专题01 相似形与比例线段（四大题型，60题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题01 相似形与比例线段（四大题型，60题）（原卷版） 放缩与相似形 1．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 2．（23-24九年级上·上海青浦·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 3．（22-23九年级上·上海·期中）下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 4．（22-23九年级上·上海·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．任意两个正方形一定相似 B．任意两个边长相等的菱形一定相似 C．任意两个等边三角形一定相似 D．任意两个等腰直角三角形一定相似 5．（22-23九年级上·上海崇明·期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 6．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 7．（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023·上海黄浦·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 9．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 10．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为 ． 比例的性质 11．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如果（、均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·上海宝山·期末）如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（   ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·上海·期中）在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 16．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知，那么 ． 17．（23-24九年级上·上海崇明·期中）若，且，那么 ． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如果，，那么 ． 19．（23-24九年级上·上海闵行·期中）若，那么 ． 20．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 成比例线段 21．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 22．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 23．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·上海·期中）线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为 ． 25．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 26．（23-24九年级上·上海崇明·期中）在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为 千米． 27．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么 cm． 28．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在的地图上，两地在地图上的距离是厘米，那么这两地的实际距离为 千米． 29．（22-23九年级上·上海宝山·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是 厘米． 30．（2023·上海闵行·期中）如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 cm． 黄金分割 31．（23-24九年级上·上海金山·期中）已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 34．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）下列命题中真命题是（   ） A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似 C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点 35．（23-24九年级上·上海·期中）已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 36．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 37．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 38．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 39．（22-23九年级上·上海·期中）如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（    ） A．， B．， C．， D．， 40．（22-23九年级上·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 42．（22-23九年级上·上海青浦·期中）点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 43．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如果（、均不为零），那么的值是（    ） A． B． C． D． 44．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 45．（22-23九年级上·上海闵行·期中）下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 46．（22-23九年级上·上海普陀·期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 47．（22-23九年级上·上宝中学·期中）下列图形中一定是相似形的是（  ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形 六、填空题 48．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知线段cm，点是的黄金分割点，且那么线段的长为 ． 49．（22-23九年级上·华育中学·期中）已知线段，点P是的黄金分割点，且．那么 ． 50．（22-23九年级上·紫竹中学·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 51．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 52．（23-24九年级上·上外附中·期中）已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是 ． 53．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果b＝3，c＝2，那么a＝ ． 54．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 55．（23-24九年级上·欣竹中学·期中）如果点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，若线段长为，那么线段的长为 ． 56．（22-23九年级上·上海普陀·期中）已知，那么（a﹣b）：a＝ ． 七、解答题 57．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 58．（23-24九年级上·新竹园中学·期中）已知线段x，y. (1)当时，求的值；(2)当时，求的值. 59．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：，，求代数式的值． 60．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：a：b：c＝3：4：5 （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似形与比例线段（四大题型，60题）（解析版） 放缩与相似形 1．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．∵两个等边三角形的内角都是60°， ∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意； C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意； D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（23-24九年级上·上海青浦·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 3．（22-23九年级上·上海·期中）下列判断中，正确的是（    ） A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似 【答案】A 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A．任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，A正确； B．各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，B错误； C．任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，C错误； D．任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 4．（22-23九年级上·上海·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．任意两个正方形一定相似 B．任意两个边长相等的菱形一定相似 C．任意两个等边三角形一定相似 D．任意两个等腰直角三角形一定相似 【答案】B 【分析】对选项逐个判断，正确的为真命题，错误的为假命题． 【详解】解：A、任意两个正方形一定相似，正确，是真命题，不符合题意； B、任意两个边长相等的菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、任意两个等边三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意； D、任意两个等腰直角三角形一定相似，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，掌握相似图形的概念是解题关键． 5．（22-23九年级上·上海崇明·期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 6．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 7．（23-24九年级上·上海松江·期中）下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【详解】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 8．（2023·上海黄浦·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 【答案】/ 【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可． 【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a， ∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， ∴， 解得∶， 即第二个矩形较长的一边长是， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键． 9．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 10．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】他两种情况：①当与△ABC，在点P同侧时，②当与△ABC，在点P两 侧时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况：如图，①当与△ABC，在点P同侧时，连接过点，在上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当与△ABC，在点P两 侧时，连接过点，在延长线上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴点横坐标为1-2=-1， ∴； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求位似变换点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 比例的性质 11．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如果（、均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四个选项的比例式都转化成等积式，看哪一个结果为，即可选出正确答案． 【详解】A、将转化成等积式为； B、将转化成等积式为； C、将转化成等积式为； D、将将转化成等积式为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，若，则．反之，若，则．熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 12．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，根据：由比例尺 ，即可计算． 【详解】解：， 故选：C． 13．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意知，当时，，，，进而可知A、C、D不一定正确，，可知B一定正确，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求； ，B一定正确，故符合要求； 故选：B． 14．（22-23九年级上·上海宝山·期末）如果，且b是a和c的比例中项，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握在a，b，c中，若，则b是a，c的比例中项． 【详解】解：∵，b是a和c的比例中项， ∴， ∴， 故选D 15．（23-24九年级上·上海·期中）在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： ， 解得． 故答案是：． 16．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知，那么 ． 【答案】5 【分析】根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 17．（23-24九年级上·上海崇明·期中）若，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握：若，则，是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据两个比例式，得到与的数量关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19．（23-24九年级上·上海闵行·期中）若，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据比例性质设，则，，，进而代值求解即可． 【详解】解：设，则，，， ∴ ． 【点睛】本题考查比例性质、分式的性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键． 20．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出， ， ，进而得出a、b、c的值是解题关键． 根据题意可设，然后用k的代数式分别表示出a、b、c，再代入可求得k，即可求得答案． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 解得， ∴ 成比例线段 21．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 22．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查的是成比例的线段的判定，先把每个选项的四条线段按照从小到大的顺序排列，再判断四条线段是否成比例即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选B． 23．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列各组线段中，成比例线段的组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可． 【详解】解：A、，是成比例线段，故本选项符合题意； B、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 24．（23-24九年级上·上海·期中）线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设，则， 根据得代入得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·上海·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·上海崇明·期中）在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为 千米． 【答案】10 【分析】本题考查了比例线段，比例尺的定义，根据比例尺=图上距离实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【详解】解：设这两地的实际距离是x厘米，则： 解得：， 1000000厘米=10千米． 故答案为：10． 27．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么 cm． 【答案】9 【分析】根据线段比例中项定义得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵线段b是线段a，c的比例中项， ∴，又，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到是解答的关键． 28．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在的地图上，两地在地图上的距离是厘米，那么这两地的实际距离为 千米． 【答案】7 【分析】直接利用比例尺进而计算得出答案． 【详解】解：∵在的地图上，两地在地图上的距离是厘米， ∴这两地的实际距离是：(厘米)， 厘米千米． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了比例线段，正确应用比例尺是解题关键，注意单位的换算问题． 29．（22-23九年级上·上海宝山·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是 厘米． 【答案】 【分析】根据线段比例中项的概念，可得，即得，从而可求b的值． 【详解】∵线段是线段和线段的比例中项， ∴，即， ∴厘米（负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应求平方根．求两条线段的比例中项的时候，应求算术平方根． 30．（2023·上海闵行·期中）如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 cm． 【答案】100． 【详解】试题分析：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则 4：2000000=x：50000000，解得x=100． 故答案为100． 考点：比例线段． 黄金分割 31．（23-24九年级上·上海金山·期中）已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点．根据黄金分割点分线段对应成比例，分成的两条线段中的较长的线段与原线段的比值为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故选C． 32．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割比，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割比的表示形式是解题的关键． 由题意知，，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，即，整理得，， ， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：C． 33．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，把一条线分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比等于即可得到答案． 【详解】解：由于M是线段上的黄金分割点， ， 故选项A正确，选项B、C错误； 由比例中项定义可知，选项D错误． 故选A． 34．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）下列命题中真命题是（   ） A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似 C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，根据相似三角形以及相似多边形的判定，对比每个选项，看能否举出反例即可得出答案． 【详解】解：A、四个内角都相等的两个四边形，但是四条边不一定成比例，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、菱形的四条边都对应成比例，但是四个内角不一定对应相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、所有的等边三角形三个角都等于，三个角都相等，原命题是真命题，本选项符合题意； D、一条线段有两个黄金分割点，原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：D． 35．（23-24九年级上·上海·期中）已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，代入数据求值即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，即， ∴， ∴ 故答案为：． 36．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知：点P是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，其中较短，， ， ， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，列出方程解题即可． 【详解】解：设的距离为，则， 根据题意列方式： ， ， 整理得： ， ， 根据求根公式， 解出，（舍去）． 故答案为：． 38．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割定义，利用黄金分割的比值为，即可解答，熟知“把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割”是解题的关键． 【详解】解：当时，可得， ； 当时，可得， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 39．（22-23九年级上·上海·期中）如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义判断即可． 【详解】∵点P把线段分割成和两段， ∴，即， ∴， A、∵，， ∴， 故A项错误； B、∵，， ∴，故B项错误； C、∵，， ∴，故C项错误； D、∵，， ∴，故D项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，记住定义是解题的关键． 40．（22-23九年级上·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 41．（23-24九年级上·上海松江·期中）已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可． 【详解】解：A、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； B、转化为等积式为，和已知一致，该选项正确； C、转化为等积式为，整理得：，和已知不一致，故该选项错误； D、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； 故选：B． 42．（22-23九年级上·上海青浦·期中）点把线段分割成和两段，如果是种的比例中项．那么下列式正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，则，由比例中项得出，代入解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∵线段是种的比例中项， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键． 43．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如果（、均不为零），那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同除以即可得到答案． 【详解】解：等式两边同除以，可得：，即， 故选B． 【点睛】本题考查比例式的性质，熟练掌握比例内项之积等于比例外项之积是解题关键． 44．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内项之积等于外项之积可对A、B、C进行判断；利用合比性质可对D进行判断． 【详解】解：A．2x=3y，则，所以A选项不符合题意； B．2x=3y，则，所以B选项不符合题意； C．2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意； D．2x=3y，则，所以，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 45．（22-23九年级上·上海闵行·期中）下列各组图形中一定是相似形的是（    ） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可． 【详解】解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，理解相似形的形状相同、大小不同的特点成为解答本题的关键． 46．（22-23九年级上·上海普陀·期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 47．（22-23九年级上·上宝中学·期中）下列图形中一定是相似形的是（  ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意． B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意． D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 48．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知线段cm，点是的黄金分割点，且那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，根据黄金比值是，列式计算即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 故答案为：． 49．（22-23九年级上·华育中学·期中）已知线段，点P是的黄金分割点，且．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割，公式法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∴， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 50．（22-23九年级上·紫竹中学·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 51．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【详解】解：∵点把线段分割成和两段()，其中是与的比例中项， ∴点P是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割比，是与的比例中项即点P是线段AB的黄金分割点，理解并熟记黄金分割比是解本题的关键． 52．（23-24九年级上·上外附中·期中）已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点定义，知是较长线段，则代入求出，再利用即可求出． 【详解】由于为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，准确求出较长线段的长度是解题的关键． 53．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果b＝3，c＝2，那么a＝ ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义：若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解． 【详解】解：∵线段a是线段b、c的比例中项， ∴a2=bc， 即a2=6， ∴a=(负值舍去)． 故答案是：． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 54．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：设点是线段上的一点，， ， 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键. 55．（23-24九年级上·欣竹中学·期中）如果点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，若线段长为，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】因为AB与 PB差4，要求AB，设AB=x，PB也就表示出来了，由AP是AB与PB的比例中项，构造方程，求出即可． 【详解】设AB长为x，则PB=x-4， ∵AP是AB与PB的比例中项， ∴42=x(x-4)， ∴x2-4x=16， ∴(x-2)2=20， x-2=2,舍去， x=2+2． 故答案为：2+2． 【点睛】本题考查比例中项中的原长问题，会根据原长与短线段差定值，构造方程，掌握方程的解法，能根据线段非负取舍． 56．（22-23九年级上·上海普陀·期中）已知，那么（a﹣b）：a＝ ． 【答案】1：3 【分析】根据设，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴（a﹣b）：a＝ 故答案为：1：3 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． 七、解答题 57．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 【答案】或 【分析】分三种情况：当点在线段上，当点在线段的延长线时，当点在线段的延长线时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分三种情况： 当点在线段上，如图： ， 点是的黄金分割点， ； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 原方程没有实数根； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键． 58．（23-24九年级上·新竹园中学·期中）已知线段x，y. (1)当时，求的值；(2)当时，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到x=9y，即可解答； （2）由比例的性质对比例式进行变形从而得到3y+2xy-x=0，然后分解得（3y-x）（y+x）=0，即可解答． 【详解】解：(1)由，得， 即， 解得，∴. (2)由，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴. 【点睛】本题重点考查比例线段，解答本题的关键在于了解比例的性质并且对比例式进行变形. 59．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便． 60．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）已知：a：b：c＝3：4：5 （1）求代数式的值； （2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值． 【答案】（1）；（2） a=3，b=4，c=5 【分析】（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解； （2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值． 【详解】（1）∵a：b：c=3：4：5， ∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0）， 则； （2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得： 9k-4k+5k=10， 解得k=1． 则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$