2.3二次函数与一元二次方程、不等式 （七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

2．3二次函数与一元二次方程、不等式 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2）当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 知识点1：一元二次不等式 知识梳理 （1） （2） （3） （4） 知识点2：分式不等式 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一元二次不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由得， 所以的解集为． 故答案为：． 题型一：解不含参数的一元二次不等式 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或． 【解析】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 题型一：解不含参数的一元二次不等式 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·江西上饶·开学考试）求解下列不等式： （1） （2） 【解析】（1）因为， 所以，解得； （2）因为， 所以，即， 此时有，解得． 题型一：解不含参数的一元二次不等式 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【解析】因为不等式的解集为 所以方程的两个根为： 由韦达定理可得：，∴，∴， 故选：B．   题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为．故选：D． 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为． 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 【解析】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【解析】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或．故选：B． 题型四：一次分式不等式的解法 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】，即，即，解得或． 故选：D．  【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 题型四：一次分式不等式的解法 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由可得，解得， 故不等式的解集为． 故选：C 题型四：一次分式不等式的解法 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】B 【解析】设船速为，则由题意得（）， 所以， 化简得， 所以，解得（舍去），或， 所以船速至少为46 ． 故选：B 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是． 故选：C 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒． 故选：C． 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】，不等式恒成立， 即，恒成立． 当时，不等式为恒成立，此时； 当时，， ∵，∴， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴． 综上，实数a的取值范围为． 故答案为：． 题型六：不等式的恒成立与有解问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高三·全国·专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为 ． 【答案】3 【解析】任意满足的实数，都有， 若，则， 可取，，可得，即恒成立， 由于，可得最大取2， 可得， 即有的最大可能值为3． 故答案为：3．  【方法技巧与总结】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 题型六：不等式的恒成立与有解问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， ． 故答案为：． 题型六：不等式的恒成立与有解问题 典型例题 【典例7-1】（2024·高一·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且． 故选：D． 题型七：一元二次方程根的分布问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简，代入即可求解．由有两个实数根，可得， 所以． 故选：D． 【方法技巧与总结】 数形结合 题型七：一元二次方程根的分布问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·四川自贡·开学考试）一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（    ） A．有两个正根 B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根 D．有一正根一负根且负根的绝对值大 【答案】B 【解析】根据判别式大于及韦达定理得有一正一负两根排除Ａ，Ｃ， 由两根之和为负得Ｂ正确由，可知， 所以方程有两个不相等的实数根． 设方程的两个根为，，则，， 由得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ 由和可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确 故选：B． 题型七：一元二次方程根的分布问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））当时，不等式的解是（    ） A．或 B． C．或 D．或 2．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（辽宁卷））若在上定义运算：. 若不等式对任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 3．（2001年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知则不等式的解集为 ． A C C $$ 2．3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：解不含参数的一元二次不等式 4 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 6 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 9 题型四：一次分式不等式的解法 12 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 14 题型六：不等式的恒成立与有解问题 17 题型七：一元二次方程根的分布问题 19 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【典型例题】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得， 所以的解集为. 故答案为：. 【典例1-2】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或. 【解析】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 【变式1-1】（2024·高一·江西上饶·开学考试）求解下列不等式： (1) (2) 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以，即， 此时有，解得． 【变式1-2】（2024·高一·上海·课堂例题）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【解析】（1）由不等式，得， ，解得：或， 由，得，解得：， 综上所述：， 所以的解集为：. （2）由不等式，得， 解得：或， 由，得，所以，即， 解得：， 综上所述：， 所以的解集为：. （3）由不等式，得， 解得：或， 由，得，解得：或， 综上所述：或， 所以的解集为：或. 【变式1-3】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）因为的判别式为：， 所以的解集为：. （2）因为，即， 因为的判别式为：， 所以的解集为：. （3）的判别式为：， 因为函数的图像开口向上，所以的解集为：. （4）由于，即， 因为的判别式为：， 所以函数的图像开口向上，所以的解集为：. 即的解集为：. 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例2-1】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 【典例2-2】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【解析】因为不等式的解集为 所以方程的两个根为： 由韦达定理可得：，∴，∴， 故选：B. 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式2-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 【变式2-3】（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【典例3-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【典例3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 【解析】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【解析】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 【变式3-2】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【解析】（1）由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式3-3】（2024·高一·四川泸州·阶段练习）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 【解析】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，解原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为； 当时，解得. 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高一·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】，即，即，解得或. 故选：D. 【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 【变式4-1】（2024·高一·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：C 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即，可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D． 【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 【典例5-1】（2024·高一·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】B 【解析】设船速为，则由题意得（）， 所以， 化简得， 所以，解得（舍去），或， 所以船速至少为46 ． 故选：B 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【变式5-1】（2024·高一·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 【变式5-2】（2024·高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 【变式5-3】（2024·高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 【变式5-4】（2024·高一·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 题型六：不等式的恒成立与有解问题 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】，不等式恒成立， 即，恒成立． 当时，不等式为恒成立，此时； 当时，， ∵，∴， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴． 综上，实数a的取值范围为． 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高三·全国·专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为 . 【答案】3 【解析】任意满足的实数，都有， 若，则， 可取，，可得，即恒成立， 由于，可得最大取2， 可得， 即有的最大可能值为3. 故答案为：3. 【方法技巧与总结】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 【变式6-1】（2024·高一·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·河南·阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【答案】 【解析】当时，，显然恒成立． 当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，解得． 当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，显然成立，所以， 故的取值集合是． 故答案为：． 【变式6-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 题型七：一元二次方程根的分布问题 【典例7-1】（2024·高一·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 【典例7-2】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简，代入即可求解.由有两个实数根，可得， 所以． 故选：D． 【方法技巧与总结】 数形结合 【变式7-1】（2024·高一·四川自贡·开学考试）一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（    ） A．有两个正根 B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根 D．有一正根一负根且负根的绝对值大 【答案】B 【解析】根据判别式大于及韦达定理得有一正一负两根排除Ａ，Ｃ，由两根之和为负得Ｂ正确由，可知，所以方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个根为，，则，，由得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ 由和可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确 故选：B. 【变式7-2】（2024·高一·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【解析】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数大致的图象，由图象得出和处对应的函数值小于0，列出不等式求解即可.令，作出函数大致的图象如图所示， .由图象知，当时；，解得； 当时，，解得. 综上可得，，故选D. 【变式7-4】（2024·高一·吉林长春·阶段练习）一元二次方程有两个负根，则实数的范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的两个负根为 则，解得： 本题正确选项： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：解不含参数的一元二次不等式 4 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 6 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 9 题型四：一次分式不等式的解法 12 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 14 题型六：不等式的恒成立与有解问题 17 题型七：一元二次方程根的分布问题 19 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【典型例题】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得， 所以的解集为. 故答案为：. 【典例1-2】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或. 【解析】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 【变式1-1】（2024·高一·江西上饶·开学考试）求解下列不等式： (1) (2) 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以，即， 此时有，解得． 【变式1-2】（2024·高一·上海·课堂例题）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【解析】（1）由不等式，得， ，解得：或， 由，得，解得：， 综上所述：， 所以的解集为：. （2）由不等式，得， 解得：或， 由，得，所以，即， 解得：， 综上所述：， 所以的解集为：. （3）由不等式，得， 解得：或， 由，得，解得：或， 综上所述：或， 所以的解集为：或. 【变式1-3】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）因为的判别式为：， 所以的解集为：. （2）因为，即， 因为的判别式为：， 所以的解集为：. （3）的判别式为：， 因为函数的图像开口向上，所以的解集为：. （4）由于，即， 因为的判别式为：， 所以函数的图像开口向上，所以的解集为：. 即的解集为：. 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例2-1】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 【典例2-2】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【解析】因为不等式的解集为 所以方程的两个根为： 由韦达定理可得：，∴，∴， 故选：B. 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式2-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 【变式2-3】（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【典例3-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【典例3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 【解析】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【解析】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 【变式3-2】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2) 【解析】（1）由不等式，可得，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，可得化为， 若，不等式可化为，解得，即解集为； 若，不等式可化为 当时，不等式即为，解得或，即不等式的解集为或； 当时，不等式即为， ①当时，即时，解得，解集为； ②当时，即时，解得，解集为； ③当当时，即时，解得，解集为 综上， 当时，不等式的解集为或； 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式3-3】（2024·高一·四川泸州·阶段练习）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 【解析】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，解原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为； 当时，解得. 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）不等式的解集为（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高一·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】，即，即，解得或. 故选：D. 【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 【变式4-1】（2024·高一·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：C 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即，可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D． 【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 【典例5-1】（2024·高一·上海·随堂练习）某船从甲码头顺流航行75 km到达乙码头，停留30 min后再逆流航行126 km到达丙码头．如果水流速度为4 km/h，该船要在5 h内（包含5 h）完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到（    ）千米． A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】B 【解析】设船速为，则由题意得（）， 所以， 化简得， 所以，解得（舍去），或， 所以船速至少为46 ． 故选：B 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【变式5-1】（2024·高一·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 【变式5-2】（2024·高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设花卉带的宽度为，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 【变式5-3】（2024·高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 【变式5-4】（2024·高一·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 题型六：不等式的恒成立与有解问题 【典例6-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【解析】，不等式恒成立， 即，恒成立． 当时，不等式为恒成立，此时； 当时，， ∵，∴， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴． 综上，实数a的取值范围为． 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高三·全国·专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为 . 【答案】3 【解析】任意满足的实数，都有， 若，则， 可取，，可得，即恒成立， 由于，可得最大取2， 可得， 即有的最大可能值为3. 故答案为：3. 【方法技巧与总结】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 【变式6-1】（2024·高一·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·河南·阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【答案】 【解析】当时，，显然恒成立． 当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，解得． 当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，显然成立，所以， 故的取值集合是． 故答案为：． 【变式6-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 题型七：一元二次方程根的分布问题 【典例7-1】（2024·高一·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 【典例7-2】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，化简，代入即可求解.由有两个实数根，可得， 所以． 故选：D． 【方法技巧与总结】 数形结合 【变式7-1】（2024·高一·四川自贡·开学考试）一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（    ） A．有两个正根 B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根 D．有一正根一负根且负根的绝对值大 【答案】B 【解析】根据判别式大于及韦达定理得有一正一负两根排除Ａ，Ｃ，由两根之和为负得Ｂ正确由，可知，所以方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个根为，，则，，由得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ 由和可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确 故选：B. 【变式7-2】（2024·高一·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【解析】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 【变式7-3】（2024·高一·全国·课后作业）若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数大致的图象，由图象得出和处对应的函数值小于0，列出不等式求解即可.令，作出函数大致的图象如图所示， .由图象知，当时；，解得； 当时，，解得. 综上可得，，故选D. 【变式7-4】（2024·高一·吉林长春·阶段练习）一元二次方程有两个负根，则实数的范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的两个负根为 则，解得： 本题正确选项： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$