2024-2025学年人教A版高一数学必修一第一学期第一章1.5全称量词与存在量词

人教A版高一数学必修1第一学期第一章章1.5全称量词与存在量词 第一章　集合与常用逻辑用语 1.5.全称量词与存在量词 核心素养目标 1.数学抽象：通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 2.直观想象：掌握判断全称量词命题与存在量词命题. 3.逻辑推理：能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 4.数学运算：借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养. 教学目标 教学重点：掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 教学难点：.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 情境导入 请判断下列命题的真假？并说一说命题中红色的词有什么意思？对这些命题的真假判断起什么作用？ (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形． 解析：首先要弄清楚命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同的形式加以否定． 提示： 在(1)中，其否命题是“并非所有的矩形是平行四边形”，也就是“存在一个矩形不是平行四边形”，它与“所有的矩形都不是平行四边形”有区别，前者是指“存在一个矩形不是平行四边形”，并不排除有其他的矩形是平行四边形． (1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题； (2)存在一个素数不是奇数，真命题； (3)所有实数的绝对值都不是正数，假命题； 　(4)每一个平行四边形都不是菱形，假命题． 4 下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数 (3)对所有的x R，x>3 (4)对任意一个x Z，2x+1是整数 是 是 不是 不是 (3)在(1)的基础上，用量词“所有的”对变量 x进行限定; 关系: (4)在(2)的基础上，用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 情境导入 5 知识讲解 思考：下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),他们之间有什么关系吗? (1)x＞3； (2)2x＋1＝3； (3)对所有的x∈R，x＞3； (4)存在一个x∈R，使2x＋1＝3． 解析：我们知道，命题是可以判断真假的陈述句，语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x限定；(4)在(2)的基础上，用“存在一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题，并且(3)是全称命题，(4)是存在性命题． 知识讲解 预习课本 ，思考并完成以下问题 1．全称量词、全称命题的定义是什么？ 2．存在量词、特称命题的定义是什么？ 3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？ 知识讲解 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称命题 含有全称量词的命题 形式 "对M中任意一个，有成立"，可用符号简记为"" 1．全称量词与全称命题 读作：对任意x属于M，有p(x)成立 8 知识讲解 判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2); (3)对任意一个无理数, 也是无理数. (1)假命题， 举反例：2; (2)真命题， 逻辑推导：，; (3)假命题， 举反例： 知识讲解 判断下列全称量词命题的真假： (1)每个四边形的内角和都是360°; (2)任何实数都有算术平方根; (3), 是无理数. 真命题 假命题 假命题 11 知识讲解 2．存在量词与特称命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 “” 特称命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的元素，成立”可用符号简记为 读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立” 12 知识讲解 3．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：　　　　　； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：　　　　． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 常见正面词语的否定 正面词语 有 是 等于 大于 小于 否定 没有 不是 不等于 不大于 不小于 正面词语 或 且 都是 至少有一个 至多有一个 否定 且 或 不都是 一个也没有 至少有两个 知识讲解 原命题的否定：自习课上，2班有一个同学说话。 原命题的否定：自习课上，2班所有同学都不说话。 想一想：说出下列命题的否定：（1）自习课上，2班所有的同学都不说话； （2）自习课上，2班有的同学说话； （3）命题“每个人的指纹都不相同”的否定为（ ）A.每个人的指纹都相同 ； B.所有人的指纹都相同；C.存在一个人的指纹相同 ； D.存在两个人的指纹相同 D 知识讲解 通过对上述命题的否定，你发现什么规律？ 答：从形式看， 全称命题的否定是特称性命题； 特称性命题的否定是全称命题 知识讲解 写出下列命题的否定 （1）所有的矩形都是平行四边形； 存在一个矩形不是平行四边形 （2）每一个素数都是奇数； 存在一个素数不是奇数 （3），. ， 它们与原命题在形式上有什么变化？ 原命题： 全称量词命题 命题的否定：存在量词命题 ， ， 变量词，否结论 真 假 假 真 真 假 原命题与命题的否定真假相反 知识讲解 写出下列命题的否定 （1）存在一个实数的绝对值是正数； 所有的实数的绝对值都不是正数 （2）有些平行四边形是菱形； 每一个平行四边形都不是菱形 （3），. ， 它们与原命题在形式上有什么变化？ 原命题： 存在量词命题 命题的否定：全称量词命题 变量词，否结论 ， 知识讲解 归纳总结新知 1、全称量词命题的否定是存在量词命题 即：“，”的否定是“，” 2、存在量词命题的否定是全称量词命题 即：“，”的否定是“，” 3、简记：变量词，否结论 知识讲解 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 含有一个量词的命题的否定 变量词，否结论 知识讲解 知识讲解 知识讲解 例如 1.命题“所有人都遵纪守法”的否定为（ ）A.所有人都不遵纪守法； B.有的人遵纪守法； C.有的人不遵纪守法； D.至少有一人遵纪守法.2.命题“乌鸦都是黑色的”的否定为（ ） A.所有乌鸦都不是黑色的； B.有的乌鸦是黑色的； C.至少有一个乌鸦是黑色的； D.至少有一个乌鸦不是黑色的. C D 省了 “所有的 ” 知识讲解 23 知识讲解 全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题. (1)有些素数的和仍是素数; (2)自然数的平方是正数. 解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题. 综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题. 24 知识讲解 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 知识讲解 用与表示含有量词的命题： (1)自然数集里的元素都在整数集中; (2)有的自然数的相反数是它本身. (1)，都有; (2)，使得. 知识讲解 用与表示含有量词的命题： (1)函数总是不小于0; (2)任何实数除以1，仍等于这个数; (3)函数有一个实数根; (4)函数有两个互不相同的实数根. (1)，都有; (2)，都有 (3)，使得1=0. (4)且， 使得1=0与1=0均成立. 知识讲解 判断是否为命题，若是，是全称还是存在量词命题： (1) 是无理数； (2)所有的二次函数都有一条对称轴； (3)有的平行四边形两条对角线相互垂直。 (1)不是命题; (2)全称量词命题; (3)存在量词命题. 28 知识讲解 (1)对于总是成立，求的取值范围; (2) ，使得成立,求的最小值. 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给…… 存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的…… 符号 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对中任意一个x∈M，p(x)成立”符号简记为“ ” “存在中的元素x∈M，p(x)成立”符号简记为“ ” 1、全称量词与存在量词 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 读作“任意” 读作“存在” 知识讲解 全称量词与存在量词的真假判断 全称量词命题 “ ” 存在量词命题 “ ” 判断为真 需要对集合中的每个元素，证明成立； 只需在集合中找到一个元素，使成立即可； （举例证明） 判断为假 只需在集合中找到一个元素，使不成立即可。（举反例） 需要证明在集合中，使成立的元素不存在。 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 知识讲解 小结 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. (2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假. 32 知识讲解 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定. 知识讲解 全称量词命题与存在量词命题的否定 例3写出下列各命题的否定. (1)p:对任意的正数x, >x-1; (2)q:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°; (4)s:有些质数是奇数. 分析:先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定. 知识讲解 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max). 知识讲解 根据命题的真假求参数的取值范围 已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围. 分析:若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决. 解:因为全称量词命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x∈R,x2+ax+1<0”. 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题. 由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知:Δ=a2-4>0, 解得a<-2或a>2. 所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” x∈M,p(x) 读作：对任意x属于M，有p(x)成立 集合 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为： 读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立” 含有全称量词的命题，叫做全称命题 含有存在量词的命题，叫做特称命题 符号简记为： x∈R ,p(x) 知识讲解 要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题 判断全称命题和特称命题真假 要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题 常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等. 常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等. 知识讲解 ∀ ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 两类否定 1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题： 全称命题p： ∀ x ∈M， p (x)， 它的否定¬ p：∃x0∈M，¬p(x0)． (2)特称命题的否定是全称命题： 特称命题p：∃ x0∈M，p (x0)， 它的否定¬ p：∀ x∈M，¬ p(x)． eq \a\vs4\al(∀) eq \a\vs4\al(∃) 解:(1)􀱑p:存在正数x,使≤x-1. (2)􀱑q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆. (3)􀱑r:所有三角形的内角和小于或等于180°. (4)􀱑s:所有的质数都不是奇数. $$