20.3.1 等腰三角形（等腰三角形的判定与性质）(练习)数学人教版五四制八年级上册

20.3.1等腰三角形（等腰三角形的判定与性质） 一、单选题 1．下列能判定△ABC为等腰三角形的是(         ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13 2．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100° C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90° 3．如图，在中，，点都在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知是的两边，且，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定 5．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（    ） ①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC. A．① B．② C．③ D．①②③ 6．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　） A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm 9．如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（    ） A． B． C． D． 10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，，CD平分，，，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使，连接DE，可得且是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，中，，，BD平分，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（，，）（    ） A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c 二、填空题 11．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形． 12．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度． 13．如图,△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC=8cm,△AMN的周长是12cm,则△ABC的周长等于_____cm. 14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是_____度． 15．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________． 16．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于E．若∠ABC＝52°，∠C＝32°，AB＝5.2，BC＝9.8，则AE＝_____． 17．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点若，当为等腰三角形时，______． 18．如图，中，，点在上，点在上，，若，，，则___________． 三、解答题 19．如图，在中，，，求的度数． 20．已知：如图，中，，E在的延长线上，．若，则_______． 21．如图，中，，D为上一点，E为延长线上一点，且交于G．求证：． 22．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：为等腰三角形； （2）当时，求的度数． 23．如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 24．如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点． (1)求证AE=CD (2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明 25．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图1，就是一个格点三角形． (1)在图1中，作出关于直线m成轴对称的图形；并直接写出的面积为______； (2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形； (3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA＋EC的值最小（保留作图痕定并标上字母E）； (4)在图4的直线m上找出一点F，使得的值最大（保留作图痕迹，并标上字母F）． 26．在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D． (1)当时，______度． (2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由． (3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小． 27．如图①，中，，、的平分线交于点，过点作EFBC交、于、． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作OEBC，交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C． (1)若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求： ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． (2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标． (3)如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由． 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 第 2 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.3.1等腰三角形（等腰三角形的判定与性质） 一、单选题 1．下列能判定△ABC为等腰三角形的是(         ) A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13 【答案】B 【分析】判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断． 【解析】A、∠C＝180°−30°−60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项错误； B、∠C＝180°−50°−80°＝50°，有相等的角，则是等腰三角形，B选项正确； C、∵∠A＝2∠B＝80°， ∴∠B＝40°， ∴∠C＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，C选项错误； D、∵AB＝3，BC＝6，周长为13， ∴AC＝13−6−3＝4，没有相等的边，则不是等腰三角形，D选项错误； 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，理解定理是关键． 2．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　） A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100° C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形． 【解析】解：A、∵∠A=50°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=70°， 所以∠A≠∠B≠∠C， 所以△ABC不是等腰三角形； B、∵∠A=50°，∠B=100°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=30°， 所以∠A≠∠B≠∠C， 所以△ABC不是等腰三角形； C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形； D、∠A+∠B=90°， 则2∠A+∠B=180°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠C， 所以△ABC是等腰三角形． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．解答该题时，一定要与三角形的内角和定理相结合． 3．如图，在中，，点都在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先证明AB=AC，再根据SAS证明即可得到结论． 【解析】解：在△ABC中，∠B=∠C． ∴AB=AC 在△ABD和△ACE中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，证明是解答此题的关键． 4．已知是的两边，且，则的形状是（  ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】把变形得到可得三角形形状． 【解析】解：因为：，所以：， 所以：，所以三角形ABC是等腰三角形， 故选A． 【点睛】本题考查的是完全平方式的特点及三角形形状的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 5．下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（    ） ①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC. A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】D 【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确． 【解析】∵AD⊥BC，且AD平分BC， ∴AD是边BC上的中垂线， ∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形； 故本选项正确； ∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD， ∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线， ∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形； 故本选项正确； ∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC， ∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线， ∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形； 故本选项正确； 综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一． 6．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由AC＝BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确 定△BCD与△ABD也是等腰三角形． 【解析】解：由图可知， ∵AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠C＝36°，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36° ∴△CBD为等腰三角形， ∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A ∴△BAD均为等腰三角形， ∴图中等腰三角形共有三个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解． 【解析】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y， ∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y， 又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y， 则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y， 又因为∠ADC＝∠B+∠BAD， 所以 2x+y＝y+40， 解得x＝20， 所以∠EDC的度数是20°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确确定相等关系列出方程是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　） A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，能推出2DE+2EC＝16（cm），即可得出答案． 【解析】解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∵△ABC周长26cm，AF＝5cm， ∴AC＝10（cm）， ∴AB+BC＝16（cm）， ∴AB+BE+EC＝16（cm）， 即2DE+2EC＝16（cm）， ∴DE+EC＝8（cm）， ∴DC＝DE+EC＝8（cm）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查三角形的线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的性质． 9．如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形内角和定理可求α的值． 【解析】解：，， ， 将绕点顺时针旋转角至△， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，，CD平分，，，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使，连接DE，可得且是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，中，，，BD平分，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（，，）（    ） A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c 【答案】A 【分析】在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，即可推出结论． 【解析】解：要想求的长，仅需知道和的长，理由是： 如图4，中，，， ， 平分， ，， 在边上取点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， 在边上取点，使，连接， 则， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 11．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形． 【答案】等腰 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断． 【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°， ∴∠B=180°－∠A－∠C=70° ∴∠B=∠C ∴△ABC为等腰三角形 故答案为：等腰． 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和等腰三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和等角对等边是解决此题的关键． 12．如图，在△ABC中，高AD、BE交于H点，若BH=AC，求∠ABC等于___度． 【答案】45 【分析】根据同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角边”证明△ACD和△BHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BD，然后判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【解析】解：∵AD、BE是△ABC的高， ∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C， ∴∠CAD=∠HBD， 在△ACD和△BHD中， ， ∴△ACD≌△BHD(AAS)， ∴AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键． 13．如图,△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC=8cm,△AMN的周长是12cm,则△ABC的周长等于_____cm. 【答案】20 【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等角对等边可得MO＝MB，NO＝NC．从而根据△AMN的周长求出AB＋AC，问题得解． 【解析】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC． 又∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC． ∴∠ABO＝∠MOB， ∴MO＝MB． 同理可得：NO＝NC． ∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝12cm， ∴△ABC的周长为：AB＋AC＋BC＝12＋8＝20cm. 故答案为20. 【点睛】本题考查了等角对等边的性质、角平分线的性质和平行线的性质；进行有效的线段的等量代换是正确解答本题的关键． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是_____度． 【答案】15 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算． 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝75°， ∴∠ADE＝15°， 故答案为15． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握，即可解题. 15．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________． 【答案】8 【分析】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解． 【解析】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E 故答案是：8． 【点睛】本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 16．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于E．若∠ABC＝52°，∠C＝32°，AB＝5.2，BC＝9.8，则AE＝_____． 【答案】2.3 【分析】延长AE交BC于F，则△ABE≌△FBE（ASA），可得AE＝AF，根据度数关系可以得出AF＝FC＝BC－AB，即可求出． 【解析】解：延长AE交BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝EF，AB＝BF＝5.2， ∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣52°）＝64°， ∵∠C＝32°， ∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝32°， ∴∠CAF＝∠C， ∴AF＝CF， ∵BC＝9.8， ∴CF＝BC﹣BF＝4.6， ∴AF＝4.6， ∴AE＝2.3， 故答案为：2.3． 【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形相关知识点，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． 17．如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点若，当为等腰三角形时，______． 【答案】或或或 【分析】当△DEF为等腰三角形时，分别讨论腰的情况． 【解析】解：为等腰三角形时， 根据折叠变换的性质可得，， 当时，，如图， ， ， ，显然不符合题意； 当时，，如图， ， ， ， ； 当时，，如图， ， ， ； 当点在线段上侧时，，如图， 沿翻折得到， ， ， ， ； 当点与点重合时，， 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形外角定理，解题关键是分类讨论求解． 18．如图，中，，点在上，点在上，，若，，，则___________． 【答案】20 【分析】作于M，于N，则是等腰三角形，得出，证明，得到，得出，因此，设，则，，根据求出a的值，再根据三角形的面积公式即可得到答案． 【解析】作于M，于N，如图： 则， ， 则是等腰三角形， ， ， ， ， 在中， , ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查三角形面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定，证明三角形全等是关键． 三、解答题 19．如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【解析】解析：通过“等边对等角”的性质，可以找出各角之间的关系，利用三角形内角和为求解即可． 答案：解：设，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，解得，∴． 题型解法：解决这类题目，一般可以由边长关系联想到角度之间的关系，然后把角转化到同一个三角形中利用三角形内角和求解未知角度． 20．已知：如图，中，，E在的延长线上，．若，则_______． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后根据垂直的定义和对顶角的性质证明∠E=∠EFA即可求解． 【解析】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵ED⊥BC， ∴∠EDB=∠EDC=90°， ∴∠B+∠BFD=90°，∠C+∠E=90°， ∴∠BFD=∠E， ∵∠BFD=∠EFA， ∴∠E=∠EFA， ∴AF=AE=5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，对顶角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．如图，中，，D为上一点，E为延长线上一点，且交于G．求证：． 【答案】见解析 【分析】过点D作，交于F，结合题意即可证明，进而证明，即可得证． 【解析】过点D作，交于F， ， 在与中 ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键． 22．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：为等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析  （2）65° 【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题； （2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论； 【解析】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解析】（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵，CD∥AB，∴．∵，，∴，∴，∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）得∴，∵，，，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点． (1)求证AE=CD (2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明 【答案】(1)见详解 (2)等腰直角三角形，证明见详解 【分析】（1）根据题意，即可作答； （2）由（1）可得∠ABD=∠DBC=90°，再证明，即结论得证． （1） 证明：（1）在和中， ， ∴． ∴AE=CD； （2） 是等腰直角三角形，理由如下： 连接MN，如图所示： ∵在（1）中已得，， ∴，，AE=DC， ∵M、N分别是AE、CD的中点， ∴，， ∴DN=AM， 又∵，， ∴， ∴BN=BM，，   ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 25．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图1，就是一个格点三角形． (1)在图1中，作出关于直线m成轴对称的图形；并直接写出的面积为______； (2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形； (3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA＋EC的值最小（保留作图痕定并标上字母E）； (4)在图4的直线m上找出一点F，使得的值最大（保留作图痕迹，并标上字母F）． 【答案】(1)作图见解析，5.5 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）找出各顶点关于直线m的对称点，再顺次连接即可．由即可求得面积； （2）由等腰三角形的定义作图即可； （3）结合（1）连接，与直线m的交点即为点E； （4）由三角形三边关系可知，当且仅当点A，C，F在一条直线上时取等号，由此即可得出点F． （1） 如图即为所作． 由图可知， ∵，，，， ∴． 故答案为：5.5； （2） 如图，点D即为所作． （3） 如图，点E即为所作． （4） 如图，点F即为所作． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，轴对称—最短路径问题．利用数形结合的思想是解题关键． 26．在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D． (1)当时，______度． (2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由． (3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)可以，或90°或0° 【分析】（1）由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证； （2）当AP＝4时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到∠α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． （1）解：当PNBC时，∠α＝∠NPM＝30°，又∵∠ACB＝120°，∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，故答案为：90； （2）解：当AP＝4时，△ADP≌△BPC，理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，又∵∠APC是△BPC的一个外角，∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，∴∠α＝∠APD，又∵AP＝BC＝4，∴△ADP≌△BPC； （3）解：的形状可以是等腰三角形．由题意得，，①当时，是等腰三角形，∴，即，∴．②当时，是等腰三角形，∴，即，∴．③当时，是等腰三角形，∴，∴，即，∴，此时点P与点B重合，点D和点A重合．综上所述，当或90°或0°时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 27．如图①，中，，、的平分线交于点，过点作EFBC交、于、． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作OEBC，交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)图中是等腰三角形的有：，共5个等腰三角形；的关系是．理由见解析 (2)当时，（1）的结论仍然成立，见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论； （2）利用（1）的方法解答即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论． （1） 解：图中是等腰三角形的有：，共5个等腰三角形；的关系是．理由如下： 平分，平分， ，， ， ，； 即，， ； （2） 当时，（1）的结论仍然成立． 平分，平分， ，， ， ，， 即，； ； （3） ．理由如下： 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键． 28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C． (1)若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求： ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． (2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标． (3)如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①（4，4）；②12 (2)（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0） (3)不变， 【分析】（1）①当−2x＋12＝x时，解方程即可； ②当y＝0时，则−2x＋12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案； （2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案； （3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN＋PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可． （1） 解：①由题意得−2x＋12＝x， 解得x＝4， ∴y＝4， ∴点C（4，4）； ②当y＝0时，−2x＋12＝0， ∴x＝6， ∴A（6，0）， ∴OA＝6， ∴△OAC的面积为； （2） 解：∵C（4，4）， ∴， 当OC＝OP＝ 时， 点P（，0）或（，0）， 当CO＝CP时，点P（8，0）， 当PO＝PC时，点P（4，0）， 综上：点P（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）； （3） 解：PM＋PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H， ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE， ∵OF⊥AB， ∴∠AEO＝∠CEO， ∵OE＝OE， ∴△AOE≌△COE（ASA）， ∴OA＝OC＝4， ∵， ∴OC×AH＝OC×PN＋OC×PM， ∴PN＋PM＝AH， ∵直线OC的解析式为y＝x， ∴∠AOC＝45°， ∴， ∴． ∴PM＋PN的值不变，为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用全等证明OA＝OC＝4是解题的关键． 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 第 2 页 共 30 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$