专题01 二次根式（四大题型，50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题01 二次根式（四大题型，50题）（原卷版） 求二次根式的值 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海松江·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23八年级上·上宝中学·期中）在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．（22-23八年级上·华育中学·期中）当时，二次根式的值是 ． 求二次根式的参数 6．（22-23八年级上·市北初级中学·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 7．（2023八年级上·上海·名校期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ． 8．（2023八年级上·上海·名校期中）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 9．（22-23八年级上·上宝中学·期中）如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 11．（23-24八年级上·上南中学·期中）二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 12．（23-24八年级上·市西中学·期中）已知是整数，求自然数n的值． 二次根式有意义的条件 13．（23-24八年级上·上海静安·期中）二次根式有意义，则x满足的条件是 ； 14．（23-24八年级上·上海普陀·期中）函数的定义域为 ． 15．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 16．（23-24八年级上·上海闵行·期中）等式有意义的条件是 ． 17．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如果有意义，那么的取值范围是 ． 18．（23-24八年级上·上海宝山·期中）当 时，有意义． 19．（23-24八年级上·上海崇明·期中）当 时，二次根式在实数范围内有意义． 20．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）成立的条件是 ． 21．（23-24八年级上·上海松江·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是 ． 22．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）函数的定义域是 ． 23．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）式子有意义，则的取值范围是 ． 24．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）化简： ． 25．（21-22八年级上·上海奉贤·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 利用二次根式的性质化简 26．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列等式，正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 29．（23-24八年级上·上海静安·期中）化简： ． 30．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）化简：= 31．（23-24八年级上·上海闵行·期中）、、是的三条边，化简 32．（23-24八年级上·上海长宁·期中）化简： ． 33．（23-24八年级上·上海崇明·期中）的有理化因式是 ． 34．（23-24八年级上·上海崇明·期中）化简： . 35．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：已知，求的值 单选题 36．（22-23八年级上·上海静安·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 37．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 38．（21-22八年级上·上海嘉定·期中）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 填空题 39．（23-24八年级上·上海崇明·期中）关于的方程，当k 时，方程无实数解． 40．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知，求的取值范围 41．（22-23八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 42．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ． 43．（22-23八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： . 44．（22-23八年级上·上海宝山·期中）当x 时，代数式有意义． 45．（21-22八年级上·上海浦东新·期中）已知方程组，那么的值是 ． 解答题 46．（23-24八年级上·市西中学·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 47．（22-23八年级上·上海静安·期中）设，化简：． 48．（22-23八年级上·上海·期中）化简： 49．（22-23八年级上·上海静安·期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 50．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式（四大题型，50题）（解析版） 求二次根式的值 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海松江·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 4．（22-23八年级上·上宝中学·期中）在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 5．（22-23八年级上·华育中学·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】把代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 求二次根式的参数 6．（22-23八年级上·市北初级中学·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 7．（2023八年级上·上海·名校期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ． 【答案】5 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为5； 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 8．（2023八年级上·上海·名校期中）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 9．（22-23八年级上·上宝中学·期中）如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式． 10．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 【答案】10 【分析】根据两个二次根式可以合并可知被开方数相同，从而得到方程求解即可． 【详解】∵与能够合并， ∴n=2，， ∴． ∴ 故答案为：10． 【点睛】本题考查了同类二次根式，明确同类二次根式的概念是解题的关键． 11．（23-24八年级上·上南中学·期中）二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 12．（23-24八年级上·市西中学·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 二次根式有意义的条件 13．（23-24八年级上·上海静安·期中）二次根式有意义，则x满足的条件是 ； 【答案】/ 【分析】二次根式有意义的条件为：二次根式中的被开方数是非负数；本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得 即满足的条件是 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海普陀·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量的范围，根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，解得：且． 故答案为：且． 16．（23-24八年级上·上海闵行·期中）等式有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式成立的条件以及解不等式，根据二次根式成立的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得：，解得：， 则的取值范围是， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海宝山·期中）当 时，有意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 19．（23-24八年级上·上海崇明·期中）当 时，二次根式在实数范围内有意义． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，解题的关键是利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：要使有意义，则： ， 解得：， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·上海松江·期中）要使式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下需要大于等于0，即可解答． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数有意义的条件，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 23．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴式子有意义，则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题的关键． 24．（22-23八年级上·上海徐汇·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，结合，得到，化简即可． 【详解】∵是二次根式，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 25．（21-22八年级上·上海奉贤·期中）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的定义得出答案． 【详解】解：二次根式有意义，故2x≥0， 则x的取值范围是：x≥0． 故答案为：x≥0． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 利用二次根式的性质化简 26．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列等式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简． 【详解】解：A.，错误，故本选项不符合题意． B．，正确，故本选项符合题意． C．，当时，，错误，故本选项符合题意． D．是最简二次根式，不能化简，错误，故本选项不符合题意． 故选∶B． 27．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案． 【详解】解：， 故答案为： 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 29．（23-24八年级上·上海静安·期中）化简： ． 【答案】 【分析】利用最简二次根式定义解答即可；此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴原式 故答案为：． 30．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）化简：= 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案，掌握二次根式的运算性质是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 31．（23-24八年级上·上海闵行·期中）、、是的三条边，化简 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，三角形三边关系的应用，正确去掉根号是解答本题的关键． 根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知． 【详解】解：由已知得， ， ， ， 、、是的三条边， 原式， 故答案为：． 32．（23-24八年级上·上海长宁·期中）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，据此化简作答即可，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 33．（23-24八年级上·上海崇明·期中）的有理化因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理化因式，根据二次根式的性质，即可求得有理化因式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】的有理化因式是， 故答案为：． 34．（23-24八年级上·上海崇明·期中）化简： . 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先把原式化为，再化简即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 35．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：已知，求的值 【答案】， 【分析】先将的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 【详解】解：  ，     ∴．     原式                .     当时，原式=. 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 单选题 36．（22-23八年级上·上海静安·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得． 【详解】解：由题意得，，则， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简． 37．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件求出， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 38．（21-22八年级上·上海嘉定·期中）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．选项中，由，则没有实数根； B．选项中，由，，可知无解； C．选项中，根据二次根式的性质可知，可知方程有实数解； D．选项中，根据二次根式的和为非负数，可知方程无实数根． 【详解】解：， ， ， 没有实数根， ∴A选项不符合题意； ， ，， ，， ∴无解， ∴B选项不符合题意； ， ， ∴C选项符合题意； ， ，， 此方程无实数根； ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解无理方程，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 填空题 39．（23-24八年级上·上海崇明·期中）关于的方程，当k 时，方程无实数解． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确理解二次根式的性质是解题的关键．先将方程变形为，再根据二次根式的性质，即可列出不等式，即得答案． 【详解】， ， ， 要是方程无实数解，则， ． 故答案为：． 40．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知，求的取值范围 【答案】 【分析】根据二次根式性质先化简，再由去绝对值的代数意义分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，，原式，不合题意； 当时，，原式，符合题意； 当时，，原式，不合题意； 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式性质及去绝对值运算，熟记二次根式性质及绝对值代数意义是解决问题的关键． 41．（22-23八年级上·上海青浦·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】将原式变形，判断与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出x的解集． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型． 42．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题． 【详解】解：，，是两两不相等的实数且满足， 又， ，，，， 原式． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出，，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型． 43．（22-23八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： . 【答案】 【分析】先提取，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键． 44．（22-23八年级上·上海宝山·期中）当x 时，代数式有意义． 【答案】 【分析】 根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是要注意x应同时满足这两个条件． 45．（21-22八年级上·上海浦东新·期中）已知方程组，那么的值是 ． 【答案】6 【分析】把方程因式分解得到，把第一个方程代入即可求解． 【详解】解：由因式分解得到， 将代入可得：， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了 解二元一次方程组、二次根式的应用和因式分解，将方程分解变形为是解题的关键． 解答题 46．（23-24八年级上·市西中学·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先化简，再化简原式即可得出答案； （3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 47．（22-23八年级上·上海静安·期中）设，化简：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将根号下式子因式分解，再利用的取值范围和二次根式的性质，即可化简． 【详解】解：， ， ， ， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 48．（22-23八年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法，注意a、b取值范围是解题关键． 49．（22-23八年级上·上海静安·期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可； （2）由可得，再变形处理即可． 【详解】（1）与有关系，与无关系．理由如下： ，与无关系； ，与有关系； ， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 两边平方，再整理得：， 继续平方，得：， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了考查了二次根式的化简求值：．也考查了绝对值的含义以及代数式的变形能力． 50．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件判出断，然后通过运算法则计算即可． 【详解】解：由可知 ，， 原式= = = ， 原式= 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法以及二次根式的性质，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，并熟悉运算法则是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$