28.3 实际问题与二次函数（第2课时销售利润问题）（教学课件）数学人教版五四制九年级上册

数学九年级上册 第28.3 实际问题与二次函数 (第2课时销售利润问题) 人教版（五四制）数学九年级上册 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 人教版（五四制）数学九年级上册 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________，顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______. 抛物线 直线x=h (h,k) 抛物线 直线 上 低 下 高 复习引入 人教版（五四制）数学九年级上册 复习引入 利润问题几个量之间的关系： 1.总价、单价、数量的关系： 2.利润、售价、进价的关系： 3.总利润、单件利润、数量的关系： 总价＝单价×数量 利润＝售价－进价 总利润＝单件利润×数量 人教版（五四制）数学九年级上册 合作探究 探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先来看涨价的情况． 人教版（五四制）数学九年级上册 (1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时，每星期少卖___件，实际卖出__________件，销售额为_________________元，买进商品需付_____________元．因此，所得利润__________________________________， 即y＝－10x2＋100x＋6 000，其中，_________. 根据上面的函数，填空：当x＝__时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价__元，即定价___元时，利润最大，最大利润是_______． 10x (300－10x) (60＋x)(300－10x) 40(300－10x) y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x) 5 5 65 6250元 合作探究 0≤x≤30 怎样确定x的取值范围? 人教版（五四制）数学九年级上册 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x）件， 销售额为（60-x)（300+20x）元，买进商品需付40（300+20x）元，因此，得利润 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)， y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20）， 当x=2.5时，y最大， 也就是说，在降价的情况下，降价2.5元， 即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元. (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论，自己写出答案． 合作探究 人教版（五四制）数学九年级上册 解：定价为65元时，利润最大. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 合作探究 人教版（五四制）数学九年级上册 例1 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180.为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件. (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 典例精析 人教版（五四制）数学九年级上册 解：(1)由题意可得w=(x-45-5)(-2x+180)=-2x2+280x-9000 (2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800 ∵ 销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件 ∴ 75≤x≤90 ∵ -2＜0，∴ 当75≤x≤90时，w随x的增大而减小 ∴ 当x=75时，有最大利润，最大利润为750元 (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 典例精析 人教版（五四制）数学九年级上册 1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204. (1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位：元)之间的函数解析式为______________________； (2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为_____元最合适，最大利润是_____元． y＝－3x2＋330x－8 568 55 507 小试牛刀 人教版（五四制）数学九年级上册 2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映：每涨价5元,每星期少卖出50件；已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 解:设定价为x元，利润为y元. y=(x-40)[300-50/5(x-60)] y=-10(x-65)2+6250 当x=65时,y最大=6250元. 小试牛刀 人教版（五四制）数学九年级上册 1.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ x y 5 16 O 7 解:(1)由图象可求y=-x2+20x-75， ∵-1<0，对称轴x=10， ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元. （2）由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元. 课堂检测 人教版（五四制）数学九年级上册 2.某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树． (1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(单位：个)与x之间的关系式． (2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(单位：个)与x之间的关系式为 y＝600－5x(0≤x<120且x为整数)． (2)设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为W个， 则W＝(600－5x)(100＋x) ＝－5x2＋100x＋60 000 ＝－5(x－10)2＋60 500， 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60 500个． 课堂检测 人教版（五四制）数学九年级上册 1.农经公司以30元/kg的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(kg)与销售价格x(元/kg)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数的知识确定p与x之间的函数解析式． 销售价格x/(元/kg) 30 35 40 45 50 日销售量p/kg 600 450 300 150 0 拓展训练 人教版（五四制）数学九年级上册 解:(1)假设p与x成一次函数关系，设函数解析式为p＝kx＋b， ∴p＝－30x＋1 500. 检验：当x＝35，p＝450时； 当x＝45，p＝150时；当x＝50，p＝0时，都符合一次函数解析式， ∴所求的函数解析式为p＝－30x＋1 500. 则 解得 拓展训练 人教版（五四制）数学九年级上册 (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 解:(2)设日销售利润为w元， 则w＝p(x－30)＝(－30x＋1 500)(x－30)， 即w＝－30x2＋2 400x－45 000， ∴当x＝－ ＝40时，w有最大值， 故这批农产品的销售价格定为40元/kg，才能使日销售利润最大． 拓展训练 人教版（五四制）数学九年级上册 (3)若农经公司每销售1 kg这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2 430元，求a的值．(日获利＝日销售利润－日支出费用) 解:(3)设日获利为y元，则y=p(x-30-a)=(-30x＋1500)(x-30-a)， 即y＝－30x2＋(2 400＋30a)x－(1 500a＋45 000)， 其图象的对称轴为直线x＝－ ＝40＋12a. ①若a≥10，则当x＝45时，y有最大值，即y最大值＝2 250－150a＜2 430(不合题意)； ②若a＜10，则当x＝40＋12a时，y有最大值，将x＝40＋12a代入， 可得y＝ 当y＝2 430时， 2 430＝ 解得a1＝2，a2＝38(不合题意，舍去)． 综上所述，a的值为2. 拓展训练 人教版（五四制）数学九年级上册 课堂小结 用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 人教版（五四制）数学九年级上册 1.某鞋帽专卖店销售一种绒帽.若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800，要想获得最大利润，则销售单价为( ) A.30元 B.35元 C.40元 D.45元 2.便民商店经营一种商品,在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2(x-20)2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x ≤19，那么一周可获得最大利润是( ) A.1554元 B.1556元 C.1558元 D.1560元 B B 课后作业 人教版（五四制）数学九年级上册 3.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，当一天出售该种手工艺品的总额利润y最大,x的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.某产品每件的成本是120元，试销阶段每件的销售价x(元)与产品日销售量y(件)之间的关系是y=-x+200，为获得最大的销售利润,每件产品的销售价应定为( ) A.120元 B.130元 C.150元 D.160元 D D 课后作业 人教版（五四制）数学九年级上册 谢谢聆听 人教版（五四制）数学九年级上册 $$