专题03等腰（边）三角形性质与判定6大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题03 等腰（边）三角形性质与判定压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、等腰（边）三角形的旋转问题 4 类型二、折叠问题 5 类型三、手拉手模型 6 类型四、等腰（边）三角形与平行线的判定与性质 8 类型五、等腰（边）三角形的动点问题 9 类型六、等腰（边）三角形与全等三角形综合 10 压轴能力评测（10题） 11 一、等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 二、等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 三、等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 四、等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 五、总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是. 类型一、等腰（边）三角形的旋转问题 例1．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC和BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和△BCE，连结AE和BD，相交于点F. （1）求证：AE=BD；   （2）如图2.固定△BCE不动，将等边△ACD绕点C旋转（△ACD和△BCE不重叠），试问∠AFB的大小是否变化?请说明理由； （3）在△ACD旋转的过程中，以下结论：①CG=CH；② GF=HF；  ③FC平分分∠GCH；④FC平分∠GFH；一定正确的有 （填写序号，不要求证明） 变式1-1．综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．        (1)试判断和的数量关系，并说明理由． (2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 变式1-2．（1）如图1，是等边三角形，点D、E分别在上，且．当绕点C旋转至处，使点A、、在同一直线上（如图2），连接． 填空：①的度数为 ___________； ②线段之间的数量关系为 ___________． （2）如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E三点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系．并说明理由． 类型二、折叠问题 例2．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 变式2-1．如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的长为 ． 变式2-2．问题1：在等腰中，，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题2：如图3，在等腰中，．连接，试说明是直角三角形． 类型三、手拉手模型 例3．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 变式3-1．如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N． （1）求证：AE＝BD； （2）如图2，连接MN，求证：MNBE； （3）如图3所示，在等边△ABC中，AD⊥BD，∠BAD＝58°，∠ACD＝28°，CD＝1，求BD的长． 变式3-2．如图所示，是某城市街道示意图，已知与均是等边三角形（即三条边都相等，三个角都相等的三角形），点为公交车停靠站，且点在同一条直线上． （1）图中与全等吗？请说明理由； （2）连接，写出与的大小关系； （3）公交车甲从出发，按照的顺序到达站；公交车乙从出发，按照的顺序到达站．若甲，乙两车分别从两站同时出发，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，则哪一辆公交车先到达指定站？为什么？ 类型四、等腰（边）三角形与平行线的判定与性质 例4．在直角坐标平面内，已知点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，直线轴，点为轴上一点，射线交直线于点． (1)点在线段上时，试说明的理由； (2)如果是等腰三角形，求点的坐标； (3)如果以为顶点的三角形与全等，如存在，试直接写出点的坐标；如不存在，试说明理由． 变式4-1．如图，在中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于点，交直线于点． (1)如图①，若，分别平分，，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，，求的长； (3)如图②，若，且，点是上一点，，连接，若，，则的长为______．（用含，的式子表示） 变式4-2．已知：，与之间有一点，点在上，点在上，连接、．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上点的右边有点，连接，且平分，，在的延长线上有点，连接，其中，，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，与交于点，与交于点，连接、，其中，，，，点在上，连接，过点作于点，延长交于点，，试求的面积． 类型五、等腰（边）三角形的动点问题 例5．如图，是等边三角形，高，为上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 变式5-1．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 变式5-2．如图，等边，点P、Q分别是边上的动点（端点除外），点P，Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点M．    (1)求证：； (2)当点P、Q分别在边上运动时，的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 类型六、等腰（边）三角形与全等三角形综合 例6．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 变式6-1．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 变式6-2．在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图（1），连接交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的值； (2)如图（2），当点，，共线时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点，求证：． 1．如图，在与中，，，，，交于点D，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的有 ． 2．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 3．【问题发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，点D在边上，连接． 则的度数为________； 【拓展探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，连接．请判断的度数及线段，、之间的数量关系，并说明理由； 【迁移运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，求的值． 4．探究与应用 (1)【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果： ①的度数为___________； ②与之间的数量关系为______________； (2)【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、． 则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了D、E两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则________________． 5．如图，是正三角形，是等腰三角形，，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交边于M、N两点，连接．    (1)探究之间的关系，并说明理由． (2)若的边长为2，求的周长． 6．（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．    7．如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 8．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 9．如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点． (1)证明：； (2)直接写出的度数； (3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明． 10．（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等腰（边）三角形性质与判定压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、等腰（边）三角形的旋转问题 4 类型二、折叠问题 9 类型三、手拉手模型 14 类型四、等腰（边）三角形与平行线的判定与性质 19 类型五、等腰（边）三角形的动点问题 27 类型六、等腰（边）三角形与全等三角形综合 31 压轴能力评测（10题） 38 一、等腰三角形的定义 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 二、等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 三、等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 四、等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 五、总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是. 类型一、等腰（边）三角形的旋转问题 例1．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC和BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和△BCE，连结AE和BD，相交于点F. （1）求证：AE=BD；   （2）如图2.固定△BCE不动，将等边△ACD绕点C旋转（△ACD和△BCE不重叠），试问∠AFB的大小是否变化?请说明理由； （3）在△ACD旋转的过程中，以下结论：①CG=CH；② GF=HF；  ③FC平分分∠GCH；④FC平分∠GFH；一定正确的有 （填写序号，不要求证明） 【答案】（1）见解析；（1）∠AFB的大小不变，理由见解析；（3）④ 【分析】(1)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠BCD，进而利用SAS得出△ACE≌△DCB进而得出答案； (2)由△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-∠ACD=120°． (3)根据等边三角形的性质，全等的判定与性质以及角平分线判定定理依次判断. 【详解】（1）证明：∵根据等边三角形的性质，可得∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD， 即∠ACE=∠BCD． 在△ACE与△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD； （2）解：∠AFB的大小不变，理由如下： ∵△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB． ∵∠ADF=∠ADC+∠CDB， ∴∠ADF=∠ADC+∠CAE， 又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF， ∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE， ∴∠AFB=∠DAC+∠ADC. 又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°， ∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD， ∴∠AFB=180°-∠ACD， ∵∠ACD=60°， ∴∠AFB=120°. 所以∠AFB的大小不变. （3）①②③在图1特殊情况下才成立，不一定正确； ④如图，过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N， ∵△ACE≌△DCB， ∴BD=CE, S△ACE=S△DCB. ∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等， 即CM=CN， ∴点C在∠AFB的角平分线上， 即FC平分∠GFH，故④正确. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理． 变式1-1．综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．        (1)试判断和的数量关系，并说明理由． (2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中和的数量关系仍然成立，理由见解析 (3)的值为 【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）利用（2）中的结论解答即可． 【详解】（1）解：， 理由：和都是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：仍然成立， 理由：如图，延长，交于点，   ，和都是等边三角形， ， ， ， ，， ， 同（1）可知，， ， ； （3）解：当时，如图，   ， 由（2）可知，， ， ， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 变式1-2．（1）如图1，是等边三角形，点D、E分别在上，且．当绕点C旋转至处，使点A、、在同一直线上（如图2），连接． 填空：①的度数为 ___________； ②线段之间的数量关系为 ___________． （2）如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E三点在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）①60°，②；（2），见解析 【分析】（1）证明，推出，，可得结论； （2）结论；，．由“SAS”可证，得出，由等腰三角形的性质可得，由线段的数量关系可得结论． 【详解】解：（1）如图2中，∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； （2）结论； 理由：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A、D、E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴为的中线， ∴， 由图可得：； 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，理解题意，综合运用各个知识点是解题关键． 类型二、折叠问题 例2．在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，设，根据等边对等角得，根据折叠的性质得，继而得到，，，然后分三种情况：①若；②若；③若，分别建立关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵把折叠，使点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等腰三角形， ①若，则， 即， 解得：，不符合题意； ②若，则， 即， 解得：， ∴； ③若，则， 即， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 变式2-1．如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况，过点作，如图所示，利用对称性得到、均是等腰三角形，结合等腰三角形性质及三角形内角和定理证得是等腰直角三角形，由含的直角三角形性质及勾股定理求出线段长即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 过点作，如图所示： ， 由对称性可知，，即、均是等腰三角形， ，， ， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 再由对称性可知， ，， ，则，即是等腰直角三角形， ， 在中，，，则，由勾股定理可得， ； 过点作，如图所示： 同理可知，，， ； 综上所述，当时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及对称性、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟记对称性质，等腰三角形的判定与性质，结合题意分类讨论是解决问题的关键． 变式2-2．问题1：在等腰中，，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题2：如图3，在等腰中，．连接，试说明是直角三角形． 【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析 【分析】（1）由，可得，则，由翻折的性质可得，，则，进而可得； （2）如图2，连接交于，由翻折的性质可知，，，即点为中点,由点为中点，可得，由勾股定理得，，，计算求解，进而可得，计算求解即可；问题2：如图3，连接，则，，，由，可得是直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，则， 由翻折的性质可得，， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于， 由翻折的性质可知，，，即点为中点, 又∵点为中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 问题2：解：如图3，连接， ∵，， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，中位线，勾股定理，等腰三角形的性质．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，中位线，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．． 类型三、手拉手模型 例3．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． (1)请证明图1的结论成立； (2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； (3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案； （3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）如图2， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G， ∵∠AGE=∠DGO， ∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°； （3）∠A+∠BCD=180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP， ∴∠ABD=∠CBP， ∵AB=CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°， ∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 变式3-1．如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N． （1）求证：AE＝BD； （2）如图2，连接MN，求证：MNBE； （3）如图3所示，在等边△ABC中，AD⊥BD，∠BAD＝58°，∠ACD＝28°，CD＝1，求BD的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可证得△BCD≌△ACE（SAS），根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE＝BD． （2）△CMN是等边三角形，由△BCD≌△ACE可知∠CBM＝∠CAN，根据ASA可证明△BCM≌△ACN，得到CM＝CN，又∠MCN＝60°，可知△CMN是等边三角形，得到∠CMN＝60°，由∠ACB＝60°，得到∠CMN＝∠ACB，所以MNBC． （3）由等边三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE＝90°，将CD绕点C顺时针旋转60°得CE，边接DE，AE，则△CDE是等边三角形，可证明△BCD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠ACB＋∠ACD＋∠DCE＝180， ∴∠ACD＝60°，∠ACB＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE， 即∠BCD＝∠ACE． 在△BCD和△ACE中，， ∴△BCD≌△ACE（SAS）． ∴BD＝AE． （2）证明：∵△BCD≌△ACE， ∴∠CBM＝∠CAN． 在△BCM和△ACN中，， ∴△BCM≌△ACN（ASA）， ∴CM＝CN， ∴△CMN是等边三角形， ∴∠CMN＝60°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠CMN＝∠ACB， ∴MNBC． （3）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝58°， ∴∠ABD＝90°－∠BAD＝32°，∠DAC＝∠BAC－58°＝2°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝28°， ∵∠ACD＝28°， ∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝32°， ∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝120°， ∴∠ADE＝360°－∠ADB－∠BDC－∠EDC＝360°－90°－120°－60°＝90°， 将CD绕点C顺时针旋转60°得CE，边接DE，AE，则△CDE是等边三角形， ∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCD＝∠ACE＝60°－∠ACD， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD， ∴∠EAC＝∠CBD＝60°－32°＝28°， ∴∠DAE＝2°＋28°＝30°， 在Rt△ADE中，DE＝1，∠DAE＝30°， ∴AE＝BD＝2． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 变式3-2．如图所示，是某城市街道示意图，已知与均是等边三角形（即三条边都相等，三个角都相等的三角形），点为公交车停靠站，且点在同一条直线上． （1）图中与全等吗？请说明理由； （2）连接，写出与的大小关系； （3）公交车甲从出发，按照的顺序到达站；公交车乙从出发，按照的顺序到达站．若甲，乙两车分别从两站同时出发，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，则哪一辆公交车先到达指定站？为什么？ 【答案】（1），见解析；（2）；（3）两公交车同时到达指定站，见解析 【分析】（1）根据SAS判定; （2）先证明即可判定与的大小关系； （3）利用等边三角形的性质及全等三角形的对应边相等，从而推出两车同时到达． 【详解】解：（1）， 理由如下： 因为与均是等边三角形， 所以，，. 所以，即. 在和中，因为，，. 所以. （2）如图，连接 由(1) ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ （3）公交车甲行驶路程为：. 公交车乙行驶路程为：. 由（1）知，， 所以，（全等三角形的对应边相等）. 所以两车行驶的路程相等. 因为甲，乙两车分别从两站同时出发，行驶的路程相等，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，所以两公交车同时到达指定站. 【点睛】本题考查的知识点有等边三角形的性质、全等三角形性质和判定，根据等边三角形的性质入手找相等的边和角是关键． 类型四、等腰（边）三角形与平行线的判定与性质 例4．在直角坐标平面内，已知点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，直线轴，点为轴上一点，射线交直线于点． (1)点在线段上时，试说明的理由； (2)如果是等腰三角形，求点的坐标； (3)如果以为顶点的三角形与全等，如存在，试直接写出点的坐标；如不存在，试说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)点坐标为或 (3)存在，点坐标为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再求出，即可得解； （2）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时，分别求解即可得出答案； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：直线轴， ，（两直线平行同旁内角互补） （已知） ，（等式性质） ，（三角形内角和） ，（等式性质） ，（已知） （垂直的意义）， ，（平角的意义） ，（等式性质） （同角的补角相等）； （2）解：当点在线段上时， ∵，且是等腰三角形， 为等腰直角三角形，即， ， ，则为等腰直角三角形， ， ，， ，， 点坐标为； 当点在线段的延长线上时， ∵是等腰三角形，且， ∴，， ， ∴， ， ，即为等腰直角三角形， ， ， 点坐标为； 当点在线段的延长线上时，不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或． （3）解：当点在线段上时， 由（1）可得，， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴，， ∴点坐标为； 当点在线段的延长线上时， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴点坐标为． 当点在线段的延长线上时，不符合题意，舍去． 综上所述，点坐标为或． 变式4-1．如图，在中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于点，交直线于点． (1)如图①，若，分别平分，，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，，求的长； (3)如图②，若，且，点是上一点，，连接，若，，则的长为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由分别平分和,求出 进而得出由,得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点, 使, 连接, 证明再证明≌，代入计算即可求得结果； （3）在上截取连接，先证明均为等边三角形，再证明即可得到． 【详解】（1）∵平分 同理， ∵ ∴ ∴ ∴ ； （2）如图, 在上取一点, 使, 连接, 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图, ∵,, ∴为等边三角形， ∴, ∵, ∴为等边三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题. 变式4-2．已知：，与之间有一点，点在上，点在上，连接、．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上点的右边有点，连接，且平分，，在的延长线上有点，连接，其中，，求的度数； (3)在（2）的条件下，如图3，与交于点，与交于点，连接、，其中，，，，点在上，连接，过点作于点，延长交于点，，试求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． （1）过点作，根据平行线的判定和性质即可得出结论； （2）过点作，可得出，进而得出，由平分，可得出，即可得出结论； （3）根据，，可得出，再证明为等腰直角三角形，运用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ， ， ， ； （2）解：， 而， ， 如图2，过点作，   ， ， ， ， ， 而， ， 平分， ， ； （3）解：如图3，设与交于点，   ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ，， ①， ，， ，， ②， 联立①②，可得，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 类型五、等腰（边）三角形的动点问题 例5．如图，是等边三角形，高，为上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称一最短路线问题，由等边三角形的性质可得两点关于直线对称，即的最小值为的长，由等边三角形的高线相等可求的长，进而求解，确定使是最小值的点是解题的关键． 【详解】∵为等边三角形，为高， ∴两点关于直线对称， 连接，则与的交点即为使是最小值的点， 即的最小值为， ∵为的中点， ∴，即为的高线， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 变式5-1．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据与的运动时间相等，利用的路程的路程列方程，可得结论； （2）根据列方程，可得结论； （3）先证明，得，列方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， 为12时，、两点第一次重合； （2）解：如图1所示： 是等边三角形， ， 当时，是等边三角形， ， ； （3）解：存在以为底边的等腰， 如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题． 变式5-2．如图，等边，点P、Q分别是边上的动点（端点除外），点P，Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点M．    (1)求证：； (2)当点P、Q分别在边上运动时，的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的度数为 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到； （3）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到． 【详解】（1）证明： 是等边三角形 ，， 又点、运动速度相同， ， 在与中， ， ， ； （2）点、在、边上运动的过程中，不变． 理由：， ， 是的外角， ， ； （3）点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变． 理由：同理可得，， ， 是的外角， ， ， 即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 类型六、等腰（边）三角形与全等三角形综合 例6．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 变式6-1．在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 变式6-2．在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图（1），连接交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的值； (2)如图（2），当点，，共线时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点，求证：． 【答案】(1)①见解析；②； (2)见解析． 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得，，从而求出的度数，再根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求解即可； ②先根据等腰三角形三线合一得出，设，从而求出，，得到，即可得到结论； （2）过点作于点，先证明，得，再证明，得出，即得出结论． 【详解】（1）①设， ，为中线， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②过点作于点， ， ， 设， ， ， ， 是的中点， ，， ，，为中线， ，， ， ， ； （2）过点作于点， ， 点，，共线，， ． ，是中线， ，，， 在和中 ， ， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键． 1．如图，在与中，，，，，交于点D，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定和性质，根据已知可证，则，，那么②正确；结合 ，则①正确；由，可知，则⑤正确；有题意得，有，则，但不一定等于 ，那么不一定等于 ，则不一定等于，即有不一定等于，故④不正确；结合 ，且 ，但不一定等于 ，则不一定等于，故③不正确． 【详解】解：在与中， ∵， ， ， ∴， ∴，； 则②正确； ∵， ∴ ； 则①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 则⑤正确； ∵， ； ∴ ； ∵ ， ∴ ∴ ∵不一定等于 ， ∴不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定等于， ∴不一定等于， 则④不正确； ∵， ∴ ∵ 不一定等于 ， ∴不一定等于 则③不正确； 故选：①②⑤． 2．如图，中，，，P为外一点，，，点Q为上一点，连接交于D，若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．延长到，使得，连接交于．设，则．先证明，得到，，，得到，，进而证明，根据证明，即可求出． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接交于．设，则． ∵，， ∴， ∵，，， ， ，，， ∴， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ． 故答案为：4． 3．【问题发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，点D在边上，连接． 则的度数为________； 【拓展探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，连接．请判断的度数及线段，、之间的数量关系，并说明理由； 【迁移运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，本题还运用了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作辅助线，构建全等三角形是关键． （1）根据等边三角形性质利用证明，可得； （2）根据等腰直角三角形性质利用证明，可得；，可得； （3）如图，延长至点，使，由，则，可得，进而可证，由可得结果． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， 则， ∴， ∴， ∴． （2）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， 则， ∴， ∴， ∴ ，， ∴． （3）如图，延长至点，使 ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴，而， ∴． 4．探究与应用 (1)【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果： ①的度数为___________； ②与之间的数量关系为______________； (2)【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、． 则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了D、E两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则________________． 【答案】(1)①120°； ②DE＝EF (2)AE2+DB2＝DE2；理由见解析 (3)S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2 【分析】（1）①根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得的度数为120°；②根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得． （2）根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得AE2+DB2＝DE2． （3）将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，根据旋转及等腰三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，由全等三角形的性质推导出，，则，即得S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2． 【详解】（1）解：①的度数为120°，理由如下： ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ②DE＝EF，理由如下： ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． （2）解：AE2+DB2＝DE2 ，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°， 由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝90°， ∵， ∴， 即∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90°； ∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°， ∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， ∵， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 又∵AF＝DB， ∴AE2+DB2＝DE2． （3）解：如图，将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF， ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30°， 由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝120°， ∵， ∴， 即∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝30°，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60°； ∵∠DCF＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠FCE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， ∵， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF． ∵△DCE≌△FCE， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵△ACF≌△BCD， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ． ∵△DCE≌△FCE，△ACF≌△BCD， ∴EF=ED，AF=BD， ∴， ∵S△BCD：S△CDE：S△ACE＝， ∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 5．如图，是正三角形，是等腰三角形，，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交边于M、N两点，连接．    (1)探究之间的关系，并说明理由． (2)若的边长为2，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)4 【分析】（1）如图：延长至E，使得并连接，构造全等三角形，找到，再进一步证明，进而得到； （2）利用（1）中结论，将的周长转化为的和解答即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图：延长至E，使得并连接，    ∵是正三角形，是等腰三角形， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴， 利用（1）中的结论得出：， 的周长， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形得判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键． 6．（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．    【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）见解析 【分析】（1）根据，，推得，根据，可得，推得．根据全等三角形的判定和性质即可求得，，即可得到； （2）根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可得到； （3）根据等边三角形的性质可得，，，推得，根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可求得． 【详解】解：（1）， 理由：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）（1）中的猜想还成立， 证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 7．如图，在等边中，点D，点E分别是，边上的点（不与端点重合），连接，交于点F，且．点M，点N分别是线段，上的动点，连接，交于点P． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，平分，猜想，与之间存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点G在的延长线上，连接，，且交的延长线于点H，若点H为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）作的平分线，交于Q，证明，可得，，证明，可得，同理可得，，再证明，即可得到结论； （3）在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接，依次证明，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作的平分线，交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴； （3）证明：如图2， 在上截取，连接，延长至T，使，以G为圆心，为半径画弧，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 9．如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点． (1)证明：； (2)直接写出的度数； (3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明 ，可得； （2）由 可得，再结合，通过等量代换可得答案； （3）在上截取，连接，由 可得，再证 ，，，进而证明是等边三角形，推出，即可证明． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ； （3）解：， 证明：如图，在上截取，连接， 由（1）得 ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 10．（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 【答案】（1）延长线上；7；（2）线段长的最大值为7；理由见解析；（3）的最大值为米，点C到直线的距离为米 【分析】（1）根据点A、C、B共线时，线段的长取得最大值，即可得到结论； （2）证明，得出，说明当最大时，最大，根据当点D在延长线时，最大，且最大值为，求出结果即可； （3）过点C作，截取米，连接，，证明，得出，根据当最大时，最大，根据当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米，即可得出的最大值，过点C作于点F，求出米，即可得出点C到的最大值． 【详解】解：（1）当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是； （2）∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵当点D在延长线时，最大，且最大值为， ∴线段长的最大值为7； （3）过点C作，截取米，连接，，如图所示： 根据作图可知，为等腰直角三角形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米， 即的最大值为米， 此时过点C作于点F， ∵， ∴米， 即此时点C到直线的距离为米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$