江西省赣州中学2023-2024学年高二下学期数学周练试卷（5.10）

赣州中学高二数学周练（5.10） 命题人：谢淑珍 审题人：钟大泽 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 2．三个数，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 4．已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．2021 6．已知双曲线：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为．若，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 7．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（    ） A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.077 8．已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 二、多选题 9．数列满足：，，，下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列是递减数列 D．的前项和 10．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B．     C． D． 三、填空题 12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 13．数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知，则 ； ． 14．设，用表示不超过的最大整数，例如：，则 ． 四、解答题 15．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 16．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. (3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 17．已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，． （2）若存在两个极值点，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 赣州中学高二数学周练答案（5.10） 1、 CDBBBADD 2、 9．AB 10．BD 11．ABD 3、 12． 13．6 14．398 5．由于等差数列的前项和的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为, ∴取得最小值时n的值为1011． 6．因为离心率为，所以，所以， 由，所以，所以双曲线的渐近线方程为， 如图不妨设和关于对称，则图中为的中点，且， 所以， 因为为的中点，所以， 在直角中，， 点到渐近线的距离为， 所以. 7．记小明步行上班为事件，骑共享单车上班为事件，乘坐地铁上班为事件， 小明上班迟到为事件， 则，，， ， 所以 ， 所以某天上班他迟到的概率是. 8．因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 联立，消得， 因为， 且， 所以直线是双曲线的切线，切点为， 双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故， 则 （当且仅当时取等号） ， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 10．对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 11．因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率，故A项正确； 对于B项，，，，故，故B项正确； 对于C项，因事件与相互独立，则，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 13．因为为强率，由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率； 由可得，，即为强率，所以； 由可得，，即为弱率； 由可得，． 故答案为：6；． 14．当，有， 得，即， , 所以， 得. 15．（1）抛物线的焦点为，所以， 因为双曲线的焦点坐标为， 所以则， 所以椭圆E的方程为. （2）设， 联立可得， 因为直线与椭圆E交于A、B两点， 所以解得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以 当且仅当即时取得等号， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 16．（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即， 所以的所有可能取值为，则 ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即，第（1）不中奖的概率比第问小，即， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽. 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖. 17．解析：（1）当时，，定义域为， 在定义域上恒成立， 所以在上单调递减，当时，；当时，．原命题得证． （2），若存在两个极值点，则，解得．由韦达定理可知， 原命题即证：． 不妨设，原命题即证：，由（*）知， 齐次化，即证：，不放令， 原命题即证：，记， 则， 当时，在上单调递减，． 原命题得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$