21.2解一元二次方程 复习讲义2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： 1 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 2 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 3 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2= 典例分析 1．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ，， ∴ ∴ ∴，； （2） ，， ∴ ∴ ∴，； （3） ∴ ∴或 ∴，； （4） ∴或 ∴，． 2．已知关于x的方程有实数根， (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：因为关于x的方程有实数根， 当时，方程为， 此时方程有实数根， 故符合题意． 当时， 此方程为一元二次方程， 则， 解得， 综上所述，k的取值范围是：； （2）因为该方程有两个实数根， 所以此方程为一元二次方程， 则且， 因为该方程的两根为和， 所以，， 因为， 所以， 则， 解得， 经检验，符合题意， 所以k的值为． 3．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 精选好题 一、单选题 1．实数a、b满足，则b的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 2．若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．2 B． C． D．3 3．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 4．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．根的判别式 B．两根之和为 C．两根之积为 D．方程的解， 5．方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．已知等腰，为钝角，，点P，M，Q分别是，， 上的动点．若的最小值为，则的长为（     ）． A．25 B．24 C．20 D．15 7．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 二、填空题 9．请写出一个二次项系数为1，且以为其中一个根的一元二次方程： ． 10．已知a、b是方程的两个实数根，则 ． 11．已知关于x的方程， 、是此方程的两个实数根，现给出的三个结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是 ． 12．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 13．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 14．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 ． 15．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 16．下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 三、解答题 17．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于的方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)当该方程的一个根为时，求方程的另一个根． 19．关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程两实根 满足，求的值． 20．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 21．如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为米的正方形狗屋．设米． (1)请用含的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米，请用含的代数式表示；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 22．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D D B A A 1．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得关于a的一元二次方程有实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵实数a、b满足， ∴关于a的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴b的最大值为3， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，设另一个根为，根据一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：设另一个根为，则：， ∴． 故选：C． 3．C 【分析】根据方程的解的定义得出，，据此代入原式计算可得． 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握方程的解的定义和整体代入思想的运用． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：C． 4．D 【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键． 由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次方程，逐一判断，即得． 【详解】解：A、∵一元二次方程根的判别式为， ， ∴A正确； B、设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴B正确； C、设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴C正确； D、解方程， ， ∴， ∴， ∴D不正确． 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，再提出公因式，求出解即可． 【详解】， 移项，得， 提公因式，得， 则或， ∴，． 故选：D． 6．B 【分析】过点B作，过点C作，在上取点使，连接，过点A作，延长，过点B作于点E，四边形为菱形，得出，证明，得出，说明，根据两点之间线段最短，垂线段最短，得出当、M、Q在同一直线上，且时，最小，求出，设，，则，求出或，根据为钝角，得出，说明不符合题意，得出． 【详解】解：过点B作，过点C作，在上取点使，连接，过点A作，延长，过点B作于点E，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当、M、Q在同一直线上，且时，最小， ∵， ∴此时， ∴， ∵，， ∴， 设，，则， ∴， 解得：或， 当时，， ∵为钝角三角形，为钝角， ∴， ∴此时不符合题意， 当时，， ∵， ∴，符合题意， 即的长为24． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 7．A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 8．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 9．（答案不唯一） 【分析】先根据一元二次方程的解法一因式分解，写出方程，再化为一般形式． 本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：，即： ， 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，再由多项式乘以多项式的计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．①②③ 【分析】①可以利用方程的判别式就可以判定是否正确； ②根据两根之积就可以判定是否正确； ③利用根与系数的关系可以求出的值，然后也可以判定是否正确． 本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式的关系， 及一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为 则，反过来也成立． 【详解】解：①∵方程 中， ， ，故①符合题意； 故②符合题意； ③即 又， ， 故③符合题意； 故答案为：①②③． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为∶． 13．11 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和三角形三边之间的关系，先利用因式分解法解方程，然后三角形三边关系求得符合要求的第三边，即可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴三角形的第三边长是4， ∴该三角形的周长为：． 故答案为：11． 14． 【分析】本题考查了配方法解方程，先移项再配方得，与对比，得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵用配方法解方程时，可将方程变为的形式 ∴ ∴ 故答案为： 15． 【分析】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ，即， 解得：． 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程． 【详解】解：由第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， ， ∴第个图形中有个“●”和个“★”， ∵图形中“★”的个数是“●”的个数的倍， ∴，解得：，（舍去）， 故答案为：． 17．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（1）整理后，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）整理后，求出的值，再代入公式求出即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18．(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（）时，方程有两个不相等的实数根；（）时，方程有两个相等的实数根；（）时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． （1）根据根的判别式得到关于的不等式，从而求得的范围； （2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程，即可求出方程的另一根． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为； （2）解：设方程的另一根为， 根据题意得：， ∴， ∴方程的另一根为． 19．(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． （1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； （2）∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵方程两实根 ， ∴， ∴， ∴． 20．(1)是 (2)或 【分析】本题考查解一元二次方程，理解新定义，是解题的关键： （1）因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可； （2）因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出的值即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， ∵， 故方程是“邻根方程”； （2）解： ， 解得：， ∵方程（是常数）是“邻根方程”， ∴，或． 21．(1)； (2)； (3)山羊活动范围面积的最大值是平方米． 【分析】（）根据得到，整理即可得到答案； （）根据列出代数式即可； （）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案； 此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：， ∴， ∴； （3）解： ， 又因为，， ∴， ∴， ∴山羊活动范围面积的最大值是平方米． 22．(1)是直角三角形； (2)当点出发或时，四边形的面积为． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解； （2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根， △， ， 是直角三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积， 或5， 当点出发或时，四边形的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$