专题03 圆的方程（考题猜想，易错必刷30题13种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题03 圆的方程 （易错必刷30题13种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形外接圆方程 · 过两点半径最小圆 · 含参圆求参 · “残圆”型 · 元的对称型求参范围 · 两圆位置关系 · 圆过定点 · 圆上点到圆外点距离最值 · 圆的“将军饮马”型 · 圆上点到直线距离最值型 · 两圆上点距离最值型 · 弦长最值 · 与圆围成的图形面积 题型大通关 一．三角形外接圆方程（共2小题） 1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．5 2． 过两点半径最小圆（共2小题） 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三．含参圆求参（共2小题） 5．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 四．“残圆”型（共2小题） 7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程（x，y不同时为0）表示的曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·广西贵港·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 五．圆的对称性求参范围（共2小题） 9．（21-22高一下·江西宜春·期中）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 10．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 六． 两圆位置关系（共2小题） 11．（20-21高二上·北京丰台·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 12．（23-24高二上·江西南昌·期中）设圆，圆，则圆的位置关系（ ） A．内含 B．外切 C．相交 D．相离 7． 圆过定点（共2小题） 13．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．（23-24高二上·湖北荆州·期中）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 八． 圆上点到圆外点距离最值（共3小题） 15．（23-24高二上·山西大同·期中）已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 17．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 九．圆的“将军饮马”型最值（共2小题） 18．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 十．圆上点到直线距离最值型 （共3小题） 20．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 十一．两圆上点距离最值型（共3小题） 23．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点P为圆：上一动点，点Q为圆：上一动点，点R在直线l：上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 24．（23-24高二上·湖北·期中）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 25．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 十二．弦长最值（共3小题） 26．（23-24高二上·云南昆明·期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 27．（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（    ） A．1 B． C． D．2 28．（22-23高二上·辽宁大连·期中）当直线被圆截得的弦最短时，实数m的值为（    ） A． B． C． D． 十三．与圆围成的图形面积（共2小题） 29．（21-22高二·全国·期中）的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是（　　） A． B． C． D． 30．（22-23高二上·重庆南岸·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的方程 （易错必刷30题13种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 三角形外接圆方程 · 过两点半径最小圆 · 含参圆求参 · “残圆”型 · 元的对称型求参范围 · 两圆位置关系 · 圆过定点 · 圆上点到圆外点距离最值 · 圆的“将军饮马”型 · 圆上点到直线距离最值型 · 两圆上点距离最值型 · 弦长最值 · 与圆围成的图形面积 题型大通关 一．三角形外接圆方程（共2小题） 1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】求和的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解. 【详解】依题意可得，线段的垂直平分线方程为， 又的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率为，得方程为，即， 解方程组得，即圆心坐标为， 所以半径． 故选：A    2． 过两点半径最小圆（共2小题） 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】半径最小的圆即以为直径的圆. 【详解】过点，半径最小的圆,即以为直径， 则圆心为中点，半径为， 则圆方程为：. 故选：A 三．含参圆求参（共2小题） 5．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 6．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 四．“残圆”型（共2小题） 7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程（x，y不同时为0）表示的曲线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程和一般方程求解. 【详解】当时，原方程可化为， 即，表示以为圆心，为半径的圆的第一象限部分； 当时，原方程可化为， 即，表示以为圆心，为半径的圆的第四象限部分； 当时，原方程可化为， 即，表示以为圆心，为半径的圆的第二象限部分； 当时，原方程可化为， 即，表示以为圆心，为半径的圆的第一象限部分； 综上所述，原曲线为4个半圆组成，曲线长度为， 故选：B. 8．（22-23高二上·广西贵港·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．圆的右半部分 C．圆 D．圆的上半部分 【答案】D 【分析】平方后可判断曲线的形状. 【详解】因为，所以， 即， 故方程表示的曲线为圆的上半部分. 故选：D. 五．圆的对称性求参范围（共2小题） 9．（21-22高一下·江西宜春·期中）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 10．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意，直线过圆心，进而有，又，从而利用均值不等式即可求解的最大值. 【详解】解：因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称， 所以直线过圆心， 所以，又， 所以即当取最大值为， 故选：A. 六． 两圆位置关系（共2小题） 11．（20-21高二上·北京丰台·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 12．（23-24高二上·江西南昌·期中）设圆，圆，则圆的位置关系（ ） A．内含 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】C 【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较即可得出答案. 【详解】圆，化为， 圆心为，半径为； 圆，化为， 圆心为，半径为； 两圆心距离为：， 因为，所以圆与相交. 故选：C. 7． 圆过定点（共2小题） 13．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 14．（23-24高二上·湖北荆州·期中）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 八． 圆上点到圆外点距离最值（共3小题） 15．（23-24高二上·山西大同·期中）已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可. 【详解】由题知， 设为圆上一动点， 设， 因为，所以在圆外， 则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方， 因为，圆半径， 所以，即 所以. 故选：D 16．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先由判断点在圆外，则最大值为. 【详解】圆 ，即， 则圆心，半径，由点， 则， 即点在圆外，则. 故选：C. 17．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解. 【详解】因为整理得， 表示以为圆心，半径的上半圆， 设，则，如图所示：    当三点共线时，取到最小值， 当为半圆的右端点时，取到最大值， 即，则， 所以的取值范围是. 故选：C. 九．圆的“将军饮马”型最值（共2小题） 18．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可. 【详解】设， 由， 得，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， 设，则， 故， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键. 19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值. 【详解】取，连接， 则，又， 所以， 又，故∽， 故，从而， 所以， 当三点共线时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 十．圆上点到直线距离最值型 （共3小题） 20．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 21．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可. 【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方， 易知圆心，半径，点C到直线的距离，则.    故选：B 22．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】求出直线过定点坐标，以及点的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解. 【详解】直线，即，令，解得， 所以直线恒过点， 又点为圆上的点，圆心为，半径， 则， 所以点到直线的距离最大值为. 故选：D 十一．两圆上点距离最值型（共3小题） 23．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点P为圆：上一动点，点Q为圆：上一动点，点R在直线l：上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据圆的几何性质，结合对称的性质、两点间线段最短、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为，    设圆：关于直线对称的圆为圆， 设的坐标为， 于是有， 设P点关于直线对称的点为， 显然有， 于是求的最小值，转化为求的最小值， 由圆的性质可知，当点在同一条直线上时，最小， 最小值为， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出圆关于直线对称的圆的圆心坐标. 24．（23-24高二上·湖北·期中）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过定点，直线过定点，且，得到的轨迹是以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的圆心，半径，得到的最大值是，得到答案. 【详解】因为直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心， 半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是． 故选：C 25．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为直线：，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是. 故选：B. 十二．弦长最值（共3小题） 26．（23-24高二上·云南昆明·期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据题意，可先判断点在圆的内部，可知最长弦为圆的直径，此时最长弦的弦长为，最短弦为过且与最长弦垂直的弦，此时最短弦的弦长为，再根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，即可求得答案. 【详解】依题意，把圆的方程化为标准方程是， 则圆心，半径， 点与圆心的距离， 则点在圆内，如图：    则过点及圆心的直线与圆相交，可得最长弦为圆的直径， 即， 当时，最短， 可得过点的最短的弦长， 所以四边形的面积. 故选：C. 27．（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设圆心为，半径为，代点求得圆方程，当直线与垂直时，弦长最短. 【详解】设圆的圆心为，半径为， 代入两点有， 解得圆， 圆心，设圆心到直线的距离为， ， 则弦长为，当直线与垂直时，弦长最短为. 故选：B. 28．（22-23高二上·辽宁大连·期中）当直线被圆截得的弦最短时，实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求得直线所过定点的坐标，根据求得的值. 【详解】依题意直线， 整理得， 所以，解得，故直线过定点， 圆的圆心为，半径为， ，所以在圆内. 所以当时，直线被圆截得的弦最短， 直线的方程为，即， 所以，解得. 故选：A 十三．与圆围成的图形面积（共2小题） 29．（21-22高二·全国·期中）的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中分别作出图象和圆的图形，即可求解. 【详解】的图象和圆在轴上方所围成的图形，如图所示： 由上得：所求面积是圆面积的， 又圆的半径为， 所以的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是， 故选：D. 30．（22-23高二上·重庆南岸·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论将曲线中的绝对值去掉可得四段关系式，从而作出曲线的图象，根据图像即可计算出其面积. 【详解】由可得， 当时，，即，表示圆心为，半径的半圆； 当时，，即，表示圆心为，半径的半圆； 当时，，即，表示圆心为，半径的半圆； 当时，，即，表示圆心为，半径的半圆； 所以曲线的图象如下图所示： 因此曲线围成的图形的面积为； 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$