第12章 一次函数易错训练与压轴训练（5类易错+4类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十二章 一次函数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对函数的定义理解不透彻 1 易错题型二　确定自变量取值范围时忽略分母不能为0 4 易错题型三　忽视一次函数定义中的隐含条件 7 易错题型四　忽视分类或分类不全 7 易错题型五　忽视一次函数的性质 7 压轴题型一 根据一次函数的图象与性质求字母的取值范围 13 压轴题型二　根据一次函数的图象解方程、不等式的有关问题 15 压轴题型三　根据一次函数的图象特点求解面积问题 17 压轴题型四　根据一次函数的增减性解方案设计问题 19 02 易错题型 易错题型一　对函数的定义理解不透彻 例1． （23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数概念； 对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A.对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； B.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； C.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； D.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）下列式子中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定惟一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、中，对于的每一个确定的值，不是有唯一的值与其对应，故y不是x的函数，符合题意； B、中，对于的每一个确定的值，是有唯一的值与其对应，故y是x的函数，不符合题意； C、中，对于的每一个确定的值，是有唯一的值与其对应，故y是x的函数，不符合题意； D、中，对于的每一个确定的值，是有唯一的值与其对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据以下特征进行判断即可：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：①是的函数； ②，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数； ③是的函数； ④是的函数； 所以其中是的函数的个数是3， 故选：C． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列四个等式中，不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，明白“在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数”是解题的关键． 【详解】解：A．，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； B．，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； C．，对于的每一个取值，不都有只有唯一确定的值与之对应，例如，，故不是的函数，此项符合题意； D．，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意． 故选：C． 易错题型二　确定自变量取值范围时忽略分母不能为0 例2．（22-23八年级下·四川内江·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】由可得： ， 解得：且． 故答案为：且． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川巴中·期末）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，解一元一次不等式；根据有意义的条件正确列式不等式是解题的关键． 根据分式的分母不等于0得到，根据二次根式的被开方数大于等于0得到，求解即可． 【详解】由题意得：且 解得且 故答案为：且 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 根据二次根式的被开方数不小于零，分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）函数的自变量的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查求函数自变量的取值范围，根据算术平方根的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得： 故答案为：. 易错题型三　忽视一次函数定义中的隐含条件 例3. （23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 巩固训练 1. （22-23八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：2． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的性质．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 易错题型四　忽视分类或分类不全 例4. （22-23八年级下·四川广安·期末）已知一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质．当，y随x的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴下方，根据函数的图象不经过第二象限进行判断即可． 【详解】解：∵函数的图象不经过第二象限， ∴，， 解不等式组得：， 故选：D． 巩固训练 1. （24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴， 解得,， ∴； 故答案为：或． 2．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）一次函数．当时，，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，代数式求值，分和两种情况解答求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，的值随的增大而增大， ∴，；，， ∴， 解得， ∴； 当时，的值随的增大而减小， ∴，；，， ∴， 解得， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 3．（22-23九年级上·上海·阶段练习）若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图像与系数的关系、解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据题意得到，解之即可求出答案． 【详解】解：一次函数的图像不经过第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 易错题型五　忽视分类或分类不全 例5. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟记此关系是解题的关键． 根据已知条件函数值y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0 ，然后解得即可． 【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：C． 巩固训练 1. （22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）一次函数与（m，n为常数，且），在同一平面直角坐标系的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，根据一次函数图像判断出m，n的正负，根据正比例函数图像判断出的正负，再做判断即可． 【详解】解： A、一次函数图像；正比例图像，与一次函数图像矛盾，不符合题意； B、一次函数图像；正比例函数图像，与一次函数图像矛盾，不符合题意； C、一次函数图像，正比例函数图像，成立，符合题意； D、一次函数图像，正比例函数图像，与一次函数图像矛盾，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知一次函数的图象不经过三象限，则k、b的符号是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数经过的象限判定系数的正负．根据不经过第三象限即可求解，当时也成立． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过三象限， ∴． 故选：A． 3．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）已知经过点的直线不经过第四象限，设，则s的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而得到，从而求得s的取值范围． 【详解】解：∵过点的直线不经过第四象限， ∴， 将代入直线,则，即, ∴，解得：， ∴， 当时，；当时，， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点，求出s与a的函数关系式及a的取值范围是解答本题的关键． 03 压轴题型 压轴题型一　根据一次函数的图象与性质求字母的取值范围 例1. （22-23八年级下·吉林白山·阶段练习）已知一次函数，当a，b为何值时： (1)y随x的增大而增大； (2)图象经过第二、三、四象限； (3)图象与y轴的交点在x轴上方． 【答案】(1)，b为任意实数 (2)且 (3)且 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质时解题的关键． （1）对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，所以令，即可解得答案； （2）对于一次函数，当时，图象经过第二、三、四象限，所以令，即可解得答案； （3）对于一次函数，当时，图象与y轴的交点在x轴上方，所以令，即可解得答案． 【详解】（1）解：令， 则， 当时，y随x的增大而增大；b为任意实数； （2）解：根据题意，可知， 解得， 当且时，图象经过第二、三、四象限； （3）解：根据题意，可知，且， 解得，且， 当且时，图象与y轴的交点在x轴上方． 巩固训练 1. （23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）已知函数． (1)若函数图象与x轴交于点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求m的值； (3)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）将代入函数解析式得出，计算即可得出答案； （2）根据平行的两直线的斜率相同得出，计算即可得出答案； （3）根据该函数图象不经过第二象限得出，，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：∵函数图象平行于直线， ∴， 解得：； （3）解：∵该函数图象不经过第二象限， ∴，， 解得：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数 (1)填空：若函数图象经过原点，则的值为______ (2)是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求的取值范围． (3)是一次函数，且y随x的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）由函数图象经过原点得出，求解即可得出答案； （2）由题意得出，计算即可得出答案； （3）由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限， ∴， 解得：； （3）解：∵函数是一次函数，且y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围； (4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围； (5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式组，解一元一次方程， （1）根据题意得，，进行计算即可得； （2）根据题意得，，进行计算即可得； （3）根据题意得，，进行计算即可得； （4）根据题意得，，进行计算即可得； （5）分布情况考虑：①当函数图象经过第一、三、四象限时，得，进行计算得不等式组的解集为：；②当函数图象经过第一、三象限时，得，进行计算得，即可得； 掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，； （2）解：根据题意得，， 解得，； （3）解：根据题意得，， 解得，； （4）解：根据题意得，， 解得，； （5）解：分布情况考虑： ①当函数图象经过第一、三、四象限时，得 ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：； ②当函数图象经过第一、三象限时，得 ， 解不等式①，得， 解等式②，得， 解得，， 综上，m的取值范围为：． 压轴题型二　根据一次函数的图象解方程、不等式的有关问题 例2. （23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 巩固训练 1. （24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． (1)求a，b的值； (2)方程组的解为________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组的关系． （1）把点代入求得，再把点代入求解即可； （2）根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，方程组的解为两条直线的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， 把点代入得，， ∴， ∵一次函数的图象经过点， 把点代入得，， 解得； （2）解：方程组变形为， 由图可得，方程组的解为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线交于点． (1)求m的值； (2)方程组的解是________； (3)若直线与直线平行，且经过点，直接写出直线的表达式． 【答案】(1)4； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）直接把P点坐标代入可得到m的值； （2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题； （3）先利用两直线平行得到，然后利用点在直线得到n的值． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，即m的值为4． （2）解：由（1）知方程组的解是， 故答案为； （3）解：直线与直线平行， ． 又经过点， ， 直线的表达式为． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：联立，解得， ∴点的坐标为； （3）解：把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为． 压轴题型三　根据一次函数的图象特点求解面积问题 例3. （23-24八年级下·浙江金华·开学考试）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． (1)求该一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)在轴上存在点，使得，求点坐标． 【答案】(1) (2)2.5 (3)； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先把A点和B点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先确定D点坐标，然后根据进行计算． （3）先求出点的坐标，然后列方程解题即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得： ， ； （2）当 时，， ， ， ， ∴ ； （3）令，则，解得， ∴点的坐标为 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 巩固训练 1. （23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用： （1）把代入，可求出n，再把点，代入，求出k，b的值； （2）由（1）得：直线的解析式为，令，即可求解； （3）联立两函数解析式，可求出点D的坐标为，再求出点A的坐标为，然后根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点D的坐标为， 把点，代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵，点C的坐标为， ∴，， ∴四边形的面积 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图①， 一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求m的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②， 点 D 在线段上， 且与点O， C不重合， 过点 D 作轴于点E，交线段于点 F．若点 D的横坐标为4，解答下列问题： ①的长： ②若P是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①，②点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算． （1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出k的值即可； （2）①先求出点的坐标，然后即可求出的长；②先求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）解：①点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ； ② ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求的面积； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)6 (2)m的值为2或6 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的图形面积，解含绝对值的方程等知识． （1）在中，分别令，即可求得对应的值，从而得到点A、B的坐标，即可求得的面积； （2）由题意得，由已知得，即，即可求得m的值． 【详解】（1）解：在中，令，得；令，即，得， 则A、B的坐标分别为， ， 则； （2）解：点C在直线上，点C的横坐标为m， ， ， ， 即， 解得：或； 即m的值为2或6． 压轴题型四　根据一次函数的增减性解方案设计问题 例4. （23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键， （1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围； （2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 由题意得：， 即与的函数解析式为：， 由题意得：，解得：， 即自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数） ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最小， 最低为（元）， 答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元． 巩固训练 1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． (1)若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； (2)在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； (2)购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，（1）设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，根据用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，根据购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式得出，再设总费用为w元，列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； （2）解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒， 由题意得：， 解得：， 设总费用为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 此时，， 答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少． 2．（22-23八年级上·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 3．（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运肥料的费用为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． (1)设从A城运往C乡肥料x吨． ①用含x的代数式完成下表： C乡（吨） D乡（吨） A城 x B城 总计 240 260 ②设总运费为y元，写出y与x的函数关系式，并求出最少总运费； (2)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少元，这时从A城运往C乡肥料多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)当时，总运费最少，且最少的总运费为10050元． (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意得出解析式，根据解析式得出y随x的增大而增大，结合即可得出答案； （2）由题意得出解析式，结合一次函数的性质，分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：②由题意得： ． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，总运费最少，且最少的总运费为10050元． （2）解：由题意得： ． 当时，，当时，运费最少，即A城运往C乡0吨，总运费最少； 当时，，当时，运费最少，即A城运往C乡210吨，总运费最少； 当时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过210吨），总运费都是10050元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 一次函数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对函数的定义理解不透彻 1 易错题型二　确定自变量取值范围时忽略分母不能为0 4 易错题型三　忽视一次函数定义中的隐含条件 7 易错题型四　忽视分类或分类不全 7 易错题型五　忽视一次函数的性质 7 压轴题型一 根据一次函数的图象与性质求字母的取值范围 13 压轴题型二　根据一次函数的图象解方程、不等式的有关问题 15 压轴题型三　根据一次函数的图象特点求解面积问题 17 压轴题型四　根据一次函数的增减性解方案设计问题 19 02 易错题型 易错题型一　对函数的定义理解不透彻 例1． （23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）下列式子中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）下列式子：①，②，③，④其中y是x的函数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列四个等式中，不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 易错题型二　确定自变量取值范围时忽略分母不能为0 例2．（22-23八年级下·四川内江·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川巴中·期末）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）函数的自变量的取值范围是 易错题型三　忽视一次函数定义中的隐含条件 例3. （23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 巩固训练 1. （22-23八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则 ． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 易错题型四　忽视分类或分类不全 例4. （22-23八年级下·四川广安·期末）已知一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1. （24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）一次函数．当时，，求的值为 ． 3．（22-23九年级上·上海·阶段练习）若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 易错题型五　忽视分类或分类不全 例5. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1. （22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）一次函数与（m，n为常数，且），在同一平面直角坐标系的图像是（　　） A．B． C． D． 2．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知一次函数的图象不经过三象限，则k、b的符号是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）已知经过点的直线不经过第四象限，设，则s的取值范围是（　　） A． B． C． D． 03 压轴题型 压轴题型一　根据一次函数的图象与性质求字母的取值范围 例1. （22-23八年级下·吉林白山·阶段练习）已知一次函数，当a，b为何值时： (1)y随x的增大而增大； (2)图象经过第二、三、四象限； (3)图象与y轴的交点在x轴上方． 巩固训练 1. （23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）已知函数． (1)若函数图象与x轴交于点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求m的值； (3)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数 (1)填空：若函数图象经过原点，则的值为______ (2)是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求的取值范围． (3)是一次函数，且y随x的增大而增大，求的取值范围． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一次函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，且经过第二象限，求m的取值范围； (4)若该函数的值y随自变量x的增大而减小，且该函数图象与y轴的交点在负半轴上，求m的取值范围； (5)若该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 压轴题型二　根据一次函数的图象解方程、不等式的有关问题 例2. （23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 巩固训练 1. （24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． (1)求a，b的值； (2)方程组的解为________． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线交于点． (1)求m的值； (2)方程组的解是________； (3)若直线与直线平行，且经过点，直接写出直线的表达式． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 压轴题型三　根据一次函数的图象特点求解面积问题 例3. （23-24八年级下·浙江金华·开学考试）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交x轴于点，交y轴于点D． (1)求该一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)在轴上存在点，使得，求点坐标． 巩固训练 1. （23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图①， 一次函数 的图象分别交x轴、y轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求m的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②， 点 D 在线段上， 且与点O， C不重合， 过点 D 作轴于点E，交线段于点 F．若点 D的横坐标为4，解答下列问题： ①的长： ②若P是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点P的坐标． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求的面积； (2)当时，求m的值． 压轴题型四　根据一次函数的增减性解方案设计问题 例4. （23-24八年级下·云南大理·期末）为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 巩固训练 1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． (1)若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； (2)在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 2．（22-23八年级上·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 3．（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运肥料的费用为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． (1)设从A城运往C乡肥料x吨． ①用含x的代数式完成下表： C乡（吨） D乡（吨） A城 x B城 总计 240 260 ②设总运费为y元，写出y与x的函数关系式，并求出最少总运费； (2)由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少元，这时从A城运往C乡肥料多少吨时总运费最少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$