第12章 一次函数 章节整合练习（24个知识点+40题练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第12章 一次函数 章节整合练习（24个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点9．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点10．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点11．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点12．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点13．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点14．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点15．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点16．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点17．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点18．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点19．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点20．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点21．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 知识点22．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点23．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点24．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 章节题型整合练习 一．常量与变量 1．（2021秋•蚌山区校级月考）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是　　 A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 2．（2022秋•定远县校级月考）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是　　 A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 二．函数的概念 3．（2023秋•大观区校级期中）在式子①，②，③，④，⑤中，是的函数的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 三．函数关系式 4．（2023秋•蚌山区期中）将长为，宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． 白纸张数 1 2 3 4 5 纸条长度 40 　75　 110 145 　　 （1）根据图，将表格补充完整． （2）设张白纸黏合后的总长度为 ，则与之间的关系式是什么？ （3）你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为？为什么？ 四．函数自变量的取值范围 5．（2023秋•利辛县校级期末）函数中，自变量可取的值是　　 A．5 B．3 C．0 D． 6．（2021秋•全椒县期中）在函数中，自变量的取值范围是　　． 五．函数值 7．（2022秋•蚌山区月考）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 8．（2023秋•潘集区月考）根据如图所示的计算程序计算变量的值，若输入，时，则输出的值是 　　． 六．函数的图象 9．（2023秋•瑶海区校级期末）某人去上班，先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合与的关系的是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•裕安区校级月考）如图是一辆自行车在内的速度随时间变化的图象，请你根据图象信息填空： （1）自行车在中途休息的时间为 　　； （2）自行车第二次减速行驶的时间段为 　　； （3）求自行车在第期间行驶的距离． 七．动点问题的函数图象 11．（2022秋•金安区校级期末）如图，在扇形中，有一动点从点出发，沿匀速运动，则的长度与时间之间的函数关系用图象描述大致是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•蜀山区期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题， （1）填空：图甲中的　　，　　； （2）求：图乙中的的值； （3）求：图乙中的的值． 八．函数的表示方法 13．（2021秋•金安区校级月考）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 （1）上表所反映的变化过程中的两个变量，　　是自变量，　　是因变量；（请用文字语言描述） （2）请直接写出与的关系式； （3）当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量． 九．一次函数的定义 14．（2023秋•涡阳县校级月考）下列关于的函数中，一次函数是　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•埇桥区校级期中）已知函数是一次函数，则的值是 　　． 一十．一次函数的图象 16．（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数是常数且与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 17．（颍泉区校级月考）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们围成图形的形状． ，，，． 一十一．正比例函数的图象 18．（2021秋•淮北期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中　　 A． B． C． D． 一十二．一次函数的性质 19．（2023秋•蚌埠期末）若一次函数的图象经过第二，三，四象限，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•包河区期末）已知一次函数为常数）．当时，函数有最大值，则　　． 一十三．正比例函数的性质 21．（涡阳县期中）一次函数与正比例函数、为常数，且，它们在同一坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•涡阳县校级月考）函数是正比例函数，这个函数中的值随自变量的增大而 　　． 一十四．一次函数图象与系数的关系 23．（2022秋•砀山县校级期中）已知一次函数，请你解答下列问题： （1）为何值时，函数图象不经过第四象限？ （2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ 一十五．一次函数图象上点的坐标特征 24．（2023秋•蒙城县期中）若一次函数的图象经过点、，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 25．（2023秋•凤阳县期中）已知函数． （1）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． （2）结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标． ①横坐标是； ②和轴的距离是2个单位长度． 一十六．一次函数图象与几何变换 26．（2024春•铜官区期末）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•庐阳区校级期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 一十七．待定系数法求一次函数解析式 28．（2023秋•庐阳区校级月考）一次函数的图象经过，两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若一次函数与轴交于点，求△的面积． 一十八．待定系数法求正比例函数解析式 29．（2021秋•金寨县期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值是　　 A．2 B． C． D． 30．（2023秋•砀山县校级月考）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 一十九．一次函数与一元一次方程 31．（2023秋•大观区校级期中）画函数图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是　　 0 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 二十．一次函数与一元一次不等式 32．（2022秋•定远县校级月考）如图，函数的图象经过点，，与函数的图象交于点，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•蚌山区期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）直接写出关于的不等式的解集； （2）当时，直接写出的取值范围． 二十一．一次函数与二元一次方程（组） 34．（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组　　的解． A． B． C． D． 35．（2023秋•潜山市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为 　　；方程组的解为 　　； （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 二十二．两条直线相交或平行问题 36．（2023秋•瑶海区期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是　　 A．当时具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是4 37．（2021秋•池州期末）如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为． （1）求点的坐标及直线所对应的函数关系式； （2）求的面积； （3）在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 二十三．一次函数的应用 38．（2023秋•包河区期中）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有　　 ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力； ③拉力与重力成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 39．（2023秋•太湖县期末）某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，如下表，图中折线反映了每户居民每月电费（元与用电量（度间的函数关系． 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度 （1）小王家某月用电100度，需交电费　　元； （2）求第二档电费（元与用电量（度之间的函数关系式； （3）小王家某月用电260度，交纳电费173元，请你求出第三档每度电费比第二档每度电费多多少元？ 二十四．一次函数综合题 40．（2023秋•埇桥区期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点为直线上一个动点． （1）点坐标为　　，点坐标为　　； （2）求直线的解析式； （3）当时，求点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 一次函数 章节整合练习（24个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 知识点8．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点9．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点10．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点11．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点12．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点13．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点14．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点15．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点16．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点17．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点18．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点19．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点20．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点21．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 知识点22．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点23．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点24．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 章节题型整合练习 一．常量与变量 1．（2021秋•蚌山区校级月考）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是　　 A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：． 【点评】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型． 2．（2022秋•定远县校级月考）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是　　 A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 【分析】根据常量和变量的概念解答即可． 【解答】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，；常量是， 故选：． 【点评】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键． 二．函数的概念 3．（2023秋•大观区校级期中）在式子①，②，③，④，⑤中，是的函数的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判断． 【解答】解：在①，②，③，④，中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数； ⑤对于的每一个取值，都有一个或两个值与之对应，所以不是的函数； 故选：． 【点评】本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，两个变量为函数关系． 三．函数关系式 4．（2023秋•蚌山区期中）将长为，宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． 白纸张数 1 2 3 4 5 纸条长度 40 　75　 110 145 　　 （1）根据图，将表格补充完整． （2）设张白纸黏合后的总长度为 ，则与之间的关系式是什么？ （3）你认为多少张白纸黏合起来总长度可能为？为什么？ 【分析】（1）根据图形结合题意可得答案； （2）根据题意和所给图形可得出答案； （3）把代入（2）式时，看的值是否为整数即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得，2张白纸粘合后的长度为：， 5张白纸黏合后的长度为：． 故答案为：75，180． （2）根据题意和所给图形可得出：． （3）不能使黏合起来总长度可能为．理由如下： 令得：， 解得：． 为整数， 不能使黏合起来总长度可能为． 【点评】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键． 四．函数自变量的取值范围 5．（2023秋•利辛县校级期末）函数中，自变量可取的值是　　 A．5 B．3 C．0 D． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 则自变量可取的值是5， 故选：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 6．（2021秋•全椒县期中）在函数中，自变量的取值范围是　　． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数． 五．函数值 7．（2022秋•蚌山区月考）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数，使得，则称函数和是“正和谐函数”．下列函数和是“正和谐函数”的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】分别列方程计算即可． 【解答】解：、，解得，不合题意； 、，解得，不合题意； 、，解得，符合题意； 、，解得，不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了新定义，函数的知识，以及解一元一次方程，掌握新定义的含义是关键． 8．（2023秋•潘集区月考）根据如图所示的计算程序计算变量的值，若输入，时，则输出的值是 　4　． 【分析】判断与的大小关系，确定计算程序计算哪个函数的值，将对应变量代入这个函数并计算即可． 【解答】解：，， ， ， 输出的值是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查函数值，熟练计算函数值是本题的关键． 六．函数的图象 9．（2023秋•瑶海区校级期末）某人去上班，先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合与的关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的图象及与表示的含义求解． 【解答】解：因为某人去上班，所以距离单位越来越近，故排除； 因为先匀速，中途减速后右匀速，即开始的变化量大，后来变化量变小，故排除， 故选：． 【点评】本题考查了函数的图象，理解数形结合思想是解题的关键． 10．（2023秋•裕安区校级月考）如图是一辆自行车在内的速度随时间变化的图象，请你根据图象信息填空： （1）自行车在中途休息的时间为 　4　； （2）自行车第二次减速行驶的时间段为 　　； （3）求自行车在第期间行驶的距离． 【分析】（1）根据函数的图象得到速度为0时，是在休息，找到对应的时间计算出结果； （2）根据函数的图象得到第二次减速行驶的时间段是； （3）根据速度时间路程，计算出结果． 【解答】解：（1）， 故答案为：4． （2）根据函数的图象得到第二次减速行驶的时间段是， 故答案为：． （3）， ． 答：自行车在第期间行驶． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图象中获取信息． 七．动点问题的函数图象 11．（2022秋•金安区校级期末）如图，在扇形中，有一动点从点出发，沿匀速运动，则的长度与时间之间的函数关系用图象描述大致是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆的半径为定值可知，从点到点的过程中逐渐增大，当点从点到点的过程中的长度为定值，当点从点到点的过程中逐渐缩小，由此即可得出结论． 【解答】解：圆的半径为定值， 从点到点的过程中逐渐增大，在当点从点到点的过程中的长度为定值，当点从点到点的过程中逐渐缩小． 故选：． 【点评】本题考查的是定点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键． 12．（2023秋•蜀山区期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题， （1）填空：图甲中的　8　，　　； （2）求：图乙中的的值； （3）求：图乙中的的值． 【分析】（1）根据题意得：动点在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；根据图象求出的长； （2）由（1）可得的长，又由，可以计算出的面积，计算可得的值； （3）计算的长度，又由的速度，计算可得的值． 【解答】解：（1）动点在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：； ， 故答案为：8；4； （2）由（1）可得，，则：； 图乙中的的值是24． （3）根据题意，动点共运动了， 其速度是秒，则秒， 图乙中的是17秒． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 八．函数的表示方法 13．（2021秋•金安区校级月考）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 30 32 34 36 38 40 （1）上表所反映的变化过程中的两个变量，　所挂物体的质量　是自变量，　　是因变量；（请用文字语言描述） （2）请直接写出与的关系式； （3）当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量． 【分析】（1）由表格直接可求解； （2）通过观察可知弹簧不挂物体的长度为，每增加1千克物体，弹簧伸长，即可求解； （3）由（2）的结论，当时，求出即为所求． 【解答】解：（1）所挂物体的质量是自变量，弹簧长度是因变量， 故答案为：所挂物体的质量，弹簧长度； （2）由表格可知，弹簧不挂物体的长度为，每增加1千克物体，弹簧伸长， ； （3）当时，， 解得， 所挂物重． 【点评】本题考查函数的表示方法，熟练掌握函数的表示方法，能通过表格获取函数信息是解题的关键． 九．一次函数的定义 14．（2023秋•涡阳县校级月考）下列关于的函数中，一次函数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义：形如，、是常数）的函数，叫做一次函数，解答即可． 【解答】解：、，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意； 、不是一次函数，故此选项不符合题意； 、是反比例函数，故此选项不符合题意； 、是一次函数，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．一次函数的定义：一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 15．（2022秋•埇桥区校级期中）已知函数是一次函数，则的值是 　　． 【分析】根据一次函数的定义列方程和不等式，即可得到结论． 【解答】解：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 则得到且， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．是考查的重点． 一十．一次函数的图象 16．（2024•埇桥区校级二模）如图，一次函数是常数且与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】求得令直线交点的横坐标，即可排除、，然后根据一次函数的图象和性质即可排除． 【解答】解：令，整理得， ，， ， 一次函数是常数且与一次函数的图象的交点的横坐标为1， 故、不合题意， 当时，一次函数的图象过一、二、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限， 当时，一次函数的图象过一、三、四象限，一次函数的图象过一、二、四象限， 故符合题意，不合题意， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象，解题关键是掌握一次函数图象及一次函数图象与系数的关系． 17．（颍泉区校级月考）在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们围成图形的形状． ，，，． 【分析】找到四个函数与轴、轴的交点，画出函数的图象即可求出各图象围成的图形的形状． 【解答】解：过和 过和， 过和， 过和． 如图：由于，中比例系数均为，故两直线平行； 由于，中比例系数为，故两直线平行． 所得图形为平行四边形． 【点评】此题考查了一次函数的图象的画法及一次函数的性质，找到函数图象与轴、轴的交点是解题的关键． 一十一．正比例函数的图象 18．（2021秋•淮北期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确； 、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； 、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 一十二．一次函数的性质 19．（2023秋•蚌埠期末）若一次函数的图象经过第二，三，四象限，则一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据一次函数的性质确定，的符号， 【解答】解：一次函数经过第二，三，四象限， ，， ， 所以一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定，的取值是关键． 20．（2023秋•包河区期末）已知一次函数为常数）．当时，函数有最大值，则　4　． 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：一次函数为常数）中，， 随的增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，，即， 解得． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，先根据题意得出函数的增减性是解题的关键． 一十三．正比例函数的性质 21．（涡阳县期中）一次函数与正比例函数、为常数，且，它们在同一坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确； 、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 22．（2023秋•涡阳县校级月考）函数是正比例函数，这个函数中的值随自变量的增大而 　减小　． 【分析】根据正比例函数的定义求得，即可求得，由正比例函数图象的性质：当时，随的增大而减小可直接得到答案． 【解答】解：函数是正比例函数， ， ， ， 的值随自变量的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小． 一十四．一次函数图象与系数的关系 23．（2022秋•砀山县校级期中）已知一次函数，请你解答下列问题： （1）为何值时，函数图象不经过第四象限？ （2）为何值时，函数图象与轴的交点在轴下方？ 【分析】（1）若一次函数的图象不过第四象限，则此函数的的系数，． （2）函数图象与轴的交点在轴下方，且． 【解答】解：（1）一次函数的图象不过第四象限， ，， ． （2）函数图象与轴的交点在轴下方， 且， 且． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性，易错题，难度中等． 一十五．一次函数图象上点的坐标特征 24．（2023秋•蒙城县期中）若一次函数的图象经过点、，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】根据一次函数的增减性即可解答． 【解答】解：在中， 随的增大而增大，即． 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数自变量的系数大于零，随的增大而增大是解答本题的关键． 25．（2023秋•凤阳县期中）已知函数． （1）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． （2）结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标． ①横坐标是； ②和轴的距离是2个单位长度． 【分析】（1）根据题意，画出函数图象即可． （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【解答】解：（1）当时，； 当时，； 函数图象如图所示， （2）①由函数图象可知， 当时，； 故函数图象上横坐标是的点坐标为． ②和轴的距离是2个单位长度的点的纵坐标为2或， 当时，； 当时，； 所以函数图象上和轴的距离是2个单位长度的点的坐标为或． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 一十六．一次函数图象与几何变换 26．（2024春•铜官区期末）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：根据“左加右减”的平移法则可知， 将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后， 所得图象对应的函数解析式为：． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 27．（2023秋•庐阳区校级期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）由与成正比例，设出关系式，把与的值代入的值，即可确定出解析式； （2）该函数的图象向上平移3个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可． 【解答】解：（1）设， 把，代入得：，即， 则与函数关系式为，即； （2）将直线向上平移3个单位后得到的直线是：； 当时，． 当时，， 平移后的图象与轴交点的坐标是，与轴的交点坐标是， 则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：． 【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 一十七．待定系数法求一次函数解析式 28．（2023秋•庐阳区校级月考）一次函数的图象经过，两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）若一次函数与轴交于点，求△的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到△的面积． 【解答】解：（1）把，代入得到， 解得， 所以直线的解析式为； （2）把代入得，， 解得， 直线与轴的交点为， 所以△的面积． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 一十八．待定系数法求正比例函数解析式 29．（2021秋•金寨县期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】把点代入正比例函数，即可求出的值． 【解答】解：把点代入正比例函数， 得：， 解得：． 故选：． 【点评】此题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，比较简单． 30．（2023秋•砀山县校级月考）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【分析】（1）根据正比例函数的定义可设，然后，代入求出即可得到与之间的函数关系式； （2）把点代入（1）中的函数关系式中，解方程即可． 【解答】解：（1）设， 当，时，则， 即， 与之间的函数关系式为：； （2）点在这个函数的图象上， ， ． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；再将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 一十九．一次函数与一元一次方程 31．（2023秋•大观区校级期中）画函数图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是　　 0 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【分析】方程的根，即为的解，从表格看，当时，，当时，，即可求解． 【解答】解：方程的根，即为的解， 从表格看，当时，，当时，， 则在时，， 故选． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与轴交点的横坐标． 二十．一次函数与一元一次不等式 32．（2022秋•定远县校级月考）如图，函数的图象经过点，，与函数的图象交于点，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出点坐标，再观察图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系得出结论． 【解答】解：在中，令时，则， ， ， 由图可得：不等式的解集为． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 33．（2023秋•蚌山区期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）直接写出关于的不等式的解集； （2）当时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）结合函数图象直接写出答案． 【解答】解：（1）不等式的解集是； （2）当 时，． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出的值，是解答本题的关键． 二十一．一次函数与二元一次方程（组） 34．（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组　　的解． A． B． C． D． 【分析】两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【解答】解：由图可知： 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为： ． 故选：． 【点评】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 35．（2023秋•潜山市期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，一次函数的图象是常数且分别与轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为 　　；方程组的解为 　　； （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法，将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中求解，即可得到答案； （2）利用图象法即可解不等式和方程组； （3）由（1）可知直线的表达式为，直线的表达式为，分别求出、两点坐标，进而求得，设点的坐标为，根据，得到，求出的值，即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中， 得：， 解得； （2）由图象可知，一次函数的图象在一次函数的图象上方的部分，为不等式解集，与的交点为方程组的解， 一次函数与交于点 不等式的解集为，方程组的解为， 故答案为：，； （3）由（1）可知直线的表达式为，直线的表达式为， 当时，， 解得， ， ， 当时，， 解得， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， ， 解得：或， 当时，；当时，， 点的坐标为或． 【点评】本题时一次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 二十二．两条直线相交或平行问题 36．（2023秋•瑶海区期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数的四条性质，其中错误的是　　 A．当时具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是4 【分析】画出函数的大致图象，即可求解． 【解答】解：函数的大致图象如下： ．当时具有最小值为，正确； ．如果的图象与直线有两个交点，则，故错误； ．当时，，正确； ．的图象与轴围成的几何图形的面积，正确， 故选：． 【点评】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数，正确画出函数图象是解题的关键． 37．（2021秋•池州期末）如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为． （1）求点的坐标及直线所对应的函数关系式； （2）求的面积； （3）在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出，，从而得到关系式． （2）点坐标是与轴的交点坐标，点坐标是把，联立，求其方程组的解再求三角形的面积． （3）当时，点在线段的垂直平分线上，进而可以求得点的横坐标，然后代入直线的解析式求得点的纵坐标即可． 【解答】解：（1）由，令，得． ． ． 设直线所对应的函数关系式为， 由图象知：直线经过点， ， 解得． 直线所对应的函数关系式为． （2）由， 解得． ． ， ． （3），，， 点的横坐标为： 点在直线上， ， ． 【点评】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型． 二十三．一次函数的应用 38．（2023秋•包河区期中）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有　　 ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力时，拉力； ③拉力与重力成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【分析】由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力与重力的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②． 【解答】解：由图象可知，拉力随着重力的增加而增大， 故①正确； 拉力是重力的一次函数， 设拉力与重力的函数解析式为， 则， 解得：， 拉力与重力的函数解析式为， 当时，， 故②错误； 由图象知，拉力是重力的一次函数， 故③错误； 时，， 故④正确． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用． 39．（2023秋•太湖县期末）某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，如下表，图中折线反映了每户居民每月电费（元与用电量（度间的函数关系． 档次 第一档 第二档 第三档 每月用电量（度 （1）小王家某月用电100度，需交电费　60　元； （2）求第二档电费（元与用电量（度之间的函数关系式； （3）小王家某月用电260度，交纳电费173元，请你求出第三档每度电费比第二档每度电费多多少元？ 【分析】（1）求出第一档与的关系，即可解决问题； （2）利用待定系数法即可解决问题； （3）设第三档每度电费比第二档每度电费多元．构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）设第一档与的关系为，把代入得到，， 解得， ， 时，， 故答案为60． （2）设第二档与的关系，则有， 解得， ． （3）设第三档每度电费比第二档每度电费多元． ， 解得（元， 答：第三档每度电费比第二档每度电费多0.05元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型． 二十四．一次函数综合题 40．（2023秋•埇桥区期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点为直线上一个动点． （1）点坐标为　　，点坐标为　　； （2）求直线的解析式； （3）当时，求点坐标． 【分析】（1）分别代入，，求出与之对应的，的值，进而可得出点，的坐标； （2）过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）利用三角形的面积公式结合，即可求出点的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点坐标． 【解答】解：（1）当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． 故答案为：；． （2）过点作轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形， ，． ，， ． 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为． （3），即， ， ． 当时，， 解得：， 点坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 当时，点的坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标；（2）利用全等三角形的性质，求出点的坐标；（3）利用三角形的面积结合，求出点的纵坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$