专题03 二次根式的运算（十大题型，80题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题03 二次根式的运算（十大题型，80题） 二次根式的乘法 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 5．（22-23八年级上·上海·期中）的有理化因式是 ． 6．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值 7．（22-23八年级上·建平西校·期中）． 8．（22-23八年级上·市北初级中学·期中）计算： 二次根式的除法 9．（23-24八年级上·西延安中学·期中）式子成立的条件是（       ） A．≥3 B．≤1 C．1≤≤3 D．1＜≤3 10．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·建平西校·期中）计算： ． 12．（22-23八年级上·上海·名校期中）不等式的解集为 ． 13．（22-23八年级上·上海·名校期中）计算：＝ ． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 二次根式的乘除混合运算 15．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 16．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 17．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 18．（23-24八年级上·上海长宁·期中）计算：． 19．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 20．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 21．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 23．（23-24八年级上·上海崇明·期中）计算： 24．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 二次根式的加减运算 25．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 27．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算：． 29．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： (1)． (2)． 30．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 31．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 32．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 二次根式的混合运算 33．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 34．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 35．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 36．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 37．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值 38．（23-24八年级上·上海崇明·期中）计算： 39．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 40．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 分母有理化 41．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 42．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）不等式 的解集是 ． 43．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）分母有理化： ． 44．（23-24八年级上·上海金山·期中）不等式的解集是 ． 45．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知，那么 ． 46．（23-24八年级上·上海青浦·期中）有理化分母： ． 47．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 48．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 49．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解不等式：． 50．（23-24八年级上·上海宝山·期中）解不等式： 已知字母的值，化简求值 51．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果，则 ． 52．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 53．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 54．（23-24八年级上·上海松江·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 55．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 56．（23-24八年级上·上南中学·期中）已知 ，，求代数式 的值． 57．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）已知，求的值． 已知条件式，化简求值 58．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 59．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为 ． 60．（23-24八年级上·上海浦东新区·期中）已知求代数式的值． 比较二次根式的大小 61．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 63．（23-24八年级上·上海崇明部分学校联考·期中）比较大小： ． 64．（23-24八年级上·上海黄浦部分学校联考·期中）比较大小： （填“＞”或“＜”或“＝”）． 65．（23-24八年级上·民办华育中学·期中）解不等式： < 二次根式的应用 66．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 67．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 68．（23-24八年级上·民办上宝中学·期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 69．（23-24八年级上·民办张江中学·期中）不等式的解集是 ． 70．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 一、单选题 71．（23-24八年级上·华二紫竹校区·期中）化简：的结果是（ ） A．6 B． C． D． 二、填空题 72．（22-23八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 三、解答题 73．（23-24八年级上·上海浦东新区·期中）已知求：的值． 74．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 75．（23-24八年级上·华二紫竹校区·期中）已知且，请化简并求值： 76．（23-24八年级上·上海市西中学·期中）先化简，再求值：，其中. 77．（23-24八年级上·上外附中·期中）计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 78．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： 79．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 80．（23-24八年级上·上海静安·期中）计算：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的运算（十大题型，80题） 二次根式的乘法 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期中） 的一个有理化因式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 的一个有理化因式是． 故选A． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，本题根据二次根式的乘法与除法运算，结合化为最简二次根式的知识逐一分析即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； 当，时，不成立，故B符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； ，运算正确，故D不符合题意； 故选B 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【详解】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 5．（22-23八年级上·上海·期中）的有理化因式是 ． 【答案】或 【分析】二次根式的有理化因式是和原式乘积为整式的式子，据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴的有理化因式是或， 故答案为：或 【点睛】此题考查了二次根式的有理化，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 6．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知：，求：的值 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，算术平方根，熟练掌握完全平方公式“”是解题的关键. 【详解】解： ①； ②； ①－②得， . 7．（22-23八年级上·建平西校·期中）． 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记公式是解题关键． 8．（22-23八年级上·市北初级中学·期中）计算： 【答案】 【分析】先进行分母有理化，然后进行二次根式的乘除运算即可. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键. 二次根式的除法 9．（23-24八年级上·西延安中学·期中）式子成立的条件是（       ） A．≥3 B．≤1 C．1≤≤3 D．1＜≤3 【答案】D 【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解． 【详解】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0， 解得1＜x≤3． 故选：D． 【点睛】注意：根号里的数必须为非负数且分母不能为0． 10．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 11．（22-23八年级上·建平西校·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的除法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则． 12．（22-23八年级上·上海·名校期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集． 【详解】 解：由，得 ， ， ，即． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用．解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 13．（22-23八年级上·上海·名校期中）计算：＝ ． 【答案】2 【分析】先化为最简二次根式，再进行二次根式除法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 二次根式的乘除混合运算 15．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 16．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，掌握运算法则是解题的关键． 17．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 18．（23-24八年级上·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案． 【详解】解： ． 19．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 20．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 21．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则及性质“”计算即可． 【详解】原式 22．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 23．（23-24八年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘法和除法运算，先将式子中二次根式中的分式化成分子分母分别含有二次根式的式子，然后利用乘除法进行计算，最后将结果化成最简二次根式即可. 【详解】解： 24．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】24 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二次根式的加减运算 25．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减法，根据二次根式的运算法则逐项计算可得正确结果. 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 26．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 27．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减法运算，先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 29．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1） ； （2） ． 30．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键．根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案． 【详解】解：原式 ． 31．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 32．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简，将每一项先化简，再进行加减计算即可解答． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式化简的法则是解题的关键． 二次根式的混合运算 33．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得的解集，解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变． 【详解】解：由，得： ， ∴， 解得：， 故答案为：． 34．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 35．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 36．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，首先分母有理化，然后化简合并同类二次根式求解即可．解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】 ． 37．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，求的值 【答案】35 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和整式的混合运算，首先利用分母有理化求出x和y的值，然后求出，，然后将利用完全平方公式变形为，然后代入求解即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∴ ． 38．（23-24八年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 39．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将各个二次根式化简，再进行计算即可，熟练掌握二次根式化简的方法以及运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 40．（23-24八年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化，二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解： ． 分母有理化 41．（23-24八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，二次根式的混合运算，根据解不等式的步骤以及二次根式的运算法则，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 42．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）不等式 的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再分母有理化即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 43．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分母有理化，把分子分母同时乘以，再计算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 44．（23-24八年级上·上海金山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式以及分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：， 移项得：， 即：， 整理得：． 故答案为：． 45．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，根据分母有理化，按照定义代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∵． 故答案为：． 46．（23-24八年级上·上海青浦·期中）有理化分母： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，依题意，把的分子、分母同时乘即可．关键在根式分母的有理化． 【详解】由题知： ． 故答案为：． 47．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）的有理化因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 48．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 ，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简代数式，再将进行分母有理化后的值代入，计算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 49．（23-24八年级上·上海青浦·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，根据不等式的性质求解，再进行分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ． 50．（23-24八年级上·上海宝山·期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化；根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再把结果进行分母有理化即可． 【详解】解：去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：，即． 已知字母的值，化简求值 51．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 52．（23-24八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 【答案】，+1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 当时，原式． 53．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的运算，求代数式的值．先把x与y进行化简，然后代入代数式中求解即可． 【详解】解：由于 ， 则 ； 答：的值为13． 54．（23-24八年级上·上海松江·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算及分式的约分，掌握分式的约分运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 55．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据分式的除法化简，然后将化简，再代入分式的化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ∵ ∴原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 56．（23-24八年级上·上南中学·期中）已知 ，，求代数式 的值． 【答案】 【分析】先将x、y的值分母有理化，再代入到原式计算可得． 【详解】， ， 原式 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力． 57．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）已知，求的值． 【答案】． 【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键． 已知条件式，化简求值 58．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到是解题的关键． 59．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据，判断出，，再将原式化简成进行求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简求值． 60．（23-24八年级上·上海浦东新区·期中）已知求代数式的值． 【答案】 【分析】先把化简为，再化简得，最后代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入上式得： 原式= 【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 比较二次根式的大小 61．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020 =（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； ∵20222-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， ∴b=2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键． 62．（23-24八年级上·上海长宁·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为： 63．（23-24八年级上·上海崇明部分学校联考·期中）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较． 【详解】∵ 而， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小． 64．（23-24八年级上·上海黄浦部分学校联考·期中）比较大小： （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵，，且18＞12， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜ 65．（23-24八年级上·民办华育中学·期中）解不等式： < 【答案】 【详解】试题分析：根据不等式的性质解. 试题解析： 二次根式的应用 66．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 67．（22-23八年级上·上海宝山·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后求出S，代入公式即可求S，再根据二次根式比较大小的方法，即可求解． 【详解】解：∵三角形的三边长为a、b、c，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为5，6，7时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵S介于整数n和之间， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查二次根式的应用，估算二次根式的值，解题的关键是理解题意，求出，S；掌握二次根式比较大小的方法． 68．（23-24八年级上·民办上宝中学·期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】16cm 【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为， 根据题意得： x＝－2， 则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2， 宽分别为：2和4－x＝6－， ∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）． 故答案为：16cm． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键． 69．（23-24八年级上·民办张江中学·期中）不等式的解集是 ． 【答案】x＜． 【分析】首先判断出＜0，再根据解一元一次不等式的步骤得x＜，最后进行分母有理化即可得到结果． 【详解】解：∵＜0， 解不等式得， x＜， ∴x＜ ， 故答案为：x＜． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，注意要掌握分母有理化的方法． 70．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 一、单选题 71．（23-24八年级上·华二紫竹校区·期中）化简：的结果是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式化简即可. 【详解】 故选D 【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键. 二、填空题 72．（22-23八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和分母有理化，根据“移项，合并同类项，化系数为”即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式求解方法和分母有理化的计算方法． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 73．（23-24八年级上·上海浦东新区·期中）已知求：的值． 【答案】77 【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可． 【详解】解： 原式=． 故原式的值为77． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案． 74．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． （1）在中，已知，，，求的面积； （2）计算（1）中的边上的高． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解； （2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】解：（1）， 所以， 答：的面积是． （2）边上的高， 答：边的高是． 故答案为（1）；（2）． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． 75．（23-24八年级上·华二紫竹校区·期中）已知且，请化简并求值： 【答案】 【分析】解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可. 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键. 76．（23-24八年级上·上海市西中学·期中）先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键． 77．（23-24八年级上·上外附中·期中）计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 【答案】－ 【详解】解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝－． 78．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和因式分解的方法得到，再把除法化为乘法，然后约分即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 79．（23-24八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式 ； ； ； …… 请你直接写出以下计算结果： (1)请你猜测_________，_________； (2)针对上述各式显示的规律，请你猜测 ___________（，为整数）； (3)利用上述规律计算： ______（，为整数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给的运算方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：，． （2）解：， 故答案为：． （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 80．（23-24八年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键．先分母有理化，再利用平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$