专题04 二次根式（压轴题，20题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题04 二次根式（压轴题，20题）（原卷版） 一、单选题 1．（23-24八年级上·上外附中·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列计算不正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算 ． 5．（23-24八年级上·川沙中学南校·期中）a，b为有理数，且，则 ． 6．（23-24八年级上·风华初级中学·期中）计算： ． 7．（23-24八年级上·钱桥学校·期中）把中根号外的移入根号内得 ． 8．（23-24八年级上·金山区七校联考·期中），，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 三、解答题 9．（23-24八年级上·静教院附校·期中）计算： (1) (2) 10．（23-24八年级上·市西初级中学·期中）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 11．（23-24八年级上·新中初级中学·期中）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 12．（23-24八年级上·罗南中学·期中）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 13．（23-24八年级上·南洋模范中学·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 14．（23-24八年级上·建平实验中学·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 15．（23-24八年级上·南汇第四中学·期中）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 16．（22-23八年级上·浦东新区南片十六校·期中）计算 (1)； (2)（）． 17．（22-23八年级上·白鹤中学·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 18．（22-23八年级上·东方中学·期中）已知求代数式的值． 19．（23-24八年级上·青浦区实验中学·期中）求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 20．（23-24八年级上·世界外国语学校·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式（压轴题，20题）（解析版） 一、单选题 1．（23-24八年级上·上外附中·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期中）下列计算不正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知，故正确； 根据二次根式的乘法，可知，故正确； 根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得，故正确； 根据二次根式的加减，可知与不是同类二次根式，故不正确. 故选D. 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 二、填空题 4．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算 ． 【答案】/ 【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 第个等式：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 5．（22-23八年级下·北京海淀·期中）a，b为有理数，且，则 ． 【答案】2 【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到． 【详解】解： a，b为有理数 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形． 6．（23-24八年级上·风华初级中学·期中）计算： ． 【答案】 【分析】容易看出每项的分母都是 (n+1)+ n的形式，所以每一项的分子分母都乘以(n+1)- n，然后进行计算即可得. 【详解】原式= = = = = = =1- =， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，根据式子的特点确定出每一项的分子分母都乘以(n+1)- n是解题的关键. 7．（23-24八年级上·钱桥学校·期中）把中根号外的移入根号内得 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据， 然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可． 【详解】根据二次根式有意义的条件可得：且 解得： 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键． 8．（23-24八年级上·金山区七校联考·期中），，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：， ， ，      ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果． 三、解答题 9．（23-24八年级上·静教院附校·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式= = = （2）解：原式= = = 【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点． 10．（23-24八年级上·市西初级中学·期中）观察下列各式： ； ； ． 回答下列问题： (1)______； (2)当为正整数时，______； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （2）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可． （3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求解． 本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在的关系和规律． 【详解】（1） ． 故答案为： （2） ． 故答案为： （3） ． 11．（23-24八年级上·新中初级中学·期中）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 12．（23-24八年级上·罗南中学·期中）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 13．（23-24八年级上·南洋模范中学·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 14．（23-24八年级上·建平实验中学·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干中的规律并且证明其规律是解题的关键． （1）根据题干给的规律，可直接写出结果； （2）根据题干给的规律，可直接写出第个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到，由此即可证明等式成立； （3）根据前面证明所得到的式子，利用，以及化简，即可求得结果； 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 15．（23-24八年级上·南汇第四中学·期中）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 16．（22-23八年级上·浦东新区南片十六校·期中）计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（22-23八年级上·白鹤中学·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 【答案】(1) ＋；(2) 3-1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为； （2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】（1）原式=； （2）原式=+++… =3﹣1. 【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键. 18．（22-23八年级上·东方中学·期中）已知求代数式的值． 【答案】1 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：1-8x≥0，x≤ 8x-1≥0，x≥， ∴x=，y=， ∴原式= ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用． 19．（23-24八年级上·青浦区实验中学·期中）求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【答案】 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x=+， 两边平方得：x2=（）2+（）2+2， 即x2=4++4﹣+6， x2=14 ∴x=±． ∵+＞0，∴x=． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型． 20．（23-24八年级上·世界外国语学校·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$