2024-2025学年苏科版九年级上册数学 圆月考复习讲义

圆 月考复习3 一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交d<r； 直线l与⊙O相切d=r； 直线l与⊙O相离d>r； 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 典型例题 例1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB的大小为（   A） 例1 图 例1 变式1图 例1变式2图 例1 变式3图 A、60º B、30º C、45º D、50º 变式1：如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=………（　B　） A．80°； B．90°； C．100°； D．无法确定； 变式2.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ B ） A.116° B.32° C.58° D.64° 变式3.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（  C ） A、27° B、54° C、63° D 、36° 例2. 已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是________ ． 变式1：如图，MN=3，以MN为直径的⊙O1 ， 与一个半径为5的⊙O2相切于点M，正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点N，则正方形ABCD的边长为______6__ ． 例2变式1图 例2变式2图 【答案】6 【考点】切线的性质，相切两圆的性质 【解析】 【解答】 设边长为a，连接NO2=2， AO2=5； 作O2E垂直AB于E则Rt△AEO2 ， AO2="5" O2E=a-2， AE=a2， 则52=（a2）2+（a-2）2解上式即可得，a=6． 变式2：如图，在扇形AOB中，∠AOB=100°，半径OA=9，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长等于________． 【答案】2π 【考点】弧长的计算，翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵△BCD是由△BCO翻折得到， ∴∠CBD=∠CBO，∠BOD=∠BDO， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠ODB=2∠DBC， ∵∠ODB+∠DBC=90°， ∴∠ODB=60°，∵OD=OB ∴△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°， ∵∠AOB=100°， ∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=40°， ∴弧AD的长= =2π， 故答案为2π． 例3.如图，已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）． 【答案】解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点， ∴∠PAB=90°， ∵AB=2，∠P=30°， ∴tan30°=ABAP=2AP=33， ∴AP=23． 变式1：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB． （1）若BE=8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长． 【答案】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8， ∵CD=24，由垂径定理得，DE=12， 在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2 ， x2=（x﹣8）2+122 ， 解得：x=13． （2）∵OM=OB， ∴∠M=∠B， ∴∠DOE=2∠M， 又∠M=∠D， ∴∠D=30°， 在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°， ∴OE=43． 变式2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E． （1）求证：EB=EC； （2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．   【答案】（1）证明：连接OD， ∵AC是直径，∠ACB=90°， ∴BC是⊙O的切线，∠BCA=90°． 又∵DE是⊙O的切线， ∴ED=EC，∠ODE=90°， ∴∠ODA+∠EDB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， 又∵∠OAD+∠DBE=90°， ∴∠EDB=∠EBD， ∴ED=EB， ∴EB=EC． （2）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°， 又∵ED=EB， ∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．   变式3：如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为43 ， 求点P的坐标． 【答案】解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA， ∵⊙P与y轴相切于点C， ∴PC⊥y轴， ∴P点的横坐标为4， ∴E点坐标为（4，4）， ∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形， ∵PH⊥AB， ∴AH=12AB=23， 在△PAH中，PH=PA2-AH2=42-232=2， ∴PE=2PH=22， ∴PD=4+22， ∴P点坐标为（4，4+22）． 例4.如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A＝60°AC＝6，，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将ΔCEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　 　　　　　. 变式1：在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 【解答】解：（1）连结OQ，如图1， ∵PQ∥AB，OP⊥PQ， ∴OP⊥AB， 在Rt△OBP中，∵tan∠B=， ∴OP=3tan30°=， 在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3， ∴PQ==； （2）连结OQ，如图2， 在Rt△OPQ中，PQ==， 当OP的长最小时，PQ的长最大， 此时OP⊥BC，则OP=OB=， ∴PQ长的最大值为=． 变式2：如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（　　） A．3 B．6 C． D． 【解答】解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大， 连接OM，PD，可得F为ED的中点， ∵∠BAC=60°，AE=AD， ∴△AED为等边三角形， ∴AF为角平分线，即∠FAD=30°， 在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°， ∴OA=2， ∴PD=PA=AO+OP=3， 在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3， ∴PF=， 根据勾股定理得：FD==， 则DE=2FD=3． 故选D 变式3：如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　　． 【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=， 由垂径定理可知EF=2EH=． 故答案为：． 例5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）． （1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为 ______ ； （2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB=∠ACB，则点D的坐标为 ______ ． 解：（1）如图所示：圆心坐标为：（5，5）…………4分； （2）如图所示：点D的坐标为（7，0）；……………8分 变式1： 已知： ⑴作出的外接圆。要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； ⑵若,,求外接圆的直径。 (1) (2)5*2=10 例6.如图，△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，点M为劣弧BC上任意一点，且∠AMC=60°． （1）若BC=6，求△ABC的面积； （2）若点D为AM上一点，且BD=DM，判断线段MA、MB、MC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （1）解：（1）∵∠ABC=∠AMC=60°，  而AB=AC，  ∴△ABC为等边三角形，  ∴△ABC的面积=BC2=×36=9 .……………5分 （2）（2）MA=MB+MC，理由如下： ∵BD=DM，∠AMB=∠ACB=60°，  ∴△BDM为正三角形， ∴BD=BM， ∵∠ABC=∠DBM=60°，  ∴∠ABC-∠DBC=∠DBM-∠DBC， ∴∠ABD=∠CBM，  在△ABD与△CBM 中，  ，  ∴△ABD≌△CBM（SAS）， ∴AD=CM， ∴MA=MD+AD=MB+MC．……………10分 变式1：如图，正方形ABCD的边长为1，E是AD边上一动点，AE=m，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．延长BG交直线CD于点F． （1）若∠ABE：∠BFC=n，则n= ______ ； （2）当E运动到AD中点时，求线段GF的长； （3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，求m的取值范围． (1) 2 …………………………2分 (2) 当E运动到AD中点时，AE=DE=，  由折叠得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，  根据DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），  ∴DF=GF，  设DF=GF=x，则CF=1-x，  ∵在Rt△BCF中，BC2+FC2=BF2， ∴12+（1-x）2=（1+x）2， 解得x=，  ∴线段GF的长为； …………7分 （3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则  ①如图，当点F与点D重合时，AE=EG=GF=m，FE=1-m，  在Rt△EFG中，m2+m2=（1-m）2，  解得m=--1（舍去），m=-1；  ②如图，当点F与点C重合时，点E与点D重合，此时AE=AD=1，  ∴m=1．  综上，m的取值范围是：-1≤m≤1． …………………………12分 变式2：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0． （1）如图1，⊙O的半径为2， ①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ______ ，d（B，⊙O）= ______ ． ②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值． （2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=-与x轴交于点D，∠ODE=30°，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围． 解：（1）①1；3……………………4分 ②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，  ∴P（-b，0），Q（0，b）， ∴OP=|b|，OQ=|b|，  ∴PQ=|b|．  ∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OH，  ∴OH==|b|．  ∵直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，  ∴|b|=2+=，  ∴b=±4；  …………9分 （2）1＜m＜． …………12分 变式3：如图，、，点在轴的正半轴上，∠=45，∥，∠=90，点从点（4,0）出发，沿轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒。 ⑴求点的坐标； ⑵当∠=15时，求的值； ⑶以点为圆心，为半径的⊙随点的运动而变化，当⊙与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值。 （1） ∵∠BCO=∠CBO=45°， ∴OC=OB=3， 又∵点C在y轴的正半轴上， ∴点C的坐标为（0，3）； （2）分两种情况考虑： ①当点P在点B右侧时，如图2， 若∠BCP=15°，得∠PCO=30°， 故PO=3，此时t=4+ ②当点P在点B左侧时，如图3， 由∠BCP=15°，得∠PCO=60°， 故OP=3 此时，t=4+3 ∴t的值为4+或4+3； （3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况： ①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°， 从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1； ②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4； ③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°， ∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2， 于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9， 解得：t=5.6， ∴t的值为1或4或5.6． 课堂练习 1.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是____1____  2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB．若PB=4，则PA的长为. 3或 解答：如图两种情况 3.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是　4　． 【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC， ∵CD∥AB，CP⊥CD， ∴CP⊥AB， ∵M为CD中点，OM过O， ∴OM⊥CD， ∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°， ∴四边形CPOM是矩形， ∴PM=OC， ∵⊙O直径AB=8， ∴半径OC=4， 即PM=4， 故答案为：4． 法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4 4.已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0， ∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根， ∴m+n=2a，mn=2， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3， ∵a≥2， ∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6， 故选A． 5.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD． （2）若BE=3，CD=8，求⊙O的半径长． 解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°，  ∵AB⊥CD， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠A=∠BCD， ∵OA=OC，  ∴∠A=∠ACO， ∴∠ACO=∠BCD； ……………………………4分 （2）∵CD=8 ∴CE=4 设半径OC=OB=r 在Rt△OCE中 ，r=…………………………………8分 6.在圣诞节前夕，几位同学到某文具店调查一种进价为2元的圣诞贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．据此，请你解答下面问题： （1）要实现每天800元的利润，应如何定价？ （2）800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？ 【解答】解：（1）设要实现每天800元的利润定价为x元，根据题意，得 （x﹣2）=800 整理得：x2﹣10x+24=0 解得：x1=4，x2=6 ∵物价局规定，售价不得超过商品进价的240%． 即2×240%=4.8， ∴x2=6不合题意舍去， ∴要实现每天800元的利润，应定价每张4元； （2）设每天的利润为y元，则 y=（x﹣2） =﹣100x2+1000x﹣1600 =﹣100（x﹣5）2+900 ∵x≤5时，y随x的增大而增大，并且x≤4.8， ∴当x=4.8元时，利润最大， y最大=﹣100（4.8﹣5）2+900=896＞800， ∴800元的利润不是最大利润，当定价为4.8元时，才能获得最大利润． 　 课堂收获 课后练习 1．如图：将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( D ) A． B． C．3 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是（﹣1，2），则点Q的坐标是( A ) A．（﹣4，2） B．（﹣4.5，2） C．（﹣5，2） D．（﹣5.5，2） 3．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值； ∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1， ∴A′D′=BC=3，AA′=2AB=4，AE=D′F′=1， ∴AD′=5， EF′=5﹣2=3 ∴PE+PF=PF′+PE=EF′=3， 故选B． (宿迁六校)4．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+k2+1=0 （1）k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）如果方程的两个实数根x1、x2（x1＜x2）满足x1+|x2|=3，求k的值和方程的两根． 【解答】解：（1）在已知一元二次方程中， a=1，b=﹣（k+2），c=（k2+1）， 又由△=b2﹣4ac =[﹣（k+2）]2﹣4（k2+1） =k2+4k+4﹣k2﹣4=4k＞0， 得k＞0， 即k＞0时方程有两个不相等的实数根； 〖无、所在行之中间步骤，即跳过此步不扣分，余同〗 （2）法一：由， ∵x1＜x2，k＞0， ∴＞0 ∴|x2|=x2． 由x1+|x2|=3，得x1+x2=3， 由根与系数关得k+2=3． 即k=1 此时，原方程化为x2﹣3x+=0， 解此方程得，x1=，x2=， 法二：由x1x2=k2+1＞0， 又∵k＞0， ∴x1+x2=k+2＞0， ∴x1＞0，x2＞0； ∴|x2|=x2． (宿迁六校)5．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得， （40﹣x）=1200， 解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）． 答：每件童装应降价20元． (宿迁六校)6.如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，=，BE分别交AD、AC于点F、G （1）判断△FAG的形状，并说明理由； （2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若BG=10，BD﹣DF=1，求AB的长． 【解答】解：（1）等腰三角形； ∵BC为直径，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠C， ∵=， ∴∠ABE=∠C， ∴∠ABE=∠BAD， ∴AF=BF， ∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°， ∴∠DAC=∠AGB， ∴FA=FG， ∴△FAG是等腰三角形； （2）成立； ∵BC为直径，AD⊥BC， ∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠C， ∵=， ∴∠ABE=∠C， ∴∠ABE=∠BAD， ∴AF=BF， ∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°， ∴∠DAC=∠AGB， ∴FA=FG， ∴△FAG是等腰三角形； （3）由（2）得：AF=BF=FG， ∵BG=10， ∴FB=5， ∴， 解得：BD=4，DF=3， ∴AD=2， ∴AB==2． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$