第12章 一次函数知识归纳与题型突破（单元复习 19类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十二章 一次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、常量与变量 1、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 2、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 二、函数 1、定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的没一个确定的值，y都有唯一确 2、函数值：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 3、函数的三种表盘是方法 （1）列表法：列出有限的对应数值； （2）解析法：将两个变量之间的数量关系用一个式子表示出来； （3）图像法：将每对对应值作为一个点的坐标在平面直角坐标系中标出； 三、一次函数 1、定义：一般地，形如（）的函数，叫做一次函数； 当时，（）叫做正比函数. 2、一次函数的图象与性质 四、用待定系数法确定一次函数解析式的步骤： 1、设：设出含有待定系数的函数表达式； 2、代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出方程（组）； 3、解：解方程（组），求出待定的系数； 4、将所求的待定系数的值代回所设的表达式. 03 题型归纳 题型一　常量与变量 例1. （23-24八年级上·贵州贵阳·期末）标准体重是衡量身体健康状况的一项指标．男性标准体重与身高之间的关系式为：，下列关于与的说法正确的是（    ） A．为常量，为变量 B．与都为常量 C．为变量，为常量 D．与都为变量 【答案】D 【分析】本题考查函数关系式、常量与变量，利用定义判断常量与变量、自变量与函数是本题的关键．根据会发生变化的量为变量，不会发生变化的量是常量，据此即可作答． 【详解】解：∵男性标准体重与身高之间的关系式为：， ∴身高会发生变化，体重也会发生变化 ∴与都为变量 故选：D 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：根据题意，可知5是常量，a是变量， 故选：C． 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（    ） A．10、都是常量 B．10、都是变量 C．10是常量，是变量 D．10是变量，是常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量的定义，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案． 【详解】解：由题意得：10是常量，是变量， 故选：C． 题型二　自变量与因变量 例2．（23-24七年级下·山东青岛·期中）用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量； ②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量； ③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量； ④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量； ⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量． 其中正确的说法有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量．根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：①长方形的周长一定，长和宽均可改变，是两个变量， ①正确； ②铁丝的长度一定，即长方形的周长一定，是常量， ②不正确； ③长方形的周长一定，它的宽会随长的改变而改变， ③正确； ④长方形的周长一定，它的长会随宽的改变而改变， ④正确； ⑤长方形的周长一定，当它的长改变时，宽也随之改变，故它的面积也会随之改， ⑤正确． 综上，正确的说法有4个，分别是①③④⑤． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）小区收取电费的标准是元/千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（  ） A．是自变量，元/千瓦时是因变量 B．元/千瓦时是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量，元/千瓦时是常量 【答案】D 【分析】本题考查了自变量、因变量和常量的定义，熟练掌握自变量、因变量和常量的定义是解题的关键．根据自变量、因变量和常量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，不变的量是元/千瓦时，变换的量是和， 又由随着的变化而变化， 所以是自变量，是因变量，元/千瓦时是常量， 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 0 10 20 30 声速（） 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是声速，因变量是温度 B．温度越低，声速越快 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】C 【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断A；通过观察表格数据即可判断BC；根据计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D；掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，故本选项错误，不符合题意； B、温度越高，声速越快，故本选项错误，不符合题意； C、当温度每升高时，声速增加，故本选项正确，符合题意； D、当空气温度为时，声音每秒可以传播，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．是常量 C．S是自变量 D．S，，r都是变量 【答案】B 【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解． 【详解】解：A选项，是自变量，故A选项错误，不符合题意； B选项，是常量，故B选项正确，符合题意； C选项，是因变量，故C选项错误，不符合题意； D选项，是常量，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型三　确定自变量取值范围 例3. （2024九年级下·云南·学业考试）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）在关系式中，自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了函数自变量有意义的条件，根据关系式中不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：，     故选：． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【详解】因为， 所以． 又因为， 所以， 所以自变量x的取值范围为． 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 题型四　求自变量的值或函数值 例4. （23-24八年级下·河南漯河·期末）当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入中计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：D． 巩固训练 1. （2024·山西·三模）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量或函数值，先将T值代入中求得c值，再将c值代入中求解即可． 【详解】解：由题意，将代入中，得， 将代入中，得， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    【答案】70 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键．把代入，如果结果大于12就输出，如果结果不大于12，就再算一次． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 输出因变量． 故答案为：70． 3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是，则输出y的值是3，若输入x的值是3，则输出y的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了函数值，正确得出的值是解题关键．直接利用已知代入得出的值，进而求出输入3时，得出的值． 【详解】解：当输入的值是，输出的值是3， ， 解得：， 故输入的值是3时，． 故答案为：1 题型五　函数图象的识别 例5. （23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象的知识点，根据圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式，正确理解函数的图象是解题的关键． 【详解】由于圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的，可知， 只有选项适合均匀升高这个条件， 故选：． 巩固训练 1. （22-23八年级下·贵州黔南·期末）王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据题意判断每段线段的情况，选择答案即可，正确理解题意和函数图象横纵坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园， ∴图形第一段应是和连线的线段， ∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中， ∴图形第二段是水平线段经过分钟， ， ∴第三段是第二段末尾和连线的线段， ∴图形表示符合的是D， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）如图所示各曲线中表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的意义，解题的关键是理解函数的意义； 根据给定一个的值，有唯一一个值与之对应进行判断即可； 【详解】解：根据给定一个的值，有唯一一个值与之对应进行判断， ，，选项给定一个的值，都有唯两个值，不符合题意； 选项给定一个的值，有唯一一个值与之对应， 故选：D 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、C、D对于的任何值，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义， B对于部分的值，的值不是唯一的，不符合函数的定义， 故选：B． 题型六　从函数图象上获取信息 例6．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，乙到达A地后立即返回B地，两人与A地的距离s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两人在途中两次相遇的间隔时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车两次相遇的时间，然后作差即可． 【详解】解：标记相关点，如图，由题意知为乙关系图，线段为甲关系图， 由图知，乙从B到A地用时，返回一样用时， 甲从A到B地用时， 设A、B两地的距离为， 则乙速度，甲速度， 设时，甲、乙第一次相遇，两者相向而行， 则有， 解得； 设时，甲、乙第二次相遇， 由图知，时，乙到达A地，此时甲距离A地， 时，两者同向而行， 则有， 解得； ∴，即甲、乙两人在途中两次相遇的间隔时间为， 故选：B 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）从长沙向北京打长途电话，设通话时间x（分钟），需付电话费y（元），通话3分钟以内（包括3分钟）收费3.6元，请你根据图中y与x的变化图象，判断下列结论不正确的是（    ） A．通话时间为2分钟时，应付电话费3.6元 B．通话时间为6分钟时，应付电话费7.2元 C．当通话时间超过3分钟时，每分钟电话费为1.2元 D．当通话时间为分钟时，y与x之间的关系式是 【答案】D 【分析】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，特别注意题干中的条件“通话3分以内话费为3.6元”的意义， 仔细观察函数图象，根据通话5分钟所需话费6元，通话3分以话费为3.6元求出当超过3分钟时，每分钟收费元，再结合图象上得出结论． 【详解】由函数图象可以直接得到，通话2分钟需要付话费3.6元．故选项A结论正确； 由函数图象可以直接得到，通话5分钟需要付话费6元； 当超过3分钟时，每分钟收费元， 故选项C结论正确； 故当通话时间为分钟时，y与x之间的关系式是，故结论D错误， 故通话时间为6分钟时，应付电话费元，故结论B正确， 故选：D． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走，设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示．下列结论正确的个数是（    ） （1）时，；（2）甲的速度是30米/分；（3）时，；（4）乙到达终点时甲距离终点还有450米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是正确分析图象中的数据． 由图象可判断（1）；利用前5分可求出甲的速度，即可判断（2）；根据乙追上甲是两人行走的路程相等列方程求解即可判断（3）；求出乙到达终点所用的时间，进而列式即可求出甲到终点的距离，即可判断（4）． 【详解】由图象可得，当时，，故（1）正确； 甲的速度为（米/分），故（2）正确； 根据题意得，当乙追上甲时， 解得 ∴当时，，故（3）正确； 乙到达终点用时（分） ∴此时甲离终点的距离为（米），故（4）正确； 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示． 下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇 ②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙的速度的一半 其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲出发1小时后，甲、乙两人的距离为0可判断①；由函数图象可知，甲从A到B的时间为3小时，且A与B之间的距离为120千米，可求出甲的速度，进而求出乙的速度，据此可判断②③④． 【详解】解：由函数图象可知，甲出发1小时后，甲、乙两人的距离为0， ∴出发1小时时，甲、乙在途中相遇，故①正确； 由函数图象可知，甲从A到B的时间为3小时，且A与B之间的距离为120千米， ∴甲的速度为千米/小时， ∴乙的速度为千米/小时， ∴出发小时时，乙比甲多行驶了千米，甲的速度是乙的速度的一半，乙到达终点的时间是小时，故②④正确，故③错误； 故选：C． 题型七　动点问题的函数图象 例7. （2024·江苏徐州·模拟预测）正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可． 【详解】解：由题可得：正方形面积为：， ， 最大重合面积为， B选项，不符合题意； 正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动， 最后的重合面积为0， C、D不符合题意；A选项符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（2024·河南·模拟预测）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 过点作，由三角形面积公式求出，由图可知当时，点与点重合，则，可得出答案． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，此时， 过点作于， 由三角形面积公式得：， 解得， ， 由图可知当时，点与点重合， ， 矩形的面积为 故选B． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，点P从长方形的顶点D出发，沿D→C→B→A路线以每秒的速度运动，运动时间x和的面积y之间构成的函数的图象如图2所示，则长方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据图2可知，当运动时间为4时，点P运动到点C处，当运动时间为7时，点P运动到点B处，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：由图2得，当运动时间为4时，点P运动到点C处， ∴， 当运动时间为7时，点P运动到点B处， ∴， ∴长方形的面积， 故答案为：12． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知动点从点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点的运动时间的图象如图②所示，且．当时， 秒． 【答案】3或14/14或3 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点P的速度，可得的长；再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴； 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒， ∴； 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点C重合时，， ∴当时，点在上或运动， ∴或， 解得：或14． 故答案为：3或14． 题型八　函数的三种表示方法 例8. （23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系． 海坺高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 −4 −10 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是_____________；因变量是_____________； (2)写出气温与海拔高度的表达式：_____________； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ (4)当气温是时，求海拔高度是多少？ 【答案】(1)海坺高度，气温 (2) (3) (4)海拔高度是15千米 【分析】本题考查了函数关系式，根据表格找出两个变量的变化规律是解题的关键． （1）根据表格中即可解答； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中，进行计算即可解答； （4）把代入中，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：观察表格可得：自变量是海坺高度；因变量是气温． 故答案为：海坺高度，气温； （2）解：观察表格可得：由每增加1千米，气温就下降， 可得， 气温与海拔高度的关系式：， 故答案为：； （3）解：当时，即， 答：气温是； （4）解：当时，即， 解得：， 答：海拔高度是15千米． 巩固训练 1. （23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，自变量是 ， 因变量是 ； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【答案】(1)放水时间，水池中剩余水量 (2) (3)25分钟 【分析】本题考查了用表格和关系式表示两个变量间的关系，熟练掌握自变量、因变量、准确找出数据的关系列出表达式是解题的关键； （1）根据自变量和因变量的定义知水池中剩余水量y随着放水时间t的变化而变化，即可得出答案； （2）根据表格数据得出每分钟放水量，即可得出关系式； （3）将代入关系式中求值即可得出答案． 【详解】（1）解：水池中剩余水量随着放水时间的变化而变化， 在这个变化过程中，自变量是放水时间，因变量是水池中剩余水量． 故答案为：放水时间；水池中剩余水量． （2）从表格可知：1分钟时，蓄水池还剩48立方米；2分钟时，蓄水池还剩46立方米， 蓄水池每分钟放水2立方米， 水池中剩余水量y与放水时间t的关系式：； （3）将代入， ， 解得：． 答：当放水25分钟时，水池的水恰好全部放完． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，圆柱的高是，底面半径是，体积是，当r由小到大变化时，V也随之发生了变化． (1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______． (2)体积V与底面半径r的关系式为_______． (3)当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？ 【答案】(1)底面半径（或r），体积（或V） (2) (3) 【分析】本题考查变量之间的关系，理解自变量与因变量的定义是解题关键． （1）根据常量和变量的定义来判断自变量、因变量和常量； （2）圆柱体的体积等于底面积乘以高，底面积等于乘以半径的平方，将它用含有V和r的关系式表达出来即可； （3）利用圆柱的体积计算方法计算增加的体积即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义可知，对于底面半径的每个值，体积按照一定的法则有一个确定的值与之对应，所以自变量是：半径，因变量是：体积． （2）解：根据圆柱体的体积计算公式：． （3）解：体积增加了． 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 题型九　一次函数的识别 例9. （23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数，熟练掌握定义是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：①，当时，不是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 所以是一次函数的有2个． 故选：B． 巩固训练 1. （22-23七年级上·全国·单元测试）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的定义，对于一次函数，当时，该函数为正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、该函数是一次函数，也是正比例函数，故该选项不符合题意； B、该函数不是一次函数，也不是正比例函数，故该选项不符合题意； C、该函数是一次函数，不是正比例函数，故该选项符合题意； D、该函数不是一次函数，也不是正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数． 故选：B 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义条件进行注意分析即可． 【详解】①，属于正比例函数，是一次函数的特殊形式，故本选项符合题意； ②，自变量次数是2，不是一次函数，故本选项不符合题意； ③，符合一次函数的定义，故本选项符合题意； ④，分母中含有自变量，不符合一次函数的定义，故本选项不符合题意； 综上所述：符合题意的有①③， 故选：B． 题型十　正比例函数的图象与性质 例10. （23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1. （23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则直线经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据正比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴正比例函数图象的经过第一、三象限， 故选：． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数的图像经过点和点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求得解析式是解题的关键． 设正比例函数表达式为，将点代入正比例函数表达式为，得出，则，再将点代入，即可求解． 【详解】解：设正比例函数表达式为，将点代入， 解得，则， 将点代入， 得，解得． 故选：B． 3．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．图象是经过第一、第二象限的一条直线 C．图象向上平移1个单位长度后得到直线 D．点在其图象上 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．要判断一点是否在直线上，只需把点的坐标代入，看是否满足解析式．根据正比例函数图象的性质即可进行解答． 【详解】解：A、，随的增大而减小，不符合题意； B、图象是经过第二、第四象限的一条直线，不符合题意； C、图象向上平移1个单位长度后得到直线，符合题意； D、当时，，所以点不在其图象上，不符合题意； 故选：C． 题型十一　根据一次函数的定义求参数 例11. （23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 巩固训练 1. （24-25八年级上·全国·课后作业）若是一次函数，则k的值为（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查利用一次函数的定义求参数，根据一次函数的定义，列出方程进行求解即可，注意x的系数不能为0． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知一次函数． (1)当m、n为何值时，函数的图像过原点? (2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入解析式，且满足，解答即可． （2）根据题意，得，，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，图象的分布条件，熟练掌握分布条件是解题的关键． 【详解】（1）∵一次函数过原点， ∴，且， 解得，且． （2）根据题意，得，， 解得，． 3．（21-22八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数， (1)m，n为何值时，函数的图象经过原点？ (2)若函数图象经过第二、三、四象限，求m，n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟记一次函数过原点与经过的象限所对应的，关系是解本题的关键； （1）由一次函数过原点，可得，从而可得答案； （2）由一次函数的图象经过第二、三、四象限，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：依题意得 ， 解得 ， 因此，当时，函数的图象经过原点； （2）∵图象经过第二、三、四象限，则， 解得：． 题型十二　判断一次函数的图象 例12. （22-23八年级下·吉林白山·阶段练习）下列选项中，是一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况：当函数的图象经过第一、二、三象限；当函数的图象经过第一、三、四象限；当函数的图象经过第一、二、四象限；当函数的图象经过第二、三、四象限． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据、同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：A．由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； B． 由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； C． 由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确； D． 由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； 故选C． 巩固训练 1. （23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判定正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据一次函数，得到与y轴交点为，与x轴的交点为，结合，判断即交点位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的知识，解题的关键在根据一次函数的图像得出和的符号． 根据k和b的符号分情况讨论直线和经过的象限，据此即可得出答案． 【详解】解：①当，时，直线：在第一、三、四象限，直线：在第一、二、三象限； ②当，时，直线：在第一、二、三象限，直线：在第一、二、四象限； ③当，时，直线：在第二、三、四象限，直线：在第二、三、四象限； ④当，时，直线：在第一、二、四象限，直线：在第一、三、四象限； 综上所述，D选项符合③． 故选：D 题型十三　一次函数的性质 例13. （23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）关于一次函数的描述，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数 C．图象与x轴的交点坐标为 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平移变换与坐标变化，利用一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴一次函数经过一、二、三象限，且函数值随自变量的增大而增大， 故A 、D错误，不合题意； 一次函数向下平移3个单位，可得到， 故B正确，符合题意； 把代入得，图象与轴的交点坐标为 故C错误，不合题意． 故选：B． 巩固训练 1. （22-23八年级上·甘肃定西·开学考试）已知函数． (1)若函数的图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值； (3)若这个函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)1 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件; （1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可； （3）根据题意列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围． 且， ， 的取值范围是． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x 的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为，利用增减性求得最大值即可． 【详解】（1）函数是一次函数， ，解得， ， ； （2）将代入得一次函数解析式为， ∴随的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知关于的一次函数． (1)当随的增大而增大时，求的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得： （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时， 题型十四　比较一次函数值的大小 例14. （24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）已知点都在直线上，则为的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 根据一次函数的性质，得y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小 ∵，且点，，都在直线上 ∴ 故选A． 巩固训练 1. （24-25九年级上·吉林长春·开学考试）已知点，，都在直线上，则₁，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出随着的增大而增大，结合即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 【答案】(1)< (2)> (3)> 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． （1）（2）（3）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y的值随x的值增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴y的值随x的值增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：； （3）∵，， ∴y的值随x的值增大而增大， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知是直线（b为常数）上的三个点，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质，根据一次函数判断出y随x的增大而减小．即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴． 题型十五　求一次函数解析式 例15. （23-24八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，设一次函数的解析式为，把点和代入进行求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． 巩固训练 1. （23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知y与成正比例关系，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式，并画出函数图象； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与解析式，解题的关键是： （1）根据题意，可设，代入，，可求出k的值，进一步即可确定函数解析式，根据解析式即可画出函数图象； （2）将代入（1）中的解析式，即可求出y的值． 【详解】（1）解：∵y与成正比例关系， 设，， 当时，，可得， 解得， ∴， 函数图象如图所示： （2）解：当时，． 2．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知在平面直角坐标系中，有两点，点． (1)求出直线的解析式． (2)试判断点是否在此直线上？ 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点在直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征： （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）计算自变量为时，函数值为，于是可判断点是否在此直线上． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点，点分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， 点在直线上． 3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质； （1）将点代入关系式，求出，即可求解； （2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解； 掌握一次函数的性质，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； （2）当时，即随x的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：， ∴函数表达式为； 当时，即随x的增大而减小， ∴当时，，即， 解得：， ∴函数表达式为； 综上所述，函数表达式为或． 题型十六　一次函数图象平移问题 例16. （2024·湖南娄底·模拟预测）将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，掌握在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为，即． 故选：C． 巩固训练 1. （22-23八年级上·全国·单元测试）若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点的坐标代入一次函数解析式计算即可得解．本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一次函数解析式的k值是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数 的图象与直线 平行， ∴， ∵一次函数过点 ∴ 解得， ∴一次函数解析式为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C． D．随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象平移等知识，先由一次函数图象的平移得到直线解析式，结合一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象平移及一次函数的图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后得到直线， 平移后的直线为， A、， 直线过第一、二、三象限，选项说法错误，不符合题意； B、当时，，解得，则直线与x轴交于，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、， 直线的性质是随的增大而增大，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次图像的平移等知识，结合题意确定平移后的新直线解析式是解题关键．设直线与轴交于点，与交于点，根据题意可得，，，并确定点的坐标，结合平移的性质可得新的直线解析式，并确定新的直线经过点，然后根据求解即可． 【详解】解：如下图，设直线与轴交于点，与交于点， ∵四边形为正方形，点的坐标分别为、 ∴，，， 对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵将直线沿轴向左平移个单位， ∴新的直线解析式为， 令，可得， ∴新的直线经过点， ∴直线扫过正方形的面积． 故选：D． 题型十七　一次函数与不等式 例17. （24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 利用函数图象，写出图像在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式的解集是． 故答案为． 巩固训练 1. （24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据函数图像直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图像可知：不等式的解集为． 故答案为：． 2．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解． 【详解】∵直线经过点， 将代入，则， ∴与的交点为， 又 ∴观察图形可知，使的x的值为． 故答案为： 3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 题型十八　一次函数与二元一次方程（组） 例18. （2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标特征，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【详解】∵直线与的交点的坐标为， ∴把代入中，可得， ∴方程组的解是， 故答案为：． 巩固训练 1. （22-23八年级上·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 【详解】解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 2．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：一次函数与交于点， 则关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象交于点P，则点P坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．根据一次函数与二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：解方程组得：， ， 故答案为：． 题型十九　一次函数的应用 例19. （2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名 (2)6 (3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元 【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可； （2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答； （3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答． 【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名， ， 解得：， ∴， 答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名； （2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名， ∴汽车总数不超过6辆， ∵要保证所有师生都有车坐， ∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆， ∴共需租车6辆， 故答案为：6． （3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆， ， 解得：， ∵a为整数， ∴或， 方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆； 方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆； 设租车费用为y元， ， ∵， ∴y随a的增大而增大， ∴当时，y最小，， 综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式． 巩固训练 1. （2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2880元 (2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 2．（2023·江苏·中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．    (1)请解释图中点的实际意义； (2)求出图中线段所表示的函数表达式； (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 (2) (3)小时 【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解； （2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有 （2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为， 此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为， ∴ 设直线的表达式为 ∴ 解得： ∴直线的表达式为 （3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则， 解得： ∴甲乙两地的距离为千米， 设快车返回的速度为千米/小时，根据题意， 解得：， ∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时） 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键． 3．（22-23八年级下·北京东城·期中）如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，B点的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出时自变量x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且满足的面积是面积的一半，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数的解析式； （2）图象法进行求解即可； （3）分点在轴正半轴和负半轴，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵B点的横坐标为1，点在正比例函数的图象上， ∴时，，即：， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知， 当时，直线在直线的下方， ∴时自变量x的取值范围为：； （3）解：∵，， ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴； 设直线与轴的交点为点，当时，， ∴， 设， 当点在轴正半轴上，①点在之间时： 则 ， ∴，即点坐标为； ②点在点上方时， 则 ， ∴，即：点坐标为； 当点在轴负半轴上时， 则： ， ∴（不合题意，舍掉） 综上：点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 一次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、常量与变量 1、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 2、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 二、函数 1、定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的没一个确定的值，y都有唯一确 2、函数值：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 3、函数的三种表盘是方法 （1）列表法：列出有限的对应数值； （2）解析法：将两个变量之间的数量关系用一个式子表示出来； （3）图像法：将每对对应值作为一个点的坐标在平面直角坐标系中标出； 三、一次函数 1、定义：一般地，形如（）的函数，叫做一次函数； 当时，（）叫做正比函数. 2、一次函数的图象与性质 四、用待定系数法确定一次函数解析式的步骤： 1、设：设出含有待定系数的函数表达式； 2、代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出方程（组）； 3、解：解方程（组），求出待定的系数； 4、将所求的待定系数的值代回所设的表达式. 03 题型归纳 题型一　常量与变量 例1. （23-24八年级上·贵州贵阳·期末）标准体重是衡量身体健康状况的一项指标．男性标准体重与身高之间的关系式为：，下列关于与的说法正确的是（    ） A．为常量，为变量 B．与都为常量 C．为变量，为常量 D．与都为变量 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东河源·期末）王司机到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．金额和数量 D．单价 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（    ） A．10、都是常量 B．10、都是变量 C．10是常量，是变量 D．10是变量，是常量 题型二　自变量与因变量 例2．（23-24七年级下·山东青岛·期中）用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量； ②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量； ③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量； ④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量； ⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量． 其中正确的说法有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）小区收取电费的标准是元/千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（  ） A．是自变量，元/千瓦时是因变量 B．元/千瓦时是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量，元/千瓦时是常量 2．（23-24八年级下·河南南阳·期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 0 10 20 30 声速（） 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是声速，因变量是温度 B．温度越低，声速越快 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（    ） A．r是因变量 B．是常量 C．S是自变量 D．S，，r都是变量 题型三　确定自变量取值范围 例3. （2024九年级下·云南·学业考试）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）在关系式中，自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A． B． C．且 D． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 题型四　求自变量的值或函数值 例4. （23-24八年级下·河南漯河·期末）当时，函数的值是（    ） A．1 B． C． D． 巩固训练 1. （2024·山西·三模）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x的值为5，则输出的因变量y的值为 ．    3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是，则输出y的值是3，若输入x的值是3，则输出y的值是 ． 题型五　函数图象的识别 例5. （23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 巩固训练 1. （22-23八年级下·贵州黔南·期末）王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）如图所示各曲线中表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 题型六　从函数图象上获取信息 例6．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，乙到达A地后立即返回B地，两人与A地的距离s（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两人在途中两次相遇的间隔时间为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）从长沙向北京打长途电话，设通话时间x（分钟），需付电话费y（元），通话3分钟以内（包括3分钟）收费3.6元，请你根据图中y与x的变化图象，判断下列结论不正确的是（    ） A．通话时间为2分钟时，应付电话费3.6元 B．通话时间为6分钟时，应付电话费7.2元 C．当通话时间超过3分钟时，每分钟电话费为1.2元 D．当通话时间为分钟时，y与x之间的关系式是 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走，设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示．下列结论正确的个数是（    ） （1）时，；（2）甲的速度是30米/分；（3）时，；（4）乙到达终点时甲距离终点还有450米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示． 下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇 ②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙的速度的一半 其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型七　动点问题的函数图象 例7. （2024·江苏徐州·模拟预测）正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（  ） A．B．C．D． 巩固训练 1．（2024·河南·模拟预测）如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，点P从长方形的顶点D出发，沿D→C→B→A路线以每秒的速度运动，运动时间x和的面积y之间构成的函数的图象如图2所示，则长方形的面积为 ． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知动点从点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点的运动时间的图象如图②所示，且．当时， 秒． 题型八　函数的三种表示方法 例8. （23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系． 海坺高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 −4 −10 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是_____________；因变量是_____________； (2)写出气温与海拔高度的表达式：_____________； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ (4)当气温是时，求海拔高度是多少？ 巩固训练 1. （23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，自变量是 ， 因变量是 ； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，圆柱的高是，底面半径是，体积是，当r由小到大变化时，V也随之发生了变化． (1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______． (2)体积V与底面半径r的关系式为_______． (3)当底面半径由变化到时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？ 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 题型九　一次函数的识别 例9. （23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1. （22-23七年级上·全国·单元测试）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 题型十　正比例函数的图象与性质 例10. （23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 巩固训练 1. （23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则直线经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数的图像经过点和点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）关于正比例函数，下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．图象是经过第一、第二象限的一条直线 C．图象向上平移1个单位长度后得到直线 D．点在其图象上 题型十一　根据一次函数的定义求参数 例11. （23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 巩固训练 1. （24-25八年级上·全国·课后作业）若是一次函数，则k的值为（　　） A． B．3 C． D．1 2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知一次函数． (1)当m、n为何值时，函数的图像过原点? (2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限? 3．（21-22八年级下·湖南长沙·期末）已知一次函数， (1)m，n为何值时，函数的图象经过原点？ (2)若函数图象经过第二、三、四象限，求m，n的取值范围． 题型十二　判断一次函数的图象 例12. （22-23八年级下·吉林白山·阶段练习）下列选项中，是一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）的图象的是（    ） A．B． C． D． 巩固训练 1. （23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型十三　一次函数的性质 例13. （23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）关于一次函数的描述，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数 C．图象与x轴的交点坐标为 D．函数值随自变量的增大而减小 巩固训练 1. （22-23八年级上·甘肃定西·开学考试）已知函数． (1)若函数的图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值； (3)若这个函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x 的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知关于的一次函数． (1)当随的增大而增大时，求的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若，当时，求的取值范围． 题型十四　比较一次函数值的大小 例14. （24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）已知点都在直线上，则为的大小关系是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1. （24-25九年级上·吉林长春·开学考试）已知点，，都在直线上，则₁，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知是直线（b为常数）上的三个点，则的大小关系是 ． 题型十五　求一次函数解析式 例15. （23-24八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式． 巩固训练 1. （23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知y与成正比例关系，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式，并画出函数图象； (2)当时，求y的值． 2．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知在平面直角坐标系中，有两点，点． (1)求出直线的解析式． (2)试判断点是否在此直线上？ 3．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式； 题型十六　一次函数图象平移问题 例16. （2024·湖南娄底·模拟预测）将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1. （22-23八年级上·全国·单元测试）若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C． D．随的增大而减小 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十七　一次函数与不等式 例17. （24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 巩固训练 1. （24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．    2．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 题型十八　一次函数与二元一次方程（组） 例18. （2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 巩固训练 1. （22-23八年级上·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 2．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象交于点P，则点P坐标为 ． 题型十九　一次函数的应用 例19. （2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 巩固训练 1. （2023·山东青岛·中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 2．（2023·江苏·中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．    (1)请解释图中点的实际意义； (2)求出图中线段所表示的函数表达式； (3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 3．（22-23八年级下·北京东城·期中）如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，B点的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式； (2)请直接写出时自变量x的取值范围； (3)若点P在y轴上，且满足的面积是面积的一半，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$