专题1.2 对称图形—圆全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题1.2 对称图形—圆全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 圆有关的概念 1．圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 2．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 3．弧和弦 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．同心圆和等圆 ①圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 【典例1】（2024春•高唐县期末）下列说法： ①直径是弦； ②半圆是弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（2023•潮安区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【典例3】（2023•西区校级一模）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【典例4】（2023秋•宁河区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【典例5】（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【典例6】（2023秋•海沧区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为（　　） A．22 B．2 C．2 D．22 知识点2 圆的对称性 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【典例1】（2024•凉州区三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（　　） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm 【典例2】（2024•高邮市一模）如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例3】（2024•武威三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 【典例4】（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【典例5】（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 知识点3 确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： ①外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． ②外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【典例1】（2023秋•南乐县期末）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【典例2】（2023秋•桥西区期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（2024•龙口市一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【典例4】（2023秋•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 【典例5】（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　，半径为 　 ． 知识点4 圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【典例1】（2024春•青山区校级月考）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【典例2】（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【典例3】（2023秋•南乐县期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 【典例4】（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．70° 【典例5】（2024•恩施市一模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【典例6】（2024•山阳县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．50° C．70° D．80° 【典例7】（2024•驿城区模拟）如图，∠DAE是圆O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE＝58°，那么∠BOD的度数是（　　） A．58° B．96° C．106° D．116° 知识点5 直线与圆的位置关系 1．直线和圆的关系有三种 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 2．切线的性质和判定 ①切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 3．切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【典例1】（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 【典例2】（2024•城阳区一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB＝3cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【典例3】（2023秋•斗门区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【典例4】（2024春•秦都区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点M，使得，过点M作⊙O的切线MC，C为切点，连接AC，若⊙O的半径为2，则AC的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【典例5】（2024•赣州二模）如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，AC交⊙O于点D，连接BD，已知∠A＝45°．（1）若⊙O的半径为3，求弦BD的长； （2）当∠ABC+∠ADB＝180°，求证：BC是⊙O的切线． 【典例6】（2024•府谷县三模）如图，AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点E，BD⊥DE于点D，交⊙O于点C，连接OE，BE． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长． 知识点6 正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【典例1】（2024•石狮市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为（　　） A．55° B．60° C．72° D．80° 【典例2】（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例3】（2024•凤台县三模）如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 知识点7 弧长及扇形的面积 ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 【典例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【典例2】（2024•惠州模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【典例3】（2023秋•海安市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 【典例4】（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 知识点8 圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高； ①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 【典例1】（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 【典例2】（2023秋•清河区校级期末）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的母线的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（2024春•阳明区校级月考）若一个圆锥的底面半径为1cm，圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B．4πcm2 C．16πcm2 D．14πcm2 【典例4】（2024•河口区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（　　） A． B． C．1 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$ 专题1.2 对称图形—圆全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 圆有关的概念 1．圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 2．点和圆的三种位置关系 点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 则有：点在圆外⇔d > r； 点在圆上⇔d = r； 点在圆内⇔ d < r； 3．弧和弦 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆心到弦的距离叫做弦心距. ②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 表示：劣弧 优弧或 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ③圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ④在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．同心圆和等圆 ①圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； ②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； ③能够重合的两个圆叫做等圆． 【典例1】（2024春•高唐县期末）下列说法： ①直径是弦； ②半圆是弧； ③半径相等的两个圆是等圆； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②半圆是弧，正确，符合题意； ③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意， 正确的有4个， 故选：D． 【典例2】（2023•潮安区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【解答】解：如图，连结CD， ∵CD是直角三角形斜边上的中线， ∴CDAB10＝5． 故选：D． 【典例3】（2023•西区校级一模）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC． ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6， ∴OC＝OA10， ∴AB＝OA﹣OB＝4， 故选：C． 【典例4】（2023秋•宁河区期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6， ∴点P到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点P在⊙O外． 故选：C． 【典例5】（2024•二道区校级三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6， ∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外， ∴6＜r＜10， ∴r的值可能是8． 故选：B． 【典例6】（2023秋•海沧区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为（　　） A．22 B．2 C．2 D．22 【分析】分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，进而求得圆的半径，从而求得原点O到⊙M上一点的最短距离为：22． 【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，其交点即为M点，M点的坐标为（﹣2，0）， ∴OM＝2， ∵点A（0，4）， ∴AM2， 则原点O到⊙M上一点的最短距离为：22． 故选：A． 知识点2 圆的对称性 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 【典例1】（2024•凉州区三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm．则DC的长为（　　） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm 【分析】首先连接OA，由半径OC⊥AB，AB＝6cm，根据垂径定理的即可求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得半径的长，继而求得DC的长． 【解答】解：连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AD＝BDAB6＝3（cm）， ∵OD＝4cm， ∴OA5（cm）， ∴OC＝OA＝5cm， ∴DC＝OC﹣OD＝5﹣4＝1（cm）． 故选：D． 【典例2】（2024•高邮市一模）如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出OP的范围，计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′， 则AP′AB＝8， 由勾股定理得：OP′6， 则6≤OP＜10， ∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 【典例3】（2024•武威三模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 【分析】过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到BHAB＝3，由勾股定理求出OH4，当C和H重合时，CD的最小值是4+5＝9，当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10，即可得到CD的取值范围． 【解答】解：过O作OH⊥AB于H， ∴BHAB6＝3， ∵⊙O的半径为5， ∴OB＝5， ∴OH4， ∴当C和H重合时，OC的最小值是4，CD的最小值是4+5＝9， 当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10， ∴CD的取值范围是9≤CD≤10． 故选：D． 【典例4】（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵2，， ∴， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 【典例5】（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 知识点3 确定圆的条件 ①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． ②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 注意： ①外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部． ②外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径． 【典例1】（2023秋•南乐县期末）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以2cm长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据等圆、等弧的概念、确定圆的条件判断即可． 【解答】解：①半径相等的圆是等圆，说法正确； ②长度相等的弧不一定是等弧，故本小题说法错误； ③以2cm长为半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故本小题说法错误； 故选：B． 【典例2】（2023秋•桥西区期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【典例3】（2024•龙口市一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【分析】由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断． 【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心． 故选：D． 【典例4】（2023秋•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标． 【解答】解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为（5，2）． 故选：D． 【典例5】（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　 　，半径为 　 ． 【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标，根据勾股定理可求出半径． 【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3）， 连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图， ∴Q点的坐标是（2，1）， ∴A点的坐标是（0，2）， ∴圆弧的半径为． 故答案为：（2，1），． 知识点4 圆周角 1．圆心角和圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 3．圆周角定理推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即 4．弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 【典例1】（2024春•青山区校级月考）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∵∠BOC＝2∠AOB， ∴∠AOB＝40°， ∴∠ACB∠AOB＝20°． 故选：A． 【典例2】（2024•陆丰市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数． 【解答】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACE＝20°， ∴∠ADE＝∠ACE＝20°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°， 故选：C． 【典例3】（2023秋•南乐县期末）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC∠COD＝65°，再由得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠DAC∠COD130°＝65°， ∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝65°+45°＝110°． 故选：C． 【典例4】（2024•海南）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　） A．105° B．100° C．90° D．70° 【分析】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出∠PBA即可． 【解答】解：连接OB、OC、OP． ∵AD是半圆O的直径， ∴∠AOD＝180°， ∵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°， ∵OA＝OB＝OC， ∴△AOB、△BOC均是等边三角形， ∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°， ∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°， ∵OC＝OP， ∴△COP是等腰三角形， ∵∠PCB＝130°， ∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°， ∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠PBC∠COP40°＝20°， ∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°． 故选：B． 【典例5】（2024•恩施市一模）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝75°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A＝150°，根据∠BOC＝2∠COD求出∠COD＝50°，根据圆周角定理得出∠CBDCOD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD， ∴∠COD50°， ∴∠CBDCOD＝25°． 故选：B． 【典例6】（2024•山阳县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．50° C．70° D．80° 【分析】根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DBC，根据三角形内角和定理求出∠DCE，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣40°＝50°， ∵∠AEB＝110°， ∴∠DEC＝∠AEB＝110°， ∵∠BDC＝40°， ∴∠DCE＝180°﹣110°﹣40°＝30°， 由圆周角定理得：∠ABD＝∠DCE＝30°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+50°＝80°， 故选：D． 【典例7】（2024•驿城区模拟）如图，∠DAE是圆O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE＝58°，那么∠BOD的度数是（　　） A．58° B．96° C．106° D．116° 【分析】根据圆内接四边形对角互补和平角的定义证明∠C＝∠DAE＝58°，则由圆周角定理可得∠BOD＝2∠C＝116°． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠BAD＝180°， ∵∠DAE+∠BAD＝180°， ∴∠C＝∠DAE＝58°， ∴∠BOD＝2∠C＝116°， 故选：D． 知识点5 直线与圆的位置关系 1．直线和圆的关系有三种 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 2．切线的性质和判定 ①切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. ②切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 3．切线长定理 ①切线长定理： 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ②三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 【典例1】（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆的位置关系得到当r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∵CD•ABBC•AC， ∴CD， ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为r≤12． 故选：D． 【典例2】（2024•城阳区一模）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB＝3cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，OA＝4cm，OB＝3cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【典例3】（2023秋•斗门区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 【典例4】（2024春•秦都区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点M，使得，过点M作⊙O的切线MC，C为切点，连接AC，若⊙O的半径为2，则AC的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】连接OB，OC，由切线的性质和圆周角的性质得到∠OCM＝∠ACB＝90°，结合，得到点B为OM的中点，即可得到BC＝OB＝OC＝2，最后利用勾股定理即可求出AC的长． 【解答】解：连接OB，OC， ∵MC是⊙O的切线，切点为C，AB为⊙O的直径， ∴∠OCM＝∠ACB＝90°， ∵， ∴OB＝BM， ∴点B为OM的中点， ∵⊙O的半径为2， ∴，AB＝4， ∴， 故选：D． 【典例5】（2024•赣州二模）如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，AC交⊙O于点D，连接BD，已知∠A＝45°．（1）若⊙O的半径为3，求弦BD的长； （2）当∠ABC+∠ADB＝180°，求证：BC是⊙O的切线． 【分析】（1）连接OB、OD，则OB＝OD＝3，由圆周角定理得∠DOB＝90°，得出△OBD是直角三角形，利用勾股定理即可得出结果； （2）连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，则∠EAB＝90°，∠E+∠ABE＝90°，由直角三角形的性质得∠ABC+∠ABE＝90°，即可证得结论． 【解答】（1）解：如图，连接OB、OD， ∴OB＝OD＝3， ∵∠A＝45°， ∴∠DOB＝90°， ∴△OBD是直角三角形， ∴； （2）证明；连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE， ∵BE为直径， ∴∠EAB＝90°， ∴∠E+∠ABE＝90°， ∵∠ABC+∠ADB＝180°，∠E+∠ADB＝180°， ∴∠E＝∠ABC， ∴∠ABC+∠ABE＝90°， ∴∠CBE＝90°，即EB⊥BC， ∵BE是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线． 【典例6】（2024•府谷县三模）如图，AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点E，BD⊥DE于点D，交⊙O于点C，连接OE，BE． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长． 【分析】（1）由DE切⊙O于点E知OE⊥ED，结合BD⊥DE于点D知OE∥BD，从而得∠OEB＝∠EBD＝∠OBE，即可得证； （2）作DEEM⊥AB，由（1）中角平分线知ED＝EM，连接AC，证四边形CHDF是矩形可得DE＝CFAC，根据勾股定理求得AC，进而求出OF，即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图， ∵DE切⊙O于点E， ∴OE⊥ED， ∵BD⊥DE， ∴OE∥BD， ∴∠OEB＝∠EBD， ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE， ∴∠EBD＝∠OBE， ∴BE平分∠ABC； （2）解：连接AC，过点E作EM⊥AB于点M， ∵BE平分∠ABD， ∴ED＝EM， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACD＝∠D＝∠DEF＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CFAC， ∵AB＝10，BC＝6， ∴AC8， 则EM＝ED＝CF＝AFAC＝4． ∴OF3， ∴EF＝OE﹣OF＝2， ∴CD＝EF＝2． 知识点6 正多边形与圆 1．正多边形的有关概念： （1）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； （2）正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径； （3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； （4）正多边形中心到一边的距离叫做正多边形的边心距. 2．正多边形的性质： （1）正多边形的一个内角等于 （2）中心角： （3）正多边形的中心角等于外角的度数. 【典例1】（2024•石狮市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为（　　） A．55° B．60° C．72° D．80° 【分析】先根据正多边形内角和公式求出∠B＝∠C＝108°，根据切线的定义得出∠OMB＝∠ONC＝90°，进而可得∠MON，再根据圆周角定理可得． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∵⊙O切AB，CD于点M，N， ∴∠OMB＝∠ONC＝90°， 又∵五边形BMONC的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠MON＝540°﹣∠OMB﹣∠ONC﹣∠B﹣∠C＝144°， ∴， 故选：C． 【典例2】（2024•东莞市三模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数9． 故选：C． 【典例3】（2024•凤台县三模）如图，正三角形ABC和正六边形ADBECF都内接于⊙O，连接OC，则∠ACO+∠ABE＝（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接AO， ∵正三角形ABC， ∴， ∵OA＝OC， ∴， ∵正六边形ADBECF， ∴，DA＝DB， ∴， ∴∠ABE＝120°﹣30°＝90°， ∴∠ACO+∠ABE＝90°+30°＝120°， 故选：D． 知识点7 弧长及扇形的面积 ①弧长公式：如果弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R，则= 对于公式中出现的三个量l，n，R，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量. ②由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. ③扇形面积公式：如果设圆心角度数为n°的扇形面积为S，圆的半径为R，那么扇形的面积S== 用弧长和半径R表示扇形面积：S=lR 注意： ①在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算弧长. ③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一. 【典例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则的长为（　　） A．8π B．5π C．4π D．6π 【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长公式计算吗，得到答案． 【解答】解：连接OA、OC， ∵AB⊥CD，∠A＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°， ∴的长为：4π， 故选：C． 【典例2】（2024•惠州模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝60°，∠ACD＝40°，若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：连接OA、OD、OC， ∵∠B＝60°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝120°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝40°， ∴的长π． 故选：B． 【典例3】（2023秋•海安市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，∠D＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）利用垂径定理和勾股定理求出OE和OB的长，根据两边关系得到圆心角度数，利用扇形面积减去三角形面积即可求得结果． 【解答】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵，∠D＝30°，∠B＝∠D，AB⊥CD， ∴∠B＝30°，CECD＝2，∠CEB＝90°， ∴BC＝4，∠COE＝2∠B＝60°， ∴BE6，∠OCE＝30°， ∴OC＝2OE， ∴OEBE＝2，OB＝4， ∴阴影部分的面积为：2×22． 【典例4】（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°； （2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OEOA； （3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠D＝60° ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°． 故答案为：30°． （2）∵AB＝6， ∴OA＝OCAB＝3， ∵OF⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴OEOA＝1.5； （3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵OF＝OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴OE＝EF，∠AOF＝60°， ∵∠CEO＝∠AEF＝90°， ∴△OEC≌△FEA（SAS）， ∴阴影的面积＝扇形OCF的面积， ∵∠B＝60°，OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°， ∴扇形OCF的面积． ∴阴影的面积． 知识点8 圆锥的侧面积 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 圆锥的高：连接底面圆的圆心与圆锥的顶点的线段叫做圆锥的高； ①设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形面积公式可知S侧=πrl. S全=πrl+πr2. ②圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：r2+h2=l2 ③圆锥的底面圆周长等于其侧面展开扇形的弧长，由此设圆锥底面圆的半径为r，其侧面展开扇形的半径为R，圆心角度数为n°，则可推得r= 【典例1】（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（　　） A．180° B．216° C．240° D．270° 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长＝展开图的弧长可得． 【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm， ∴圆锥底面圆的半径为：3（cm）， ∴2π×3， 解得n＝216°． 故选：B． 【典例2】（2023秋•清河区校级期末）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的母线的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式进行求解即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为l， 由题意得：2πl＝8π， 解得：l＝4， 故选：D． 【典例3】（2024春•阳明区校级月考）若一个圆锥的底面半径为1cm，圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B．4πcm2 C．16πcm2 D．14πcm2 【分析】先根据勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【解答】解：圆锥的母线长4（cm）， 所以这个圆锥的侧面积4×2π×1＝4π（cm2）． 故选：B． 【典例4】（2024•河口区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】首先得到△ABE是等腰直角三角形，进而得到∠DAE＝45°，然后由勾股定理求出AE＝4，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可． 【解答】解：∵在矩形ABCD中， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵AB＝BE＝3， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°，AE4， ∴∠DAE＝45°， ∵扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长， ∴圆锥的底面圆的半径为r， ∴2πr， ∴解得r． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$