第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修一空间向量与立体几何单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 5．平行六面体中.则=（   ） A． B． C． D． 6．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，在三棱锥中，，且，点是 的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． B． C． D． 11．如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ） A． B．平面 C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则______ 13．已知，则 ． 14．已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知空间三点，，． (1)求的面积；(2)若向量，且，求向量的坐标． 16．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面． 17.如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 18.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 19．如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，平面平面． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修一空间向量与立体几何单元测试卷答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点关于平面的对称点为，可得， 则点为与平面的交点，令，则，且， 又由，所以，解得，所以. 故选：D. 2．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，点在上，且，点为中点， 所以 ，故选：D 3．已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，且不能反向共线，即解得或. 故选：A． 4．如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】， ，设同时垂直于， 由，令，得， 又，则异面直线间的距离为. 故选：A． 5．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 故 ，故.故选：A 6．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】在正三棱锥中，，又，，所以，所以， 同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面ABC的一个法向量为，则， 令，则，所以，则点O到平面ABC的距离， 所以．故选：D． 7．（2021·全国）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2， 当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1， 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0）， 设平面ABB1A1的法向量， 则，取x＝1，得， 设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ， 则,所以 ∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为． 故选：A． 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，点， 则，而，， ，因此， ，，，， 对于①而言就是否存在实数，使，而，，，，此即，这样的不存在，①错误； 对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和， ，于是，即就是当为的中点的时候，②正确； 同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，， 设其夹角为，则， 令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，这样的存在；③错误； 对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误． 所以正确的个数为1个. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【详解】 ∵，∴根据平面向量基本定理得：，，共面，不能作为空间向量的一个基底．所以①不符合； ∵，，，且是空间的一个基底， ∴由图可知，四点不共面，所以，，不共面，可作为空间向量的一个基底．所以②符合 ∴由图可知，四点不共面，所以，，不共面，可作为空间向量的一个基底，所以③符合 ∵, ∴由图可知，与共面于平面，显然对应的直线平面平面， 所以，，不共面，都可作为空间向量的一个基底．所以④符合 故选;BCD. 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以 ， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． 11．如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ） A． B．平面 C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变 【答案】ACD 【详解】 在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图： A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，， ，而 则， 对于A选项：，则，，A正确； 对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确； 对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确； 对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而， 三棱锥体积为定值，即D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则______ 【答案】 【详解】由，可得，所以，解得，所以. 13．已知，则 ． 【答案】 【详解】 ．故答案为：． 14．已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】将正四面体放入正方体中， 以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，如图所示， 因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点、分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以, 设平面的一个法向量为，因为，， 所以，取，则，因为，且直线不在平面上， 所以直线平面，所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 点到平面的距离，故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知空间三点，，． (1)求的面积； (2)若向量，且，求向量的坐标． 【详解】（1）设向量的夹角为， 由空间三点，，，可得，， ，， 可得， 因为，所以，所以三角形的面积为． （2）因为，所以，其中， 因为，可得，即，所以， 即或． 16．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面． 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是： ，，，，， ∴，，，． （1）， ∴ ∴异面直线EF和所成的角为． （2） ∴，即 ，∴即． 又∵，平面且∴平面． 17.如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 18.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为，则. （2）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 19．如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，平面平面．    (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点在线段上运动，设平面与平面的夹角为，试求的取值范围． 【详解】（1）证明:在等腰梯形中，过点作，如图：    又，,所以，则. 在中，， 于是，即. 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面． 又平面，所以. 因为四边形为矩形，所以， 又平面 所以平面， 又面，所以． （2）由（1）知平面且， 所以，以为原点，正方向为轴，轴，轴正向建立空间直角坐标系，如图：    则， 所以， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以，， 所以点到平面的距离为； （3）令，则， 则， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 而平面平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 又，所以， 所以， 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$