精品解析：浙江省杭州市杭州师范大学附属中学国际部2022-2023学年高一下学期期中数学试题

杭师大附中国际部2022学年第二学期期中考试 高一数学试题 命题：国际部数学备课组 审题：国际部数学备课组 命题时间：2023.04 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟. 考生注意 1.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上，用2B铅笔将准考证号填涂在答题纸的规定位置上. 2.答题时，请按照答题纸上的“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 3. 等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 7. 若，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数，则函数的最小值为（　　） A B. C. D. 10. 在中，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 11. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 函数部分图象是（　　） A. B. C. D. 13. 设，，，则（ ） A B. C. D. 14. 已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题3分，共9分.每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分，少选得2分） 16. 已知函数，则下列结论不正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为π C. 不是的对称中心 D. 在上单调递增 17. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 18. 已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.把答案填在题中的横线上） 19. 设函数，则________；若，则的取值范围是________ 20. 已知，，则______. 21. 的值__________. 22. 通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则________ 四、解答题（本大题共3小题，共31分） 23. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 24. 已知A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记且． （1）求的值； （2）求的值． 25 设函数. （1）当时，求函数在区间中的最大值和最小值； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭师大附中国际部2022学年第二学期期中考试 高一数学试题 命题：国际部数学备课组 审题：国际部数学备课组 命题时间：2023.04 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟. 考生注意 1.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上，用2B铅笔将准考证号填涂在答题纸的规定位置上. 2.答题时，请按照答题纸上的“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案. 【详解】由，可得， 又，可得. 故选：A 2. 下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 3. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：B. 4. 已知角的终边经过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的定义可得，再根据余弦函数的定义求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数， 在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意； 对于B，设，函数的定义域为R， 且满足，所以函数为偶函数， 当时，为单调递增函数，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 又函数在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 6. 函数的定义域为（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域求解即可. 【详解】由有意义可得，，， 即，， 故函数的定义域为. 故选：D. 7. 若，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及三角函数的符号即得. 【详解】∵，即，又， ∴是第三象限角. 故选：C. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 原式分子分母同除以，再将代入化简即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：A 9. 若函数，则函数的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】解： ，即 ∴函数的最小值为 故选：A 10. 在中，为锐角，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数间的基本关系分别求出及的值，然后利用诱导公式及三角形内角和定理得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出的值． 【详解】中，，， 为锐角，结合为锐角， ，， 则 ． 故选：A． 11. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案. 【详解】因，，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 故选：C. 12. 函数的部分图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数性质，结合余弦函数图象性质判断即可. 【详解】解：∵ ∴为偶函数，故排除B、D． ∵时，，时，， ∴C选项错误，A选项正确. 故选：A 13. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】解：因为 ，，， 所以， 故选：A 14. 已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数的取值范围. 【详解】当时，，得成立， 因为函数恰有两个零点， 所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求， 当时，只需满足，解得：. 故选：C 15. 设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围. 【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为， 当，则在定义域上递减，则， 此时，若，即时，最小值为； 若，即时，无最小值； 当，则在定义域上为常数，而，故最小值为； 当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值. 综上，. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题3分，共9分.每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分，少选得2分） 16. 已知函数，则下列结论不正确的有（ ） A. B. 的最小正周期为π C. 不是的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正切函数的性质以及“整体代换”的技巧进行求解. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以的最小正周期为，故B正确； 当时，，因为是正切函数的对称中心，故C不正确； 当时，， 在不是单调递增的，故D不正确. 故选：CD. 17. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A由即可计算判断，B由即可计算判断，C由即可计算判断，D由化简即可求得. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 18. 已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据题干条件，得出，再进行判断，BD选项可以通过举出反例进行证明，AC选项可以通过函数的单调性进行证明. 【详解】因为，所以是单调递减函数，因为，所以，而是定义在R上单调递增函数，故，A正确；当，时，满足，此时，故B错误；因为，所以，所以，C正确；当，时，，，所以，D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.把答案填在题中的横线上） 19. 设函数，则________；若，则的取值范围是________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入相应段解析式求解即可得；对于求，按的值分和两种情况求解即可. 【详解】由题， 若，则或， 解得或， 若，则的取值范围是. 故答案为：； 20. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 由同角三角函数关系及角的范围可得，再由诱导公式可得，从而得解. 【详解】由，可得，所以 所以 由， 故答案为：. 21. 的值__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： . 故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理. 22. 通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则________ 【答案】1000 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 四、解答题（本大题共3小题，共31分） 23. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），， （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）代入公式即可求得最小正周期及单调递减区间； （2）由已知条件给的区间，可以求得的区间，即可求得函数的最大值与最小值. 【小问1详解】 函数的最小正周期． 由，， 得，． ∴的单调递减区间为，． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴． ∴函数在区间上的最大值为2，最小值为 24. 已知A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式求得，再结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式求得和，结合诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，可得， 因为点B在第二象限，即，所以， 又由. 【小问2详解】 解：由， 因为，，所以，， 所以，即. 25. 设函数. （1）当时，求函数在区间中的最大值和最小值； （2）若时，恒成立，求取值范围. 【答案】（1）最大值为6，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的图象可求得函数的最大值和最小值； （2）由，根据当时，函数恒成立，分类讨论，使得，即可求解，得到答案. 【小问1详解】 由题意，当时，函数， 由二次函数的性质可知，在上递减，在上递增， 当时，函数取得最小值，最小值为， ，，当时，函数取得最大值，最大值为； 【小问2详解】 由， 因为当时，函数恒成立， 当时，即时，，解得； 当时，即时，， 即，此时解集为； 当时，即时，，解得，不符合题意. 所以实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$