28.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质（教学课件）数学人教版五四制九年级上册

数学九年级上册 第28.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 人教版（五四制）数学九年级上册 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念. 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括图象的特点. 3.掌握二次函数y=ax²的图象和性质，并会应用. 人教版（五四制）数学九年级上册 2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤？ 图象法、列表法、解析法 ①列表 ②描点 ③连线 复习引入 1.函数有几种表示方式？图象法有什么特点？ 人教版（五四制）数学九年级上册 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象.（列表、描点、连线） 9 4 1 0 1 9 4 1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象． 互动新授 人教版（五四制）数学九年级上册 互动新授 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 3 6 9 y O -3 3 x 从图象可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2. 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c. 人教版（五四制）数学九年级上册 2.抛物线y=x2与对称轴的交点______叫做物线y=x2的______，它是抛物线y=x2的最___点. 互动新授 思考 1.抛物线y=x2是轴对称图形吗？ ___，如果是，它的对称轴是_____. 是 y轴 (0,0) 顶点 低 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.   3 6 9 y O -3 3 x 人教版（五四制）数学九年级上册 互动新授 3.从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的_____，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的_____，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 3 6 9 y O -3 3 x 人教版（五四制）数学九年级上册 典例精析 例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象. 解：1.分别列表，再画出它们的图象. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y= x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 1 2 人教版（五四制）数学九年级上册 y=2x2 y= x2 1 2 思考 （1）函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点？ （2）当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 典例精析 一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 人教版（五四制）数学九年级上册 探究 （1）在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. （2）当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 互动新授 y=- x2 1 2 y=-2x2 一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 人教版（五四制）数学九年级上册 向上 向下 (0,0) (0,0) y轴 y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时， y最小=0. 当x=0时， y最大=0. 方向 向上 向下 大小 越小 越大 归纳总结 人教版（五四制）数学九年级上册 1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ,顶点是抛物线的最 点. 3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ,顶点是抛物线的最 点. 4.函数y=－0.2x2的图象的开口 ,对称轴是______,顶点是 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 小试牛刀 人教版（五四制）数学九年级上册 1.下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ） A.它的图象经过点（-1，-2） B.它的图象的对称轴是直线x＝2 C.当x＜0时，y随x的增大而增大 D.当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0 2.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2，4)，则该图象必经过点( ) A.(2，4) B.(-2，-4) C.(-4，2) D.(4，-2) 3.在同一坐标系中，与y=2x2的图象关于x轴对称的图象是( ) A.y=x2 B.y=-x2 C.y=-2x2 D.y=-x2 D A C 课堂检测 人教版（五四制）数学九年级上册 4.下列说法错误的是（　　） A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大 B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0 C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大 D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点 C 课堂检测 人教版（五四制）数学九年级上册 5.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m). (1)求a、m的值； (2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？ (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 解: (1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以P点坐标为(1，1).将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，得a=1.即a=1,m=1. (2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大. (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴. 课堂检测 人教版（五四制）数学九年级上册 1.已知点（-1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ） A．1 B．2 C． D．－ 2.如果抛物线y=(m−1)x² 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ） A．m>1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 3.已知a<－1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ） A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3 B A C 拓展训练 人教版（五四制）数学九年级上册 3.已知:如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ×CO×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 拓展训练 人教版（五四制）数学九年级上册 向上 向下 (0,0) (0,0) y轴 y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小. 当x=0时， y最小=0. 当x=0时， y最大=0. 方向 向上 向下 大小 越小 越大 课堂小结 人教版（五四制）数学九年级上册 1．已知点(1，y1)，(2，y2)都在函数y=x2的图象上，则y1与y2大小关系正确的是（ ） A.y1＞y2＞0 B.y2＞y1＞0 C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0 2．已知:-1＜a＜0，且点(a-2，y1),(a，y2),(a+2，y3),都在函数y=x2的图像上，那么y1,y2,y3的大小关系是（ ） A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y3＜y1 C.y3＜y2＜y1 D.y3＜y1＜y2 B B 课后作业 人教版（五四制）数学九年级上册 3.已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解:(1)由 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，得 解得k＝2； （2）y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 课后作业 人教版（五四制）数学九年级上册 谢谢聆听 人教版（五四制）数学九年级上册 $$