， 若，则，解得，故②正确； ∵，， ∴两方程相加得， ∴， ∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 4．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 类型二、不定方程的整数解 5．设，都是正整数，则方程的正整数解有 ． 【答案】，，，， 【分析】先把原方程可化为，后变形为，，根据x，y都是正整数，可到和都是96的约数且；再别计算出、2、3、4、时的x的值和对应的y的值即可． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴， ∵x，y都是正整数， ∴和都是96的约数，且， ∴当，即，即； 当，即，即； 当，即，即； 当，即，即； 当，即，即； 所以原方程有5组解，分别是，，，，． 故答案为：，，，，． 【点睛】本题主要考查了二元二次方程的特殊解法、代数式的变形、正整数的性质等知识点，掌握二元二次方程的特殊解法是解答本题的关键． 6．如果一个四位数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称这个数为“四位凹对称数”．例如：，均为“四位凹对称数”．一个“四位凹对称数”，其前两位数与后两位数的平方差为的倍数，令，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先判断出，且，进而得出，再根据前两位数与后两位数的平方差为的倍数，得到为的倍数，进而得出关于，的方程组求出，的值，求出，最后比较即可求出答案． 【详解】解：为“四位凹对称数”， ，且， ， ， 前两位数与后两位数的平方差为的倍数， 为的倍数， ， 为的倍数， ，且为的整数，为的整数， ，，， ， 或， 或， 当，时， ， 当，时， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方差公式，整除问题，新定义，得出关于，的方程组是解本题的关键． 7．若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342，，∴5342为“顺2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2差数”，例如：四位数3524，，∴3524为“逆2差数”．若数p，q分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题属于阅读型题，主要考查了整式的加减，根据“顺2差数”和“逆2差数”定义出十位数，巧妙运算也很重要． 根据“顺2差数”和“逆2差数”设的百位数字分别为，则可求出，分情况讨论求出最大值即可． 【详解】解：若数分别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4，设的百位数字分别为，则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为， ， ， ， 是整数，则或或或， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∵b为自然数， ∴时，存在最大值， 满足条件的有、， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而， ∴的最大值为， 故答案为：． 8．定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为．例如：852是“开合数”，则． 已知开合数（，且为x整数），则 ； 若三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且能被个位数字与百位数字的差整除，则 ． 【答案】 444 或或 【分析】本题考查了一种新的定义的实数运算，整式混合运算的应用，解题关键是快速学习题干中的新定义运算，并转化为我们熟悉的数学模型进行分析求解．观察m的特点可知m对应的三位数，个位为3，十位为x，百位为1，然后根据“开合数”特点，求解出x的值，最后求的的值；设这个三位数为：，根据可推导求解出b的值；再根据能被个位数字和百位数字的差整除和这两个条件，可得到a、c的值即可． 【详解】解：∵三位数A是一个“开合数”， ∴， ∴， 设(，，，，均为整数) ∴ ∴ ∵是一个整数， ∴，即， ， 又∵能被个位数字和百位数字的差整除 ∴为整数， ∴为2或4或6或8， 又∵， 则，或，或，或， 解得，或，或，或（不符合题意舍去）， 故或345或147． 9．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“吉祥数”．例如：四位数6137，因为，所以6137是“吉祥数”；又如：四位数5236，因为，所以5236不是“吉祥数”．若是“吉祥数”，记，若是一个完全平方数，则 ；若“吉祥数”能被7整除，则所有满足条件的四位数的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 6027 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解新定义，正确推理计算是解题关键． （1）根据题意可得，，，，，，易得，，结合是一个完全平方数，可知0，1，4，分别求解，选择满足条件的结果，即可获得答案； （2）由，结合题意可得能被整除，进而可得，即，然后确定满足条件的四位数的最大值与最小值，即可获得答案． 【详解】（1）由题意，，，，，， ∴， 则，， ∵是一个完全平方数， 又∵， ∴0，1，4， 当时，解得，不合题意，舍去； 当时，解得，符合题意， 此时； 当时，解得，不合题意，舍去． 综上所述，； （2）∵ 又∵能被整除， ∴能被整除 ∵， ∴（舍去）或或（舍去）， ∴， ∴或或或， ∴，（舍），，， ∴满足条件的四位数的最大值与最小值的差为． 10．材料：对于一个四位自然数N，满足十位数字与百位数字之和等于个位数字与千位数字之和的两倍，则称这个数为“和倍数”．若规定为千位数字的3倍与个位数字的差，为千位数字与个位数字之和，令；例如：3621，，是“和倍数”， ，再比如4271，不是“和倍数”． (1)判断3531，4682是否是“和倍数”，并说明理由；如果是，请计算的值； (2)若四位自然数n是“和倍数”，其10位数字能被5整除，且个位数字与百位数字的和能被3整除，为整数，求出符合条件的n． 【答案】(1)是“和倍数”，；不是“和倍数” (2) 【分析】（1）根据定义，进行计算即可； （2）根据题意，设， 为到9的自然数，为0到9的自然数，根据题意的条件，即，10位数字能被5整除，则或0，为整数，分当时，，当时，，当时，，当时，，四种情况讨论，每种情况分或0进行讨论，最后确定的值，进而求得． 【详解】（1）解：， 是“和倍数”， 不是“和倍数”． （2）解：设， 为到9的自然数，为0到9的自然数， ∵为“和倍数”，则， ∵10位数字能被5整除，则或0， ∵个位数字与百位数字的和能被3整除，则 为整数， 为整数， 设，为整数，当时，， ， 当时，，当时，，当时，，当时，不符合题意， 则分以下三种情况讨论， ①当时，3， 当3a=d，c=5时， b+5=2（d+d）， ∴b=， ∴， ∴d=3， ∴d=3，a=1，c=5， ②当时，， ， 当时， ，则，不是3的倍数，此情况不存在， 当时，，则是3的倍数，则， ，，，此情况不存在， ③当时，， ， 当时，，是3的倍数，则， ，则 当时，，则是3的倍数，此情况不存在， ④当时，， 当时，，是3的倍数，则， 当时，，则是3的倍数，则或，， 或 综上所述，． 【点睛】本题考查了新定义运算，二元一次方程组，整除，解题的关键是掌握分类讨论的思想求解． 11．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为．例如693，，∴693是“银翔数”， 规定：（均为非零常数，为三位自然数） 已知； （1）求的值及； （2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，，，且为整数，且加上各个数位上数字之和被16除余7，若，求的最小值． 【答案】（1），；；（2）8 【分析】（1）应用与的定义表示出，，得到关于p和q的二元一次方程组，求解即可； （2）根据m与各个数位上数字之和能被16除余7，且，得到为正整数，即可得到c的值，再根据得到x和b的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴①， ∵，， ∴②， 联立①，②，解得，； ∵，， ∴； （2）由题知，m与各个数位上数字之和能被16除余7，且， ∴ ，结果为整数， ∵， ∴或32， 当时，c不是整数，故舍去， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或或或， ∴或或或， ，， ，， ∴的最小值为8． 【点睛】本题考查解二元一次方程组、新定义，理解题意是解题的关键． 12．阅读材料：一个三位自然数，其各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2，我们称这个三位自然数为“偶发数”，记．比如412，各位数字互不相同且均不为0，百位数字4比个位数字2大2，所以412是“偶发数”，． (1)请写出最小的“偶发数”m，并求出的值； (2)若一个“偶发数”m，使恰为7的倍数，求满足题意的最大“偶发数”和最小的“偶发数”之差． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义，解题的关键是理解新定义，熟练掌握数的特点，理解三位数各个数位上数字之间的关系． （1）根据题目所给“偶发数”的定义，即可解答； （2）根据“偶发数”的定义得出，推出，根据恰为7的倍数，得出能被7整除，结合，得出，然后进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵“偶发数”各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大2， ∴最小的“偶发数”， ∴． （2）解：设， ∴，则， ∴， ∵恰为7的倍数， ∴能被7整除， ∵， ∴， ∴， ①当时，没有符合条件的b、c， ②当时，或或， 符合条件的m有361，442，523， ③当时，或或或或， 符合条件的m有917，836，755，674，593， ④当时，， 符合条件的m有987， 综上：满足题意的最大“偶发数”为987，最小的“偶发数”为361， 差值为 类型三、二元一次方程组的特殊解法 13．若实数x,y满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意方程组，得到xy=2，x2+y2=5；在根据完全平方公式，得出（x+y）2=9；再得到x，y的值，代入即可得到． 【详解】根据方程组 ； 得到 ， 从而解得 ； 将以上x和y的值代入， 当= ； 当= ， 当=； 当，=； 故答案为：A 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法的拓展，二元二次方程组，解题的关键是熟悉并灵活应用二元一次方程组的方法，用到整体代入思想，以及完全平方公式． 14．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 则写有最大数卡片的编号是(    ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论． 【详解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ， ，得③①，，得⑤③ ． ，得⑤①． ，得⑤，，得①． ⑤，①． 把⑤①的值代入、、、得②，③，④． 故选：A． 15．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 【答案】甲把看成了，乙把看成了，原方程组的正确解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，把代入方程可得的错误值，把代入方程可得的错误值，再把代入方程可得的正确值，把代入方程可得的正确值，即可得到方程组，再解方程组即可求出正确解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴甲把看成了； 把代入方程得，， ∴， ∴乙把看成了； 把代入方程得，， ∴， 把代入方程得，， ∴， ∴方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的正确解为． 16．阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5． 【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可； （2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可． 【详解】解：（1）选择甲，， ①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8， 解得：m＝， ②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k， 解得：n＝， 代入m+n＝3得：＝3， 去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15， 移项合并得：7k＝21， 解得：k＝3； 选择乙， ， ①+②得：5m+5n＝7k﹣6， 解得：m+n＝， 代入m+n＝3得：＝3， 去分母得：7k﹣6＝15， 解得：k＝3； 选择丙， 联立得：， ①×3﹣②得：m＝11， 把m＝11代入①得：n＝﹣8， 代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4， 解得：k＝3； （2）根据题意得：， 解得：， 检验符合题意， 则a和b的值分别为2，5． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． (1)学以致用 运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． 18．阅读材料： 已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得 因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和． 通过你所知晓的知识，请解决以下问题： (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解． 【答案】(1)-1 (2)，，． (3)该方程组有3组正整数解，分别为：，，． 【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解． 【详解】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11， 解得y=-1， ∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1， 故答案为-1； （2）解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得-1＜t＜3． 因为t为整数， 所以t=0，1，2． 所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，． （3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24 ∵a、b均为正整数 ∴ ∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方程组和不等式是解答本题的关键． 类型四、二元一次方程组背景下的自定义问题 19．对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 20．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 21．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则． 22．对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则x的值为 ． （2）若， 则 ． 【答案】 1 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）设，根据，推出，即：，整理得到，即可得解． 【详解】解：（1）①当时，则：，此时，满足题意； ②当时，则：，解得：， ∵， ∴不符合题意； ∴； 故答案为：1； （2）设， 由题意知：， ∵， 当时，则：， ∴， ∴， ∵， ∴只有时，； ∴， 同理当：或时：， ∴当时， ， 即：，整理，得：， ，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是理解并掌握新定义． 23．对，定义一种新的运算，规定：（其中）． （1）若已知，，则_________． （2）已知，．求，的值； （3）在（2）问的基础上，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据新定义就是即可； （2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； （3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2， 故答案为-2； （2）根据题中的新定义得：， 解得：； （3）由（2）化简得：A（x，y）= ， ∴在关于正数p的不等式组中， ∴A（3p，2p-1）=7p-2＞4， A（-1-3p，-2p）=-2p+2（-1-3p）=-8p-2m， ∴p＞，p≤ ∵恰好有2个整数解， ∴2个整数解为1，2． ∴2≤＜3， ∴-26＜m≤-18． 【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组． 24．规定：关于的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称点为“坐标点”，将这些“坐标点”连接新得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题： (1)已知，则是“关联线”的“坐标点”的______． (2)若题“关联线”的“坐标点”，求的值． (3)已如是实数，且，若是“关联线”的一个“坐标点”，用等式表示与之间的关系，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)，3 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解“坐标点”和“关联线”的定义是正确解答的前提． （1）判断，，的坐标是否满足即可； （2）根据“坐标点”和“关联线”的定义，得出二元一次方程组求解即可； （3）根据“坐标点”和“关联线”的定义，得出关于、、的两个二元一次方程，再消掉即可，再根据算术平方根的定义得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由于点是二元一次方程的解，而，不是二元一次方程的解， 所以“关联线” 的“坐标点”的是点， 故答案为：； （2）因为，是“关联线” 的“坐标点”， 所以， 解得， 答：，； （3） 是“关联线” 的一个“坐标点”， ， ， ， ∴， ， ，即， ， 因此的最小值为3， 答：与之间的关系为，的最小值是3． 25．阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． (1)判断点是否为“爱心点”，并说明理由； (2)若点是“爱心点”，请求出a的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求p，q的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查定义新运算，点的坐标，解二元一次方程组： （1）根据“爱心点”的定义，进行判断即可； （2）根据“爱心点”的定义，列出方程组进行求解即可； （3）先解方程组，根据是“爱心点”，列出关于的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：不是爱心点，理由如下： 当时，则：， ∴， ∴， ∴不是爱心点； （2）∵是爱心点， ∴且， ∴，代入，得：， 解得：； （3）解，得：， ∵是“爱心点”， ∴且， ∴，代入，得： ∴， ∵均为有理数， ∴，． 26．规定：二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为二元一次方程亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1)已知，，，则是隐线的亮点的是 ； (2)设，是隐线的两个亮点，求方程中的正整数解； (3)已知是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和． 【答案】(1)B (2) (3)隐线s中的最大值和最小值的和为 【分析】本题考查了二元一次方程的新定义，二元一次方程与直线的关系，运用了数形结合的思想，理解题意是解题关键． （1）将A，B，C三点坐标代入方程，方程成立的点即为所求； （2）将P，Q代入方程，组成方程组求得，再代入，据此求解即可； （3）将P代入隐线方程，与组成方程组，求解方程组的解，再由即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得， 将代入得， ∴只有B点符合， ∴隐线的亮点的是B； 故答案为：B； （2）解：将，代入隐线方程， 得：， 解得， 代入方程得： ，即， 的正整数解为； （3）解：由题意可得， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为， 隐线中的最大值和最小值的和为． 27．对，定义一种新运算，规定（其中，是非零常数且），这里等式右边是通常的四则运算． 如：，． （1）填空：_____（用含，的代数式表示）； （2）若且． ①求与的值； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果； （2）①根据新运算规定和T（-2，0）=-2且T（5，-1）=6，得关于a、b的方程组，解方程组即可； ②把①中求得的a、b代入新运算，并对新运算进行化简，根据T（3m-10，m）=T（m，3m-10）得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）①∵且， ∴ 解得： ②∵a=1，b=，且x+y≠0， ∴． ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键 28．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”． (1)请判断点点，是否为“郡麓点”：______； (2)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值； (3)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值． 【答案】(1)不是“郡麓点”， 是“郡麓点”； (2)10 (3)或或或． ． 【分析】（1）根据“郡麓点”的定义分别判断即可； （2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【详解】（1）解：点，令， 得， ， 不是“郡麓点”， 点，令， 得， ， 是“郡麓点”； 故答案为：B． （2）解：方程组的解为， 点，是“郡麓点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． （3）解：方程组的解为， 点是“郡麓点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．掌握二元一次方程的正整数解求法是解（3）的关键． 类型五、方案问题 29．母亲节前夕，某店主从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为元． (1)求，两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去元，且购进种礼盒最多个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的倍，共有几种进货方案？ 【答案】(1)种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元 (2)共有三种送货方案 【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （2）根据各数量之间的关系，列出，从而根据题意正确列出二元一次不等式组，分析即可． 【详解】（1）解：设种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元， 依据题意：得， 解得． 则，． 答：种礼盒单价为元，B种礼盒单价为元． （2）设购进种礼盒个，种礼盒个， 依据题意，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得：， ∵，是整数， ∴的值为，，，的值为，，， 综上可知，共有三种送货方案． 30．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 31．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 32．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【答案】任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用； 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【详解】解：任务一：用型的消费券数量为：， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 故答案为：6；880； 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得， 解得． 型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小 33．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． 34．请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券． 素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券．某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了______张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为______元． 任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？ 任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4，1011；任务二：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券；任务三：付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券，见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （任务一）利用使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数），可求出使用型的消费券的张数，再利用此时减券前的消费金额最少使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数使用型的消费券的张数，即可求出此时减券前的最少消费金额； （任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券，根据“小明一家用13张、、型的消费券消费，且消费金额减了390元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券，可得，当仅用A型和B型时，不符合题意； 当仅用A型和C型时，， 符合题意的为，付款为：；当仅用B型和C型时，，符合题意的为，付款为：，故付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券． 【详解】解：（任务一）根据题意得： （张， 此时减券前的消费金额最少为 （元． 故答案为：4，1011； （任务二）设小观一家用了张型的消费券，张型的消费券，则用了张型的消费券， 根据题意得：， 解得：， （张． 答：小观一家用了4张型的消费券，6张型的消费券，3张型的消费券； （任务三）设小观一家用了a张型的消费券，b张型的消费券，c张型的消费券， 由于小观一家4人， ∴， 当仅用A型和B型时，，即， 没有符合题意的整数a，b，故舍去； 当仅用A型和C型时，，则 符合题意的为，付款为：； 当仅用B型和C型时， 符合题意的为，付款为：； 由于， ∴付款最少得方案为使用10张A型券，4张C型券． 35．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒 板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） 4x 3y B型（张） x ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案） (3)若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2中横式无盖礼品盒，当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个（在横线上直接写出所有可能的答案） 【答案】(1)，； (2)①64，38；②见解析；③20 (3)24或27 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，同样由图示完成表格，并完成计算． （3）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；再根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数构建方程求解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：． 答：，； （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：， 裁法二产生A型板材为：， ∴两种裁法共产生A型板材为（张）； 由图示裁法一产生B型板材为：， 裁法二产生A型板材为，， ∴两种裁法共产生B型板材为（张）． 故答案为：64，38； ②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张． 礼品盒板 材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） A型（张） B型（张） ③由上表可知做两款盒子共需要A型张，B型张． ∴， 两式相加得． 则．所以最多做20个． 故答案为：20； （3）解：由图示裁法一产生A型板材为：张，裁法二产生A型板材为： n张， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：m张，裁法二产生A型板材为，张， 所以两种裁法共产生B型板材为张； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36， 此时，n分别为8，9， 则共产生B型板材为张或张； ∴可做成的横式无盖礼品盒可能是24或27． 故答案为：24或27． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 类型六、行程问题 36．爸爸骑电动车带着姐弟俩去公园玩，根据规定爸爸骑电动车时一次只能搭载一名未成年人．为尽快到达公园又不违反交通法规，出发时，爸爸让姐姐先步行，将弟弟载了一段路程后让其步行前往公园，并立即原路返回接步行的姐姐，结果与弟弟同时到达公园．如果姐弟俩步行的速度相同，爸爸一个人骑电动车的速度比搭载一名未成年人时的速度快5千米/时，爸爸与公园的距离与出发时间之间的函数关系如图所示，则爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是 ．    【答案】// 【分析】设姐姐，弟弟的步行速度为，爸爸搭载一名未成年人时的速度为，根据姐姐步行路程加上爸爸一个人骑车路程等于弟弟坐车路程，姐姐步行路程加上姐姐坐车路程等于列方程，可求出，的值，从而可得答案． 【详解】解：设姐姐，弟弟的步行速度为，爸爸搭载名未成年人时的速度为， 根据图象可得：， 解得：， ， 爸爸在这一过程中骑电动车行驶的总路程是， 故答案为：12.6． 【点睛】本题考查从函数的图象获取信息以及二元一次方程组应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息列方程解决问题． 37．王老师和胡老师沿相同路线同时从松中A校区出发去松中B校区开会，分别以一定的速度匀速步行，出发5分钟，王老师发现自己有一份文件落在松中A校区，于是立即以之前速度的2倍跑回A校区，在到达A校区后停留了8分钟后骑车以更快的速度匀速驶往B校区开会，胡老师在途中某地停留了5分钟等王老师，但没见到王老师来，就以原来的速度继续前进，最终两人同时到达松中B校区会议室，王老师和胡老师两人的距离y米与王老师行进时间x分钟之间的关系如图所示，则松中A校区与B校区之间的距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，设王老师最初行驶的速度为a米/分，胡老师的速度为b米/分，根据图象“5分钟两人相距200米”知两人速度差为40米/分，再根据函数图象“甲以2倍速度返回A地时，两人相距900米”知王老师速度的2倍与乙速度和为，这样便可求出两人的速度，设王老师到达A地，停留了8分钟后的速度为c米/分，根据函数图象“分钟时，两人相距540米”列出方程求得c，最后设t分钟时两人到达终点，根据王老师后面时间分钟的行程为A、B距离，与胡老师总共行驶时间分钟的行程也为A、B间的距离，两距离相等，列出方程求得t，便可求得A、B的距离． 【详解】解：设王老师最初的行驶的速度为a米/分，胡老师的速度为b米/分， 由题意得，， 解得，， 设王老师到达A地，停留了8分钟后的速度为c米/分， 由题意得，， 解得，， 设t分钟时两人到达终点，由题意得，， 解得，， ∴A、B两地的距离为：（米）． 故答案为：2100． 38．如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛海里处，已知两船的航速如下表所示： 最大航速 经济航速 海监46 16节 14节 海监49 15.2节 14.5节 其中，一节等于海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问： (1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由； (2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？ (3)设海监46航行时间为，求两海监船之间的距离与之间的函数关系式． 【答案】(1)海监49先到，见解析 (2)海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是10小时和5小时 (3) 【分析】（1）求出海监49到达钓鱼岛所用的时间，再比较，即可求解； （2）设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时，小时，根据题意，列出方程组，即可求解； （3）先求出监46出发小时，海监49号追上海监46，然后分五段讨论解答，即可求解． 【详解】（1）解：海监49先到． ， 海监49先到． （2）解：设海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时，小时， 则由题意得：解得， 答：海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是小时和小时． （3）解：设在海监46出发小时，海监49号追上海监46， 则由题意得： 解得 当时，． 当时，． 当时，． 当时，． 当时，． 综上与的函数关系式为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 39．点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． (1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数； (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度； (4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)﹣24，﹣10，10 (2)点P所对应的数是﹣或- (3)36 (4)能，碰面的地点对应的数为﹣44 【分析】（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可； （2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可； （3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值． （4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面． 【详解】（1）解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． ∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6， 解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10． ∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10． 故答案为：﹣24，﹣10，10． （2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况： ①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x， ∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣； ②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x， ∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-． ∴点P所对应的数是﹣或． （3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度， 则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分， 根据题意可知，， 解得s＝36． 故答案为：36． （4）甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下： 设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分， 若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4． 当点D在AB之间时，0＜t＜， 则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t， ∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2； ∵2＜3.4， 当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动， ﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9． 此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44， ∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 类型七、分配问题 40．某采摘园计划拿出一笔固定的资金分两天购进甲、乙、丙三种水果树苗，且购买甲、乙、丙三种树苗的总价之比为3:4:6．第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金之比为2:3:1，第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，则采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为 ． 【答案】5:11 【分析】设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】解：设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，则余下的资金为m﹣2x﹣3x﹣x， ∵第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗， ∴（m﹣2x﹣3x﹣x）+2x＝m， 化简得：m＝26x， ∴购买乙、丙树苗的总金额为：m＝×26x＝20x， ∴采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为（26x×﹣3x）：（26x×﹣x）＝5：11． 故采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为5：11． 故答案为：5：11． 【点睛】本题考查应用类问题，多元方程问题，关键是根据题意列出多个方程进行解答即可． 41．某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为 ． 【答案】5：16 【分析】设新增投资为，则对A村、B村、C村增加投资分别为：、、，设原来对C村投资为，对村投资为，对村投资为，找到a，b，c的关系式．根据题中所给关系，列出等式，联立可用含x的式子表示a和c，即可列出式子求解． 【详解】解：设新增投资为， 则对A村、B村、C村增加投资分别为：、、， 设原来对C村投资为，对村投资为，对村投资为， 则，即， ∵该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13， ∴ ∵该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的， ∴ ∴， ∴， ∴该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为： ； 故答案为：5：16． 【点睛】本题通过巧设未知数，找到变量之间的关系．利用题中的等量关系，列出式子求解出带参数的结果，利用分式的约分求得答案． 42．北关美食街开业当天为提升知名度、吸引众食客前往，现场举行了一系列促销活动，其中一项“微信关注、礼券来袭”的促销活动方案如下：“美食街入口宣传桁架上张贴了300个外观完全相同的定制红包，食客微信关注分享公众号后即可获得一次抽取红包的机会，每个红包内随机装有一张5元，10元，20元，30元的礼券．”开业当天300个定制红包均被领取，经统计，上午取出的红包礼券总金额为940元，其中20元礼券的红包个数为10元礼券红包个数的一半，30元礼券的红包个数多于1个，且少于5个；下午取出的红包礼券总金额为1130元，下午5元礼券的红包个数比上午少10个，10元礼券的红包个数为上午的两倍，20元礼券的红包个数比上午多5个，仅出现了1个30元礼券；剩余的所有红包均在晚上被领取，则晚上领取的红包总数为 个． 【答案】 【分析】设上午开出元红包个，元红包个，元红包个，则上午开出的元的红包个，下午开出的元红包个，元红包个，元的红包个，元的红包个，则可得方程组：，再把看作是常数，解方程组，再由＞＞ 且都为正整数，从而可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：设上午开出元红包个，元红包个，元红包个，则上午开出的元的红包个，下午开出的元红包个，元红包个，元的红包个，元的红包个，则 整理得： 解得： ＞＞ 且都为正整数， ， 故上午，下午一共开出的红包个数为： 所以：晚上领取的红包为：（个）， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，掌握以上知识是解题的关键． 43．每年冬季是渝北梨橙大丰收的季节，四川成都开展“水果一带一路”活动，渝北顺丰快递公司出动所有车辆分12月25，26日两批往成都运输现摘梨橙．该公司共有A，B，C三种车型，其中A型车数量占公司车辆总数的一半，B型车数量与C型车数量相等．25日安排A型车数量的一半，B型车数量的，C型车数量的进行运输，且25日A，B，C三种车型每辆车载货量分别为10吨，15吨，20吨，则25日刚好运完所有梨橙重量的一半．26日安排剩下的所有车辆完成剩下的所有梨橙的运输，且26日A，B，C三种车型每辆载货量分别不超过15吨，27吨，24吨．26每辆B型车实际载货量为26日每辆A型车每辆实际载货量的．已知同型货车每辆的实际载货量相等，A，B，C三种车型每辆车26日运输成本分别为100元/吨，200元/吨，75元/吨，则26日运输时，一辆A型车、一辆B型车，一辆C型车总的运输成本至多为 元． 【答案】 【分析】用列表法设出车辆总量数及对应的运输总质量，然后根据题目中的等量关系确定m，n的取值范围，从而确定可行方案，然后求解． 【详解】解：设A型车辆数为2x，B，C型车辆数各位x， 25日运输情况（假设梨橙总量为y吨） 种类 运输车辆总数 运输梨橙总量 A x 10x B 5x C 15x 由题意得， ∴ ， 26日运输情况（设一辆A型车实际载货量为m吨，一辆C型车实际载货量为n吨） 种类 运输车辆总数 一辆车实际载货量 运输梨橙总量 A x m mx B mx C n 由题意得 ， 解得m≤15，n≤24， ， 又m，n为正整数， ∴m=14，n=8或m=13，n=16 或m=12，n=24 ∴一共有三种方案， 则方案①成本为 ， 方案②成本为 ， 方案①成本为 ， ∵6200＜6400＜6600， ∴一辆A型车、一辆B型车，一辆C型车总的运输成本至多为6600元． 故填：6600． 【点睛】本题主要考查二元一次方程及不等式组的应用问题，这类题型通过列表格的方式进行求解，能够清晰易解． 44．育人，是一所学校的根本使命．近年来，巴蜀中学坚持“挖掘潜能张扬个性”的办学特色，“善为根、雅为骨、志为魂”的德育理念．在“善雅志”德育理念指导下，各年级都有以“善雅志”为主题的品牌活动．比如在2021年3月25日，初一年级举行了“尚善青春致敬楷模爱党爱国共成长”为主题的班级形象大赛．在活动初期，某几个班级组织了86名同学搬活动节目所需要的道具，为了便于管理，把其中50名同学分成了A、B两组，另外36名同学分成了C、D两组． A、C两组把道具搬到甲地点，B、D两组把道具搬到乙地点，结束后统计得知：A组搬道具的人均件数比B组搬道具的人均件数多2件，C，D两组搬道具的人均件数相同，且是B组搬道具的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬道具件数相同，且比A组搬道具的人均件数高25%．已知搬道具的人均件数为整数，则一共有道具 件． 【答案】860 【分析】设A组x人，则B组（50﹣x）人，再设总人均搬道具件数为a件，则A组人均搬道具件数为a÷（1+25%）=0.8a件，B组人均搬道具件数为（0.8a﹣2）件，C、D两组人均搬道具件数均为2.5（0.8a﹣2）=（2a﹣5）件，根据题意，列出方程，得x=140﹣13a，根据a和x的取值范围确定出a、x的值，进而求得总共的道具数． 【详解】解：设A组x人，则B组（50﹣x）人，再设总人均搬道具件数为a件， 则A组人均搬道具件数为a÷（1+25%）=0.8a件，B组人均搬道具件数为（0.8a﹣2）件，C、D两组人均搬道具件数均为2.5（0.8a﹣2）=（2a﹣5）件， 根据题意得：0.8ax+(0.8a﹣2)（50﹣x）+36（2a﹣5）=86a， 解得：x=140﹣13a， ∵搬道具的人均件数为整数，即a、0.8a都是正整数， ∴a应为5的倍数， ∵0＜x＜50， ∴0＜140﹣13a＜50，即 ∴a=10，x=10， ∴一共有道具数为86×10=860（件）， 故答案为：860． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用、求二元一次方程组的特殊解，题目文字较多复杂，理解困难，解答的关键是设合适的未知数，找到等量关系列出方程，结合题意，对方程适当的变形进行解答计算• 类型八、营销问题 45．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 【答案】(1)医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元 (2)，有3种购买方案：①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶；②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶；③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用——购买问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，解二元一次方程组，二元一次方程的解的定义，是解决问题的关键． （1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元，列二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意得到，整理得到，根据都为正整数，赋值a，求出对应的b值即可． 【详解】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶， 根据题意得，． 解得：， 答：医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元． （2）购买口罩a个，为正整数，购买洗手液瓶，则买医用口罩个， 根据题意得，， 整理得：， 即有， ∵都为正整数， ∴，，， 即有3种购买方案． 答：有3种购买方案： ①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶； ②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶； ③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶． 故答案为：． 46．某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元 (2)为元，利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一次函数的实际应用，整式加减中的无关型问题，解题的关键在于能够正确理解题意． （1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元，然后根据表格列二元一次方程组，求解即可； （2）设总利润为元，购进种水杯个，根据题意可以得到，再由捐款后所得的利润始终不变，可知值与值无关，所以，得到的值，再代入可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元， 根据题意得：，                                 解得：．                                                     答：种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元； （2）∵设总利润为元，购进种水杯个， 依题意，得：，        ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴， 解得：， ∴，                                      答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 47．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台 (2)元 (3)节约元或元 【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解； （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可； （3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元． 【详解】（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得：， 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元． （3）当购买甲厂家台，共支付． 设在甲厂家购买了z台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的元的原价小于元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的元的原价大于元， 则可节约元． 答：商场可节约元或元． 【点睛】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题． 48．为了切实保护自然生态环境，某地政府实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示： 进价（元） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 5 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 8 7 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． (1)求a，b的值； (2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①端午节这天，老李打算让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）的最小值不少于320元，求m的最大值． ②老李又想出新的让利销售方案，端午节当天老李决定销售鲢鱼80斤，草鱼220斤，且两种鱼都不再降价，按表中售价销售，但花费共计200元购买赠品并全部赠送给前来买鱼的消费者，此种方案与①中m取最大值时的方案相比哪种方案老李的利润率更高？ 【答案】(1) (2)①0.25；②新方案利润率更高 【分析】（1）按购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元列方程组解答： （2）①由题意得，其中，根据当时，，不合题意；根据，随的增大而增大，得到当时，的值最小，得到，求得，得到的最大值为0.25；②根据两种销售方式均为鲢鱼80斤，草鱼220斤，得到成本为3.5×80＋6×220＝1600元，原让利方案获利320元，得到利润率为，新让利方案获利（5－3.5）×80＋（8－6）×200＋（7－6）×20－200＝340元，得到利润率为，根据，得到新方案的利润率更高． 【详解】（1）根据题意得：，解得， （2）①由题意得，其中． ∵当时，．不合题意． ∴． ∴随的增大而增大． ∴当时，的值最小， 由题意得． 解得：． ∴的最大值为0.25． ②∵两种销售方式均为鲢鱼80斤，草鱼220斤 ∴成本为3.5×80＋6×220＝1600元 原让利方案获利320元，利润率为 新让利方案获利（5－3.5）×80＋（8－6）×200＋（7－6）×20－200＝340元 利润率为 ∵ 故新方案的利润率更高． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用和一次函数应用，解决问题的关键是熟练掌握：总价=单价数量，利润=每斤利润斤数，每斤利润=每斤售价-每斤进价，利润率=利润成本． 49．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种大米 20 30 B种大米 30 45 (1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元． ①求这两种大米各购进多少袋； ②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元． (2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？ 【答案】(1)①A种大米30袋，B种大米40袋；②600元 (2)方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋 【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算； ②列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算； （2）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量． 【详解】（1）①设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得 ， 解得 所以购进A种大米30袋，B种大米40袋； ②设售出A种大米m袋，B种大米n袋， 则， 化简得， 所以进货款（元） （2）设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋． 由题意得：． 解得， 为正整数， ∴或， 则有① ， ② ∴有两种购买方案： 方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋； 方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． 50．根据以下素材，探索完成任务一： 如何设计购买方案？ 素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元 素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案． 探索完成任务二： 如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由场馆匀速步行到场馆后原路原速返回，第二组由场馆匀速步行到场馆继续前行到场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为（单位：），两组离场馆的距离为（单位：），图中折线分别表示两组学生与之间的函数关系． （）两场馆之间的距离为______； （）第二组步行的速度为______； （）求第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间． 【答案】任务一：任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；任务：元；任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票； 任务二：（）；（）；（）． 【分析】任务一 任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，根据题意列出一元二次方程组解答即可求解； 任务：设购买场馆门票张，购买门票所需总金额为元，求出与之间的函数解析式，根据一次函数的性质解答即可求解； 任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，根据题意列出一元二次方程，得到，根据均为正整数，运用分类讨论思想解答即可求解； 任务二 （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象得到第二组个小时步行了，据此即可求解； （）利用（）中的结果即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，二元一次方程的应用，根据题意，正确得到方程（组）和函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务一 任务：设场馆门票为元，场馆门票为元， 由题意，得， 解得， 答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元； 任务：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意，得， 解得， 设此次购买门票所需总金额为元， 则， ， 随的增大而减小， ，且为整数， 当时，取得最小值，最小值元， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为元； 任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得，， ∴， 又∵均为正整数， ∴或或， 当，时， ，符合题意； 当时， ，符合题意.； 当时，，不合题意，舍去； ∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票； 任务二 （）由函数图象可得，为， 故答案为：； （）由图象可得，第二组个小时步行了， ∴， 故答案为：； （）第二组从场馆出发首次到达场馆所走的路程为，第二组的速度是， 第二组由场馆出发首次到达场馆所用的时间为． 51． 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ； (2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？ (3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450 不优惠 超过450，但不超过600 按打九折 超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40， 30 ； (2)购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元 (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【分析】（1）直接由“进价=售价-利润”、“单件利润=售价-进价”计算即可得到答案； （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，然后结合条件列出方程组，即可得到甲、乙两种商品的数量； （3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方程求得a的值，最后得到结果． 【详解】（1）由题意得， 甲种商品每件进价为60-20=40（元）， 乙种商品每件的利润为80-50=30（元）， 故答案为：40，30． （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意有                      解得       40×20+10×30=1100 所以购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元 （3）设打折前一次性购物总金额为a元， 若a超过450，但不超过600，则有 ，解得 ，   此时购买乙种商品的数量为：（件）；      若a超过600，则有 ，解得 ， 此时购买乙种商品的数量为： （件）；   综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【点睛】本题以销售问题为背景，考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式． 52．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． (2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 【答案】(1)5 (2)他使用了A型2张，B型3张． (3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可； （2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可； （3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案． 【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)， 故答案为∶5； （2）解：设他使用了A型x张，B型y张． 根据题意可得解得 答：他使用了A型2张，B型3张． （3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张． 根据题意可得三种情形： ①若小温使用了A，B型优惠券，则有 化简为： ∵a，b都为整数，且， ∴， ②若小温使用了B，C型优惠券，则有 化简为： ∵b，c都为整数，且， ∴， ③若小温使用了A，C型优惠券，则有 化简为： ∵a，c都为整数，且， ∴本小题无解． 综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键． 类型九、二元一次方程组在几何问题中的应用 53．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A、C两点的坐标分别为，，且m，n满足方程组，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，用含t的代数式表示的面积，并直接写出t的取值范围； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，请求出t的值并直接写出Q点标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，；，． (3)存在，或或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，二元一次方程组的解法，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是利用分类讨论求出符合条件的所有情况． （1）解二元一次方程组求出，的值即可； （2）分为两种情况：当时,在线段上, ②当 时, 在射线上, 求出和,根据三角形的面积公式求出即可； （3）分为四种情况：①当时, ②当时, ③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可. 【详解】（1）解方程组得 ， ∴的坐标是, 的坐标是； （2）由已知，，． ①，P在线段上． ． ②，P在射线上， （3）在y轴上存在点Q，使与全等． ①时，．．或 ②时，,．  或 ，或； ，或； 综上所述，，或；，或． 54．平面直角坐标系中，有三个点A、B、C，，m，n满足（t为实数）其中a，b，c为满足．    (1) ______， _______ (2)当时，将线段竖直向上平移3个单位长度，再水平平移e个单位长度到，点B对应，点C对应，若A，，三点共线，求线段的水平平移方式；（提示：面积法） (3)若A点和C点关于y轴对称，在x轴上是否存在一点，使，若存在，求出k的取值范围． 【答案】(1)3，1 (2)线段的水平向左平移1个单位长度； (3)存在，且． 【分析】（1）根据题意利用二次根式有意义可得，解得，再根据绝对值非负性 和二次根式非负性得，解得； （2）当时，求出，再根据平移得到，再过点A作轴交过点作轴于点D，连接，得到，利用面积等式即可得到； （3）根据题意得到，，，即，继而得到，再延长交x轴于点D，设点D坐标为，利用面积等式即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴，解得， 故答案为：3，1； （2）解：当时，原方程组为：，解得：， ∴， ∵线段竖直向上平移3个单位长度，再水平平移e个单位长度到， ∴， 如图，过点A作轴交过点作轴于点D，连接，   ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴线段的水平向左平移1个单位长度； （3）解：存在， ∵A点和C点关于y轴对称， ∴， 又∵， ∴解得：，，， ∴， ∴， 延长交x轴于点D，设点D坐标为，   ， 过点B作轴交于x轴点E， ∴，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴点D坐标为， ， ∵， ∴且， ∴且， ∴且， ∴存在，k的取值范围为：且． 【点睛】本题考查二次根式有意义条件及非负性，绝对值非负性，解二元一次方程组，点坐标的平移，解三元一次方程组． 55．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标，点C在x轴的正半轴上，且m、n满足方程组． (1)求点B的坐标； (2)动点P从B点出发以2个单位购的速度沿射线方向移动，连接，设点P运动时间为，的面积为S，用含有的式子表示S（并直接写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当P在线段上时，点R为线段的中点，连接、、，当时，求点P的坐标，并求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积是9． 【分析】（1）先解出方程组确定点A的坐标为，点C的坐标为，再由题意即可确定点B的坐标； （2）过C作，交于D，利用三角形等面积法确定，然后分两种情况分析：时，时分别计算出面积即可得出表达式； （3）过P作于M，于N， 过R作于F，于G，利用三角形等面积法确定，，，， 即可求出坐标，面积． 【详解】（1）解：m、n满足方程组， 解得， ， ， ； （2）解： 过C作，交于D， ，， ， ，， ， ， 当P在上时， ， ，即， 当P在延长线上时， ， ，即， 综上，； （3）解： 为中点， ， ， 过O作于E， ， ， ， ， ， ， ， ， 过P作于M，于N， 则， ，， ， ， 过R作于F，于G， ，即， ，， ， ， ， ，，，， ， ，的面积为9． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，确定函数解析式及一次函数的应用，理解题意进行分类讨论是解题关键． 56．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，直线交x轴的正半轴于点C，且a、b满足．    (1)请直接写出点B的坐标； (2)如图1，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，设的面积为S，点P的运动时间为t，连接，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，D为上一点，E为x轴负半轴上一点，，直线于点F，直线于点G，连接、，且平分，，当点P在线段上时，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)40 【分析】（1）解关于a和b的二元一次方程组，求出a和b即可； （2）分“点P在线段上，点P在线段的延长线上”两种情况，利用三角形面积公式列出代数式即可； （3）根据求出，根据，求出，再证，根据求出，结合求出，进而求出，则． 【详解】（1）解：解方程组，得， ； （2）解：， ， 当点P与点A重合时，． 当时，点P在线段上， ； 当时，点P在线段的延长线上， ， ； （3）解：如图，连接，    ， ， ， 解得． 由（2）知，当点P在线段上时，， ， 解得， ． 平分，，， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，解二元一次方程组，列代数式，角平分线的定义，三角形面积公式等，第3问有一定难度，解题的关键是证明． 57．在平面直角坐标系中，点均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．    (1)求点的坐标时，小明是这样想的：先设点坐标为，因为B点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而满足．据此可求出点坐标为________，再求出点坐标为________，点坐标为________（均直接写出结果）． (2)点在线段上，使，求点坐标； (3)点是坐标平面内的动点，若满足，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)，且 【分析】（1）解方程组可以求出点的坐标，再令，解方程即可求出的坐标； （2）先求出，再由可得，由可得，代入，进行求解即可； （3）设直线与直线交于点，过点作于点，交直线于点，由可得，得出，令，得出，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：满足， 解得：， ， 点在轴上，又在直线上， 令时，， ， ， 同理，令， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得， ， ∴， ∴； （3）解：设直线与直线交于点，过点作于点，交直线于点，   ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令， ∵，，， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴，且． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 58．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中b、c是二元一次方程组的解．    (1)求点B、C的坐标； (2)如图，直线轴于点，点的坐标为，为线段的中点，直线交于x轴点A，动点P从点G出发以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动．设的面积为S，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，动点Q同时从点A出发以每秒3个单位的速度沿线段匀速运动，分别过点O、B作直线的垂线，垂足分别为点E、点F，当时，求出t的值． 【答案】(1)， (2)； (3)或 【分析】（1）解方程组即可求解； （2）利用可得等式，求得，分①当在上、在上时，两种情况讨论，据此求解即可； （3）分①当在上时，②当在上时，两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得，， ∴，； （2）解：由已知可得， ， ， ， 由可得等式， 解得， ∴，    ①当在上时，； ②当在上时，； （3）解：①当在上时，如图（1），连接，    ， ， ∴， 解得； ②当在上时，如图（2），连接，    ， ， ∴，解得； 综上值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，解方程组，坐标与图形式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 59．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在x轴上，点C在第一象限，直线AC与y轴交于点D，且直线AC上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线BC上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)求点C的坐标时，小聪是这样想的：先设点C的坐标为，因为点C在直线AC上，所以是方程的解；又因为点C在直线BC上，所以是方程的解，从而m，n满足据此可求出点C的坐标为______，再求出点A的坐标为______，点B的坐标为 ； (2)求四边形BODC的面积； (3)点是线段BC上一点，若点E的纵坐标，则点E的横坐标x的取值范围是 ； (4)在y轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，， (2) (3) (4)或 【分析】（1）解方程组可求出点坐标，解方程可求出和点坐标； （2）连接OC，计算出点D坐标，根据，即可计算出四边形BODC的面积； （3）因为点是线段BC上一点，把代入，根据和点坐标，确定点E的横坐标x的取值范围； （4）画图分析（小问4详解），设点，分两种情况：点P在直线AC上方时；点P在直线AC下方时，讨论计算得到相应点P的坐标． 【详解】（1），满足， ， 点， 点在轴上，又在直线上， 令，则， ， 同理，令，则， ， ； 故答案为：，，； （2）直线AC与y轴交于点D， 点， 连接OC， 即． （3）点是线段BC上一点， ， ， ， ， ， 点E是线段BC上一点且， ． 故答案为：； （4）存在 ， 设点，如下图， 点P在直线AC上方时，，则有， 解得； 点P在直线AC下方时，，则有， 解得； 符合条件的点P存在，其坐标为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形是解题的关键． 60．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 61．问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①②③ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个无盖长方体纸盒， ①②③才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①②③； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 62．用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2） （1）如图（1），若AD＝7，AB＝8，求与的值； （2）如图（1），若长方形ABCD的面积为35，其中阴影部分的面积为20，求长方形ABCD的周长； （3）如图（2），若AD的长度为5，AB的长度为． ①当＝________，＝_________时，，的值有无数组； ②当________，_________时，，的值不存在． 【答案】（1） a＝3，b＝2；（2） C＝24；（3）① m＝4，n＝10；② m＝4，n≠10 【分析】（1）根据图（1）长方形ABCD的边长组成列方程即可解答； （2）由图（1）中空白部分面积＝大长方形面积－阴影部分面积＝5个小长方形面积，可得ab＝3，再结合完全平方公式可得（a＋b）2＝16，即可得a＋b＝4，而长方形ABCD的周长＝2（3a＋3b），由此即可解答； （3）由长方形的长和宽可列出关于a、b的方程组，解关于a、b即可解答． 【详解】解：（1）由图得， 解得：； （2）由图可得：5个小长方形面积＝长方形ABCD的面积－阴影部分的面积， ∴， ∴ab＝3， ∵阴影部分的面积为20， ∴， ∴， ∴a＋b＝， 方形ABCD的周长＝2[（2a＋b）＋（2b＋a）]＝6（a＋b）＝6×4＝24； （3）由图（2）得： ， 由①得a＝5－2b，③ 将③代入②得2（5－2b）＋mb＝n， ∴（m－4）b＝n－10， ∴当 时，a，b的解有无数组； 即m＝4，n＝10时，a，b的值有无数组； 当时，方程组无解， 即m＝4，n≠10时，a，b的值不存在 故答案为：①m＝4，n＝10；②m＝4，n≠10． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与a、b之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． 63．某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖； (2)能，理由见解析 (3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． 类型十、一次函数与二元一次方程组 64．设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【详解】解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 65．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为， （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标 【答案】 或 【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据题意，联立，即可求解； （2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标． 【详解】解：（1）联立， 解得， 一次函数的“不动点”为， 故答案为：； （2）直线上没有“不动点”， 直线与直线平行， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， 或， 或． 故答案为：或 66．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． (3)若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 【答案】(1) (2)存在，最大值 (3)图见解析，8或6或2 【分析】（1）联立与即可求得点的坐标； （2）由三角形的三边关系可知当点、、在一条直线上时，的值最大，据此求解即可； （3）根据全等三角形对应顶点的位置分情况进行讨论，画出图形，即可得到的值． 【详解】（1）解：联立与， 得，解得， 点的坐标为． （2）解：如图， 由三角形的三边关系可知，， 当点、、在一条直线上时，的值最大为的长， ，令，则， 点的坐标， 点为轴上的中点， 点的坐标为， ， ， 直线上存在点，使的值最大，这个最大值为． （3）解：，令，则， 点的坐标， ，， ，， 分三种情况讨论： ①当，如图： ，， 轴， ， ， ， ； ②当，如图： ， ，即经过点， 点，重合， ； ③当，如图， ，， ， 轴， 点，重合， ， ； 综上所述，当取8或6或2时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，三角形的三边关系，勾股定理求最短路径，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质以及全等三角形的性质． 67．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)若直线解析式为，直线解析式为， ①求点C的坐标 ②求的面积． (2)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，的面积为6，P、Q分别为线段上的动点，连结与，则最小值为________． 【答案】(1)①；②12 (2)3 【分析】（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标；②欲求的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可； （2）在上取点M，使，连接，易证，可推出；若想使得存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又，可得，即证，又，利用的面积为6，即可得出，存在最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①由题意，， 解得， ； ②把代入得，， A点坐标为， ； （2）解：由题意，在上取点M，使，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当A、Q、M在同一直线上，且时，最小． 即存在最小值． ∵， ， ∴， ∴， ∵的面积为6， ， ∴存在最小值，最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，一次函数函数交点问题，角平分线的性质，两点之间线段最短，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度． 68．函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B．    (1)关于1的对称函数与直线交于点C； ①A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）． ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出A、E、F组成直角三角形且A为直角顶点时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或 (2) (3) 【分析】（1）①把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先根据三角形面积公式求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围． （3）先求出点E、A的坐标，然后根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①当时，令，即， 解得，此时满足题意， 故． 当时，令，即， 解得，此时满足题意， 故． 当时，，故． 故答案为：；2；2． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故． 故点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得x=2， ∴x=2必须在的范围之内， ∴， ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴． ∴， ∵直线与关于m的对称函数有两个交点， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立可得， 解得， ∴直线与直线必有一交点， 对于直线与直线， 联立可得， 解得 ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点． ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是． （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，且A为直角顶点， ∴， ∵点F的坐标为， ∴， 解得：． ∵， ∴符合题意， 即当时，点A、E、F组成直角三角形，且A为直角顶点． 69．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②或 (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）联立，即可得到点的坐标； （2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度； ②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值； （3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点， 联立， 解得， 点的坐标为； （2）①轴， 点、、的横坐标相等， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ； ②若点是线段的中点， ，，， ，， 点是的中点， ， 即， 解得，； 若点时线段的中点， ，，， ，， 点时线段的中点， ， 即， 解得； 综上所述，或； （3）存在最小值， 在上取点，使得，连接， 由直线与直线， 得，，， ，， ， ， ， 点的坐标为， ， 轴， 是线段的垂直平分线， ，轴， ，轴， ， 轴， ， ， ，， ， ， ， 得当最小，即点、、三点共线时，取最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题． 70．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标． (2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB于M点，交CP于点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）． ②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值． (3)过点P作轴于点H，点E在射线上且不与点P重合，点F在射线上，，连接是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)①；②或8 (3)存在最小值，最小值 【分析】（1）联立方程组：，即可求解； （2）①点Q的横坐标为m，由，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解； ②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况，第一种情形：点N是QM的中点时，第二种情形：点M是QN的中点时，根据中点坐标公式即可求解； （3）在CA上取G，使得，连接，先证，当最小，即B、F、G三点共线时，最小，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点P， ∴联立方程组：，解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：①点Q的横坐标为m， ∵， ∴点Q，M，N三点横坐标都为m， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴； ②当时， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴，， 由①知， 第一种情形：点N是QM的中点时，， ， 解得：或16（舍去）； 第二种情形：点M是QN的中点时，， ， 解得：或﹣8（舍去）； 综上，或8； （3）解：存在最小值， 在CA上取点G，使得，连接FG ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于B点，点C为直线与轴的交点， ∴ ， ，， ∵点P的坐标为， ∴点H坐标为， ∴PH垂直平分BD， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ 当最小，即B、F、G三点共线时，最小， 此时最小值． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把的值转化为的值. 71．阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数． (1)坐标是函数 的函数坐标；（填函数表达式） (2)已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是 ； (3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）直接根据定义即可得出答案； （2）由定义可得：点在直线上，点在直线上，且，根据平行线间的距离即可求得答案； （3）由题意得：，，可得，根据题意列方程求解即可； （4）根据点在的内部（不包括边界），列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可得坐标是函数的函数坐标； （2）解：，， 点在直线上，点在直线上， 如图， 直线经过点，直线经过点， 则， ， ， ，， 直线与直线的距离为线段的长度，即线段的最短距离为线段的长度， 在中，； （3）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：或1， 当时，， 当时，， 综上所述，点的坐标为或； （4）解：如图，由（2）知：点是直线上的动点， 由题意得， 解得：， ，， 在中，令，得， 解得：， ， 点在的内部（不包括边界）， ， 解得：． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式之间的联系，平行线间距离等，运用数形结合与方程思想是解答本题的关键． 72．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2，2 (2)画图见解析，y随x的增大而增大(不唯一) (3) 【分析】(1)把点与点分别代入解析式，即可求得； (2)通过列表—描点—连线的方法即可画出函数图象，再根据函数图象写出一条性质即可； (3)当直线经过点时，可求得t的值，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 把点代入，得，解得， 故答案为：2，2； （2）解：函数解析为， 列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 3 6 9 12 … 描点、连线如下： 由图象可知：y随x的增大而增大(不唯一)； （3）解：当直线经过点时， 得，解得， 即此时该函数与y轴的交点坐标为， 画图如下： 由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点． 【点睛】本题考查了坐标与图形，画函数图象及函数的性质，一次函数图象交点问题，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 类型十一、待定系数法求一次函数解析式 73．甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： (1)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (2)对比图1．图2可知： ， ； (3)当两人相遇后，请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． (4)乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)25，10 (2)10；1.5 (3) (4)或 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）利用待定系数法分段求函数关系式； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； （2）解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； （3）解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 （4）解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 74．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及点E的坐标． (3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点N是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程． 【答案】(1) (2)点坐标为，点的坐标为． (3)点的坐标为或，过程见详解 【分析】（1）由直线得，故，设直线解析式为，代入得直线解析式为． （2）过作轴，过作轴，交于，连，在上取．由直线得，先证明得，根据垂线段最短得的最小值，即为垂线段的长．由与的面积比为得，可得，，过作轴，利用比例得，，再计算即可． （3）过作，连，过作轴，以为底作等于，设直线解析式为，代入，得直线解析式为，利用一次函数性质得的纵坐标为6，得．有两个位置，当与重合时，得．当位于直线的点上方时，利用等腰三角形性质以及一次函数的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B ∴当时，则 ∴， ， ∵ ， ， 设直线解析式为， 代入得， 直线解析式为． 答：直线的解析式为． （2）解：过作轴，过作轴，交于，连，在上取．如图： 由直线得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂线段最短得 当、、三点共线，且垂直于时最短， 故的最小值，即为垂线段的长． 此时与直线的交点为． 与的面积比为， ， ， ，， 过作轴， ， ，， ， ， ， ， ． 答：点坐标为，点的坐标为． （3）解：过作，连，过作轴，以为底作等于，如图： 设直线解析式为， 代入，得 ∴ ∴直线解析式为， ， ， ， ∴ ， ， ∵以为底作等于 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴轴 ， 故的纵坐标为6， 又， 轴 为等腰直角三角形， ． 故有两个位置， 当与重合时， 得． 当位于直线的点上方时， 以为底作等腰， ∴ ∵ ∴ ∴轴 设，则， 又， ∵轴 ∴点的纵坐标为， ． ， 即， 又， ， ， ． 答：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，一次函数的解析式的求法，以及两直线平行相等，同时利用两直线联立求交点坐标的知识，掌握一次函数的性质是解题关键． 75．如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先求出线段中点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案； （）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ， 将，坐标分别代入中得， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当入射光线经过、时， 有， 解得， 当入射光线经过，时， 有， 解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； （3）解：作出点关于对称点，则，作直线、分别交轴于，， 同理可得直线的表达式为，直线的直线表达式为， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为， 整点有：，共个． 76．如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 77．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴交于点，点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，，连接，为线段上一动点，过点作轴,分别交轴，，于点，， ． (1)若点坐标为． ①求直线BC的函数关系式； ②若为中点，求点坐标． (2)在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)不变；，证明见解析 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． （1）①求出，，两点坐标，利用待定系数法解决问题即可； ②设，则，，，根据，构建方程求出即可求解； （2）结论：，如图，过点作轴于点．设，用，表示直线的解析式，设，则，，用，表示，的长，可得结论； 【详解】（1）①点在直线上， ， ， 直线的解析式为：， ， 轴 ， ， ，， ， 设直线的解析式为： ②设，则，，， ， ， ， （2）结论：，如图，过点作轴于点．设， ， ，，， ， ， ， 直线的解析式为：， 设，则，， ， ， 78．如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）将点坐标代入求出，即可得到解析式； （2）根据解析式分别求出点、坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，则，当，即，即可求解． （4）根据解析式分别求出线段和线段长，根据题意可得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中， 当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立方程组， 解得， ∴的交点坐标为， ∴与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：∵与交于点， 则， 当， 即， ， 则或， 解得或． 即的值为或； （4）解：∵和， ， 设直线与和分别交于点和， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ， ， ∵，即线段向左平移2个单位开始有2个交点， ， ∴的范围为． 故将线段向左平移个单位，若与直线同时有公共点，的取值范围为． 79．某农场的草莓物美价廉，深受周边地区人们的喜爱.小苏经过考察，计划在距离农场路程500千米的范围内选一处建立草莓加工工厂，包含甲、乙两条生产线，甲生产线将草莓包装后直接销售，乙生产线制作草莓酱销售． 经过调查与测算，工厂与农场的路程距离会直接影响草莓的采购成本价，采购成本价随两地之间路程距离变化的大致规律如表1所示． 工厂与农场的距离s（千米） 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 相应的采购成本p（万元/吨） 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 甲生产线中，每吨原材料的包装生产费为1万元/吨.平均销售价格、生产过程的减重率均与工厂的选址有关，分别如图1、图2所示． （备注：减重率是指在特定过程中（如采后处理、贮藏、运输、加工等）重量减少程度的指标，计算公式：） 乙生产线中，每吨原材料的加工生产费为1.5万元/吨，减重率为，成品草莓酱销售价格会随季节、市场供需等而波动，小苏从去年一年中随机抽取30单交易进行调查，并绘制了这30单交易的销售价格的频数分布直方图，如图3所示． (1)草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式． (2)若乙生产线分配到草莓原料80吨，试求出成品草莓酱的销售总额． (3)考虑到草莓的保鲜等问题，甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍；工厂每季购进200吨草莓，为了获得更高的利润，请你为小苏规划工厂的选址与生产方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)万元 (3)万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，频数分布直方图，解题的关键是求出相应的解析式； （1）由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，由待定系数法即可求出关系式； （2）先统计去年一年销售价格的平均价格，再乘以乙生产线分配到草莓原料80吨得到成品草莓酱的吨数即可解答， （3）根据总售价减总成本，再利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由表格可知，草莓采购成本价随工厂与农场路程距离变化而变化，是一次函数关系，设， ∵时，，时，， ∴， 解得：， 即草莓采购成本价随工厂与农场路程距离的函数关系式为 （2）解：由直方图可知去年一年成品草莓酱销售价格的平均价格为（万元/吨） 乙生产线分配到草莓原料80吨，成品草莓酱的产量为：吨； 成品草莓酱的销售总额（万元）； （3）解：当工厂与农场的路程距离，甲生产线减重率为0.05；设甲生产线的产品销售价格为，与距离的关系式为，把，，，代入得： ，解得：， 即当，甲生产线的产品销售价格为， 当工厂与农场的路程距离，由图象可知甲产品销售价格下降，收购价格增大，甲生产线减重率增大，变为0.10，故利润会降低，故选址应该. 设甲生产线分配到的草莓原料为x吨，则乙生产线分配到的草莓原料为吨， 则：甲生产线的生产成本（万元）为：，甲生产线的销售总额（万元）为：； 乙生产线的生产成本（万元）为：，乙生产线的销售总额（万元）为：； 采购成本为： 设总利润， ∴， ∴，s越大利润也大，即时，利润最大，， ∵甲生产线分配到的草莓原料不多于乙生产线的3倍； ∴，， ∵随增大而增大， ∴时， 80．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求c的值． (3)当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． (4)当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 【答案】(1)1，60 (2) (3)货车返回时与之间的函数关系式为 (4)巡逻车行驶的时间为或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离； （2）根据路程=速度×时间，先求出巡逻车的速度，在求出c即可； （3）利用待定系数法求解即可； （4）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， 故答案为： 1，60； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， ∴； （3）解：设货车返回中y与x的函数解析式为 将，代入，得 解得， ∴函数解析式为； （4）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得， ∴； ∵， ∴货车卸货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则， 解得， ∴； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得， ∴； 综上所述，当巡逻车出发小时或小时或小时，两车相距15千米． 试卷第2页，共144页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$