专题05 相似三角形（压轴题，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题05 相似三角形（压轴题，30题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 2．（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，正方形的边长为4，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，点与点对应，点与点对应，如果点在同一条直线上，那么的长度为 ．    3．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是 ． 4．（23-24九年级上·上海普陀区·期中）如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为 ．    5．（23-24九年级上·市北初级中学·期中）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    6．（23-24九年级上·田家炳中学特色课程·期中）如图，在中，分别为上的点，分别交于点、，且，有下面四个结论：①；②；③点是的中点；④．其中所有正确结论的序号是 ． 7．（23-24九年级上·上海虹口区·期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若＝，则MF＝ ． 8．（22-23九年级上·民办永昌中学·期中）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 二、解答题 9．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 10．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 11．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 12．（23-24九年级上·上海松江·期中）（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．        13．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，在为等腰梯形中，，对角线、交于点沿着直线翻折得到联结，分别于、相交于点F、G．    (1)求证：、互相平分； (2)若，求的比． 14．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 15．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 16．（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 17．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为，    (1)当“旋似比”为时，求点的坐标； (2)过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 18．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，在梯形中，，点N在线段的延长线上，联结，作，与交于点M．    (1)求的长； (2)设，求y关于x的函数关系式； (3)如果是等腰三角形，求的长． 19．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．    (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 20．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．    (1)求证：； (2)求证：． 21．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，四边形是平行四边形，于，于．求证： (1)； (2)． 22．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)若，连接，写出与的位置关系，并证明结论． 23．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合）运动，，过点作，交的延长线于点．    (1)当时，求线段的长； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 24．（22-23九年级上·上海普陀·期中）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 25．（22-23九年级上·民办华育·期中）在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，， (1)如图①，证明：； (2)如图②，连接，，交于点， ①证明：在点的运动过程中，总有． ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出的长度 26．（22-23九年级上·上外附中·期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且，． (1)若AD⊥BC于点D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形； (2)若AE＝AF＝1，求的值； (3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为、、S，求证：． 27．（22-23九年级上·上外附中·期中）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 28．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．    (1)如图1，当F在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 29．（22-23九年级上·华二紫竹·期中）如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 30．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知四边形中，过点作、，分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)求证：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形（压轴题，30题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明，可求出，利用平行线分线段成比例可求出，，进而求出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶如图， 根据题意，得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，正方形的边长为4，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，点与点对应，点与点对应，如果点在同一条直线上，那么的长度为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过B作于F，根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， 过B作于F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∵绕着点B旋转至， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，，点是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，连接，如果，设与边交于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】连接，交于点G，根据折叠的性质可得垂直平分，，再由，可得，从而得到，在中，根据勾股定理可得，再由，可得，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点G， ∵将沿着翻折，点落在点处， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠问题是解题的关键． 4．（23-24九年级上·上海普陀区·期中）如图，在矩形中，已知，如果将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、，如果，那么的长为 ．    【答案】 【分析】连接，构造直角三角形，依据折叠的性质以及勾股定理，即可得到的长以及的长，再根据，得到比例式求出，进而得出的长． 【详解】解：如图，连接， 四边形为矩形， ，， 为的中点， ， 将矩形沿直线翻折后，点落在边的中点处，直线分别与边、交于点、， ，， 在中，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， ； 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理和相似三角形的性质进行计算求解． 5．（23-24九年级上·市北初级中学·期中）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 6．（23-24九年级上·田家炳中学特色课程·期中）如图，在中，分别为上的点，分别交于点、，且，有下面四个结论：①；②；③点是的中点；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据，得出，，根据相似三角形的性质，即可判断①；根据平行线的性质得出，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，则可判断②；证明，进而得出，根据，设，则，得出，进而证明，即可判断③；证明，根据相似三角形的性质得出， 即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴①的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴与不可能相似． ∴②的结论不正确； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴点是的中点． ∴③的结论正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴④的结论正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．（23-24九年级上·上海虹口区·期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若＝，则MF＝ ． 【答案】 【分析】由＝，设AB=3x，则BC=4x，设BE=3y，则CF=4y，根据条件可得△AEG∽△BFE，可得，再由AD∥BC，可得△AGM∽△CFM，由勾股定理可得EF=8，GF=10，由即可求解． 【详解】由＝，设AB=3x，则BC=4x，设BE=3y，则CF=4y ∵∠FEG=90゜，且四边形ABCD为矩形 ∴∠AGE+∠AEG=90゜，∠AEG+∠BEF=90゜ ∴∠AGE=∠BEF ∴Rt△AEG∽Rt△BFE ∴ 即 ∴， ∵EG=6 ∴ ∵∠GEF=90゜ ∴由勾股定理得： ∵AD∥BC ∴△AGM∽△CFM ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据比例关系设未知数是关键． 8．（22-23九年级上·民办永昌中学·期中）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示， 为的中点，为的重心， ∵在中，， ∴ ∴ ∵旋转， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴ 故答案为：． 二、解答题 9．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为． (1)求点坐标； (2)在轴上找一点（在的左边），使得，求点的坐标； (3)直线交轴于点，若线段上存在一点，使，求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线经过点，求得，得到，令，则，即得； （2）设直线解析式为，把，代入，解方程组得到，根据，得到，求出，得到直线解析式为，当时，，即得； （3）过点C作于点G，过点P作于点H，得到，得到，求出，，, ，根据勾股定理得到，设，得到，根据得到，求得，得到，求得，得到，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴； （2）根据题意作图如下， 设直线解析式为， 把，代入， 得，， 解得，， ∴， 设和的边上的高分别为和， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）过点C作于点G，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴，，, ， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 10．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）先证明，得到，再由得到，根据三线合一即可求证； （）证明即可求解； （）由得到，由得到，，代入转化即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ∴； （3）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据条件可证得，即可证明结论． （2）①根据，求得，证明出四边形是菱形，得出，证明，得出比例式，解方程，即可求解； ②由条件可得，由相似比可得，由，得到点是的黄金分割点，可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， 即． （2）①， ，，， 在和中， ， ， 四边形是菱形， 即， 解得： ②， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键． 12．（23-24九年级上·上海松江·期中）（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．        【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设则由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设根据，得，，由，得到，，最后代入． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ； （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，在为等腰梯形中，，对角线、交于点沿着直线翻折得到联结，分别于、相交于点F、G．    (1)求证：、互相平分； (2)若，求的比． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到，根据翻折性质得到，从而证出，得出四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点D作交于点M，得出是等边三角形，，再证明，得出，即可求证 【详解】（1）证明：在等腰梯形中， ∴． ∵沿着直线翻折得到， ∴． ∴． ∴． 又． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴、互相平分； （2）解：过点D作交于点M，    四边形是平行四边形， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形判定和性质“对应边的比等于相似比”、平行四边形的判定和性质、等腰梯形的性质“两腰相等，两底角相等”、翻折的性质“翻折前后对应边相等，对应角相等”、等边三角形的判定和性质“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”“等边三角形三边相等”等知识点，解题的关键是作平行线，构建平行四边形． 14．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 【答案】(1)① ② (2)或 【分析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N，证得，然后表示出长，利用得到，代入计算解题即可；②过点作于点，点作于点，根据相似三角形用，表示得到，和的长，然后利用得到关系式； （2）分和两种情况分别画图解题即可． 【详解】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N， ∴， ∴， 设， ∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，即； ②过点作于点，点作于点， 由①得， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即∴， ∴，， ∴， 又∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 即， ∵点在边上， ∴， ∴ ∴定义域为； （2）解：如图，过点作于点， 根据②可得：，， ∴ ∴， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述，当的长为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 15．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2) (3)，（） 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 16．（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 17．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为，    (1)当“旋似比”为时，求点的坐标； (2)过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)点 (2)“旋似比”为 (3)或 【分析】（）先证明，再利用“旋似比”为即可求解； （）证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （）由“旋似比”为，求出点，再求出解析式，则有，从而得出，分两种情况：当点F在O点上方时，当点F在O点下方时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴此时的“旋似比”为； （3）解：如图，过作轴于点，过作轴于点，延长交于点， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点， ∴，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点F在O点上方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F的坐标为； 在O点的下方取，使，如图所示： ∴， ∴， ∴当点F在点时，符合题意， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，坐标与图形，解题的关键是根据题意转化为相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定． 18．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，在梯形中，，点N在线段的延长线上，联结，作，与交于点M．    (1)求的长； (2)设，求y关于x的函数关系式； (3)如果是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)的长为0或1或． 【分析】（1）过点D作于G，由已知易得四边形是矩形，则，在中，由勾股定理的长； （2）由（1）中，可得，结合即可得到，可得，从而可得，在中，由勾股定理得，进一步计算即可求解； （3）分①当时，②当时，③当时三种情况结合已知条件和前面所得结论进行分析计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作于G，    ∴， ∵，梯形中，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是等腰三角形， ∴①当时，如图，，    ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， 解得（负值舍）， 即：； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴点N与点B重合， ∴； ③当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， 解得， 即：； 综上：的长为0或1或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，函数的应用，勾股定理，讨论“是等腰三角形”时，需分当、、三种情况讨论，不要忽略了其中任何一种情况． 19．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．    (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点P坐标是或 【分析】（1）根据直线解析式即可求出，，从而得出，，进而可求出．证，即得出，代入数据可求出，进而可求出，即得出点D的坐标； （2）由相似三角形的性质可得出，从而可得出，．作EH⊥AC于点H， 证，即得出，，即，分别求出，，，结合勾股定理逆定理即可求解； （3）由，可确定点P只能在射线EC上．又可求出，，．分类讨论①当时，即，代入数据可求出，．过点作轴于点F．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，，再利用勾股定理即可求出此时；②当时，同理求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 令，则， ∴，， ∴，． ∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴． 又∵在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴点D坐标是； （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴，． 作EH⊥AC于点H，如图，    ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵，， ∴点P只能在射线上． ∵，，，，， ∴，，． ①当时，即， ∴， 解得：， ∴． 过点作轴于点F．    设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，（舍）， ， ∴此时； ②当时，即， ∴， 解得：， ∴． 同理可求出． 综上可知：点P坐标是或． 【点睛】本题是一次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质、三角形的相似、两点之间的距离公式和分类讨论的方法解答． 20．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线可知，，结合点E是边中点，即得出，从而可根据直角三角形斜边中线的性质求出，得出．根据三角形外角性质，结合题意可求出，即得出，进而可证； （2）由等腰三角形三线合一的性质可知，，即得出．由（1）可得，即得出，从而可求出，进而得出，即．再由平行线的性质得出，即证明，得出，即． 【详解】（1）∵， ∴． ∵E为中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，E为中点， ∴，， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 21．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，四边形是平行四边形，于，于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由是平行四边形，可知，由，，可得，进而可证； 由是平行四边形，可知，由，可得，即，，由，可得，证明，则，即，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于确定相似三角形的判定条件． 22．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)若，连接，写出与的位置关系，并证明结论． 【答案】(1)见解析 (2)或3 (3)平行，见解析 【分析】（1）根据等边对等角得出，再由三角形内角和定理及各角之间的关系得出，利用相似三角形的判定证明即可； （2）作于H，利用含30度角的直角三角形的性质及相似三角形的判定得出，设，则，代入求解即可； （3）连接，根据相似三角形的性质及等量代换得出，再利用相似三角形的判定和性质确定，根据内错角相等，两直线平行即可证明 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作于H，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或3； （3）平行，证明如下： 连接，如图所示，    ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、一元二次方程的应用等知识，理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 23．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合）运动，，过点作，交的延长线于点．    (1)当时，求线段的长； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)连接，如果与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)与相似时，的长为4或8 【分析】（1）根据，，得出，，，根据勾股定理得出，求出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，求出，根据求出结果即可； （2）证明，得出，求出，证明，得出，求出，根据点、在边上，点在点右侧，点不与点重合，得出，，求出即可； （3）分两种情况，当时或当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点、在边上，点在点右侧，点不与点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 当时，如图所示：    ∵， ∴，，， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上分析可知，与相似时，的长为4或8． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论． 24．（22-23九年级上·上海普陀·期中）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 【答案】(1)； (2)①；②的值为4或8． 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求解； （2）①证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； ②分两种情形：a、点F在线段的延长线上（如图2中），b、点F在线段的延长线上（如图3中），分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，且点F不可能在线段上， ∴与相似有两种可能： a、点F在线段的延长线上（如图2中）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． b、点F在线段的延长线上（如图3中）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的值为4或8． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．（22-23九年级上·民办华育·期中）在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，， (1)如图①，证明：； (2)如图②，连接，，交于点， ①证明：在点的运动过程中，总有． ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出的长度 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析②或4时，是等腰三角形 【分析】（1）由“将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段”可得，，由推出，然后通过证明即可； （2）①先根据“点，分别为，的中点”得到进而得出是等腰直角三角形，再根据证明，进而可证； ②先由得到，，再分三种情况分别作答． 【详解】（1）证明：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）①证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②解：由①得：， ∴， ∴， 如图1， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 此时F点和E点重合，不符合题意， 综上所述：或4时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 26．（22-23九年级上·上外附中·期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且，． (1)若AD⊥BC于点D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形； (2)若AE＝AF＝1，求的值； (3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为、、S，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答； （3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得，，然后把两个式子相加进行计算，即可解答； （3）设△BDE的边DE上的高为，CF长为a，△CDF的边CF上的高为，利用平行得到，可知，表示出、、S即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴四边形AEDF是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，DF＝AE， ∵AE＝AF＝1， ∴DE＝DF＝1， ∴； （3）解：设△BDE的边DE上的高为，CF长为a，△CDF的边CF上的高为，如图所示： ∴， ∵，， ∴∠C＝∠BDE，∠CFD＝∠EDF＝∠DEB， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积和平行四边形面积等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键． 27．（22-23九年级上·上外附中·期中）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 28．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）已知矩形中，，，P是边上一点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连结，直线与射线相交于点F．    (1)如图1，当F在边上，若时，求的长； (2)若射线交的延长线于Q，设，，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)①如图2，直线与边相交于点G，若与相似，则________度； ②如图3，当直线与的延长线相交于点H时，若．求的长． 【答案】(1)４ (2)， (3)①；②10 【分析】(1)根据矩形性质和，推出四边形为平行四边形，得到，得到，，由翻折性质得到，，得到，得到； (2)根据， ，得到，得到 ，推出 ， x的取值范围是； (3)①连接，根据翻折性质得到，，根据，，得到，推出，得到；②连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，得到，由折叠性质得到，，根据，得到，得到，得到，推出四边形为矩形，得到，得到，由折叠性质得到，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【详解】（1）如图，∵在矩形中，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 由翻折知，，， ∴， ∴, ∵， ∴；    （2）∵在矩形中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴x的取值范围是； （3）①如图，设交于点M，连接，由折叠知，，，    ∵ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，连接, , ，分别过A，H作于点M, 交延长线于点N，则，    由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠综合．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 29．（22-23九年级上·华二紫竹·期中）如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论； （2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可； （3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点D为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①若，过Q作于G，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， 即； ②若，则， 解得：， 即； ③若，则， ∵，此种情况舍去； 综上：线段AP的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解． 30．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知四边形中，过点作、，分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据，可得，根据．证明，进而可以解决问题； （2）由，可得，所以，再由，可得，由，得，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵，即：， ∴， ∴， ∴， 即：； （2）证明∵， ∴， 则：， ∴， 由（1）知：， 又∵ ∴ 则：， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形，且 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，得到． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$