20.3.1 等腰三角形（等腰三角形的定义与性质）(练习)数学人教版五四制八年级上册

20.3.1等腰三角形（等腰三角形的定义与性质） 一、单选题 1．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（    ） A．12 B．12或15 C．15或18 D．15 2．如图，中，，，则等于（　　　） A． B． C． D． 3．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 4．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（    ） A．或或 B．或 C．或 D．或 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（   ） A．57° B．58° C．59° D．60° 7．如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（　　） A．60° B．72° C．45° D．50° 8．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（　　） A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm   C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 9．如图，是的中线，是上一点，交于，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（    ） A．4.8 B．9.6 C．8 D．6 二、填空题 11．等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有__________条（重合的算一条）． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为__________． 13．在中，，点D为斜边上的一点，，若为等腰三角形，那么的度数为_______． 14．如图，在△ABC中，∠A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则∠EDF=____________度． 15．如图，在中，，点A，点C分别在直线a，b上，且．若，则的度数为_______． 16．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度． 17．如图，将绕点逆时针旋转得到．若落到边上， ，则的度数为______． 18．在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为 _____． 三、解答题 19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：． 20．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：． 21．如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 22．学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究． (1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明． (2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______°，∠DEC＝______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填“大”或“小”）； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请写出∠BDA的度数．并说明理由． 24．如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系； (3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数． 25．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°． (1)如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； (2)在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求的值； (3)如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20.3.1等腰三角形（等腰三角形的定义与性质） 一、单选题 1．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（    ） A．12 B．12或15 C．15或18 D．15 【答案】D 【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系． 【解析】解：①若腰长为3，底边长为6， ∵3+3=6， ∴不能组成三角形，舍去； ②若腰长为6，底边长为3， 则它的周长是：6+6+3=15． ∴它的周长是15， 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用． 2．如图，中，，，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD． 【解析】∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C， ∵， ∴∠ADC=∠C=， ∵AD=AB， ∴∠B=∠BAD， 故选：A． 【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解． 【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点， ∴∠B=∠C，（故A正确） AD⊥BC，（故B正确） ∠BAD=∠CAD（故C正确） 无法得到AB=2BD，（故D不正确）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质． 4．如图，在中，，过点A作，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出即可． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠B=∠C，注意：三角形内角和等于180°，两直线平行，内错角相等． 5．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（    ） A．或或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【解析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°， ①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝44°， 所以，顶角是44°； ②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°， 解得x＝50°， 所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°； ③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°， 解得x＝20°， 所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（   ） A．57° B．58° C．59° D．60° 【答案】B 【分析】求出∠CDB的度数，再根据翻折求出∠ADE的度数即可． 【解析】解：∵∠C＝90°，∠CBD＝26°， ∴∠CDB=90°-∠CBD＝64°， ∴∠ADB=116°， 由翻折可知，∠ADE=∠BDE=58°； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题． 7．如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（　　） A．60° B．72° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】由线段相等，可得对应角相等，通过转化，将∠A、∠ABC都与∠DBE建立联系，从而即可求解∠A的值． 【解析】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， 又∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠C， ∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠DBC＋∠C＋∠BDC＝180°， ∴∠DBC＝∠A， ∵AD＝DE＝EB， ∴∠A＝∠AED，∠EDB＝∠EBD， ∴∠A＝2∠DBE，即∠ABC＝3∠DBE， ∵∠A＋2∠C＝180°， ∴2∠DBE＋2∠ABC＝180°， ∴2∠DBE＋2×（3∠DBE）＝180°， 即8∠DBE＝180°， ∴∠A＝2∠DBE＝45°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质问题，能够利用等腰三角形的性质求解一些简单的计算问题． 8．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（　　） A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm   C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 【答案】C 【分析】设AB=AC=x，则BC=16-2x,根据三角形的三边关系即可求出AB的取值范围. 【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为16cm， 设设AB=AC=cm，则BC=16-2x, 依题意得, 解得4cm＜AB＜8cm, 选C. 【点睛】此题主要考察三角形的三边关系，熟知等腰三角形的性质、不等式的解法是关键. 9．如图，是的中线，是上一点，交于，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长AD到G使得，连接BG，证明，根据全等三角形的性质可得到，AC=BD，等量代换得到BE=BG，再由等腰三角形的性质得到，推出EF=AF，即可解决问题； 【解析】如图，延长AD到G使得，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD， 在△ACD与△GBD中， ， ∴， ∴，AC=BD， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴， ∵， ∴， ∴EF=AF， ∴， 即， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（    ） A．4.8 B．9.6 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可． 【解析】解：∵，是的平分线， ∴（等腰三角形三线合一）， 设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图， ∵是的平分线， ∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质）， ∴， ∴当且C、P、三点共线时， 有最小值，即， ∵, ，，， ∴， 解得，， ∴的最小值是9.6， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键． 二、填空题 11．等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有__________条（重合的算一条）． 【答案】7 【分析】根据等腰三角形底边上三线合一的性质进行分析即可. 【解析】解：等腰三角形的角平分线，中线、高彼此重合的只计一条，即底边上的高、中线、角平分线只计一条，因此总条数最多有7条，故答案为7 【点睛】本题考查了等腰三角形性质的运用，关键是对“三线合一”的熟练掌握. 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为__________． 【答案】或 【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案． 【解析】解：根据题意得：AB=AC，BD⊥AC， 如图（1），∠ABD=60°， 则∠A=30°， ∴∠ABC=∠C=75°； 如图（2），∠ABD=60°， ∴∠BAD=30°， ∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°． 故这个等腰三角形的底角是：75°或15°． 故答案为：或. 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 13．在中，，点D为斜边上的一点，，若为等腰三角形，那么的度数为_______． 【答案】55°或 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A＋∠B=90°，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可分别求出结论． 【解析】解：∵在中，， ∴∠A＋∠B=90° 当DA=DC时，如下图所示 ∴∠A=∠ACD=35° ∴∠B=90°－∠A=55°； 当CA=CD时，如下图所示 ∴∠A=∠CDA=（180°－∠ACD）= ∴∠B=90°－∠A=； 当AC=AD时， ∴∠ADC=∠ACD=35° ∴∠A=180°－∠ADC－∠ACD=110°，不符合实际，舍去； 综上：的度数为55°或 故答案为：55°或． 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解题关键． 14．如图，在△ABC中，∠A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则∠EDF=____________度． 【答案】61° 【分析】先由等腰三角形的性质求得∠B的大小，再证明△EBD≌△DFC,得到∠DEB=∠FDC;又由三角形内角和为∠BED+∠B+∠EDB=180°,即∠FDC+∠B+∠EDB=180°，可得∠FDC+∠EDB=180°-∠B由因为∠BDC是平角可得：∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB),即可完成作答． 【解析】解：∵等腰三角形ABC ∴ 在△EBD和△DFC中 ∴△EBD≌△DFC（AAS） ∴∠DEB=∠FDC 又∵在△EBD中，∠BED+∠B+∠EDB=180 ∴∠FDC+∠EDB=180°-∠B=119° 又∵∠EDF+(∠FDC+∠EDB)=180° ∴∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB)= 180°-119°=61° 故答案为61°． 【点睛】本题考查了等腰三角形和全等三角形的知识，特别是角的等量代换成为本题解答的关键． 15．如图，在中，，点A，点C分别在直线a，b上，且．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得 ，然后利用平行线的性质可得 ，即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ， ∵，， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 16．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度． 【答案】10 【分析】根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可． 【解析】解：∵AB=AC，AD=AE， ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED， ∵∠EDC+∠C=∠AED， ∴∠C+∠EDC=∠ADE， 又∵∠B+∠BAD=∠ADC， ∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC， ∵∠B=∠C． ∴2∠EDC=20°， ∴∠EDC=10°． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键． 17．如图，将绕点逆时针旋转得到．若落到边上， ，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，的度数，根据等边对等角的性质可得，根据平角的性质可得′的度数． 【解析】解：由旋转的性质可得： ，， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据旋转的性质说明线段相等或角相等，根据等边对等角求角度，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键． 18．在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为 _____． 【答案】##40度 【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质，然后由三角形的外角性质，，可说明，再利用等腰三角形的性质可求出，最后利用三角形的内角和解答即可． 【解析】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题 19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【解析】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 20．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：． 【答案】见解析 【分析】由AB=AC，可知，即可证明，即可得到； 【解析】证明：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等的判定方法是解决本题的关键． 21．如图，在四边形中，，，，垂足为点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)20° 【分析】（1）根据，可得，，再由，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求解． （1）证明：∵， ，∴，，∵，∴∠AED=∠ABC=90°∵，∴； （2）解：∵，∴，，∴∠ADC=∠ACD，∴，∵，∴∠ADE+∠DAC=90°，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究． (1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明． (2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）利用平分可得，根据得到，进而得到，即可证得； （2）延长到，使，连接，即可证明，于是得到， ，根据平分可得，等量代换即得 ，即可证明. （1）证明：∵平分，∴∵∴∴，∴，∴． （2）证明：如图，延长到，使，连接，，，， ，，，平分，，，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等边对等角，解答本题的关键是添加辅助线证明． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______°，∠DEC＝______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填“大”或“小”）； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请写出∠BDA的度数．并说明理由． 【答案】(1)25，115，小 (2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，见解析 (3)可以，∠BDA的度数为110°或80°，见解析 【分析】（1）先求出∠ADC的度数，即可求出∠EDC的度数，再利用三角形内角和定理即可求出∠DEC的度数，根据点D从B向C运动时，∠BAD逐渐增大，而∠B不变化，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，即可得到答案； （2）根据全等三角形的判定条件求解即可； （3）先证明当△ADE时等腰三角形，只存在AD=ED或AE=DE两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可； （1） 解：∵∠BDA=115°， ∴∠ADC=180°-115°=65°， ∵∠ADE=40°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°， ∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°； ∵点D从B向C运动时，∠BAD逐渐增大，而∠B不变化，∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小， 故答案为：25，115，小； （2） 当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵∠B＝∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， 又∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 又∵AB＝DC＝2， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3） 解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， 理由：∵∠C=∠ADE=40°，∠AED=∠C+∠EDC， ∴∠AED＞∠ADE， ∴当△ADE时等腰三角形，只存在AD=ED或AE=DE两种情况， 当AD=ED时， ∴∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=40°， ∴， ∴∠EDC=∠AED-∠C=30°， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=70°， ∴∠BDA=180°-∠ADC=110°； 当AE=DE时， ∴∠EAD=∠EDA=40°， ∴， ∴∠EDC=∠AED-∠C=60°， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=100°， ∴∠ADB=180°-∠ADC=80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系； (3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，理由见解析；（3）30° 【分析】（1）利用等腰三角形底边上三线合一即可证明． （2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．证出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得． （3）如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°， 利用（2）的结论求出∠ABC，∠CAB即可解决问题． 【解析】（1）证明：如图1中， ∵DB=DC，DE⊥BC， ∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）． （2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE． 理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M． ∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°， ∴∠ABN=∠AMN， ∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°， ∴∠EDA=∠CBM， ∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA． 故答案为∠ABC-∠ACB=2∠ADE （3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N． ∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB， ∴DM=DN， 在Rt△DBN和Rt△DCM中， ， ∴△DBN≌△DCM， ∴∠BDN=∠CDM， ∴∠CDB=∠MDN， ∵∠CAB+∠MDN=180°， ∴∠CDB+∠CAB=180°， ∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE ∴∠ABC=80°， ∴∠CAB=180°-80°-40°=60°， ∴∠CDB=120°， ∴∠EDB=∠EDC=60°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=30°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°． (1)如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； (2)在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求的值； (3)如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)HE=GH+GD，证明见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据AAS可证明△DBC≌△CFE； （2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以=2； （3）在EH上截取EQ=DG，如图3，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出HE=GD+GH． （1） 证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°． ∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°， ∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF=90°， ∴∠DCB=∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ∴△DBC≌△CFE（AAS）； （2） ∵△DBC≌△CFE， ∴BD=CF，BC=EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， ∴AB=EF，AD=BF， 在△ABM和△EFM中， ∴△ABM≌△EFM（AAS） ∴BM=FM， ∴BF=2BM， ∴AD=2BM， ∴的值为2； （3） 解：HE=GH+GD， 在EH上截取EQ=DG，如图， 在△CDG和△CEQ中 ∴△CDG≌△CEQ（SAS）， ∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB=45°， ∴∠ECQ+∠DCB=45°， 而∠DCE=90°， ∴∠HCQ=45°， ∴∠HCQ=∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ∴△HCG≌△HCQ（SAS）， ∴HG=HQ， ∴HE=HQ+QE=HG+DG． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$