20.3.2 等边三角形（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十章 轴对称 20.3.2 等边三角形 含30°直角三角形的性质 生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形. 思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？ 情景引入 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 回顾引入 3 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 一般三角形 等腰三角形 等边三角形 （底≠腰） 底＝腰 有二条边相等 什么是等边三角形？它与一般三角形有什么区别？ 等边三角形也叫做正三角形是特殊的等腰三角形 合作探究 A B C A B C 思考1： 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C =60° 你能说一下推理过程吗？ 一、等边三角形的性质 5 推理归纳 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　BC =AC，BC =AB． ∴　∠A =∠B，∠A =∠C ． ∴　∠A =∠B =∠C ． ∵　∠A +∠B +∠C =180°， ∴　∠A =60°． ∴　∠A =∠B =∠C =60°． 　　已知：△ABC 是等边三角形 求证：∠A =∠B =∠C=60°． A B C 结论1:等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 6 A B C A B C 思考2： 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 结论2:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一 一条对称轴 三条对称轴 7 图形 等腰三角形 　性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个内角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 归纳小结 8 A B C D E F 利用等边三角形三线合一填空： ∵ AB＝AC，BD＝DC ∴∠ ＝∠ , ⊥ ； ∵ AB＝BC，AE＝EC ∴∠ ＝∠ , ⊥ ； ∵ AC＝BC，AF＝FB ∴∠ ＝∠ , ⊥ . BAD CAD AD BC ABE CBE BE AC ACF BCF CF AB 例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 变式1如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 11 （2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）. 三个角相等的三角形是等边三角形. （1）等边三角形有哪些性质？ 等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”. 思考： 你能证明这些定理吗？ 二、等边三角形的判定 A B C 已知：如图，∠A=∠B=∠C. 求证：AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠B, ∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明： A B C 已知： 若AB=AC ,∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. ∵AB=AC , ∠A= 60 °， ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. A C B 60° 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定方法： 3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形. 推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形. 推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形. C B A 结论 等边 三角形 性质 判定的条件 三条边都相等 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 三条边都相等的三角形是等边三角形 例2 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 变式2　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式3　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠B =∠D，∠C =∠E． ∴　∠EAD =∠D =∠E． ∴　△ADE 是等边三角形． A D E B C 例3 如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． 求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 即∠C＝30°． ∵AD⊥AC，AE⊥AB． ∴∠ADC＝∠AEB＝60°， ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 例4 如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°， 求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC（等角对等边）． ∵∠BDE＝30°，DE⊥AB， ∴∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 分离 拼接 A C B 三、30°角所对的直角边等于斜边的一半 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 杜B格小生 (杜) - 通过对折，让学生探究总结自己的发现。 含30°角的直角三角形的性质 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB. 你还能用其他方法证明吗？ 证法1 A B C D 证明方法：倍长法 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． ∴BC = BD．　　 ∴BC = AB．　　 证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, 证法2 E A B C 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴　BC = AB．　　 证明方法：截半法 知识要点 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 ） 30° √ 判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． 做一做 例5 如图13－3－13所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为多少？ 图13－3－13 解：设BC的长为x cm. 在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝ AB， 故AB＝2x cm. 又AB＋BC＝12 cm，则可列方程x＋2x＝12， 解得x＝4.则AB＝2x＝8.∴AB的长为8 cm. 思考：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例6 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长. A B C D E A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD. ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m). 又AD= AB, ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 例7 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C. E C 1．如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( ) A．180° B．220° C．240° D．300° C 2．如图，已知P，Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为______°. 120 课堂练习 34 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm D 4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1 A B C D 5.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°，∴AD=2AE. ∴AB=4AE，∴BE=3AE. 6.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ为等边三角形． 证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形． 37 等边 三角形 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形法 课堂小结 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含30°角的直角三角形的性质 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 $$