专题03 相似三角形中的重要模型之手拉手（旋转）模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题03 相似三角形中的重要模型之手拉手（旋转）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 1 15 【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究． (1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 　 　； (2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值． 例2．（23-24九年级下·河南南阳·开学考试）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接） 例3．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 例4．（2024·湖北·模拟预测）某校数学兴趣小组，做了如下研究： 如图，点P是的边上一点，以为边在右侧作，且，，连接． (1)如图1，若．①求证：；②填空：_______； (2)如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若于D，且，求的长． 例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 例6．（2024·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 1．（2023春·浙江丽水·九年级专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 3．（24-25九年级上·湖北·课后作业）如图，在中，，，点是外一点，且，连接，若的面积为6，则的长为 ． 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在中，，，，E为线段上一动点，且，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径长为 5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图1，和都是等腰直角三角形，，，E为的中点，连接．如图2，将线段绕点C顺时针旋转角，其他条件不变． （1）旋转前后，线段的长不变，则线段的长是 ； （2）当 时，；当 时，．    6．（2023·山东·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度． 7．（2024·河南开封·统考一模）如图：两个菱形与菱形的边在同一条直线上，边长分别为a和b，点C在上，点M为的中点． （1）观察猜想：如图①，线段与线段的数量关系是______________． （2）拓展探究：如图②，，将图①中的菱形绕点B顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接，①猜想线段与线段的数量关系，并说明理由．②求出线段与所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且，请直接写出线段与线段的数量关系． 8．（2023·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．    9．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）正方形和正方形有公共顶点． (1)如图，点、、三点共线，若，，点为的中点，则的长为______ ； (2)将正方形绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，求证：； (3)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转一周的过程中，的最小值是______ ，此时，的度数为______ ． 10．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形与有公共顶点C，，，连接，交于点O．(1)探索线段与的关系，并写出证明过程； (2)连接，，若，，求的值．    11．（2023·河南郑州·校考二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数；②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．    12．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）类比探究 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．    ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________②若，，，则__________． 【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．①如图3，写出和的数量关系__________；②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．    13．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知中，，．D是所在平面内不与点A，C重合任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)如图①，当时，线段与之间的数量关系是______； (2)如图②，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； (3)如图③，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明． 14．（2024·安徽池州·模拟预测）（1）已知：如图1，在和中，，，，若点D是的中点，连接．求证：； （2）已知：在和中，，，． ①如图2．若点D在上，，F是的中点，连接，．求证：； ②如图3，点D在上，且是的三等分点（），若，，求的长． 15．（2024·贵州黔东南·二模）在中，，点在射线上运动，在左侧作，过点作线段，使，交于点，连接． (1)【操作发现】若，如图（1）所示，①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形；（不写作法，保留作图痕迹）②，的数量关系为_______，直线，的位置关系为______； (2)【类比探究】如图（2）所示，若，则（1）中，的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由；(3)【拓展延伸】如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 16．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 17．（2024·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1，在菱形中，，，四边形的顶点，分别在边和上，，，连接．(1)若平分，求证：四边形为菱形；(2)在（1）的条件下，当时，将四边形绕点顺时针旋转至图2所示的位置，连接，．①猜想与的数量关系，并加以证明；②当过点时，求的值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形中的重要模型之手拉手（旋转）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 1 15 【知识储备】手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 模型1.“手拉手”模型(旋转模型) 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究． (1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 　 　； (2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值． 【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析； (2)结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．证明见解析；(3)28 【分析】（1）结论BD=CE．证明△ABD≌△ACE（）；（2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．证明△DAB∽△EAC，可得结论；（3）根据条件可得当AB⊥BE时，，结合等边三角形的性质，可得，勾股定理即可求得． 【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案为：BD=CE． （2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE． 理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，， ∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE （3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC． ， 将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置， 当AB⊥BE时， ABC是等边△，等边三角形的边长为4，， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 例2．（23-24九年级下·河南南阳·开学考试）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得；（2）通过证明，可得，即可求解；（3）通过证明，可得，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，即可求解． 【详解】解：（1）和是等边三角形，，，， ，，，故答案为：； （2），理由如下： 和是等腰直角三角形，，，， ，，，，； （3）如图，过点作，且，连接，， ，，是等腰直角三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到，，， ，，，， 又，，，， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当在的延长线上时，的值最大，最大值为，故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点，解答本题的关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大． 例3．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)(2)成立；理由见解析(3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，， ∴，∴；故答案为：．    （2）解：成立；理由如下：∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵ ∴，∴；          （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则，根据解析（2）可知，， ∴，∴， 根据解析（2）可知，，∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去），∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则，根据解析（2）可知，， ∴，∴， 根据解析（2）可知，，∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去），∴此时；综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 例4．（2024·湖北·模拟预测）某校数学兴趣小组，做了如下研究： 如图，点P是的边上一点，以为边在右侧作，且，，连接． (1)如图1，若．①求证：；②填空：_______； (2)如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若于D，且，求的长． 【答案】(1)①见解析；②1(2)；(3) 【分析】（1）①证明，即可得到结论；②根据①中全等即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质及等量代换确定，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，，确定，过点P作于点E，结合图形利用三角形等面积法求解即可 【详解】（1）①证明：∵，∴， ∵，∴、均为等边三角形， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，； ②由①得，∴，故答案为：1； （2）解：，理由如下：∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）∵，∴由（2）得，∵，， ，，， ，，， ，， ，∴，，，， ，，过点P作于点E，如图所示： ，，， ， 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题关键． 例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及外角定理得到，则，即可求证； （2）连接，证明，则，即；（3）如图①，当点在同一直线上，连接，先证明 ，继而得到，则，则，可得，故，即可求解；如图②，当点O为中点时，，在中，由勾股定理得，则，而此时三点共线，故点B和点E重合，由点M是直线与直线的交点，得到三点重合，故此时的长为的长． 【详解】（1）解：为等腰三角形， 理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 例6．（2024·山东济南·模拟预测） (1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3)的长为或 【分析】本题考查了相似多边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）延长，交于H，连接，利用矩形的性质与判定可证明四边形是矩形，得出，，利用相似多边形的性质得出，进而得出，在中，由勾股定理得：，即可求解；（2）如图2，连接、，利用相似多边形的性质、旋转的性质可证明，得出，利用矩形的性质，勾股定理可求出，即可得出结论； （3）分点E在线段上，点E在线段延长线上，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，延长，交于H，连接， ∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∵矩形与矩形相似，，∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴，故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接、， ∵矩形与矩形相似，∴，由旋转可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：①如图3，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； ②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， 综上所述，的长为或． 例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，，，， ，，，，， ，，，， ，，， ．故答案为：． 1．（2023春·浙江丽水·九年级专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】证明，即可判断①，根据①可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断②，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断③，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定理求得， 根据即可判断④． 【详解】解：和都是等腰直角三角形，， 故①正确； 四点共圆， 故②正确； 如图，过点作于,交的延长线于点， , ，, 设，则，，则 AH∥CE，则；故③正确 如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形， ，当共线时，取得最小值， 此时 ，此时， ，，，，， ，平分，， 四点共圆，  ， 又,，，则四边形是菱形， 又，四边形是正方形，， 则，， ，，  ，，则， ，，，故④不正确，故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，，， ，，． 当时，，，， 当时，，，， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或．故答案为：8或． 3．（24-25九年级上·湖北·课后作业）如图，在中，，，点是外一点，且，连接，若的面积为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转，得线段，连接，，可证，，从而，得出，可证，后据的面积为6可求出的长． 【详解】如解图，将线段绕点顺时针旋转，得线段，连接，，则，，∵在中，，， ∴，，， ∵，，， ，，，， ，解得．故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在中，，，，E为线段上一动点，且，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径长为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点F的运动轨迹，属于中考常考题型．先判断，再求出点F的运动轨迹，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】证明：如图，连接，并延长， ∵， ∴， ∴， ∵， ，，∴，， ∴； ∴，，∴， ∴点F的运动轨迹是射线， ∴当E从B运动到A时，F运动路径的长为 ， 故答案为：． 5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图1，和都是等腰直角三角形，，，E为的中点，连接．如图2，将线段绕点C顺时针旋转角，其他条件不变． （1）旋转前后，线段的长不变，则线段的长是 ； （2）当 时，；当 时，．    【答案】 45 30 【分析】（1）据已知条件可推导出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明，根据题意CE长度可求，再根据相似三角形的性质即可求得BD的长度．（2）分别画出、BD⊥AD时图形，再根据（1）可知及平行线的性质、垂直的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，，，∴， ∵，，∴， ∵，同理，∴，， ∴，∴，∴， ∵E为的中点∴，∴，故答案为：6； （2）∵，如图所示，∴，       ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得，∴， ∴；∴当时；如图所示，， 由（1）可得，∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴当时，，故答案为：、． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、平行线的性质、勾股定理及三角函数等知识点，正确的根据题意画出图形并正确掌握上述知识点是解答本题的关键． 6．（2023·山东·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由； 【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度． 【答案】BD＝CE，BD⊥CE； BD⊥CE，理由见解析；图见解析， 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答； （2）连接BD，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论； （3）如图3，过A作AF⊥EC，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE； （2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA， ∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE． （3）如图所示，过点A作AF⊥CE，垂足为点F． 根据题意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD， ∴，∴． ∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD， ∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE． 在旋转前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4， ∴，∵AC⊥BD，∴，∴． ∴，在Rt△ACD中，CD边上的高，旋转后，得，∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． 7．（2024·河南开封·统考一模）如图：两个菱形与菱形的边在同一条直线上，边长分别为a和b，点C在上，点M为的中点． （1）观察猜想：如图①，线段与线段的数量关系是______________． （2）拓展探究：如图②，，将图①中的菱形绕点B顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接，①猜想线段与线段的数量关系，并说明理由．②求出线段与所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且，请直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②线段与所成的最小夹角为60；（3）． 【分析】（1）根据已知求得AE =a+b，CG =b-a，根据线段中点的定义求得CM =，通过计算即可求解；（2）①延长BM到H，使MH=BM，连接GH，利用SAS证明△CMB△GMH和△ABE△HGB，即可得到结论；②延长MB交AE于N，证明∠GBE=∠BNE=60，即可求解； （3）延长BM到H，使MH=BM，连接GH，同理证明△CMB△GMH，再证明△ABE△HGB，即可求解． 【详解】（1），理由如下： ∵菱形ABCD与菱形 BEFG的边长分别为a和b，∴AE=AB+BE=a+b，CG=BG-BC=b-a， ∵点M为CG的中点，∴CM=CG=， ∴，∴； （2）①，理由如下：延长BM到H，使MH=BM，连接GH，如图： ∵点M为CG的中点，∴CM=MG，∵∠CMB=∠GMH，∴△CMB△GMH (SAS)， ∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180， ∵菱形ABCD与菱形 BEFG中，∠ABC=120°，∠GBE=60°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH， ∵AB=BC=HG，BE=BG，∴△ABE△HGB (SAS)，∴AE= HB； ②线段与所成的最小夹角为60，理由如下： ∵△ABE△HGB，∴∠AEB=∠BHG，延长MB交AE于N， 则∠MBE=∠BNE+∠AEB，即∠HBG+∠GBE=∠BNE+∠AEB， ∴∠GBE=∠BNE=60，∴线段与所成的最小夹角为60； （3），理由如下：延长BM到H，使MH=BM，连接GH，如图： 同理可得：△CMB△GMH (SAS)，∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，∴BC∥GH，∴∠BGH+∠CBG=180， ∵矩形ABCD与矩形 BEFG中，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABE+∠CBG=180，∴∠ABE=∠BGH， ∵，∴，∴△ABE△HGB，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 8．（2023·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）证即可求证；（2）结合（1）仍然可证，进一步证可推出，即可利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：如图：    ∵，，∴∴ 在图1中：∵∴ ∵∴∴ ∵绕点顺时针旋转得∴ ∵∴ ∵∴∴即： （2）解：∵∴ ∵∴    ∴ ∵∴∴∴ ∵,∴∴ ∴∴∴ 【点睛】本题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 9．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）正方形和正方形有公共顶点． (1)如图，点、、三点共线，若，，点为的中点，则的长为______ ； (2)将正方形绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，求证：； (3)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转一周的过程中，的最小值是______ ，此时，的度数为______ ． 【答案】(1)(2)见解析(3)， 【分析】（1）连接、，由正方形的性质求出，，，再由勾股定理求得，然后由直角三角形斜边上中线性质即可得出答案； （2）连接、，先证，再由，则，得，即可得出结论；（3）点的运动轨迹为以为圆心为半径的，点的运动轨迹为，连接交于点、交于点，延长交于点，先证是的直径，，则的半径为，再证点为正方形的对角线中点，连接、，与的交于点，此时，最短，求出的长，然后证是直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接、， 四边形和四边形都是正方形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 为的中点，，故答案为：； （2）证明：如图，连接、， 四边形和四边形都是正方形， ，，，，，， ，， ，，，； （3）解：如图，由题意得：点的运动轨迹为以为圆心为半径的，点的运动轨迹为，连接交于点、交于点，延长交于点， ，，，与交于点， 点与点重合时，最长，与交相切于点， 当点与点重合时，最短，点与点重合，是圆的直径， ，的半径为， ，，点为正方形的对角线中点， 连接、，与的交于点，此时，最短，由正方形的性质得：， ，； 在中，由勾股定理得：， ，，，， ，，是直角三角形，， ，；故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、直角三角形斜边上中线性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、圆的位置关系、旋转的性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理的逆定理，找出动点的轨迹，取得最值时满足的条件是解题的关键． 10．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形与有公共顶点C，，，连接，交于点O．(1)探索线段与的关系，并写出证明过程； (2)连接，，若，，求的值．    【答案】(1)，理由见解析(2)125 【分析】（1）证明，根据，得，可得，，从而得出；（2）连接，利用相似三角形的性质求出、的长度，进而得出，再利用勾股定理及等量代换得出，即可求出的值． 【详解】（1）解：，， 证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴； （2）如图，连接，    ∵四边形是矩形，∴， ∵，，，∴，， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， 在中，， 在中，， ∴，∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活应用这些性质是解决问题的关键． 11．（2023·河南郑州·校考二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．(1)【问题发现】如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数；②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．    【答案】(1)，(2)①；②(3) 【分析】（1）证明，即可得到，，问题得证； （2）①连接、、，证明，再证明，即可得出结果；②证明，即有，即可求解；（3）证明为等边三角形，就有MN=CN，由条件可以得出，即有，可得，设为x，则有，用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）∵，∴，， 又∵，，∴，∴，， ∵， ∴， ∴，故答案为：，； （2）①连接、、，AC    ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，∴； ②∵，，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）∵和为等边三角形，∴，，． ∴，即． ∴，∴， ∵，， ∴，∴，∴，∴， 又∵，∴是等边三角形．∴， ∵，∴，∴，∴， 设为x，则有，∴，∴， ∴，∴当时，NC有最大值是， 即点C在的中点时，线段最大，最大值是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 12．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）类比探究 【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则把绕着A逆时针方向旋转，连接和．      ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________②若，，，则__________． 【迁移应用】在中，，，D、E、M分别是、、中点，连接和．①如图3，写出和的数量关系__________；②如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，当D落在上时，连接和，取中点N，连接，若，求的长． 【创新应用】如图5：，，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，且，连接，请直接写出的取值范围．    【答案】【问题背景】①，②；【迁移应用】①，②3；【创新应用】 【问题背景】①根据相似三角形的性质可得，根据相似三角形的判定即可证明； ②利用相似三角形的性质求解；【迁移应用】①根据正切的定义求得，即可得结论； ②连接，根据相似三角形的性质和判定，求出，根据三角形的中位线定理即可求得； 【创新应用】过点A作于点K，过点C作于点J，连接, 根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式求得，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得，，通过，即可可得结论． 【详解】解：①∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． ②∵，∴，∴，∴．故答案为：． ①如图3中，在中，，，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． ②如图4中，连接．∵，∴，       ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴． 如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接． ∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切的定义，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质等，添加常用辅助线，构造平行线是解题的关键． 13．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知中，，．D是所在平面内不与点A，C重合任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)如图①，当时，线段与之间的数量关系是______； (2)如图②，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； (3)如图③，当时，线段与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）当时，，．， 和都是等边三角形，得到，，再证明，得到．（2）过点A作于点G，设，过点D作于点H，设，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，三角函数的应用，计算解答即可． （３）设，设，利用等腰三角形的性质，三角形的相似判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）证明：当时， ∵，．，，∴和都是等边三角形， ∴，，∴， ∵，∴∴．故答案为：． （2）解：．理由如下：过点A作于点G，设， 当时，∵，．，， ∴，， ，∴， ∴，∴， ∴，，， 过点D作于点H，设，同理可证，，， ∴，，∴，∴， ∴，∴． （3）解：．理由如下： 当时，设，设，∵，．，， ∴，， ∴， ∴， ∴，∴，同理可证，∴，， ∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 14．（2024·安徽池州·模拟预测）（1）已知：如图1，在和中，，，，若点D是的中点，连接．求证：； （2）已知：在和中，，，． ①如图2．若点D在上，，F是的中点，连接，．求证：； ②如图3，点D在上，且是的三等分点（），若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用证明，结合等腰三角形的性质即可证明； （2）①连接，先证明，再证，则可得；再由直角三角形斜边上中线的性质得； ②连接，过点B作，垂足为点G．由①知，得，从而可求得．在，中，由勾股定理可求得的长．由①知，即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴． 又∵，，∴，∴． ∵点D是的中点，，∴，∴． （2）①证明：如图，连接， ∵，∴，∴． ∵，， ， ∵，，∴，∴； ∵，∴，∴． ∵，∴．∵点F是AC的中点，∴，，∴． ②解：如图，连接，过点B作，垂足为点G． ∵点D是的三等分点，，∴，∴． 由①知，，∴．∵，∴，∴． ∵，，∴，∴． ∵，∴在中，． 在中，． 由①知，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，构造适当的辅助线，证明三角形相似是解题的关键． 15．（2024·贵州黔东南·二模）在中，，点在射线上运动，在左侧作，过点作线段，使，交于点，连接． (1)【操作发现】若，如图（1）所示，①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形；（不写作法，保留作图痕迹）②，的数量关系为_______，直线，的位置关系为______； (2)【类比探究】如图（2）所示，若，则（1）中，的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由；(3)【拓展延伸】如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)①见解析 ②；(2)数量关系不成立，位置关系成立，理由见解析(3)或 【分析】（1）①根据尺规作垂直平分线，以点为圆心，适当长为半径画弧交于两点，分别以两交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧交于一点，连接点与该点，交于点，则得到，连接即可；②利用证明，得出，，根据计算角度，证明即可； （2）根据特殊角的三角函数值，推出，根据，推出，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，证明，得出，，根据，得出答案即可； （3）根据含角的直角三角形的性质、特殊角的三角函数值，得出，，分“当时”和“当时”两种情况讨论；当时，推出，由，推出，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，证明，推出，结合，得出；当时，推出，计算角度推出，得出，，推出，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，证明，得出，则根据，得出答案即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作图形， ； ②∵，，∴，∴， ∵，，∴，， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，即，故答案为：；； （2）解：，的数量关系不成立，位置关系成立，理由如下， ∵，，，∴， ∴，，∴， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴，，∴，的相等关系不成立， ，即，∴，的垂直关系成立； （3）解：∵在中，，，，， ∴，，，， 如图，当时，∴，，∴， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），∴， 又∵，∴； 如图，当时，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，即， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴，∴．综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了尺规作垂直平分线、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握尺规作垂直平分线、灵活运用知识点推理证明、分类讨论是解题的关键． 16．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图（1），等腰三角形中，，．点，分别在，上，．    (1)操作发现：将图（1）中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图（2）．发现：．请证明这个结论． (2)实践探究：将图（1）中的绕点顺时针旋转（），当，，三点在同一条直线上时，连接，如图（3）．请解答以下问题： ①求证：；②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，推得，根据等边对等角可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可证明；（2）①根据平行线分线段成比例定理可得，推得，，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：在图（1）中，∵，∴； 在图（2）中，根据旋转的性质，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：①在图（1）中，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴在图（3）中，，∴， 在和中，，∴； ②，理由：∵，∴， ∵，∴在图（1）中，，∴，即， ∵，， ∴，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，等边对等角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握等腰三角形共点旋转模型是解本题的关键， 17．（2024·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1，在菱形中，，，四边形的顶点，分别在边和上，，，连接．(1)若平分，求证：四边形为菱形；(2)在（1）的条件下，当时，将四边形绕点顺时针旋转至图2所示的位置，连接，．①猜想与的数量关系，并加以证明；②当过点时，求的值．    【答案】(1)见详解(2)①，② 【分析】（1）连接，先证明点F在上，再根据菱形得出，再由平行线得出，即：，最后根据菱形的判定定理证明即可．（2）①根据相似三角形的判定构造出，从而得出结论；②根据正切的定义得到和之间的关系，然后利用勾股定理列方程即可求出，进而问题可求解． 【详解】（1）连接，如图， 四边形 是菱形，，平分，            平分，与重合，点F在上， ，，， 又，， 四边形为菱形； （2）如图， ，四边形为菱形， ， ①连接，，，如图，由旋转的性质得：，即， ，，， ， ， ， ， ，， ，，，即： ； ②作，交的延长线于点H，如图所示：    ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、旋转的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、旋转的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$