第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末题型归纳总结（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末题型归纳总结 01 02 03 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一、比较大小基本方法 稿定PPT 作差法 (a，b∈R). a－b>0⇔a b， a－b＝0⇔a b， a－b<0⇔a b > < ＝ 作商法 ⇔a b， ⇔a b， ⇔a b > < ＝ 知识梳理 知识点二、不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). b<a a>c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 知识梳理 a>0，b>0 a＝b 知识点3：基本不等式 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 知识梳理 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2）当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 知识点4：一元二次不等式 知识梳理 （1） （2） （3） （4） 知识点5：分式不等式 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确． 故选：D 题型一：不等式的性质及应用 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】解不等式，得， 故整数解有，，0，共3个整数解． 故选：B． 题型一：不等式的性质及应用 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·江西赣州·期中）已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，B，由可得， 则由可得，即A错误，B正确； 对于C， D，不妨取，满足，但，故 C， D均错误． 故选：B． 题型一：不等式的性质及应用 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 题型二：利用不等式求值或范围 典型例题 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错．故选：ABC． 题型二：利用不等式求值或范围 典型例题 【变式2-1】（多选题）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为，， 所以， 即，即，故A正确； 对于B，由，可得， 又，则， 即，即，故B错误； 设， 则，解得，， 因为，，所以，D正确； 若的最大值为24，又，， 则，，此时，C错误． 故选：AD． 题型二：利用不等式求值或范围 典型例题 【典例3-1】（广东省部分学校大联考2023-2024学年高三模拟（二）数学试题）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：． 题型三：利用基本不等式求最值 典型例题 【典例3-2】（2024·高三·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【解析】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6． 故答案为：；6 题型三：利用基本不等式求最值 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 【答案】2 【解析】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2． 故答案为：2 题型三：利用基本不等式求最值 典型例题 【变式3-2】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 题型三：利用基本不等式求最值 典型例题 【变式3-3】（2024·高三·福建·阶段练习）已知，，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 1 8 【解析】由题意得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：1，8 题型三：利用基本不等式求最值 典型例题 【变式3-4】（2024·高一·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【解析】（1）因为，所以，所以， 当且仅当即时取等号， 所以即最大值为． （2）因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 题型三：利用基本不等式求最值 典型例题 【典例4-1】（2024·高三·陕西西安·阶段练习）设为正数，且．证明： （1）； （2）． 【解析】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立． （2）由已知条件，结合基本不等式即可得到 ． 题型四：证明不等式 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数． （1）若，试比较与的大小； （2）求证：． 【解析】（1）∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴，即； （2）证明：， ∴，，，∴，，， ∴，当且仅当“”时等号成立． 题型四：证明不等式 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·北京·期中）已知a，b都是正实数， （1）试比较与的大小，并证明； （2）当时，求证：． 【解析】（1）结论：，当且仅当时，等号成立． 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以， 当且仅当时，等号成立． 题型四：证明不等式 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 【解析】（1）因为， 所以由基本不等式，得，，， 当且仅当，，时成立， 把上述三个式子的两边分别相加， 得， 即，当且仅当时等号成立． （2）证明：，，又，， ，则有：， 又， ． 题型四：证明不等式 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式： ． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为． 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 典型例题 【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式： ． 【解析】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为． 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式． 【解析】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或． （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为． 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【解析】依题意，不等式的解集为， 所以， 解得． 故答案为：； 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 典型例题 【典例6-2】（2024·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】关于的不等式的解集为， ，是一元二次方程的实数根， ， 且，． ， ， 又，解得． 故答案为：． 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次方程的两根分别为2和4，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】二次方程的两根分别为2和4， 可得，即， 由可得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 典型例题 【变式6-2】（2024·高一·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】． 【解析】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 典型例题 【典例7-1】（2024·高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【解析】设船的速度为，由题可知， 由题意得，，由去分母， 整理得， 解得（不合题舍去）或， 所以船的速度至少要达到． 题型七：不等式在实际问题中的应用 典型例题 【典例7-2】（2024·高一·上海·随堂练习）限速40 km/h的盘山公路上两车相撞．经测量，甲车的刹车距离略大于9 m，乙车的刹车距离略小于10 m．经查询，甲、乙车的刹车距离s与行驶速度v之间分别满足和．问哪辆车应负主要责任？ 【解析】由题意得，对于甲车： ，即，所以 对于乙车： ，即，所以， 因为限速40 km/h， 所以甲车超速了，所以甲车应负主要责任． 题型七：不等式在实际问题中的应用 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元．进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中． （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围； （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值． 【解析】（1）由题意，得， 整理得， 解得，又， 所以， 故x的取值范围为． （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立． 又，则恒成立． 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6．5． 题型七：不等式在实际问题中的应用 典型例题 【典例8-1】（2024·高三·四川内江·阶段练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式对恒成立， 所以，则． 则不等式恒成立的一个必要不充分条件是． 故选：B 题型八：恒成立与有解问题 典型例题 【典例8-2】（2024·高三·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分离参变量得恒成立，则， 故不等式右边取最大值时必须同号（且都不为零）， 此时，因为若，则与其同号，则，矛盾． 由，设， 则， 若要求取最大值，则需，即， 此时， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：B． 题型八：恒成立与有解问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以由， 当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 题型八：恒成立与有解问题 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·甘肃陇南·期末）不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值与最小值之和为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】在时取得最小值4， 故只需，解之得， 即的最小值为，最大值为4，最大值与最小值之和为3． 故选：A． 题型八：恒成立与有解问题 典型例题 【变式8-3】（2024·高三·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是． 故选：D． 题型八：恒成立与有解问题 典型例题 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 2 模块二：典型例题 3 题型一：不等式的性质及应用 3 题型二：利用不等式求值或范围 3 题型三：利用基本不等式求最值 5 题型四：证明不等式 6 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 8 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 10 题型七：不等式在实际问题中的应用 10 题型八：恒成立与有解问题 13 模块三：数学思想方法 14 ①分类讨论思想 14 ②转化与化归思想 15 ③数形结合思想 15 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：不等式的性质及应用 【典例1-1】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】（2024·高二·江西赣州·期中）已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·广东湛江·期中）已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】（2024·高一·上海·随堂练习）对于实数，下列错误的命题是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D． 题型二：利用不等式求值或范围 【典例2-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·山东·阶段练习）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：           其中真命题是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选题）（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（多选题）（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（多选题）（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知，则的取值可以为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【变式2-6】（多选题）（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）已知，，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 题型三：利用基本不等式求最值 【典例3-1】（多选题）（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【典例3-2】（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选题）（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【变式3-2】（多选题）（2024·高二·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【变式3-3】（多选题）（2024·高三·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 【变式3-4】（多选题）（2024·高三·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【变式3-5】（广东省部分学校大联考2023-2024学年高三模拟（二）数学试题）已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式3-6】（2024·高三·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【变式3-7】（2024·高一·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 【变式3-8】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 【变式3-9】（2024·高三·福建·阶段练习）已知，，且，则 ，的最小值为 ． 【变式3-10】（2024·高一·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 题型四：证明不等式 【典例4-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，且满足. (1)证明：； (2)求的最小值. 【典例4-2】（2024·高三·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【变式4-1】（2024·高二·全国·竞赛）已知：三角形的边长分别等于．求证：． 【变式4-2】（2024·高一·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小； (2)求证：. 【变式4-3】（2024·高一·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【变式4-4】（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 【变式4-5】（2024·高一·安徽宿州·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知为不全相等的正实数，求证：. 【变式4-6】（2024·高一·安徽淮南·阶段练习）（1）已知，且，求证，． （2）若，求证：； 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 【典例5-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【典例5-2】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【变式5-1】（2024·高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式：． 【变式5-2】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 【变式5-4】（2024·高一·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 【典例6-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，= 【典例6-2】（2024·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则的值为 . 【变式6-1】（2024·高一·广东湛江·期中）已知不等式的解集是，则 ． 【变式6-2】（2024·高一·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 【变式6-3】（2024·高一·广东潮州·期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为 . 【变式6-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次方程的两根分别为2和4，则不等式的解集为 ． 【变式6-5】（2024·高一·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 题型七：不等式在实际问题中的应用 【典例7-1】（2024·高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【典例7-2】（2024·高一·上海·随堂练习）限速40 km/h的盘山公路上两车相撞．经测量，甲车的刹车距离略大于9 m，乙车的刹车距离略小于10 m．经查询，甲、乙车的刹车距离s与行驶速度v之间分别满足和．问哪辆车应负主要责任？ 【变式7-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【变式7-2】（2024·高一·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【变式7-3】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【变式7-4】（2024·高一·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 题型八：恒成立与有解问题 【典例8-1】（2024·高三·四川内江·阶段练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高三·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高二·甘肃陇南·期末）不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值与最小值之和为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式8-4】（2024·高三·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式8-5】（2024·高一·山西太原·期中）已知不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．8 【变式8-6】（2024·高一·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例9-1】（2024·江苏南通·高一海门市第一中学校联考期中）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例9-2】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-1】（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·高一课时练习）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（    ） A． B．或 C． D．或 ②转化与化归思想 【典例10-1】（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2024·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·陕西西安·高二校考期中）已知，则 的最小值是（　　）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-2】（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（  ） A． B． C． D． ③数形结合思想 【典例11-1】（2024·山东临沂·高一校考开学考试）（1）解不等式 （2）解分式不等式 【典例11-2】（2024·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集： (1)； (2) 【变式11-1】（2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的两个根，满足，求实数的取值集合. 【变式11-2】（2024·安徽淮南·高一校联考阶段练习）初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 2 模块二：典型例题 3 题型一：不等式的性质及应用 3 题型二：利用不等式求值或范围 5 题型三：利用基本不等式求最值 8 题型四：证明不等式 14 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 19 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 22 题型七：不等式在实际问题中的应用 25 题型八：恒成立与有解问题 29 模块三：数学思想方法 32 ①分类讨论思想 32 ②转化与化归思想 34 ③数形结合思想 36 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：不等式的性质及应用 【典例1-1】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】解不等式，得，故整数解有，，0，共3个整数解. 故选：B. 【变式1-1】（2024·高二·江西赣州·期中）已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，B，由可得， 则由可得，即A错误，B正确； 对于C, D,不妨取，满足，但，故 C, D均错误. 故选：B． 【变式1-2】（2024·高一·广东湛江·期中）已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-3】（2024·高一·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 【变式1-4】（2024·高一·上海·随堂练习）对于实数，下列错误的命题是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，因为，则， 所以，故B正确； 对于C，取，，，则，，，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：C． 题型二：利用不等式求值或范围 【典例2-1】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·山东·阶段练习）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为，， 所以， 即，即，故A正确； 对于B，由，可得， 又，则， 即，即，故B错误； 设， 则，解得，， 因为，，所以，D正确； 若的最大值为24，又，， 则，，此时，C错误． 故选：AD. 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：           其中真命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，设，则， 故，故， 故成立，成立，不成立，成立 故选：ABD. 【变式2-3】（多选题）（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项，，故， 即，A正确； B选项，，故，，B错误； C选项，，故，即，C正确； D选项，因为，且，故，D错误. 故选：AC 【变式2-4】（多选题）（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】实数x，y满足，， 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有，，AC选项正确； 由，得，B选项错误； 由，得，D选项正确. 故选：ACD 【变式2-5】（多选题）（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知，则的取值可以为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】BC 【解析】因为，两式相加可得，所以， 故选：BC． 【变式2-6】（多选题）（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）已知，，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，可得，又，所以，故A正确； 由，可得，又，所以，故B错误； 由，可得，又，所以，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：AC. 题型三：利用基本不等式求最值 【典例3-1】（多选题）（2024·高三·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】对选项A，，当且仅当时取“=”，故A正确； 对选项B， ，当且仅当时取“=”，故B正确； 对选项C，， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为，故选项C错误. 对选项D，， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：AB. 【典例3-2】（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】显然，故，A正确； 因为，则， 即，故B错误； ，且，故由均值不等式知，C正确； ，D正确. 故选：ACD 【变式3-1】（多选题）（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】AB 【解析】对于A：因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为，即，且， ， 由抛物线的性质可得，当时，最小值为，故C错误； 对于D：由C可得， 当时，最大值为，故D错误； 故选：AB. 【变式3-2】（多选题）（2024·高二·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ABD 【解析】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 【变式3-3】（多选题）（2024·高三·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 【答案】BCD 【解析】对A：因为为正实数，且，所以，因为，所以，故A错误. 对B：因为为正实数，且，所以（）. 所以（当且仅当，即时取“”），故B正确； 对C：因为（都是当且仅当时取“”），故C正确； 对D：因为，故，所以（当且仅当时取“”），故D正确. 故选：BCD 【变式3-4】（多选题）（2024·高三·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 【变式3-5】（广东省部分学校大联考2023-2024学年高三模拟（二）数学试题）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 【变式3-6】（2024·高三·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【解析】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【变式3-7】（2024·高一·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 【答案】2 【解析】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 【变式3-8】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 【答案】1 【解析】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 【变式3-9】（2024·高三·福建·阶段练习）已知，，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 1 8 【解析】由题意得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：1，8 【变式3-10】（2024·高一·江苏·阶段练习）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以即最大值为. （2）因为， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 题型四：证明不等式 【典例4-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，且满足. (1)证明：； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立. ，当且仅当时，等号成立. （2）因为， 所以， 令，则， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以的最小值为. 【典例4-2】（2024·高三·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【解析】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立. （2）方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有 ， 当且仅当时等号成立. 【变式4-1】（2024·高二·全国·竞赛）已知：三角形的边长分别等于．求证：． 【解析】证明：由三角形三边关系得， 故， 则， ， ， ． 设， 则，， ， 当且仅当时等号成立． 【变式4-2】（2024·高一·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小； (2)求证：. 【解析】（1）∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴，即； （2）证明：， ∴，，，∴，，， ∴，当且仅当“”时等号成立. 【变式4-3】（2024·高一·北京·期中）已知a，b都是正实数， (1)试比较与的大小，并证明； (2)当时，求证：． 【解析】（1）结论：，当且仅当时，等号成立. 证明： ， 因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立； （2）因为a，b，c都是正数，且， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 【变式4-4】（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 【解析】（1）因为， 所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立， 把上述三个式子的两边分别相加， 得， 即，当且仅当时等号成立． （2）证明：，，又，， ，则有：， 又， ． 【变式4-5】（2024·高一·安徽宿州·阶段练习）（1）比较与的大小； （2）已知为不全相等的正实数，求证：. 【解析】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 即. 【变式4-6】（2024·高一·安徽淮南·阶段练习）（1）已知，且，求证，． （2）若，求证：； 【解析】（1）证明：， 因为，且，所以，， 所以， 故； （2）证明：因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 题型五：含参数与不含参数一元二次不等式的解法 【典例5-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【典例5-2】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【解析】（1）由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式5-1】（2024·高三·全国·专题练习）解关于实数的不等式：． 【解析】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 【变式5-2】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）（1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【解析】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 【解析】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）对方程 ， 当时， 即时,不等式的解集为 当时， 即或时, 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时,不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 【变式5-4】（2024·高一·北京·期中）解关于的不等式. (1); (2) (3). 【解析】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； （3）不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 题型六：由一元二次不等式的解确定参数 【典例6-1】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则= ，= 【答案】 【解析】依题意，不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为：； 【典例6-2】（2024·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则的值为 . 【答案】 【解析】关于的不等式的解集为， ，是一元二次方程的实数根， ， 且，. ， ， 又，解得. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高一·广东湛江·期中）已知不等式的解集是，则 ． 【答案】 【解析】因为不等式的解集是， 可知，是方程的两个实根，且， 由韦达定理得，解得，， 所以． 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 【答案】0 【解析】当时，显然成立，此时； 当时，由成立，得成立， ，， 当时，由成立，得成立， ，， 时均有，． 故答案为：0． 【变式6-3】（2024·高一·广东潮州·期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为 . 【答案】 【解析】根据题意，方程的两根为和， 故可得，解得. 故答案为：. 【变式6-4】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知二次方程的两根分别为2和4，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】二次方程的两根分别为2和4， 可得，即， 由可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-5】（2024·高一·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 【答案】. 【解析】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型七：不等式在实际问题中的应用 【典例7-1】（2024·高一·上海·课堂例题）某船从甲码头顺流航行到达乙码头，停留后再逆流航行到达丙码头．如果水流速度为，该船要在内（包含）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少？ 【解析】设船的速度为，由题可知， 由题意得，，由去分母，整理得， 解得（不合题舍去）或， 所以船的速度至少要达到． 【典例7-2】（2024·高一·上海·随堂练习）限速40 km/h的盘山公路上两车相撞．经测量，甲车的刹车距离略大于9 m，乙车的刹车距离略小于10 m．经查询，甲、乙车的刹车距离s与行驶速度v之间分别满足和．问哪辆车应负主要责任？ 【解析】由题意得，对于甲车： ，即，所以 对于乙车： ，即，所以， 因为限速40 km/h， 所以甲车超速了，所以甲车应负主要责任． 【变式7-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【解析】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 【变式7-2】（2024·高一·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 【变式7-3】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 【变式7-4】（2024·高一·安徽黄山·阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【解析】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 题型八：恒成立与有解问题 【典例8-1】（2024·高三·四川内江·阶段练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式对恒成立， 所以，则. 则不等式恒成立的一个必要不充分条件是. 故选：B 【典例8-2】（2024·高三·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分离参变量得恒成立，则， 故不等式右边取最大值时必须同号（且都不为零）， 此时，因为若，则与其同号，则，矛盾． 由，设， 则， 若要求取最大值，则需，即， 此时， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：B． 【变式8-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 【变式8-2】（2024·高一·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 【变式8-3】（2024·高二·甘肃陇南·期末）不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值与最小值之和为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】在时取得最小值4，故只需，解之得，即的最小值为，最大值为4，最大值与最小值之和为3. 故选：A. 【变式8-4】（2024·高三·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 【变式8-5】（2024·高一·山西太原·期中）已知不等式恒成立，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】根据不等式恒成立， 当，不符合条件。 则，，即， ① ②， ①当且仅当，即，等号成立. ②当且仅当时等号成立. 两次基本不等式都在成立，故等号能够传递. 故选：D 【变式8-6】（2024·高一·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例9-1】（2024·江苏南通·高一海门市第一中学校联考期中）关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】不等式， 时解集为，时解集为， 时解集为， 由题意可得时，时， 解得， 则的最大值与最小值的差为4， 故选：B. 【典例9-2】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可知，可以异号，可以同正， 当异号时，必有，故可以推出； 当同正时，即，由基本不等式知，则当时，有，解得，故充分性成立； 当时，满足，但此时，即“”不能推出“”，故必要性不成立； 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式9-1】（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分类讨论和两种情况，分别计算结果，并取并集.（1）当，即时，原不等式可化为，显然恒成立． （2）当时，不等式恒成立，利用二次函数性质可知 ，即，解得． 综上可知，故a的取值范围是． 故选：A． 【变式9-2】（2024·高一课时练习）若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由，得 由解中恰有3个整数 ∴当时，，得； 当时，，得， 综上所述，或 故选：D ②转化与化归思想 【典例10-1】（2024·浙江·高二校联考开学考试）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且， 故， 当且仅当，即时取得等号. 故选：B 【典例10-2】（2024·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：B 【变式10-1】（2024·陕西西安·高二校考期中）已知，则 的最小值是（　　）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】因为，，所以， ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：A. 【变式10-2】（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： 设， 则， 显然，则， 可得就是方程的两个实根， 所以， 则或，解得， 即. 故选：C. ③数形结合思想 【典例11-1】（2024·山东临沂·高一校考开学考试）（1）解不等式 （2）解分式不等式 【解析】（1）由方程，解得. 由二次函数的图象开口向上，且与轴交于两点， 可得不等式的解集为； （2）， 由（1）中二次函数图象分析， 得不等式的解集为，或. 故原不等式的解集为，或. 【典例11-2】（2024·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集： (1)； (2) 【解析】（1）原不等式整理得，， 即，解得或， 原不等式的解集为或 （2）原不等式整理得，， ， 原不等式的解集为. 【变式11-1】（2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的两个根，满足，求实数的取值集合. 【解析】因为实数是关于的一元二次方程的两个根， 所以，且， 即，整理得，得或， 所以， 故，即，所以，解得或， 综上所述，实数的取值集合为或或 【变式11-2】（2024·安徽淮南·高一校联考阶段练习）初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 【解析】（1）因为，所以， 因为为较长边，所以，即， 设，则， 因为，， 所以，所以． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以的面积． （2）设一颗钮扣的镀金费用为y元， 则， 当且仅当，由即时等号成立， 所以当为时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$